概率论中几种概率模型方法总结

×５
６
＝０．５．
９×１０
２．２ 几何概型的应用 几何概型形象直观， 在解决几何概型问题
时， 我们经常要通过画图来辅助我们解题．我们可以直观地把几何概
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型分成三类， 分别是 “与数相关的几何概型”、“与时间相关的几何概 型 ”、“与 形 相 关 的 几 何 概 型 ”．
用上面公式可以求古典概型的事件概率， 在计算中的方法我们可 以按如下步骤：
（ １） 分析具体问题， 确定样本空间； （ ２） 确定样本空间所含的基本 事 件 总 数 ｎ； （ ３） 确 定 事 件 Ａ 所 包 含 的 基 本 事 件 数 ｍ； （ ４） 由 Ｐ（Ａ）＝ ｍ
ｎ 得结果．
例 １ 一次投掷两颗骰子， 求出现的点数之和为奇数的概率． 解 法 １ 设 Ａ 表 示 “出 现 点 数 之 和 为 奇 数 ”， 用 （ ｉ，ｊ） 记 “第 一 颗 骰 子出现 ｉ 点， 第二颗骰子出现 ｊ 点”， ｉ，ｊ＝１，２，…，６．显然出现的 ３６ 个基本 事件组成等可能样本空间， 其中 Ａ 包含的基本事件个数为 ｋ＝３×３＋３× ３＝１８， 故 Ｐ（Ａ）＝１／２． 解法 ２ 若把一次试验的所有可能结果取为： （ 奇， 奇） ， （ 奇， 偶） ， （ 偶， 奇） ， （ 偶， 偶） ， 则它们也组成等可能样本空间．基本事件总数 ｎ＝４， Ａ 包含的基本事件个数 ｋ＝２， 故 Ｐ（Ａ）＝１／２． 解 法 ３ 若 把 一 次 试 验 的 所 有 可 能 结 果 取 为 ： ｛点 数 和 为 奇 数｝， ｛点 数 和 为 偶 数｝， 也 组 成 等 可 能 样 本 空 间 ， 基 本 事 件 总 数 ｎ＝２， Ａ 所 含 基本事件数为 １， 故 Ｐ（Ａ）＝１／２． 注：找出的基本事件组构成的样本空间， 必须是等可能的．解法 ２ 中倘若解为： （ 两个奇） ， （ 一奇一偶） ， （ 两个偶） 当作基本事件组成样本 空间， 则得出 Ｐ（Ａ）＝１／３．错的原因就是它不是等可能的．例如：Ｐ（两 个 奇） ＝１／４， 而 Ｐ（一奇一偶）＝１／２．本例又告诉我们， 同一问题可取不同的样 本 空间解答． ２．１．１ 分房模型 分房模型也叫做小球入盒问题， 它包括生日问题、分房问题、投球
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概率论中几种概率模型方法总结
徐寅生 （许昌学院数学科学学院 河南 许昌 ４６１０００）
【摘 要】概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型．本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结． 【关键词】概率模型方法； 概率论； 概率计算
例 ７ 某人有一串 ｍ 把外形相同的钥匙， 其中只有一把能打开家 门， 有一天该人酒醉后回家， 下意识地每次从 ｍ 把钥匙中随便拿一只 去开门， 问该人在第 ｋ 次才把门打开的概率多大？
解： 因为每把钥匙试用后不做记号又放回， 所以每把被选中的概 率为 １ ， 由独立性得
ｍ Ｐ（第 ｋ 次才把门打开）＝ １ （１－ １ ）ｋ－１．
２＊＊５＊０３｝； （ ３） Ｃ＝｛电话号码是偶数｝．
解： 由题意知， 电话号码中的数字是可以重复的．因为 ０ 不能做首
位只能是剩下的 ９ 个数字中的任意一个， 有 ９ 种取法， 其它 ６ 个号码
则是 １０ 个数字的重复排列．由乘法原理知： 结果总数为：９×１０６．
（ １） 事件 Ａ 中， 首位号码的取法有 ９ 种， 其余 ６ 位号码的取法是：
１ ５
ｋ
）
（４
１０－ ｋ
） ，０≤ｋ≤１０．于是同时开动着的机床台数不超过 ５ 台的概率为 Ｐ
５
５
# （ξ≤５）＝ ｋ
＝
０
ｋ
Ｃｎ
（
１ ５
ｋ
）
（
４
５
１０－ ｋ
） ≈０．９９４．．
由此可见这 １０ 台机床能正常工作的概率为 ０．９９４．
２．３．２“ｎ 重贝努里试验中至少发生一次”
它 的 应 用 包 括 投 球 命 中 率 、灯 泡 坏 掉 问 题 等．
３．３．３“ｎ 重贝努里试验直到第 ｋ 次才发生”
它 的 应 用 有 中 靶 问 题 、开 门 问 题．
关于求“ｎ 重贝努里试验直到第 ｋ 次才发生”的概率．那么它有 ｋ－
１ 次不发生， 因此概率是
Ｐ｛直到第 ｋ 次才发生｝＝Ｐ（Ａ １Ａ ２…Ａ ｋ－１Ａｋ＝Ｐ（Ａ １）Ｐ（Ａ ２）…Ｐ（Ａ ｋ－１）Ｐ（Ａｋ） ＝ｑｋ－ １ｐ．
为多大？
解： ５０ 千瓦电力可同时供给 ５ 台机床开动 ， 因 而 １０ 台 机 床 中 同
时开动台数不超过 ５ 台时都可以正常工作。而每台机床只有“开动”与
“不开动”两种情况， 且开动的概率为 １２ ＝ １ ， “不开动”的概率为 ４ ．
６０ ５
５
ｋ
设 １０ 台 机 床 中 正 在 开 动 着 的 机 床 台 数 为 ξ则 Ｐ（ξ＝ｋ）＝Ｃ１０ （
例 ５ 金工车间有 １０ 台同类型的机床， 每台机床配备 的 电 动 机
功率为 １０ 千瓦， 已知每台机床工作时， 平均每小时实际开动 １２ 分钟，
且开动与否是相互独立的， 现因当地电力供应紧张， 供电部门只提供
５０ 千瓦的电力给这 １０ 台机床， 问这 １０ 台机床能够 正 常 工 作 的 概 率
２．３．１ “ｎ 重贝努里试验中事件发生 ｋ 次 ” 它 的 应 用 有 病 人 治 愈
问题、比赛的公平性及 取 胜 的 问 题 、打 靶 比 赛 、做 题 及 格 率 、机 器 正 常
工作问题等．关于求“ｎ 重贝努里试验中事件发生 ｋ 次”的概率， 则有
ｋｋ
ｎ－ ｋ ｋ ｋ ｎ－ ｋ
Ｐｎ（ｋ）＝Ｃｎ ｐ （１－ ｐ） ＝Ｃｎ ｐ ｑ （ｋ＝０，１，２，…，ｎ）
（ ３） 首位号码的取法有 ９ 种， 要保证电话号码是偶数， 则末位号码
必 须 是 数 字 ０、２、４、６、８ 中 的 一 个 ， 取 法 有 ５ 种．中 间 的 ５ 个 数 字 则 是
１０ 个数字的重复排列， 排列总数为：１０５． 所以 Ｃ 事件的 结 果 总 数 为：９×
１０５×５．
５
所以 Ｐ（Ｃ）＝ ９×１０
例 ４ 电话号码是由 ７ 位数字组成， 每个数字可以是 ０、１、２、３、４、
５、６、７、８、９ 中 的 任 意 一 个 数 字 ， 但 要 求 ０ 不 能 做 首 位 ， 求 下 列 事 件 的
概率．
（ １） Ａ＝｛电 话 号 码 是 由 完 全 不 同 的 数 字 组 成｝； （ ２） Ｂ＝｛电 话 号 码 是
ｎ １０
ｎ １０
２．１．２ 随机取数模型
随机取数模型分为有放回随机取数和不放回随机取数．它的应用
包 括 电 话 号 码 问 题 、重 复 取 数 问 题 、不 重 复 取 数 问 题 、限 定 条 件 取 数 问
义为
题 、指 定 取 数 问 题 等 ．
Ｐ（Ａ）＝ ｍ（Ａ 包含的样本点数） ｎ（ 样本空间中样本点总数）
２．３ 贝努里概型的应用 在贝努里概型中仅有两个可能发生和不
发 生 ， 可 设 为 Ａ 与Ａ ， 令 Ｐ（Ａ）＝ｐ，Ｐ（Ａ ）＝ｑ，且 ｐ＋ｑ＝１，可 把 贝 努 里 概 型 中
事件的概率分为三种类型： ｎ 重贝努里试验中事件发生 ｋ 次，ｎ 重 贝 努
里试验中至少发生一次，ｎ 重贝努里试验直到第 ｋ 次才发生．
关于求“ｎ 重贝努里试验中至少发生一次”的概率．“ｎ 次 试 验 中 至
０
少发生一次”， 它的对立事件是“ｎ 次试验全部没有发生”．由 Ｐｎ （０）＝Ｃｎ ｐ
０ｎ ｎ
ｑ ＝ｑ 根据相互对立事件的概率之和为 １， 可得 Ｐ｛至少发生一次｝＝１－ ｑ
ｎ ，同理 Ｐ｛至少不发生一次｝＝１－ ｐｎ． 例 ６ 一个学生在罚球线投篮的命中率为 ０．２， 问： （ １） 该生独立进行 ２５ 次投篮恰有 １０ 次命中的概率是多少？ （ ２） 至
易得
Ｐ（Ａ"）＝
１－
（Ｃ３６５·ｎ！
ｎ
）．
３６５
ｎ
最
后，
由
互逆
事
件的
概
率关
系
得：
Ｐ（Ａ）＝
１－
（Ｃ３６５·ｎ！
ｎ
） ．
Fra Baidu bibliotek
３６５
例 ３ （ 球盒问题） 将 ３ 个相同的球放入 ５ 个盒子中， 每个球放入
每一盒中， 且限定每盒最多只放入一球， 求
（ １） 指定的某盒是空的概率？ （ ２） 指定的 ３ 个盒子各有 １ 个球的概
６
去掉首位占用的数字， 剩下的 ９ 个数字的选排列．排列总数为：９×Ａ９ ．
６
所以
Ｐ（ Ｂ） ＝
９×Ａ９
６
≈０．０６０４８．
９×１０
（ ２） 在事件 Ｂ 中， 剩下 的 三 个 位 置 是 １０ 个 数 字 的 重 复 排 列 ， 结 果
总 数 为：１０３．
３
所以 Ｐ（Ｂ）＝ １０ ６ ≈０．０００１１ ９×１０
率？
解 ： 设 Ａ＝｛指 定 的 某 盒 是 空 的｝，Ｂ＝｛指 定 的 ３ 个 盒 子 中 各 有 １ 个
球｝
３
３
基 本 事 件 总 数 ｎ＝Ｃ５ ＝１０，Ａ 所 含 基 本 事 件 数 ｍ１＝Ｃ４ ＝４，Ｂ 所 含 基 本
３
事件数 ｍ２＝Ｃ３ ＝１．
故 Ｐ（Ａ）＝ ｍ１ ＝ ４ ＝０．４， Ｐ（Ｂ）＝ ｍ２ ＝ １ ＝０．６．
ｍｍ ３．总结 概率模型在现实生活中应用很广泛， 它能使很多复杂的问题迎刃 而 解．本 文 中 重 点 论 述 了 三 种 常 用 的 概 型 ： 古 典 概 型 、几 何 概 型 、贝 努 里概型．通过对它们基本思想、概率计算及应用的深入研究， 可以区 分 这些模型．贝努里概型概率的计算要注意 ｎ 次中发生和不发生的问题． 在这三种概型外还有很多概率模型， 由于篇幅问题没有作深入研究， 而在以后的现实生活中和实际应用中我们会更加了解多种多样的概
础．几 何 概 型 从 某 种 意 义 上 说 是 古 典 概 型 的 补 充 和 推 广 ， 在 很 多 实 际 的生日在同一天的概率是多少？ （ 一年按 ３６５ 天记） ．
问题中， 实验的一切结果是无限个， 这时古典概型就不再适用了．这三
解： 基本事件总数为 ３６５ｎ，有利事件 Ａ＝｛ｎ 个人中至少 有 两 个 人 生
少有 １ 次命中的概率是多少？
解 ： 设 Ａ＝｛投 篮 命 中｝， 则 Ｐ（Ａ）＝ｐ＝０．２，Ａ ＝｛投 篮 不 命 中｝， 则 Ｐ（Ａ ）＝
ｑ＝０．８．
１０
１０
１５
（ １） 依 题 意 ， ｎ＝２５，ｋ＝１０，由 公 式 有 Ｐ２５（ １０） ＝Ｃ２５ ×０．２ ×０．８ ≈０．１８
（ ２） ２５ 次投篮恰至少命中一次的概率设为 ｐ， 则得 Ｐ＝１－ （０．８）２５＝０．９９６２．
概率论中几 种 常 用 的 概 率 模 型 是 古 典 概 型 、几 何 概 型 、贝 努 里 概 问题、抽球问题、排队问题、照像问题、性别问题、旅客下站问题等的应
型．古典概型是各类概率模型中最基本的一种， 在实际问题中经常会 用．
遇到， 因此它历来是概率论教学中的重点部分， 是学习概率统计的基
例 ２［３］ （ 生 日 问 题 ） 某 班 级 有 ｎ 个 人 （ ｎ≤３６５） ， 问 至 少 有 两 个 人
２．三种概率模型的概率计算 ２．１ 古典概型概率的定义 定义 １ 设一试验有 ｎ 个等可能的基本 事件， 而事件 Ａ 恰包含其中的 ｍ 个基本事件， 则事件 Ａ 的概率 Ｐ（Ａ）定
算到 ｎ 个人生日全相 同．我 们 可 以 从 反 面 去 计 算 它 的 逆 事 件 ： Ａ"＝｛ｎ 个
ｎ
人 生 日 全 不 相 同｝，
种 概 型 各 有 各 的 定 义 、条 件 、计 算 方 法 及 应 用 范 围．
日相同｝
１．三种概型的基本思想
若从正面考虑， 这是一个比较复杂的事件， 要从两个人生日相同
１．１ 古典概型 古典概型是最简单的随机试验模型， 也是很多概 率计算的基础．
如果一个随机试验满足下述两个条件： （ １） 它的基本事件空间只有有限个基本事件； （ ２） 每个基本事件出 现的可能性相等， 则称这种随机试验为古典随机试验， 即古典概型． １．２ 几何概型 几何概型就是将古典概型中的有限样本空间推广 到无限样本空间， 保留等可能性， 因此几何概型也具有以下两个条件： （ １） 试验中所有可能出现的结果（ 基本事件） 有无限多个； （ ２） 每个 基本事件出现的可能性相等． 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（ 面积或体 积） 成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为几何概型． １．３ 贝努里概型 贝努里概型也就是 ｎ 次独立重复试验， 是独立 试验的一个特例． 如果一个随机试验满足下述两个条件： （ １） 在一组固定不变的条 件下重复地（ｎ 次） 做一种试验， 每次试验的结果只有两个： 即事件 Ａ 发生或不发生．（ ２） ｎ 次试验是独立的， 那么这种试验称为 ｎ 次独立重 复试验， 即贝努里概型．