2019年高考数学真题分类汇编-专题14-推与证明、新定义-理科及答案

专题十四 推理与证明、新定义

1.【2015高考湖北，理9】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，

{(,)||2,||2,,}

B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）

A ．77

B ．49

C ．45

D ．30

【答案】C

【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.

【考点定位】1.集合的相关知识，2.新定义题型.

【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

2.【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）

A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3

【答案】C ．

【解析】显然正三角形和正四面体的顶点是两两距离相等的，即3n =或4n =时命题成立，由此可排除A 、B 、D ，故选C ．

【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．

【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，

此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C ，由于3n =时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A 、B ，又当4n =时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D ．

3.【2015高考浙江，理6】设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（ ）

A. 命题①和命题②都成立

B. 命题①和命题②都不成立

C. 命题①成立，命题②不成立

D. 命题①不成立，命题②成立

【答案】A.

【考点定位】集合的性质

【名师点睛】本题是集合的阅读材料题，属于中档题，在解题过程中需首先理解材料中相关概念与已知的集合相关知识点的结合，即可知命题①正确，同时注重数形结合思想的运用，若用韦恩图表示三个集合A ，B ，C ，则可将问题等价转化为比较集合区域的大小，即可确定集合中元素个数大小的比较.

4.【2015高考北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙

三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）