解析结构模型

12
R(2)∩R(6)∩R(7)∩R(8)∩R(9)≠ φ 共同集合不存在空集，所以没有区域之分。 首先找出R（12）= R（12） ∩ A（12） 所以第一层次为要素12 第二层次为要素10，11 第三层次为要素1，3，4 第四层次为要素2，6，7，8，9
总人口
出生率
死亡率
生育能力
思想风俗
计生政策
1
即：
—
1
π≈4n/N
与概率现象本身没有任何关系的问 题，也可用概率的方法来解决，是 一种“想法的转换”，即启发性思 考方法。
第8节 结构模型（Structure Model
一 ） 结 构 在开发和改造一个系统时，首先需要了 模 解系统中各要素间存在怎样的关系，即 型 了解和掌握系统的结构，即建立系统的 的 结构模型。 概 念 1 结构模型——就是用有向连接图来描述 及 系统各要素间的关系，以表示一个作为 性 要素集合体的系统模型。 质
R(Si ) R(Si ) A(S j )
找出最高一级要素后，将其从可达矩阵中
划去相应的行与列，在从剩下的可达矩阵 中寻找新的最高级要素，依此类推。
级间划分可用下式表示：
若定义：L0 =φ，则：
2 ( P) L1 , L2 ,, Lk ，其中K为级次
Lk Si P L0 L1 Lk 1 Rk 1 (Si ) Ak 1 (S j ) Rk 1 (Si )
第 三 章 系 统 模 型
模型概念及特征 系统模型概述 系统模型的分类
建模原则及常用方法
结构模型概念及特征
结构模型
解析结构模型的建立
应 用 案 例
层次分析法
建 立 单 摆 简 谐 运 动 的 类 似 模 型
设一个质量为m，长度为l的摆，其
θ l
偏离中心线的角度为θ(θ 很小)， θ(t)st:
例：现有如下图所示7个要素组成的系 统，试建立它的关系，并求邻接矩阵 和可达矩阵。
6 7 3 4 2 5 1
有向连接图
由此可得邻接矩阵A
0 1 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 S3 S1
S4
S5
基 本 性 质
（1）结构模型是一种几何模型：节点表示 系统的要素，有向边表示要素间的关系。 （2）结构模型是以定性分析为主的模型。 （3）结构模型可以用矩阵形式描述，进行 定性与定量分析。 结构模型的建模方法很多，其中一种为 解析结构模型法（Interpret Structure Model）.
可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过
一定的运算后求得。 即有 A1 =A+I 再设 A2 =(A+I)2 (用布尔代数运算规则) 一般地，通过依此运算后，可得： A1≠ A2≠ · · · · ·≠ An-1 =An 则有R= An-1 =(A+I)n-1 R----可达矩阵，它表明各节点间经过长度 不大于(n-1)条通道可以到达的程度。对于 节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不 超过(n-1).
1 1 0 R 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，
L2
2
4
6
L3
7
3
三 、 解 析 结 构 模 型 的 应 用
案例：人口系统影响总人口增长问题
新中国成立以来，人们的期望寿命有了较大提高，相对
死亡率降低了，国民收入的不断增长，生活水平不断提 高，计划生育政策贯彻不力等等，导致我国人口速度增 长过快。为此，成立了各方面人员参加的研究小组对人 口增长问题进行了研究，主要任务为：
ml
d 2 dt 2
mg 0
方程的解是以 T
2
简谐震动。
mg
L G 为周期的
L-C电路，电路中q(t)st:
1 L dt 2 LC q0 d 2q
L
C
解是以T 2 LC 为周
期的简谐震动。
Ll 1 C g q(t ) (t )
L-C电路图
一一对应模拟。
二 、 解 析 结 构 模 型 的 建 立
1有向连接图——由若干节点和有向边连接 而成的图象，即为节点和有向边的集合。 表示为：G={S，E} 2邻接矩阵A——描述图中节点两两之间的 直接关系。A中元素
1, si Rs j aij 0, si Rs j
3可达矩阵R——用矩阵形式反映有向连接 图各节点之间通过一定路径可以到达的 程度。 r 1 Si经若干路径到达Sj 0 ij 否则
期望寿命
保健水平
营养水平
国民收入
国民素质
环境污染
人口系统解析结构模型
已知可达矩阵M，试用规范方法建立其递 阶结构模型。
1 1 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1
∨∨∨ ∨∨∨ ∧ × ∨∨∧ ∨∨∧ ∧ ∧ ∧
∧ ∧ S1期望寿命 ∧ ∧ S2保健水平 ∧ S3生育能力 ∧ S4计生政策 ∧ S5思想风格 ∧ S6营养 ∧ ∧ S7环境污染 ∧ ∧ S8国民收入 ∧ S9国民素质 ∧ S10出生率 ∧ S11死亡率
S12总人口
根 据 以 上 对 话 过 程 ， 建 立 可 达 矩 阵
I=(j )
R(Si) 1 1,2 3,4,5,6 4,5,6 5 4,5,6 1,2,7
A(Sj) 1,2,7 2,7 3 3,4,6 3,4,5,6 3,4,6 7
R(Si) ∩ A(Sj)
T= A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj) = R(Si)
2 3 4 5 6 7
1 2 3 4,6 5 4,6 7
R(Si) 3 7
A(Sj) 3 7
R(Si) ∩ A(Sj)
强 连 通 划 分
该表的最高级，即为可达矩阵的第三级要素为： L3={3,7} 这样，经过三级划分，将R中的7个单元划分 成三层次，即π2(P)={L1，L2，L3}
( )
{4，6 }属强连通块。
作出递阶有向图（层次结构图）
L1 1 5
3,10,12
4,10,12
2,3,6,8
4,8,9
3
4 5
6
7 8
1,3,6,10,11,12
1,7,11,12 1,3,4,8,10,11,12
6
7 8
6
7 8
9
10 11
4,9,10,12
10,12 11,12
9
3,4,6,8,9,10 1,2,6,7,8,10
9
10 11
12
12
1------12
矩 阵 的 特 性
A的元素全为零的行所对应的节点为汇点。
A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。
对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开
A
该节点的有向边数。 对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入 该节点的有向边数。
建立可达矩阵R。经计算后得： (A+I)1 ≠ (A+I)2 = (A+I)3 ∴ R= (A+I)2
T S i N R( S i ) A( S j ) A( S j )


（4）确立不同区域 任取属于共同集的两要素Su ,Sv， 若 R( S u ) R( S v ) ， 则Su ,Sv属 同一区域； 若 R( S u ) R( S v ) ，则Su ,Sv 属于不同区域。 这样运算后的集合称区域分解，可写成： 其中M为区域数。
2
ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分
3 解 析 结 构 模 型
析复杂的社会经济系统有关问题而开发的 一种方法。其特点是把复杂的系统分解为 若干子系统或要素，利用人们的实践经验 和知识，以及计算机的帮助，最终将系统 构造成多级递阶的结构模型。ISM的程序为： 组织构造ISM小组（ 10人左右） 设定问题 选择系统要素，制定系统明细表。 构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。 对可达矩阵进行分解，建立结构模型。 由结构模型转化为解析结构模型。
R( S i ) S j N rij 1


(N为节点集合，rij=1表示 Si 与Sj关联)
（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj 列矩 阵元素为1所对应的行要素的集合。即：
A( S j ) S i N rij 1


（3）共同集合T——可达集R(Si)与先行集 A(Sj)的交集等于先行集A(Sj)的要素集合， 即：
0 ×0 =0，0 ×1 =0，1 ×0 =0， 1× 1=1
4 可达矩阵的分解（建立ISM模型)
区 同区域的要素相互间是没有关系的。 域 首先将R中的元素划分为可达集和先行集 分 解 （1）要素Si的可达集R(Si)——R中第Si行
矩阵元素为1对应的列要素的集合。即：
区域分解π1(S)——将要素分成区域，不
根据经验和对话建立可达矩阵，解析结构模型；
应用ISM讨论和确定我国总人口增长的影响因素；
通过模型中各因素分析，为制定有关人口政策、
控制人口等政策提供依据。
经ISM小组讨论后，认为主要影响因素有11个，并经多