数控机床插补运算
数控技术(插补)
xi +1 = xi + 1 yi +1 = yi Fi +1 = xe y i −( xi + 1) ye = ( xe yi − xi ye ) − ye
于是有 Fi+1 = Fi －Ye
E(xe,ye) Pi(Xi,Yi) Pi+1(Xi+1,Yi+1)
0
x
第三章轮廓加工的数学基础
为了逼近曲线的相对位置沿 2）.若Fi<0为了逼近曲线的相对位置沿+y向走 为了逼近曲线的相对位置 一步即 y
y E(xe,ye)
0
x
设动点pi ( xi , yi )的Fi 值为
为便于计算机编程计算, 为便于计算机编程计算,
Fi = xe yi − xi ye
y
的计算予以简化。 将F的计算予以简化。 的计算予以简化 为了逼近曲线的相对位置沿 向走一步 向走一步， 1）.若Fi>0为了逼近曲线的相对位置沿+x向走一步，即 为了逼近曲线的相对位置
第三章轮廓加工的数学基础
3.1.1直线插补原理 3.1.1直线插补原理 1.偏差函数 1.偏差函数
如图所示， 如图所示，设规定轨迹为 直线段OE，起点在原点，终 起点在原点， 点E的坐标A(XeYe) , Pi(xi, yi)为加工点 。
Y
E ( Xe,Ye)
Pi(xi,yi) 0 x
则下式成立。 （1）.若P正好处在 OE 上,则下式成立。
3
F<0 ∆Y F=F+5 5
F计算 计算 -3 终点判别(n-1→n) → 终点判别 7 ≠0 6 ≠0 5 ≠0 4 ≠0 3 ≠0
0
Pi(xi,yi)
数控机床装置的插补原理
▪ ④终点判别：
▪ 可采用二种方法，一是每走一步判断最大坐标的终点坐标 值（绝对值）与该坐标累计步数坐标值之差是否为零，若 等于零，插补结束。二是把每个程序段中的总步数求出来， 即N=Xe+Ye，每走一步，进行N-1，直到N=0时为止。因 而直线插补方法可归纳为：
▪ 当F0时，沿+X方向走一步，然后计算新的偏差和终点判 别计算
▪ ｃ：只设置一个计数器J，存入两坐标方向的进 给总步数之和，无论X还是Y进了一步，J就减1， 直至J=0，表示达到终点。
▪ ｄ：设置一个长度计数器J，存入某个选定计数 方向的计数长度，加工时，该方向每进一步，J 就减去1，直至J=0，表示达到终点。
▪ 加工直线时，计数方向的选取原则是：取终点坐 标值较大（即进给距离较大）的坐标方向作为计 数方向。
▪ 其中（Xｉ，Yｉ）为第一象限内任一点坐标， Y
▪ 根据动点所在区域不同，有下列三种情况：
▪
F>0
动点在圆弧外
▪
F=0
动点在圆弧上
▪
F<0
动点在圆弧内
X
▪ 设圆弧上任点坐标为（X，Y），则下式成
立：
( x 2 y 2 ) ( xo2 yo2 ) 0
选择判别函数F为
F ( xi2 yi2 ) ( xo2 yo2 )
其中（Xｉ，Yｉ）为第一象限内任一点坐标，
根据动点所在区域不同，有下列三种情况：
F>0
动点在圆弧外
F=0
动点在圆弧上
F<0
动点在圆弧内
我们把F〉0和F=0合并在一起考虑，按下述原则，就可以实现第一象限逆时针方
▪ F（x，y）>0，点在曲线上方；
▪ F（x，y）=0，点在曲线上；
数控机床的工作原理
终点判别 N=12
N=12-1=11 N=12-2=10 N=12-3=9 N=12-4=8 N=12-5=7 N=12-6=6 N=12-7=5 N=12-8=4 N=12-9=3 N=12-10=2 N=12-11=1 N=12-12=0
圆弧插补的象限处理
四个象限圆弧插补进给方向和偏差计算
其他象限的圆弧插补以|Xi|和|Yi|代替Xi和Yi。
－X
F2,2＝F2,1＋|Xe|＝2 F3,2＝F2,2－|Ye|＝-1
n=3+1=4<N n=4+1=5<N
6
F3,2＝-
+Y
1<0
F3,3＝F3,2＋|Xe|＝3
n=5+1=6<N
2. 逐点比较法圆弧插补
如右图所示逆圆弧AE，C、D、B点分别在圆弧的外、
内部和圆弧上。
C点在圆弧的外部，则有
y
(X
+ΔX -ΔX -ΔX
Fi1 Fi 2Yi 1 Yi1 Yi 1
+ΔY -ΔY +ΔY
NR3（逆）
+ΔX
-ΔY
圆弧插补举例
用逐点比较法加工第二象限顺圆弧AB，起点为A （-5，0），终点为B（-3，4）
序
偏差判别
进
号
给
偏差计算
终点判别
0
F5,0＝0
N=6
1
F5,0＝0
+X
2
F4,0＝-9<0
N=6-1=5 N=6-2=4 N=6-3=3 N=6-4=2 N=6-5=1 N=6-6=0
A（－4,3）
插补轨迹
y
y B（－3,4）
数控机床逐点比较法圆弧插补
第一象限逆圆弧为例，讨论圆弧的插补方法。
如图8-4 所示，设要加工圆弧为第一象限逆圆弧AB ，原点为圆心O ，起点为A （xo ，y 0），终点为B （x e ，y e ）半径R ，瞬时加工点为P （x i ,y i ），点P 到圆心距离为Rp<0+△y>0-△x <0+△x <0+△y>0-△x<0-△y <0-△y>0+△x yx图8-2 第一象限直线插补轨迹图 图 8-3第一象限直线插补程序框图图12345X123YF>0p(xi,yi)A(Xi,Yi)F<0开始初始化Xe ，Y e ，JF≥0?+x 走一步F←F -Y e F←F -X e-y 走一步YNJ ←J-1J =0？Y结束若点P 在圆弧内则，则有x i2+y j2=R2p<R2即x i2+y j2-R2 < 0显然，若令F i,j= x i2+y j2-R2（8-4）图8-4 逆圆弧插补则有：（1）F i,j= F i,j=0, 则点P在圆弧上（2）F i,j >0则点P在圆弧外则（3）F i,j<0则点P在圆弧不则常将8-4称为圆弧插补偏差判别式。
当F i,j≥时，为逼近圆弧，应向-x方向进给一步；当F i,j<0时，应向+y 方向走一步。
这样就可以获得逼近圆弧的折线图。
与直线插补偏差计算相似，圆弧插补的偏差的计算也采用递推的方法以简化计算。
若加工点P（x i，y i）在圆弧外或者圆弧上，则有：F i,j=x i2+y j2-R2≥0 为逼近该圆沿-x方向进给一步，移动到新加工点P（x i=1,y i），此时新加工点的坐标值为x i+1=x i-1，y i=y i新加工点的偏差为：F i+1,j=（x i-1）2+y i2-R2=x i2-2x i+1+ y i2-R2= x i2+ y i2-R2+1即F i+1,j= F i,j-2x i+1 （8-5）若加工P（x i，y i）在圆弧内，则有F i,j=x i2+y j2-R2<0若逼近该圆需沿+y方向进给一步，移到新加工点P（x i，y i），此时新加工点的坐标值图8-5 第一象限圆弧插补程序框图为新加工点的偏为：F i,j+1=x i2+（y i+1）2-R2=x i2+ y i2+1 -R2= x i2+ y i2-R2+1+2y iF i,j+1= F i,j-2y i+1 （8-6）从（8-5）和式（8-6）两式可知，递推偏差计算仅为加法（或者减法）运算，大大降低了计算的复杂程度。
数控机床直线插补公式
数控机床直线插补公式数控机床直线插补是数控机床加工过程中最基本的插补方式之一。
它通过控制机床的各轴运动，使切削工具按照一定的轨迹进行直线运动，实现对工件的加工。
直线插补是数控机床实现高速、高精度加工的关键技术之一。
首先，直线插补的数学模型是线性插补方程。
设机床坐标系为Oxyz，工件坐标系为OXYz，设直线的起点为P1(x1, y1, z1)，终点为P2(x2, y2, z2)。
则直线插补方程可以表示为：x=x1+(x2-x1)*t；y=y1+(y2-y1)*t；z=z1+(z2-z1)*t，其中t为时间参数，取值范围为[0,1]。
通过控制t的变化，可以实现直线插补运动。
其次，直线插补的速度规划是实现高速加工的关键。
直线插补过程中，速度的规划要考虑到工件形状、机床的动态特性和加工精度要求等因素。
一般来说，直线插补速度规划可以分为两个阶段：加速段和匀速段。
加速段的目的是使机床迅速加速到设定的速度，而匀速段则是保持恒定的速度进行加工。
速度规划的目标是使机床在考虑动态特性和加工精度要求的前提下，尽可能地提高加工效率。
同时，直线插补的误差补偿是保证加工精度的关键。
由于机床本身的误差和外部环境的影响，直线插补过程中会产生一定的误差。
为了保证加工精度，需要对误差进行补偿。
误差补偿一般分为两类：静态误差补偿和动态误差补偿。
静态误差补偿是在刀具轨迹上对误差进行修正，常用的方法有坐标误差补偿、用户自定义的曲线修正等；而动态误差补偿是通过改变刀具轨迹，使得误差在加工过程中得以消除，常用的方法有加速度预测和最优轨迹规划等。
最后，直线插补的应用范围非常广泛。
它适用于各种形状的工件加工，如直线、圆弧、椭圆等。
在汽车制造、航空航天、电子设备等行业中，直线插补广泛应用于零件的加工。
直线插补可以实现高速加工和高精度加工，大大提高了生产效率和产品质量。
总结起来，数控机床直线插补是实现高速、高精度加工的重要技术。
它通过控制机床轴的运动，使切削工具按照一定的轨迹进行直线运动，从而实现对工件的加工。
数控系统插补的方法和原理
数控系统插补的方法和原理数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间掌握点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的掌握速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置掌握软件的核心是插补。
插补的方法和原理许多，依据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲安排计算的基本单位，依据加工的精度选择，一般机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm 。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法掌握精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环掌握系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L 都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L 与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
图1 数据采样插补其次步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”工作。
这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
数据采样插补方法适用于闭环、半闭环的直流或沟通伺服电动机为驱动装置的位置采样掌握系统中。
数控机床其它插补方法介绍
时间分割插补法是典型的数据插补方法。
3、扩展DDA数据采样插补法
扩展DDA算法是在数字积分原理的基础上发展起来的。
课堂总结
1、数字积分插补法及直线插补算法；
2、数据采样插补法的相关知识。
15
5分
3、例题
设有一直线OA，起点为原点O，终点A坐标为（8，10），累加器和寄存器的位数为4位，其最大容量为24=16。试用数字积分法进行插补计算并画出走步轨迹图。
4、习题
（1）设有一直线OA，起点为原点O，终点A坐标为（7，11），累加器和寄存器的位数为4位，其最大容量为24=16。试用数字积分法进行插补计算并画出走步轨迹图。
设加工第一象限逆圆AB，已知起点A（8，0），终点B（0，8）。试进行插补计算并画出走步轨迹图。
讲授新课
一、数字积分插补法
主要采用图解法、讨论法、引导法和演示法。
1、概述
数字积分法又称数字微分分析法（DDA），是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补法。
数字积分法具有运算速度快、脉冲分配均匀、易实现多坐标联动等优点。
学生练习习题，巩固所学的知识
6分
10分Biblioteka 8分20分教与学互动设计
教师活动内容
学生活动内容
时间
6、例题
设加工第一象限逆圆弧，其圆心在圆点，起点A坐标为（6，0），终点B（0，6），累加器为三位，试用数字积分法插补计算，并画出走步轨迹图。
二、数据采样插补法
主要采用讲解法、引导法和归纳法。
1、概述
数据采样插补用小段直线来逼近给定轨迹，插补输出的是下一个插补周期内各轴要运动的距离，不需要每走一个脉冲当量插补一次，可达到很高的进给速度。
教案
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
什么是插补
什么是插补一、插补的概念在数控机床中，刀具不能严格地按照要求加工的曲线运动，只能用折线轨迹逼近所要加工的曲线。
插补（interpolation）定义：机床数控系统依照一定方法确定刀具运动轨迹的过程。
也可以说，已知曲线上的某些数据，按照某种算法计算已知点之间的中间点的方法，也称为“数据点的密化”。
数控装置向各坐标提供相互协调的进给脉冲，伺服系统根据进给脉冲驱动机床各坐标轴运动。
数控装置的关键问题：根据控制指令和数据进行脉冲数目分配的运算（即插补计算），产生机床各坐标的进给脉冲。
插补计算就是数控装置根据输入的基本数据，通过计算，把工件轮廓的形状描述出来，边计算边根据计算结果向各坐标发出进给脉冲，对应每个脉冲，机床在响应的坐标方向上移动一个脉冲当量的距离，从而将工件加工出所需要轮廓的形状。
插补的实质：在一个线段的起点和终点之间进行数据点的密化。
插补工作可由硬件逻辑电路或执行软件程序来完成，在CNC系统中，插补工作一般由软件完成，软件插补结构简单、灵活易变、可靠性好。
二、插补方法的分类目前普遍应用的两类插补方法为基准脉冲插补和数据采样插补。
1.基准脉冲插补（行程标量插补或脉冲增量插补）特点：每次插补结束，数控装置向每个运动坐标输出基准脉冲序列，每插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
每个脉冲代表了最小位移，脉冲序列的频率代表了坐标运动速度，而脉冲的数量表示移动量。
每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位，也叫脉冲当量，脉冲当量是脉冲分配的基本单位。
该方法仅适用于一些中等精度或中等速度要求的计算机数控系统主要的脉冲增量插补方法：数字脉冲乘法器插补法逐点比较法数字积分法矢量判别法比较积分法最小偏差法目标点跟踪法单步追踪法直接函数法加密判别和双判别插补法2. 数字采样插补（数据增量插补）数据采样插补又称时间增量插补，这类算法插补结果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。
根据程编进给速度，把轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小直线段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出，以控制伺服系统实现坐标轴的进给。
数控技术 第三章 插补
3.逐点比较法圆弧插补 3.逐点比较法圆弧插补
（1）偏差函数 任意加工点P ），偏差函数 偏差函数F 任意加工点Pi（Xi，Yi），偏差函数Fi可表示为
Fi = X i2 + Yi 2 − R 2
=0，表示加工点位于圆上； 若Fi=0，表示加工点位于圆上； Y >0，表示加工点位于圆外； 若Fi>0，表示加工点位于圆外； <0， 若Fi<0，表示加工点位于圆内
Y Ae (Xe,Ye) F>0 Pi (Xi,Yi) F<0 X
为便于计算机计算) （2）偏差函数字的递推计算 (为便于计算机计算 为便于计算机计算 >=0，规定向+ 方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示） 若Fi>=0，规定向+X方向走一步（若坐标单位用脉冲当量表示）
Xi+1 = Xi +1 Fi+1 = XeYi −Ye (Xi +1) = Fi −Ye
2.逐点比较法直线插补 2.逐点比较法直线插补
（1）偏差函数构造 对于第一象限直线OA上任一点( OA上任一点 对于第一象限直线OA上任一点(X,Y) YX e − XYe = 0 若刀具加工点为Pi（ ），则该点的偏差 若刀具加工点为Pi（Xi，Yi），则该点的偏差 Pi 函数F 函数Fi可表示为 Fi = Yi X e − X i Ye 若Fi=0，表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上； 表示加工点位于直线上方； 若Fi>0，表示加工点位于直线上方； 表示加工点位于直线下方。 若Fi<0，表示加工点位于直线下方。
F=0 F<0 F>0 F<0 F>0 F=0 F<0 F>0 F<0 F>0
机电系统实验-数控系统的插补实验
实验三数控系统的插补实验一、实验目的了解数控系统直线插补和圆弧插补的原理及其实现方法，通过插补算法的可视化，加深对常用插补算法的了解。
应用标准G代码编程实现直线插补和圆弧插补，掌握标准G代码的直线插补和圆弧插补编程方法。
二、实验要求1.掌握数控机床插补原理。
2.掌握数控机床直线和圆弧插补。
三、实验原理1.基本概念机床数字控制的核心问题之一，就是如何控制刀具与工件的相对运动。
加工平面直线或曲线需要两个坐标轴联动，对于空间曲线或曲面则需要三个或三个以上坐标轴联动，才能走出其轨迹。
插补(interpolation)的实质上是决定联动过程中各坐标轴的运动顺序、位移、方向和速度。
具体来说，插补方法是指在轮廓控制系统中，根据给定的进给速度和轮廓线形的要求，在已知数据点之间插入中间点。
每种方法又可能用不同的计算方法来实现，具体的计算方法称之为插补算法。
插补的实质就是数据点的密化。
数控系统中完成插补工作的装置叫插补器。
根据插补器的不同结构，可分为硬件插补器和软件插补器两大类。
硬件插补器由专用集成电路组成，它的特点是运算速度快，但灵活性差:软件插补器利用微处理器通过系统程序完成各种插补功能，这种插补器的特点是灵活易变，但速度较慢。
随着微处理器运算速度和存储容量的提高，现代数控系统大多采用软件插补或软、硬件插补相结合的方法。
2.插补算法按数学模型来分，有一次(直线)插补，二次(圆、抛物线等)插补及高次曲线插补等，大多数控机床都具有直线插补和圆弧插补。
根据插补所采用的原理和计算方法的不同，有许多插补方法，目前应用较多的插补方法分为脉冲增量插补和数字增量插补两类。
脉冲增量插补又称为基准脉冲插补，适用于以步进电动机驱动的开环数控系统中。
在控制过程中通过不断向各坐标轴驱动电机发出互相协调的进给脉冲，每个脉冲通过步进电动机驱动装置使步进电动机转过一个固定的角度(称为步距角)，并使机床工作台产生相应的位移。
该位移称为脉冲当量，是最小指令位移。
插补技术在数控系统中的应用
插补技术的发展趋势和未来展 望
插补技术的发展趋势
智能化：插补技术将更加智能化，能够自动识别和适应不同的加工环境和需求。 高速化：插补技术将更加高速化，能够满足高速加工的需求。 集成化：插补技术将更加集成化，能够与其他数控系统更好地集成和配合。 网络化：插补技术将更加网络化，能够实现远程控制和监控。
未来插补技术的应用场景和展望
工业自动 化：提高 生产效率， 降低成本
医疗领域： 辅助手术， 提高手术 精度
航空航天： 提高飞行 器控制精 度，降低 能耗
智能交通： 提高交通 效率，降 低交通事 故率
智能家居： 提高生活 便利性， 提高生活 质量
虚拟现实： 提高用户 体验，增 强沉浸感
THANK YOU
插补技术在数控系统中的应用
汇报人：
单击输入目录标题 插补技术的定义和作用 插补技术的分类
插补技术在数控系统中的应用实例
插补技术的优缺点及改进方向 插补技术的发展趋势和未来展望
添加章节标题
插补技术的定义和作用
插补技术的定义
插补技术是一种在数控系统中用于生成刀具运动轨迹的方法
插补技术的目的是通过计算刀具的运动轨迹，实现对工件的精确加工
降低加工成本： 插补技术可以减 少刀具磨损，降 低加工成本。
提高加工灵活性： 插补技术可以适应 不同的加工需求， 提高加工灵活性。
插补技术的分类
直线插补
概念：在数控系统中，直线插补是一种将直线运动转换为一系列离散点的方法 应用：广泛应用于数控机床、机器人等设备中 特点：速度快、精度高、稳定性好 技术：包括脉冲增量插补、数据采样插补等
插补技术的核心是控制刀具的运动速度和方向，以实现对工件的精确加工 插补技术在数控系统中的应用广泛，包括直线插补、圆弧插补、螺旋线插 补等
机床数控系统插补算法
02
插补算法的基本概念
插补算法的定义与分类
插补算法定义
机床数控系统插补算法是一种用于控制机床运动轨迹的方法，通过在多个离散 点之间进行插补，将机床运动轨迹平滑地连接起来。
插补算法分类
根据插补原理的不同，插补算法可以分为直线插补和圆弧插补。直线插补是用 于连接两点之间的直线轨迹，而圆弧插补则是用于连接两点之间的圆弧轨迹。
应用案例二
总结词
在复杂曲面加工中，样条插补算法可以提高加工精度和表面质量。
详细描述
样条插补算法是一种基于数学函数的插补方法，可以用于复杂曲面加工。通过样条插补 算法，可以将复杂的曲面拆分成多个小段，并对每个小段进行插补，从而提高加工精度
和表面质量。
应用案例三：高精度测量中的插补算法应用
总结词
在高精度测量中，插补算法可以提高测量精 度和效率。
在数控系统插补算法中，可以将每个 插补点看作是一个粒子，通过粒子的 速度和位置更新来寻找到最优的插补 路径。
基于模拟退火算法的优化方法
模拟退火算法是一种基于热力学原理的优化算 法，通过模拟物质退火过程来寻找最优解。
在数控系统插补算法中，可以采用模拟退火算 法对插补路径进行优化，以减少加工时间和提 高加工精度。
机床数控系统的发展历程与趋势
发展历程
机床数控系统的发展经历了多个阶段，从早期的NC系统到现代的CNC系统，以及近年来出现的智能制造和物联 网技术，使得机床数控系统越来越智能化和网络化。
发展趋势
未来机床数控系统将朝着更高精度、更高效率、更智能化、更网络化、更环保的方向发展。同时，随着工业4.0 和智能制造的推进，机床数控系统的未来将更加注重生产过程的连续性、自动化和智能化。
确定圆弧的起点和终点，以及可能的插补点。
数控插补
运动轨迹的插补原理
三、逐点比较法
逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法。
原理：被控制对象在数控装置的控制下，按要求的轨
迹运动时，每走一步都要和规定的轨迹比较，根据 比较的结果决定下一步的移动方向。 逐点比较法可以实现直线和圆弧插补。 逐点比较法的应用对象主要在两坐标开环CNC系统 中应用。
(一) 原理
第1章 数控插补与刀补计算原理
学习目标
• 数控插补 • 刀补计算原理
1.1 数控插补 -- 运动轨迹的插补原理
1、运动轨迹插补的概念 在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点 坐标、终点坐标和曲线方程，如何使切削加 工运动沿着预定轨迹移动呢？
数控系统根据这些信息实时地计算出各个 中间点的坐标，通常把这个过程称为“插 补”。 插补实质上是根据有限的信息完成“数据 点的密化”工作。
1)判别函数及判别条件 • 若P点在圆弧上，则： • X2＋Y2=R2 • 若P点在圆弧外，则： • X2＋Y2>R2 • 若P点在圆弧内，则： • X2＋Y2<R2 定义F= X2＋Y2－R2为偏差函数， 则 可得到如下结论： • F=0 动点在圆弧上 • F> 0 动点在圆弧外 • F<0 动点在圆弧内
i=3<N
i=4<N i=5<N i=6<N i=7<N i=8=N 到达 终点
Y A(5,3) 8
5
4 3
6
7
2
O 1
X
逐点比较法直线插补轨迹
4、四个象限直线插补进给方向
以II象限为例，直线起点在原点O，
终点位于A（-Xe,Ye）。 设点P（-Xi，Yi）为任一动点。 F≥0时向-X轴进给， Xi+1= Xi +1 , Yi+1 = Yi Fi+1= XeYi – Xi+1Ye= XeYi – (Xi+1)Ye = XeYi – XiYe - Ye=Fi – Ye F<0时向+Y轴进给， Xi+1= Xi, Yi+1 = Yi +1 Fi+1= XeYi+1 – XiYe= Xe(Yi+1) – XiYe = XeYi – XiYe +Xe=Fi + Xe
数控机床插补计算
新点的偏差为
2．终点判别的方法
一种方法是设置两个减法计数器，在计数器中 分别存入终点坐标值,各坐标方向每进给一步时，就 在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都 减为零时，停止插补，到达终点。
另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中 存入两坐标进给的步数总和,当x或y坐标进给时均 减1，当减到零时，停止插补，到达终点。
四个象限圆弧插补计算
与直线插补相似，计算用 坐标的绝对值进行，进给方向 另做处理。从图看出SRl、NR2、 SR3、NR4的插补运动趋势都是 使X轴坐标绝对值增加、y轴坐 标绝对值减小。NRl、SR2、 NR3、SR4插补运动趋势都是使 X轴坐标绝对值减小、y轴坐标 绝对值增加。
(二)圆弧插补计算举例 设加工第一象限逆圆AB，已知起点A(4，0)，终 点B(o，4)。试进行插补计算并画出走步轨迹。
2.2.2 刀具半径补偿 1.刀具半径补偿概念
刀具半径补偿功能是指改变刀具中心运动轨迹的功能。如图 所示，用铣刀铣工件轮廓时，刀具中心应始终偏离工件表面一个 刀具半径的距离，编程人员则以工件的轮廓表面尺寸进行编程。 当刀具半径确定之后，可以将刀具半径的实测值输入刀具半 径补偿存储器，存储起来，加工时可根据需要用G41或G42进行调 用。G41和G42分别为左刀补和右刀补。如图所示。
2.2
刀具补偿原理
数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准的，但零件加 工是用刀尖点进行的，所以需要在刀架参考点和刀尖点之间进 行位置偏置（补偿）。
2.1.2
刀具长度补偿
以数控车床为例，P为刀尖，Q为刀架参考点，设刀尖圆 弧半径为零。利用测量装置测出刀尖点相对于刀架参考点的 坐标(xpq ,ypq )，存入刀补内存表中。 编程时以刀尖点P(XP,ZP) 来编程，刀架参考点坐标 Q(Xq,Zq）由下式求出 Xq＝XP－ xpq P(XP,ZP) xpq Q Zq＝ZP－ Zpq 刀具长度补偿由G43、G44及 zpq H代码指定。
数控技术第3章插补原理
数控技术第3章插补原理插补原理第三章插补原理插补原理§3.1一、基本概念概述插补(Interpolation):数控系统根据给定的进给速度和轮廓线形基本数据(直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终点坐标),在轮廓的已知点之间，运用一定的算法，形成一系列中间点坐标数据，从而自动的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹分析，以满足加工精度的要求。
插补原理插补是数控系统最重要的功能；插补实际是数据密集化的过程；插补必须是实时的；插补运算速度直接影响系统的控制速度；插补计算精度影响到整个数控系统的精度。
插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高次曲线插补器；根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件插补。
目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。
根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
插补原理脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线距离，称为脉冲当量，用δ表示。
一般0.01mm~0.001mm。
脉冲当量越小，则机床精度越高yA(xe,ye)ox插补原理二、插补方法分类 1.脉冲增量插补每次插补结束，在一个轴上仅产生单个的行程增量，以一个脉冲的方式输出给步进电动机，实现一个脉冲当量的位移。
进给速度与插补速度相关。
插补的实现方法简单，通常只用加法和移位即可完成插补，易用硬件实现，且运算速度快。
适用于以步进电动机为驱动装�Z的开环数控系统。
按插补运算方法，可分为逐点比较法和数字积分法等。
插补原理2.数字增量插补数控装�Z产生的是数字量，而不是单个脉冲。
插补程序以一定的周期定时进行，在每个周期内根据进给速度计算出坐标轴在下一个插补周期内的位移增量。
分为粗插补(用若干条微小直线段来逼近给定曲线)和精插补(在每一条微小直线段上进行数据的密化工作)。
插补运算速度与进给速度无严格的关系，可获得较高的进给速度插补算法复杂，对计算机有较高要求。
适用于以直流或交流伺服电动机为驱动的闭环或半闭环位�Z采样控制系统常用的数字增量插补有时间分割法和扩展数字积分法插补原理三、评价插补算法的指标稳定性指标：插补运算实际是一种叠代运算。
数控技术插补
开始
偏差判别
坐标进给
偏差计算
到达终点？
N
Y
结束
一、逐点比较法Ⅰ象限直线插补
位置偏差计算
Y
设有第一象限直线OE，起点O为坐标系原点， 终点为E（Xe，Ye），坐标系中各点坐标的单位 为脉冲当量数。
假设在直线OE附近有一个动点N（Xi，Yi），
则该点相对于轮廓OE的位置偏差，可以用轮廓终
点E的位矢和动点N的位矢与X轴的夹角正切差来
② 多个CPU的分布式处理方案 首先，将数控系统的全部功能划分为几个子功能模块，每个子功能模块 配置一个独立的CPU来完成其相应功能，然后通过系统软件来协调各个CPU之 间的工作。
③ 采用单台高性能微型计算机方案
第二节 逐点比较法 逐点比较法的基本原理 在刀具运动过程中，不断比较刀具与零件轮廓之间的相对位置，并根据 比较结果使刀具平行于坐标轴向减小偏差的方向进给。
表示。即
O
Yi Ye
Xi Xe
使用一个正数XeXi乘以该式，最后得
Fi XeYi XiYe
E（Xe，Ye） N（Xi，Yi） X
（3-1）
很显然，偏差值Fi的符号反映了动点N相对于直线OE的位置偏离情况。 ① Fi = 0 时，动点N在直线上； ② Fi ≻ 0 时，动点N在直线的上方区域； ③ Fi ≺ 0 时，动点N在直线的下方区域。
终点判别 ∑0 = 8 ∑0 = 7 ∑0 = 6 ∑0 = 5 ∑0 = 4 ∑0 = 3 ∑0 = 2 ∑0 = 1 ∑0 = 0
二、逐点比较法第Ⅰ象限逆圆弧插补
位置偏差计算 设有第一象限逆圆弧SE，圆弧起点为S(Xs,Ys), Y
圆弧终点为E(Xe,Ye),圆弧圆心在插补坐标系原点O，
圆弧插补运算
圆弧插补运算
圆弧插补运算是数控机床上常见的一种加工技术，它是通过控制
机床上的数控系统，使刀具按照一定的弧度和角度插入到工件上，完
成复杂形状的切削加工。
圆弧插补运算具有以下几个主要特点：
1. 高精度：由于运用了数控技术，可以对切削路径进行高精度和
高速的控制，避免了传统机床所产生的误差。
同时，本技术还可以无
缝拼接多段路径，保证了加工精度的连贯性。
2. 加工效率高：采用圆弧插补运算，不但能够保证高精度，同时
能够大幅降低加工时间和成本，提高加工效率。
3. 切削表面质量好：在运用圆弧插补技术的同时，还可以实现复
杂形状的切削，保证了加工品质和表面质量，提高了产品的使用寿命。
4. 适合各种形状的加工：圆弧插补技术可以实现对各种不规则曲
面和柔性结构的加工，难以用其他方法加工的的零部件也能够得到很
好的加工效果。
圆弧插补运算在实际生产中有着广泛的应用，除了广泛应用于汽车、机床、航空、模具等行业的加工中，还经常用于制造气动和液压
元件、船舶、军工等重要领域。
然而，圆弧插补运算技术也需要遵循一些注意事项：
1. 精度问题：运用圆弧插补技术需要对机床和控制器进行精密校准，保证加工的高精度。
2. 刀具选择：不同的材料需要选择不同的刀具，能够保证机床的切削效果达到最佳状态。
3. 程序设计：程序设计的优化能够提高加工的效率和精度，应该尽量减少机床的空行程。
圆弧插补运算技术能够提高机床的加工精度和效率，实现对不同形状工件的高精度加工，是当今制造业必不可少的生产工艺之一。
在未来，随着制造业的进一步发展，圆弧插补技术将会得到更加广泛和深入的应用。
数控机床的刀具插补算法与轨迹平滑优化
数控机床的刀具插补算法与轨迹平滑优化数控机床是现代制造业中不可或缺的设备之一。
它通过计算机控制来完成各种复杂的加工任务。
在数控机床的操作中，刀具插补算法和轨迹平滑优化是两个重要的方面。
本文将探讨这两个方面的原理和应用。
刀具插补算法是数控机床中的核心技术之一。
它负责根据加工轨迹和工艺要求，计算出刀具的运动轨迹和速度。
常见的刀具插补算法有直线插补、圆弧插补和螺旋线插补等。
直线插补是最简单的插补方式，通过计算两个点之间的直线距离和速度来确定刀具的运动轨迹。
圆弧插补则是通过计算刀具在两个点之间的圆弧路径来实现曲线加工。
螺旋线插补是一种特殊的插补方式，它通过计算刀具在空间中的螺旋路径来实现螺旋加工。
这些插补算法的实现需要考虑到加工的精度和效率，同时还要考虑到机床的动力学特性和刀具的限制条件。
除了刀具插补算法，轨迹平滑优化也是数控机床中的重要技术之一。
在刀具插补过程中，由于机床的动力学特性和刀具的限制条件，刀具的运动轨迹可能会出现不平滑的情况。
这不仅会影响加工的质量，还会增加机床的振动和噪音。
因此，轨迹平滑优化就显得尤为重要。
轨迹平滑优化的目标是通过调整刀具的运动轨迹和速度，使得刀具的运动更加平滑和稳定。
常见的轨迹平滑优化方法有B样条曲线拟合和加速度平滑控制等。
B样条曲线拟合是一种通过调整刀具的插补点来实现轨迹平滑的方法。
它通过在刀具插补点之间插入额外的控制点，使得刀具的运动轨迹更加平滑。
加速度平滑控制则是一种通过调整刀具的加速度和速度来实现轨迹平滑的方法。
它通过限制刀具的加速度和速度，使得刀具的运动更加平缓和稳定。
刀具插补算法和轨迹平滑优化在数控机床的应用中起着至关重要的作用。
它们不仅可以提高加工的效率和质量，还可以减少机床的振动和噪音。
在实际应用中，我们还可以根据具体的加工要求和机床的特性来选择合适的插补算法和轨迹平滑优化方法。
同时，我们还可以结合机器学习和人工智能等技术来进一步优化刀具插补算法和轨迹平滑优化方法，以满足不断变化的加工需求。
数控技术数控机床的插补原理直线插补与圆弧插补计算原理
（三）、插补方法的种类与特点
插补器： 插补是数控系统必备功能， NC中由硬件完成，
CNC中由软件实现，两者原理相同。
硬件 通过硬件逻辑电路 插补速度快 插补器 来实现插补
软件 利用CNC系统的微 插补器 处理器执行相应的
插补程序来实现
结构简单、灵活易变、可
靠性好，大部分CNC系统 采用了软件插补方式
偏差判别函数：Fm = ymxe-xmye
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
终点比较：
判别是否到达终点，若到达终点就结束该插 补运算；如未到达再重复上述的循环步骤。
方法一 方法二
用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计 数器进行减 1计算，直到计数器为零 时，便到达终点。
用通常根据刀具沿X、Y两轴所走的 总步数m来判断直线是否加工完毕， 总步数为：N=|xA|+|yA|
部分高档CNC：软件插补实现粗插补，硬件插补实现精插补
（三）、插补方法的种类与特点
插补分类：（插补采用的原理和计算方法）
基准脉冲插补：(又称为行程标量插补或脉冲增量插补) 每次插补结束，向每个运动坐标输出基准脉冲序列。 脉冲序列的频率代表了运动速度，而脉冲的数量表示 移动量。
①逐点比较法；②数字积分法；③数字脉冲乘法器插补法；④矢 量判别法；⑤比较积分法；⑥最小偏差法；⑦目标点跟踪法；⑧ 单步追踪法；⑨直接函数法。
Fm Fm
（五）逐点比较法直线插补
2. 算法分析（第Ⅰ象限）
新偏差计算：
每走一步到达新的坐标点，按偏差公 式计算新的偏差
+△x进给 +△y进给
xm+1 = xm+1, ym+1 =ym Fm+1=ym+1xe-xm+1ye=ymxe-(xm+1)ye=Fm-ye
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3.泰勒展开的NURBS曲线插补及实现
数控机床的插补运算
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式中:
(ｉ=0,1,…,ｎ)为权因子,分别与控制顶点 (ｉ=1,2,…,ｎ)相联系;
是由节点矢量Ｕ=[
]。按德布尔-考克斯递推公式决定的ｋ次规范
Ｂ样条基函数。递推公式为:
2.插补的预处理 插补就是求出每个周期下一个插补点的坐标,用递推算法最为合理,为避免每步 插补的重复递推,以免影响插补的实时性,经典的DeBoor递推算法的显示表示方 法最为合适。在不影响精度的情况下,为避免繁琐的计算,采用三次NURBS曲线。 义 NURBS插补 曲面插补 高速高精度采样插补技术 数控技术的发展趋势
数控技术发展历程 从1952年诞生世界上第一台数控铣床开始到现在,数控技术的发 展大致经历了两个阶段和六个时代。
1、NC阶段： 随着电子器件的发展,NC阶段的数控系统经历了三个时代: 第一代数控:1952一1959年采用电子管构成数控系统。第二代数控:从1959 年开始采用晶体管构成数控系统。第三代数控:从1965年开始采用小、中规 模的集成电路。以上所述的三代数控系统,机床的各项功能控制,都是由硬 件逻辑完成的,因此称它们为“硬线”数控(亦即NC)。NC一经设计之后,就 无法进行更改,而且电路复杂,难于编程,限制了其进一步的发展和应用。
插补在数控技术中的重大作用
插补控制功能是数控制造系统的一个重要组成部分，是数控技术中的 核心技术。它的性能直接代表制造系统的先进程度，它的好坏直接影 响着数控加工技术的优劣，是目前数控技术急需提高和完善的环节之 一。
插补的含义 插补，就是根据零件轮廓的几何形状、几何尺寸以及轮廓加工的精度 要求和工艺要求，在零件轮廓的起点和终点之间插入一系列中间点 （折线端点）的过程，即所谓“数据点的密化过程”，其对应的算法 称为插补算法。
与直线插补对比NURBS插补的优点
由于插补周期非常小,每个周期内刀具走过的距离也非常小,可近似认 为其与该圆弧段的弧长相等,则瞬时速度 V（t）近似为机床进给速度。
4.算法的实现 根据数据采样插补法,实时插补的任务是根据给定的进给速度产生插 补直线,用以逼近实际曲线,求得各坐标轴的进给增量。计算公式为:
其中 为进给步长,由于CNC系统的插补周期已知,为Ｔ实时插补 当前的速度为 ,则当前插补周期的无约束进给步长为:
NURBS曲线插补算法将定义NURBS曲线的三个参数(控制顶点、权 因子、节点矢量)和进给速度等作为NC程序指令,在CNC系统内部生 成NURBS曲线,驱动机床动作,加工出NURBS曲线的形状,即为NURBS 曲线插补。在参数空间中,曲线轨迹参数ｕ的插补计算可由二阶泰 勒级数表示:
其中:
插补周期
根据微分几何知识,曲线上第ｉ个插补点的瞬时速度为
机床运动
高速高精度采 样插补技术
大幅度提高采样插补频率 有实效地提高系统分辨率
NURBS插补
NURBS 曲线由以下三个参数定义： l )控制顶点确定曲线的位置，通常不在曲线上。 2 )权因子w ，确定控制点的权值，它相当于控制点的“引力”，其值 越大曲线就越接近控制点。 3 )节点矢量NURBS 曲线随着参数的变化而变化，与控制顶点相对应的 参数化点，称为节点，节点的集合称为节点矢量。
2、CNC阶段 1970年,在美国芝加哥机床的博览会上,展出了由小型计算机为核心的计算 机数控系统(CNC),标志着数控系统进入了以计算机为主体的第四代。 1974年,出现了以微处理器为基础的CNC,象征着数控系统进入第五代。 1977年,美国麦道飞机公司推出了多处理器的分布式CNC系统,使CNC进入第 六代。其特征是大规模集成电路,大容量高可靠的磁泡存储器的应用,可编 程接口和为FMS用的遥控接口,控制功能更为完备,基本上完成了标准型单机 系统的开发。
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若将定义NURBS 曲线的三个参数(控制点、权值、节点矢量)作为NC 程序指 令的一部分，让CNC 在内部计算并生成NURBS 曲线，并按照该NURBS 曲线 醚动机床动作，加工出NURBS 曲线的形状，这就是NURBS 插补。
NURBS曲线理论
1.NURBS曲线插补的数学模型 一条ｋ次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数:
NURBS插补
定义NURBS 曲线的三个参数 (控制点、权值、节点矢量)作 为NC 程序指令的一部分，让
CNC 在内部计算并生成 NURBS 曲线，并按照该 NURBS 曲线醚动机床动作， 加工出NURBS 曲线的形状
插补 分类
曲面插补
将曲面加工的复杂刀具运动轨 迹产生功能集成到CNC中，由 CNC直接根据待加工曲面的几 何信息和工艺参数实时地完成 连续刀具轨迹插补，以此控制