应用函数的凹凸性解高考数学题

应用函数的凹凸性解高考数学题

摘要：函数凹凸性问题在近几年高考试卷中屡见不鲜。但笔者通过平时的教学及高考后学生对这方面问题的反馈中发现大部分学生对此类问题缺乏应变能力，本文通过探讨函数凹凸性定义及几何特征入手，结合具体案例，研究凹凸性问题的一般解法，以期在今后复习过程中，提高针对性和时效性，同时，培养学生探讨创新能力，鼓励学生进行研究性学习，提高学生的数学素养。

关键词：函数凹凸性问题探究

问题导入：2006年高考重庆卷（9）理，如图，单位圆中弧AB x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是（）

A B

C D

图1 图2

函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。

一、凹凸函数定义及几何特征

1、引出凹凸函数的定义：

如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与

)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。

2、凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：

设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：

（1）1212()()(

)22

x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 3、凹凸函数的几何特征：

几何特征1（形状特征）

图4（凹函数） 图5（凸函数）

如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122

x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方;

凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

简记为：形状凹下凸上。

几何特征2（切线斜率特征）

图6（凹函数） 图7（凸函数）

设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：

凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大；

凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小；

简记为：斜率凹增凸减。

几何特征3（导函数特征）

根据几何意义可知，切线的斜率随X 的增大而增大，意味着导函数也为增函数，

切线的斜率随X 的增大而减小，意味着导函数也为减函数

简记，导函数凹增凸减。

几何特征4（增量特征）

图8（凹函数） 图9（凸函数）

图10（凹函数） 图11（凸函数）

设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图

10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）

凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；

凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；

简记为：增量凹大凸小。

弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了

地解决有关凹凸的曲线问题．

二、函数凹凸性的应用

1 、凹凸曲线问题的求法

下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．

我们先来解决篇头提出的问题：

解：易得弓形AxB 的面积的2倍为f(x)=ｘ-sin ｘ．

方法一：增量分析法：由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sin ｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D ．

方法二：导数分析法：易得Cosx x f -=1)(' 当)('],0[x ，f x 时π∈单调递增，对应图像在[0，π]为凹函数，同理，当)(]2,[x ，f x 时ππ∈为凸函数，选D 。

下面再通过一些具体案例分析这类问题解法：

问题1：（2008福建卷 理12）

已知函数)(),(x g y x f y ==的导函数的图象如下图，那么)(),(x g y x f y ==的图象

可能是 （ ）

A B C D

图12 图13

解法：导函数分析法：由于)('x g y =单调递增，)('x f y =单调递减，故对应的)(x g y =和)(x f y =必为凹函数和凸函数，B 、D 符合，又知，)(')('00x g x f =过在点0x 处切线必平等，选（D ）

问题2： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（ ）．