最新人教版高一数学必修1第一章《分段函数》教案

示范教案
整体设计
教学分析
本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学．
三维目标
掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识．
重点难点
教学重点：分段函数的含义及应用． 教学难点：理解分段函数的含义． 课时安排 1课时
教学过程 导入新课
思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越来越多，设行驶路程为x km ，费用为y 元，请结合当地实际，判断y 是否为x 的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题．
思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题．
推进新课 新知探究 提出问题
1已知变量x ，y 满足下列等式，y 是x 的函数吗？
①|y|＝x ；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x>3，2，x≤2；③y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ x ，x≥0，－x ，x<0.2
函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x>3，2，x≤2与函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x≥0，
－x ，x<0有什么特点？
3请指出2中两个分段函数的定义域.
讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y 是x 的函数．
(2)在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．
(3)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x>3，
2，x≤2的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)．
函数y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ，x≥0，－x ，x<0的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R .
由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集．
应用示例
思路1
例1已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x ∈[0,1]时，对应法则为y ＝x ，当x ∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．
解：已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，x ∈[0，1]，
2－x ，x ∈1，2]，
用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图所示．
点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.
变式训练
已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如下图所示，求f(x)的解析式．
解：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：
当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；
当0＜x≤2时，f(x)＝－x
2，
则有f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1， －1≤x≤0，－12
x ， 0<x≤2.
2在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 不超过40 g
付邮资160分，超过40 g 不超过60 g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．
解：设每封信的邮资为y ，则y 是信封重量x 的函数．这个函数关系的表达式为：
f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
80，x ∈0，20]160，x ∈20，40]240，x ∈
40，60]320，x ∈60，80]
400，x ∈
80，100]
函数的值域为{80,160,240,320,400}．
根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数的图象如上图所示． 点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f 1x ，f 2x ，
…，
x ∈D 1，x ∈D 2，…
(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：
(1)画整个函数y ＝f 1(x)的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要；
(2)画整个函数y ＝f 2(x)的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要；
(3)依次画下去；
例1请画出下面函数的图象：y ＝|x|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ，
－x ，
x≥0，x<0.
活动：学生思考函数图象的画法：①一次函数是基本初等函数，其图象是直线，可直接
画出；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．
解法一：函数y ＝|x|的图象如下图所示．
解法二：画函数y＝x的图象，将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方，与函数y＝x 的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y＝|x|的图象(如上图所示).
例2某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如下图．用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．
解：速度是时间的函数，解析式为 v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，
－3t ＋90，
t ∈[0，5，t ∈[5，10，t ∈[10，20，
t ∈[20，30].
变式训练
若定义运算a ⊙b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧ b ，
a ，
a≥b ，a<b ，
则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域是________．
解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧ x ，
2－x ，
x≤1，x>1.
画函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
知能训练
1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x>0，0，x ＝0，
－1，x<0
的定义域是( )
A ．R
B ．{0}
C ．∅
D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案：A
2．函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，x≥0，
－2，x<0的值域是( )
A ．{2}
B ．{2，－2}
C ．{－2}
D ．R
答案：B
3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x －1|－2，|x|≤1，11＋x 2，|x|>1，则f[f(1
2)]＝________.
解析：f(12)＝|12－1|－2＝－32，∴f[f(12)]＝f(－32)＝11＋
94＝4
13
.
答案：
413
4．画函数y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＋1
2，
－x ，
x≤0，x>0
的图象．
步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部
分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如下图所示．
5．求函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2，x>2，1x ，x<0的值域．
答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)．
拓展提升
已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1x ，x>1，
x 2－x ，x<－2，求f(2x ＋1)．
解：当2x ＋1＞1，即x ＞0时，f(2x ＋1)＝1＋1
2x ＋1
，
当2x ＋1＜－2，即x ＜－3
2
时，f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝4x 2＋2x ，
由此可得f(2x ＋1)＝⎩⎨⎧
1＋1
2x ＋1，x>0，
4x 2
＋2x ，x<－3
2
.
课堂小结
本节课学习了分段函数，讨论分段函数的图象与性质．特别指出的是分段函数不是几个
函数，而是一个函数．
作业
课本本节练习B 1、2
设计感想 在本节的教学设计中，注重引导学生学会探究．所涉及到的题目比较全面且难度较小，但是能较好地考查学生的思维能力，教师在实际上课中，可根据学生实际，选择应用．
(设计者：张新军)。