基本不等式的实际应用PPT教学课件

合集下载

不等式基本不等式实际应用ppt

柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两条平行线上的线段长度来证明
不等式。

基本不等式的应用(课件)

求证给定数字之和的平均值大于等于这些数字的算术平均值
1
数学推理
通过使用基本不等式和数学推理，可以证明给定数字之和的平均值大于等于这些数字的算术平均值。
2
数学不等式
根据基本不等式的定义，可以得到相应的数学不等式。
3
举例论证
通过例证法和具体数字的应用，可以说明这一结论的正确性。
证明乘积最大化
1 数学推理
通过几何解释和图形表示，可以更直
观地理举例，可以说明面积最大化在解决实际问题中的重要性。
求证余弦定理
数学证明
通过使用基本不等式和三角函数性质，可以证明余弦定理。
几何解释
通过几何解释和图形表示，可以更直观地理解余弦定理。
实际应用
通过实际应用案例，可以说明余弦定理在解决实际问题中的重要性。
1
数学归纳法
2
采用数学归纳法可以证明基本不等式
在所有情况下均成立。
3
数学推理
通过使用数学运算和逻辑推理，可以证明基本不等式的正确性。
例证法
通过举例证明基本不等式对于特定数值的成立。
如何使用基本不等式
求解数列极值
通过应用基本不等式，可以找到数列中的最大值或最小值。
求证数列单调性
利用基本不等式，可以证明数列的单调递增或单调递减。
通过使用基本不等式和数学推理，可以证明乘积的最大化问题。
2 应用案例
3 几何解释
通过实际应用案例，可以说明乘积最大化在解决实际问题中的重要性。
通过几何解释和图形表示，可以更直观地理解乘积最大化。
证明三角形的面积最大化
1
推理过程
通过使用基本不等式和几何知识，可

《基本不等式的应用》课件教学课件

03
基本不等式的扩展和应用
基本不等式的扩展
推广到多元形式
基本不等式可以推广到多元形式，例如对于$n$个变量，可以使用平均值不等式来获得更一般的不等式形式。
积分形式
基本不等式还可以通过积分的形式来表达，例如对于某个函数$f(x)$，其积分形式为$\int_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。பைடு நூலகம்
基本不等式的性质
传递性
若$a \geq b$和$b \geq c$，则$a \geq c$。
对称性
对于任意实数x，y，有$(x+y)/2 \geq \sqrt{xy} \Leftrightarrow (y+x)/2 \geq \sqrt{yx}$。
基本不等式的证明方法
利用导数证明
对于任意实数x，y，当且仅当$x=y$时，等式$(x+y)/2 = \sqrt{xy}$成立。
THANKS
谢谢您的观看
基本不等式的应用实例
投资组合优化
在金融学中，投资组合优化是一个重要的问题，基本不等式可以应用于求解最优投资组合的权重分配。例如，假设有$n$种风险资产和一种无风险资产，其收益率分别为$r_1, \cdots, r_n$，则可以通过基本不等式来求解最优投资组合的权重分配。
资源分配问题
在生产计划中，经常需要将有限的资源分配给不同的产品或部门，以获得最大的总收益。基本不等式可以应用于求解最优资源分配方案。例如，假设有$n$个产品，其单位收益分别为$a_1, \cdots, a_n$，而总的可用资源为$A$，则可以通过基本不等式来求解最优资源分配方案。
总结词

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理来证明存在某个点使得函数值满足给定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质，来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

2.2.2 基本不等式的应用课件(42张)

出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.也要注意应用条件.
【类题通法】利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路: (1)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.
第2课时基本不等式的应用
关键能力探究
探究点一利用基本不等式求最值、范围
【典例1】(1)若x< 5 ,则f(x)=4x-2+ 1 的最大值为________.
4
4x－5
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为______.
【思维导引】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑
x＋y
x＋y
λ的最小值为2.
答案:2
探究点三基本不等式的综合问题
【典例3】若不等式9x+ a2 ≥a+1(常数a>0)对一切正实数x成立,求a的取值范
x
围.
【思维导引】将问题等价转化成对一切x>0,9x+ a2 的最小值不小于a+1.
x
【类题通法】 (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值.
【定向训练】
已知正数x,y满足x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.
【解析】依题意得x+2
2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即
x＋2 2xy x＋y
≤2(当且仅当x=2y
时取等号),即 x＋2 2xy 的最大值为2.又λ≥ x＋2 2xy 恒成立,因此有λ≥2,即

不等式讲基本不等式及其应用课件pptx

柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式，它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组，利用数学归纳法和排序不等式的性质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式

基本不等式ppt课件

对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的位置关系，以及求解圆中弦长等几何问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面积和体积的问题，例如在给定周长的条件下，求矩形或立方体的最大面积或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明

《基本不等式的应用》课件

01
02
03
确定要最化的函数
在使用基本不等式求最值时，需要先确定要优化的函数，通常为f(x) = x + 4/x。
找到极值点
通过导数的方法，可以找到函数的极值点，即x = 2 。
计算最值
在x = 2处，函数取得极小值2√4=4，无极大值。
利用基本不等式证明不等式
确定要证明的不等式
01
在利用基本不等式证明不等式时，需要先确定要证明的不等式
在生产计划中的应用
Байду номын сангаас总结词
基本不等式可以帮助我们在生产计划中做出最优决策，使得生产成本最低、产量最高。
详细描述
在生产计划中，我们通常需要考虑多个因素，如原材料成本、劳动力成本、设备成本等。利用基本不等式，我们可以建立数学模型，分析这些因素之间的关系，从而制定出最优的生产计划。例如，在安排工作时间时，我们可以利用基本不等式来确定工作时间的最优分配，使得总生产成本最低。此外，在考虑生产设备的更新和维修时，我们也可以利用基本不等式来分析设备的经济效益和维修成本之间的关系，从而做出最优决策。
收敛，则 $\left(\sum{i=1}^{\infty} a_i bi\right)^2 \leq \left(\sum{i=1}^{\infty} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{\infty} b_i^2\right)$。
基本不等式的推广形式
• 排序不等式：若 $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，且 $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq bn$，则有 $\sum{i=1}^{n} a_i bi \leq \sum{i=1}^{n} ai \sum{i=1}^{n} b_i$，当且仅当 $a_1=a_2=\ldots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\ldots=b_n$ 时取等号。

基本不等式的应用PPT优秀课件

练习2 做一个体积为32 m ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？
解设底面的长与宽分别为a m,b m. a0 ,b0 因为体积 2 3 等于32 m 高为c=2m所以底面积为16 m ，即
3
ab 16
s 2 ab 2 bc 2 ac 32 4 ( a b )
情境三：销售
学海无涯苦作舟
现已知进货单价第一次为1.8元/千克，第二次为2.2元/千克。若以2.4元/千克出售，则每天可售出1000千克，而如果每千克提价0.01 元，每天将少售出10千克，如果每千克降价 0.01元，每天将多售出10千克。那么请考虑，每千克售价应为多少元，才能使每天的利润最大。
课堂小结
来而不往，非礼也
（1）应用基本不等式求最值。（2）应用基本不等式解决实际应用题。
实际问题回归
提炼
数学模型
数学知识
数学结论
分析总结
模型的解
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

基本不等式的实际应用PPT优秀课件

即 (3x－10)(3x－40)≤0，
10 40 解得 ≤ x≤ 3 3
4 0 答：桶的最大容积为升。 3
40 从而 8 x ≤ 3
例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计， 2003年每户家庭年平均消费支出总额为1 万元，其中食品消费额为0.6万元。预测 2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数 n满足条件40%<n≤50%），试问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率至多是多少？（精确到0.1）
新课标人教版课件系列
《数学》
必修5
3.4.2《基本不等式的实际应用》
审校：王伟
教学目标
掌握建立不等式模型解决实际问题. 教学重点：掌握建立不等式模型解决实际问题

例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？
所以该乡镇居民生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，也就是说，平均每年的食品消费额至多是增长15.5%。
练习
1．用一根长为100ｍ的绳子能围成一个面积大于600ｍ2的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x件与货价p（元／件）之间的关系为p＝ 160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋ 30x元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)≥1300，

基本不等式及其应用ppt课件

【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题提升能力
考点一利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】解法一(换元消元法)：由已知得 x＋3y＝9－xy，因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy，所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.

基本不等式(共43张)ppt课件

解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进行合并，并把未知数移到不等式的一边，常数移到另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化后的不等式，得到原无理不等式的解集。
综合应用举例
例1

基本不等式ppt课件

基本不等式

我们都知道，把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，
可称得物体的质量为 .

如果是一架臂长不同（其他因素不计）的天平，
那么并非物体的实际质量.
问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？

问题1.怎样用两臂长不同的天平称物体的质量？

取平均值：
ab
导果”的证明思路.
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
当 a，b 0 时，不等式仍然成立.
基本不等式:
ab
ab
（a，b 0）
2
对于正数 a，b ，
ab
算术平均数:
2
几何平均数: ab
两个正数的几何平均数不大于算术平均数
问题3.设 a，b为正数，证明下列不等式成立：
2
证法2：对于正数 a，b ，
ab
要证 ab
，
2
只要证 2 ab a b ，
只要证 0 a 2 ab b ，
只要证 0 ( a b ) 2 .
ab
因为最后一个不等式成立，所以 ab
成立，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
分析法：是从结论出发，分析确定不等式成立的
2

1
( a b)2
2

ab
- ab 0
因为 ( a b ) 0，所以
2
ab
得 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.
2
2
ab
如果 a，b是正数，那么 ab
（当且仅当 a b时，等号成立）.

基本不等式的应用课件

【自主解答】 (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立，故当 x＝1 时，ymax＝1.
(2)∵0<x<12，∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×(2x＋12－2x)2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x(0<x<12)，即 x＝14时，ymax＝116. (3)f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x. ∵x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， ∴f(x)≤22＝1，当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时等号成立．
y＝
225x
＋
3602 x
－
360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立．即当 x＝24 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440 元．
应用基本不等式解决实际问题的方法先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；正确写出答案．
1．本例题目都不能直接使用基本不等式求最值，需要先对其变形．
2．应用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形．
3．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性．

数学：《基本不等式-实际应用》课件(新人教A版必修)..PPT26页

数学：《基本不等式-实际应用》课件(新人教A版必修)..
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

不等式的应用教学课件ppt

判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化和控制。

基本不等式的实际应用PPT教学课件

不等式基本不等式实际应用ppt

基本不等式的应用(课件)

《基本不等式的应用》课件教学课件

基本不等式课件(共43张PPT)

2.2.2 基本不等式的应用 课件(42张)

不等式讲基本不等式及其应用课件pptx

基本不等式ppt课件

《基本不等式的应用》课件

基本不等式的应用PPT优秀课件

基本不等式的实际应用PPT优秀课件

基本不等式及其应用ppt课件

基本不等式(共43张)ppt课件

基本不等式ppt课件

基本不等式的应用 课件

数学：《基本不等式-实际应用》课件(新人教A版必修)..PPT26页

不等式的应用教学课件ppt

2.2.2 基本不等式的应用课件(42张)

基本不等式的应用课件