平面直角坐标系内坐标与几何图形的面积专题精练
专题：平面直角坐标系中的图形面积(含答案)
专题：平面直角坐标系中的图形面积——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一直接利用面积公式求图形的面积1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．6第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．◆类型二利用分割法求图形的面积3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？(3)求多边形ABCDEF的面积．◆类型三利用补形法求图形的面积5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.(1)求点B的坐标；(2)求三角形ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B 2.1523．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D .∵A (4，0)，B (3，4)，C (0，2)，∴OC ＝2，BD ＝4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝12×(4＋2)×3＋12×1×4＝9＋2＝11.4．解：(1)A (－2，0)，B (0，－3)，C (3，－3)，D (4，0)，E (3，3)，F (0，3)．(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．(3)S多边形ABCDEF ＝S三角形ABF ＋S长方形BCEF ＋S三角形CDE＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)．(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF－S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．(2)S 三角形ABC ＝12×3×4＝6.(3)存在这样的点P .设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203.点P 在y 轴正半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ⎝⎛⎭⎫0，－203，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，203或⎝⎛⎭⎫0，－203.。
专题4.2 平面直角坐标系中点的面积问题专项训练(30道)(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题4.2 平面直角坐标系中点的面积问题专项训练（30道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！一．选择题（共10小题）1．（2022春•龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线AEB 向右平移得到折线CFD ，则折线AEB 在平移过程中扫过的面积是（ ）A ．15B ．20C ．24D ．25【分析】折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱ACFE +S ▱BDFE ，再根据平行四边形的面积公式求解即可．【解答】解：折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱ACFE +S ▱BDFE＝5×3+5×2＝15+10＝25，故选：D ．2．（2022春•商南县期末）已知点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴上，△ABC 的面积是10，则点C 的坐标可能是（ ）A ．（0，10）B ．（5，0）C ．（0，﹣5）D ．（0，4）【分析】首先求得AB 的长，根据三角形的面积公式，即可求得C 的纵坐标，进而得到C 的坐标．【解答】解：设点C 坐标是（0，y ）根据题意得，12AB ×AC ＝10即12×4×|y |＝10，解得y ＝±5．所以点C 坐标是：（0，5）或（0，﹣5）．故选：C ．3．（2022•市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（ ）A．2B．4C．6D．8【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．即y＝﹣x+4，∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为12×4×4=8．故选：D．4．（2022春•江夏区校级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（ ）A．15.5B．20.5C．26D．31【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求和即可．【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为：1 2×2×3+12（3+4）×3+12×1×4＝3+212+2＝15.5．故选：A．5．（2022春•汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18【分析】作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，根据A 、B 坐标得出AC 、BD 及CD 的长，根据S △AOB ＝S 梯形ABDC ﹣S △AOC ﹣S △BOD 可得答案．【解答】解：如图，作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ，∵A （﹣5，6）、B （3，2），∴AC ＝6、OC ＝5，BD ＝2、OD ＝3，则CD ＝OC +OD ＝8，∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ﹣S △AOC ﹣S △BOD=12×（2+6）×8−12×5×6−12×2×3＝32﹣15﹣3＝14，故选：B ．6．（2022春•沙河市期中）在网格图中有一个面积为10的△ABC ，△ABC 的三个顶点均在网格的格点上，墨墨在网格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点A 的坐标为（2，3），点B 的坐标为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点C 的坐标看不清了，但他记得线段AC 与y 轴平行，则点C 的坐标为（ ）A．（2，1）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）【分析】根据三角形的面积公式求出AC，再根据网格结构确定出点C的坐标即可．【解答】解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），线段AC与y轴平行，∴点B到AC的距离为2+3＝5，∴S△ABC =12AC•5＝10，解得AC＝4，∴点C的纵坐标为3﹣4＝﹣1，∴点C的坐标为（2，﹣1）．故选：C．7．（2022春•嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C（1，3），则△ABC的面积为（ ）A．7.5B．10C．15D．20【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点C向AB作垂线，垂足为D，根据S△ABC =12AB×CD，即可得到答案．【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为D，如下图所示：则AB ＝2﹣（﹣3）＝5，CD ＝3+1＝4，S △ABC =12AB ×CD =12×5×4＝10，故选：B ．8．（2022秋•历下区期中）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB 平分为面积相等的两部分，已知点A 的坐标是（1，0），则点B 的坐标为（ ）A ．(113，3)B ．(103，3)C ．(154，3)D ．(185，3)【分析】如图，设BC ＝x ，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：如图，设BC ＝x ，由题意得，12×3×（2+x ）=12×8，解得：x =23，3+23=113，∴点B 的坐标为（113，3），故选：A ．9．（2022春•重庆期末）已知点P 的坐标为（a ，b ）（a ＞0），点Q 的坐标为（c ，2），且|a ﹣c |+=0，将线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，那么a +b +c 的值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．20【分析】利用非负数的性质求出b 的值，推出a ＝c ，推出PQ ＝6，根据PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，推出a ＝4即可解决问题．【解答】解：∵|a ﹣c |+0，又∵|a ﹣c |≥00，∴a ﹣c ＝0，b ﹣8＝0，∴a ＝c ，b ＝8，∴P （a ，8），Q （a ，2），∴PQ ＝6，∵线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，∴a ＝4，∴a ＝c ＝4，∴a +b +c ＝4+8+4＝16，故选：C ．10．（2022春•嘉祥县期末）我们定义：过点（0，a ）且平行于x 轴的直线为y ＝a ，若A （﹣2，0），B （1，2），点P 为直线y ＝4上一动点，且△PAB 的面积为6平方单位，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣2，4）B ．（0，4）或（10，4）C ．（﹣2，4）或（10，4）D ．（9，4）【分析】设直线AB 交直线y ＝4于C ．求出点C 坐标，设P （m ，4），构建方程即可解决问题；【解答】解：∵A （﹣2，0），B （1，2），设直线AB 交直线y ＝4于C ．∴直线AB 的解析式为y =23x +43，∵直线PC 的解析式为y ＝4，∴C （4，4），设P （m ，4），由题意：12•|4﹣m |•4−12•|4﹣m |•2＝6，解得m ＝﹣2或10，∴P （﹣2，4）或（10，4）故选：C ．二．填空题（共6小题）11．（2022春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为 3或﹣2 ．【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h，利用分类讨论对其铅垂高“h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）∴“水平底”a＝3﹣（﹣2）＝5“铅垂高“h＝3或|1+m|或|2﹣m|①当h＝3时，三点的“矩面积”S＝5×3＝15≠20，不合题意；②当h＝|1+m|时，三点的“矩面积”S＝5×|1+m|＝20，解得：m＝3或m＝﹣5（舍去）；③当h＝|2﹣m|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20，解得：m＝﹣2或m＝6（舍去）；综上：m＝3或﹣2故答案为：3或﹣212．（2022春•平泉市期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC 沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．（1）点G的坐标为 （3，4） ；（2）阴影部分的面积S ＝ 7 ．【分析】（1）求出BE ，GE 的长度即可得出答案；（2）根据平移的性质得S △ABC ＝S △DEF ，从而S △ABC ﹣S △CEG ＝S △DEF ﹣S △CEG ，梯形ABEG 的面积＝阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵A （1，5），点B （1，1），∴AB ＝4，∵平移距离为2，∴BE ＝2，DE ＝AB ＝4，∵DG ＝1，∴GE ＝DE ﹣DG ＝4﹣1＝3，∴G （3，4）；故答案为：G （3，4）；（2）∵将直角三角形ABC 沿着x 轴正方向平移到直角三角形DEF 的位置，∴S △ABC ＝S △DEF ，∴S △ABC ﹣S △CEG ＝S △DEF ﹣S △CEG ，∴梯形ABEG 的面积＝阴影部分的面积，∴S =12×（AB +EG ）×BE=12×（4+3）×2＝7．故答案为：7．13．（2022春•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A （1，1），点B （3，0）．现将线段AB 平移，使点A ，B 分别平移到点A ′，B '，其中点A ′（1，4），则四边形AA 'B 'B 的面积为 6 ．【分析】把四边形AA′B′B的面积转化为特殊四边形的面积求解即可．【解答】解：如图，过点B′作B′E⊥AA′于点E，延长A′A交OB于点F．由题意得，AB＝A′B′，AB∥A′B′，∵点A（1，1），点B（3，0），点A′（1，4），∴AA′＝BB′＝3，∵B′E⊥AA′，∴四边形B′EFB是长方形，∴AA′＝EF＝3，∴四边形AA′B′B的面积＝四边形B′EFB的面积＝3×2＝6，故答案为：6．14．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是 3 ．【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边形的面积．【解答】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3，故答案为：3．15．（2022春•昌黎县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（3，﹣2），则△AOB的面积为 2 ．【分析】直接利用A，B点坐标，再利用△AOB所在直角三角形面积减去周围图形面积得出答案．【解答】解：△AOB的面积为：12×4×4−12×1×2﹣2−12×2×3＝2．故答案为：2．16．（2022•漳州校级一模）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C 的面积为S2，则S1，S2的大小关系为s1 ＝ s2（填“＜”、“＞”、“＝”）．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B 1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：12×4×4＝8，新三角形的面积为：12×4×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s 1＝s 2．三．解答题（共14小题）17．（2022春•上蔡县月考）如图，六边形ABCDE 在平面直角坐标系内．（1）写出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标：A （2，3） 、B （﹣2，3） 、C （﹣4，0） 、D （3，﹣3） 、E （ ）2，﹣3）； 、F （3，0）； ；（2）六边形ABCDE 的面积为 34.5 ．【分析】（1）根据图形直接写出坐标；（2）根据点点坐标利用割补法即可求出六边形ABCDE 的面积．【解答】解：（1）A （2，3）、B （﹣2，3）、C （﹣4，0）、D （﹣3，﹣3）、E （2，﹣3）、F （3，0）；故答案为：（2，3）、（﹣2，3）、（﹣4，0）、（﹣3，﹣3）、（2，﹣3）、（3，0）；（2）四边形ABCD 的面积为：6×7−12×2×3−12×1×3−12×1×3−12×1×3=34.5故答案为：34.5．18．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M 上的任意点P （x ，y ），给出如下定义：将点P （x ，y ）平移到P ′（x +e ，y ﹣e ）称为将点P 进行“e 型平移”，点P ′称为将点P 进行“e 型平移”的对应点；将图形M 上的所有点进行“e 型平移”称为将图形M 进行“e 型平移”．例如，将点P （x ，y ）平移到P ′（x +1，y ﹣1）称为将点P 进行“1型平移”．（1）已知点A （﹣1，2），B （2，3），将线段AB 进行“1型平移”后得到对应线段A ′B ′．①画出线段A ′B ′，并直接写出A ′，B ′的坐标；②四边形ABB ′A ′的面积为 4 （平方单位）；（2）若点A （2﹣a ，a +1），B （a +1，a +2），将线段AB 进行“2型平移”后得到对应线段A ′B ′，当四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，试确定a 的值．【分析】（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求四边形的面积．【解答】解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=12×4×1+12×4×1＝4，故答案为：4；（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），如图，在四边形外作矩形CDEF ，∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，∴CF ＝2a +1，CD ＝3，∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，∴4a ＝8，∴a ＝2．19．（2022春•雨花区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0）和B（b，0），且a，b满足|a+4|+0，点C的坐标为（0，3）．（1）求a，b的值及S△ABC；（2）若点M在x轴上，且S△ACM =13S△ABC，试求点M的坐标．【分析】（1）由|a+4|+0结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACM =13S△ABC，即可得出点M 的坐标．【解答】解：（1）由|a +4|=0，可知，a +4＝0，8﹣b ＝0，∴a ＝﹣4，b ＝8，∴点A （﹣4，0），点B （8，0），又∵点C （0，3），∴AB ＝|﹣4﹣8|＝12，CO ＝3，∴S △ABC =12AB •CO =12×12×3＝18．（2）设点M 的坐标为（x ，0），则AM ＝|x ﹣（﹣4）|＝|x +4|，又∵S △ACM =13S △ABC ，∴12AM •OC =13×18，∴12|x +4|×3＝6，∴|x +4|＝4，即x +4＝±4，解得：x ＝0或﹣8，故点M 的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．20．（2022春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣3b ，0）为x 轴负半轴上一点，点B （0，4b ）为y 轴正半轴上一点，其中b 满足方程3（b +1）＝6．（1）求点A ，B 的坐标；（2）点C 为y 轴负半轴上一点，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标；【分析】（1）解一元一次方程，可得结论．（2）利用三角形的面积公式求出OC 的长，可得结论．【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，∴A（﹣3，0），B（0，4）．（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵S△ABC =12•BC•OA＝12，∴BC＝8，∵点C在y轴的负半轴上，∴OC＝4，C（0，﹣4）．21．（2022春•新市区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以12×6×|x−3|=6，即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴|﹣3|＝3，∴点C到x轴的距离为3；（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）∴AB ＝4﹣（﹣2）＝6，点C 到边AB 的距离为：3﹣（﹣3）＝6，∴△ABC 的面积为：6×6÷2＝18．（3）设点P 的坐标为（0，y ），∵△ABP 的面积为6，A （﹣2，3）、B （4，3），∴12×6×|y ﹣3|＝6，∴|y ﹣3|＝2，∴y ＝1或y ＝5，∴P 点的坐标为（0，1）或（0，5）．22．（2022春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，点A ，B 在y 轴正半轴上，且点A 在B 的下方，将线段AB 进行平移得到线段CD ，点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点C ，（1）若点A （0，1），B （0，3），D （3，2），求点C 的坐标；（2）点E 是第二象限上的一个动点，过点E 作EF 垂直x 轴于F ，连接DF ，DE ，EC ．若点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），三角形DEF 的面积为S △DEF =−38a +338，点D 到直线EF 的距离为3，试问是否存在m ，使得S △BCE =13S △ACE ？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出AB 的长，利用平移的性质解决问题即可．（2）利用平移变换的性质构建方程组求出a ，b （用m 表示），利用三角形的面积公式构建方程求出m 即可解决问题．【解答】解：（1）∵A （0，1），B （0，3），D （3，2），∴AB ＝3﹣1＝2＝CD ，∴C （3，4）．（2）由题意：b−12m =12m +3−(−2m +3)a +b +1=m，解得a =−2m−1b =3m ，∴C （m ，12m +3），∵S △DEF =EF ×32=−38a +338，∴EF =−14a +114=12m +3，∴EC ⊥y 轴，∴A 到CE 的距离为：12m +3−12m ＝3，∵S △BEC =13S △ACE ，∴B 到CE 的距离为：3×13=1，∴|3m ﹣（12m +3）|＝1，解得m =85或45，故存在m ，使得S △BCE =13S △ACE ，此时m =85或45．23．（2022春•大同期末）已知坐标平面内的三个点A （1，3），B （3，1），O （0，0），求△ABO 的面积．【分析】过A ，B 分别作y 轴，x 轴的垂线，则三角形ABC 的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．【解答】解：如图所示，过A ，B 分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为C ，E ，两线交于点D ，则C （0，3），D （3，3），E （3，0）．又因为O （0，0），A （1，3），B （3，1），所以OC ＝3，AC ＝1，OE ＝3，BE ＝1，AD ＝DC ﹣AC ＝3﹣1＝2，BD ＝DE ﹣BE ＝3﹣1＝2，则四边形OCDE 的面积为3×3＝9，△ACO和△BEO的面积都为12×3×1=32，△ABD的面积为12×2×2＝2，所以△ABO的面积为9﹣2×32−2＝4．24．（2022春•罗平县校级期中）在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C （5，6）（1）求△ABC的面积．（2）在y轴上是否存在点D，使得△ABD的面积和△ABC的面积相等，若存在，求出点D的坐标．（3）除（2）中的点D，在平面直角坐标系中，还能不能找到别的点D，会满足△ABD的面积和△ABC 的面积相等，这样的点有多少个？它们的坐标有什么特点？直接写出答案．【分析】（1）由已知条件和三角形面积公式容易得出结果；（2）由三角形的面积关系得出点D的纵坐标绝对值为6，即可得出结果；（3）由题意得出满足条件的点D的纵坐标绝对值为6，即可得出结论．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，6），∴OB＝6，△ABC的面积=12×6×6＝18；（2）存在，理由如下：∵△ABD的面积＝△ABC的面积=12×6×6＝18，∴点D的坐标为（0，6）或（0，﹣6）；（3）能找到别的点D，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，这样的点有无数个，它们的纵坐标为±6．25．（2022春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD ＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCDS△BCD =23（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD ＝7（S△BCD建立方程求解，即可，（3）设出点P的坐标，表示出PC用S△PCDS△BCD =23，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，∴a＝﹣5，b＝4，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），（2）∵点C 在y 轴上，点D 在第二象限，∴线段AB 向左平移3个单位，再向上平移（2+y ）个单位，符合题意，∴C （0，2+y ），D （﹣2，y ），连接OD ，S △BCD ＝S △BOC +S △COD ﹣S △BOD=12OB ×OC +12OC ×2−12OB ×y ＝7，∴y ＝2，∴C （0，4）．D （﹣2，2）；（3）设点P （0，m ），∴PC ＝|4﹣m |，∵S △PCD S △BCD =23，∴12|4﹣m |×2=23×7，∴|4﹣m |=143，∴m =−23或m =263，∴存在点P ，其坐标为（0，−23）或（0，263）．26．（2022春•通川区期末）已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，a ），点B 的坐标为（b ，2），点C 的坐标为（c ，0），其中a ，b 满足（a +b ﹣10）2+|a ﹣b +2|＝0．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）当△ABC 的面积为10时，求点C 的坐标；（3）当2≤S △ABC ≤12时，则点C 的横坐标c 的取值范围是 ﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22 ．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2）；（2）求得直线AB 与x 轴的交点为D （10，0），于是得到S △ABC ＝S △ACD ﹣S △BCD ，列方程即可得到结论；（3）根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵（a +b ﹣10）2+|a ﹣b +2|＝0，∴（a +b ﹣10）2＝0，|a ﹣b +2|＝0，解得：a ＝4，b ＝6，∴A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2）；（2）∵A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2），如图，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，∴D （2，0），AD ＝4，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴E （6，0），BE ＝2，∴DE ＝4，设C （c ，0），当c ＞10时，∴CE ＝c ﹣6，CD ＝c ﹣2∴S △ABC ＝S △ACD ﹣S △BCE ﹣S 梯形ABED =12×4×（c ﹣2）−12×2×（c ﹣6）−12×（2+4）×4＝c ﹣10＝10，∴c ＝20当c ＜10时，同上的方法得，c ＝0，∴点C 的坐标（0，0）或（20，0）；（3）由（2）知，①12×（10﹣c ）×4−12（10﹣c ）×2＝2或12×（c ﹣10）×4−12（c ﹣10）×2＝2，解得：c ＝8或12，②12×（10+c ）×4−12（10+c ）×2＝12或12×（|c |﹣10）×4−12（c ﹣10）×2＝12，解得：c ＝﹣2或c ＝22，∴当2≤S △ABC ≤12时，则点C 的横坐标c 的取值范围是﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22，故答案为﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22．27．（2022春•宁都县期末）已知：如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0）、B （﹣2，3）、C （﹣3，0）．（1）求△ABC 的面积是多少？（2）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上时，且S △ACP ＝2S △ABC ，求点P 的坐标？（3）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上时，且S △BCQ ＝2S △ABC ，求点Q 的坐标？【分析】（1）根据点A 、C 的坐标求出AC 的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；（2）分点P 在y 轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；（3）分点Q 在C 的左边和右边两种情况讨论求解．【解答】解：（1）∵A （1，0），B （﹣2，3），C （﹣3，0），∴AC ＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，点B 到AC 的距离为3，∴△ABC 的面积=12×4×3＝6；（2）∵S △ACP ＝2S △ABC ＝12，∴以AC 为底时，△ACP 的高＝12×2÷4＝6，∴点P 在y 轴正半轴时，P （0，6）；点P 在y 轴负半轴时，P （0，﹣6）；（3）∵S △BCQ ＝2S △ABC ＝12，∴以CQ 为底时，△BCQ 的高为3，底边CQ ＝12×2÷3＝8，∴点Q 在C 的左边时，Q （﹣3﹣8，0），即Q （﹣11，0）；点Q 在C 的右边时，Q （﹣3+8，0），即Q （5，0）．28．（2022春•河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4），B （8，0），C （8，6）三点．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，1），且四边形ABOP 的面积是△ABC 的面积的两倍；求满足条件的P 点的坐标．【分析】（1）由点的坐标得出BC＝6，即可求出△ABC的面积；（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四边形ABOP ＝S△AOB+S△AOP和已知条件得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC =12×6×8＝24；（2）∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，∴S四边形ABOP ＝S△AOB+S△AOP=12×4×8+12×4（﹣m）＝16﹣2m，又∵S四边形ABOP ＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．29．（2022春•上杭县期末）在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点M（m，0），N（n，0），+|2m+n|＝0．（1）求m，n的值；（2）若点E是第一象限内一点，且EN⊥x轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y 轴交于点A．点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．①经过几秒PQ平行于y轴？②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．【分析】（1）根据平方根和绝对值的性质得出m+n−3=02m+n=0，解方程组即可；（2）①设x秒后PQ平行于y轴，由于AP∥OQ，所以当AP＝OQ时，四边形AOQP是平行四边形，那么PQ平行于y轴，根据AP＝OQ列出关于x的方程，解方程即可；②设y秒后四边形AOQP的面积为10cm2，根据四边形AOQP的面积=12（OQ+AP）•OA列出关于y的方程，进而求出点P的坐标．【解答】解：（1）依题意，得m+n−3=0 2m+n=0，解得m=−3 n=6；（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，依题意，得6﹣2x＝x解得x＝2，②当点P在y轴右侧时，4=10，解得x＝1，此时点P的坐标为（4，4），当点P在y轴左侧时，4=10，解得x=113，此时点P的坐标为(−43，4)．30．（2022春•武清区期中）已知点A（a，0）、B（b，0+|b﹣2|＝0．（1）求a 、b 的值．（2）在y 轴的正半轴上找一点C ，使得三角形ABC 的面积是15，求出点C 的坐标．（3）过（2）中的点C 作直线MN ∥x 轴，在直线MN 上是否存在点D ，使得三角形ACD 的面积是三角形ABC 面积的12？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；（2）由A （﹣4，0）、B （2，0），得到AB ＝6，根据三角形ABC 的面积是15列方程即可得到即可；（3）根据三角形ABC 的面积是15列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵（a +4）2+|b ﹣2|＝0，∴a +4＝0，b ﹣2＝0，∴a ＝﹣4，b ＝2；（2）如图1，∵A （﹣4，0）、B （2，0），∴AB ＝6，∵三角形ABC 的面积是15，∴12AB •OC ＝15，∴OC ＝5，∴C （0，5）；（3）存在，如图2，∵三角形ABC 的面积是15，∴S △ACD =12CD •OC ＝15，∴12CD ×5=12×15，∴CD＝3，∴D（3，5）或（﹣3，5）．。
平面直角坐标系面积专题
5
2
C
B
A
平面直角坐标系中
三角形面积的求法
（七年级）
1、已知：在平面直角坐标系中，点A坐标为（5,0），点B坐标为（-3,0）, 点C坐标为（0,4）,则三角形ABC的面积为多少？
四：坐标轴上点的坐标符号
1.点P(m+2,m-1)在x轴上,则点P的坐标是 .
( 3, 0 )
2.点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是 .
( 0, -3 )
3. 点P(x,y)满足 xy=0, 则点P在 .
E
D
思路： 分割为三块，两个直角 三角形加直角梯形
(2). 若AB∥ y轴,
则A( m, y1 ), B( m, y2 )
(1). 若AB∥ x 轴,
1. 已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为 。
-１
2. 已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥y轴，则m的值为 。
求面积。
将三角形放在一个规则的图形（梯形）中，利用差法
巩固练习：
x
O
2
4
2
4
-2
-4
-2
-4
6
-1
-3
1
3
5
1
3
-1
-3
7、已知：在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（-3,1）, 点C坐标为（-2,-3）,则三角形ABC的面积为多少？
A(4，2)
B(-3，1)
C(-2，-3)
逆向探究：
专题3.1 直角坐标系中的面积问题(强化)(解析版)
专题3.1 直角坐标系中的面积问题【例题精讲】【例1】如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别为(1,0)A ，(5,0)B ，(3,3)C ，(2,4)D ，求四边形ABCD 的面积．【解答】解：如图，作CE x ^轴于点E ，DF x ^轴于点F ．则1(21)422ADF S D =´-´=，()()13432 3.52DCEF S =´+´-=梯形，1(53)332BCE S D =´-´=，2 3.538.5ABCD S \=++=四边形，答：四边形ABCD 的面积是8.5．【例2】如图所示，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(,0)A a ，(,0)B b ，且a ，b 满足|2|0a +=，点C 的坐标为(0,3)．（1）求a ，b 的值及ABC S D ；（2）若点M 在x 轴上，且13ACM ABC S S D D =，试求点M 的坐标．【解答】解：（1）|2|0a +=Q ，20a \+=，40b -=，2a \=-，4b =，\点(2,0)A -，点(4,0)B ．又Q 点(0,3)C ，|24|6AB \=--=，3CO =，1163922ABC S AB CO D \==´´=g ．（2）设点M 的坐标为(,0)x ，则|(2)||2|AM x x =--=+，又13ACM ABC S S D D =Q ，\11923AM OC =´g ，\1|2|332x +´=，|2|2x \+=，即22x +=±，解得：0x =或4-，故点M 的坐标为(0,0)或(4,0)-．【题组训练】静态面积1．如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是(0,0)O ，(3,0)A ，(5,2)B ，(2,3)C ．求这个四边形的面积．【解答】解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则(5,3)E ，所以ABH CBE OCFOHEF ABCO S S S S S D D D =---矩形四边形11153221332222=´-´´-´´-´´172=．2．如图，写出ABC D 各顶点的坐标并且求出三角形的面积．【解答】解：如图，(2,2)A ，(2,1)B --，(3,2)C -，ABC DBA BEC ACFDECF S S S S S D D D D -=--矩形11154431514222=×-××-××-××9.5=．3．如图，四边形ABCD 所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．（1）建立以点B 为原点，AB 边所在直线为x 轴的直角坐标系．写出点A 、B 、C 、D 的坐标；（2）求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1）如图，(4,0)A -，(0,0)B ，(2,2)C ，(0,3)D ；（2）四边形ABCD 的面积ABD BCDS S D D =+11433222=´´+´´9=．4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，ABC D 的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示ABC D 各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【解答】解：（1）(3,3)A ，(2,2)B --，(4,3)C -；（2）如图所示：ABC BEC ADB AFCDECF S S S S S D D D D =---矩形11166615561222=´-´´-´´-´´352=．5．如图，在平面直角坐标系中，点(3,0)A b -为x 轴负半轴上一点，点(0,4)B b 为y 轴正半轴上一点，其中b 满足方程3(1)6b +=．（1）求点A ，B 的坐标；（2）点C 为y 轴负半轴上一点，且ABC D 的面积为12，求点C 的坐标；【解答】解：（1）解方程3(1)6b +=，得到1b =，(3,0)A \-，(0,4)B ．（2）(3,0)A -Q ，(0,4)B ，3OA \=，4OB =，1122ABC S BC OA D =××=Q ，8BC \=，Q 点C 在y 轴的负半轴上，4OC \=，(0,4)C -．动态面积7．已知：(0,1)A ，(2,0)B ，(4,3)C （1）求ABCD 的面积；（2）设点P 在坐标轴上，且ABP D 与ABC D 的面积相等，求点P 的坐标．【解答】解：（1）111342324124222ABC S D =´-´´-´´-´´=；（2）如图所示：以1BP ，2BP 为底，符合题意的有1(6,0)P -、2(10,0)P 、以3AP ，4AP 为底，符合题意的有：3(0,5)P 、4(0,3)P -．8．如图，已知(2,3)A -、(4,3)B 、(1,3)C --（1）求点C 到x 轴的距离；（2）求ABC D 的面积；（3）点P 在y 轴上，当ABP D 的面积为6时，请直接写出点P 的坐标．【解答】解：（1）(1,3)C--Q，|3|3\-=，\点C到x轴的距离为3；（2）(2,3)A-Q、(4,3)B、(1,3)C--4(2)6AB\=--=，点C到边AB的距离为：3(3)6--=，ABC\D的面积为：66218´¸=．（3）设点P的坐标为(0,)y，ABPDQ的面积为6，(2,3)A-、(4,3)B，\16|3|62y´´-=，|3|2y\-=，1y\=或5y=，P\点的坐标为(0,1)或(0,5)．9．如图，(1,0)A-，(1,4)C，点B在x轴上，且3AB=．（1）求点B的坐标；（2）求ABCD的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点B在点A的右边时，132-+=，点B 在点A 的左边时，134--=-，所以，B 的坐标为(2,0)或(4,0)-；（2）ABC D 的面积13462=´´=；（3）设点P 到x 轴的距离为h ，则13102h ´=，解得203h =，点P 在y 轴正半轴时，20(0,)3P ，点P 在y 轴负半轴时，20(0,)3P -，综上所述，点P 的坐标为20(0,)3或20(0,3-．10．已知：如图，ABC D 的三个顶点位置分别是(1,0)A 、(2,3)B -、(3,0)C -．（1）求ABC D 的面积是多少？（2）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上时，且2ACP ABC S S D D =，求点P 的坐标？（3）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上时，且2BCQ ABC S S D D =，求点Q 的坐标？【解答】解：（1）(1,0)A Q ，(2,3)B -，(3,0)C -，1(3)134AC \=--=+=，点B 到AC 的距离为3，ABC \D 的面积14362=´´=；（2）212ACP ABC S S D D ==Q ，\以AC 为底时，ACP D 的高12246=´¸=，\点P 在y 轴正半轴时，(0,6)P ；点P 在y 轴负半轴时，(0,6)P -；（3）212BCQ ABC S S D D ==Q ，\以CQ 为底时，BCQ D 的高为3，底边12238CQ =´¸=，\点Q 在C 的左边时，(38,0)Q --，即(11,0)Q -；点Q 在C 的右边时，(38,0)Q -+，即(5,0)Q ．11．已知在平面直角坐标系中有三点(2,1)A -、(3,1)B 、(2,3)C ．请回答如下问题：（1）在坐标系内描出点A 、B 、C 的位置；（2）求出以A 、B 、C 三点为顶点的三角形的面积；（3）在y 轴上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）描点如图；（2）依题意，得//AB x 轴，且3(2)5AB =--=，15252ABC S D \=´´=；（3）存在；5AB =Q ，10ABP S D =，P \点到AB 的距离为4，又点P 在y 轴上，P \点的坐标为(0,5)或(0,3)-．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点(8,6)A 分别作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B ，交x 轴于点C ，点P 是从点B 出发，沿B A C ®®以2个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t （秒)．（1）直接写出点B 和点C 的坐标(B 0 ， )、(C ， )；（2）当点P 运动时，用含t 的式子表示线段AP 的长，并写出t 的取值范围；（3）点(2,0)D ，连接PD 、AD ，在（2）条件下是否存在这样的t 值，使18APD ABOC S S D =四边形，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）(0,6)B ，(8,0)C ，故答案为：0、6，8、0；（2）当点P 在线段BA 上时，由(8,6)A ，(0,6)B ，(8,0)C 可得：8AB =，6AC =AP AB BP =-Q ，2BP t =，82(04)AP t t \=-<…；当点P 在线段AC 上时，AP \=点P 走过的路程28(47)AB t t -=-……．（3）存在两个符合条件的t 值，当点P 在线段BA 上时12APD ABOC S AP ACS AB AC D =×=×Q 四边形\11(82)68628t ×-´=´´，解得：34t =<，当点P 在线段AC 上时，18262APD S AP CDCD D =×=-=Q \11(28)68628t ×-´=´´，解得：57t =<，综上所述：当t 为3秒和5秒时18APD ABOC S S D =四边形，13．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足2|1|(3)0a b ++-=．（1）填空：a = 1- ，b = ；（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM D 的面积；（3）在（2）条件下，当32m =-时，在y 轴上有一点P ，使得BMP D 的面积与ABM D 的面积相等，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）2|1|(3)0a b ++-=Q ，10a \+=且30b -=，解得：1a =-，3b =，故答案为：1-，3；（2）过点M 作MN x ^轴于点N ，(1A -Q ，0)(3B ，0)134AB \=+=，又Q 点(2,)M m -在第三象限||MN m m\==-114()222ABM S AB MN m m D \=×=´´-=-；（3）当32m =-时，3(2,)2M --32()32ABM S D \=-´-=，点P 有两种情况：①当点P 在y 轴正半轴上时，设点(0,)p k313131595()2()5322222224BMP S k k k k D =´+-´´+-´´-´´=+，BMP ABM S S D D =Q ，\59324k +=，解得：0.3k =，\点P 坐标为(0,0.3)；②当点P 在y 轴负半轴上时，设点(0,)P n ，131315952(53()2222224BMP S n n n n D =--´´---´´-´´-=--，BMP ABM S S D D =Q ，59324n \--=，解得： 2.1n =-\点P 坐标为(0, 2.1)-，故点P 的坐标为(0,0.3)或(0, 2.1)-．14．如图，在平面直角坐标系中，已知(0,)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足2|2|(3)0a b -+-=．（1）求a ，b 的值；（2）如果在第二象限内有一点(,1)M m ，请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积；（3）在（2）条件下，当32m =-时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N ，使得四边形ABOM 的面积与ABN D 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a Q ，b 满足2|2|(3)0a b -+-=，20a \-=，30b -=，解得2a =，3b =．故a 的值是2，b 的值是3；（2）过点M 作MN y ^轴于点N ．四边形AMOB 面积AMO AOBS S D D =+1122MN OA OA OB =×+×11()22322m =´-´+´´3m =-+；（3）当32m =-时，四边形ABOM 的面积 4.5=．4.5ABN S D \=，①当N 在x 轴负半轴上时，设(,0)N x ，则112(3) 4.522ABN S AO NB x D =×=´´-=，解得 1.5x =-；②当N 在y 轴负半轴上时，设(0,)N y ，则113(2) 4.522ABN S BO AN y D =×=´´-=，解得1y =-．(0,1)N \-或( 1.5,0)N -．15．已知点(,0)A a 、(,0)B b ，且2(4)|2|0a b ++-=．（1）求a 、b 的值．（2）在y 轴的正半轴上找一点C ，使得三角形ABC 的面积是15，求出点C 的坐标．（3）过（2）中的点C 作直线//MN x 轴，在直线MN 上是否存在点D ，使得三角形ACD 的面积是三角形ABC 面积的12？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）2(4)|2|0a b ++-=Q ，40a \+=，20b -=，4a \=-，2b =；（2）如图1，(4,0)A -Q 、(2,0)B ，6AB \=，Q 三角形ABC 的面积是15，\1152AB OC =g ，5OC \=，(0,5)C \；（3）存在，如图2，Q 三角形ABC 的面积是15，111522ACD S CD OC D \==´g ，\1151522CD ´=´，3CD \=，(3.5)D \或(3,5)-．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(0,)A a ，(,)B b b ，(,)C c a ，其中a ，b 满足关系式2|4|(2)0a b -+-=，c a b =+．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并在坐标系中描出各点；（2）在坐标轴上是否存在点Q ，使COQ D 得面积与ABC D 的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在第四象限内有一点(2,)P m ，请用含m 的代数式表示四边形BCPO 的面积．【解答】解：（1）根据题意得，40a -=，20b -=，解得4a =，2b =，426c \=+=，\点(0,4)A ，(2,2)B ，(6,4)C ；（2）16262ABC S D =´´=，点Q 在x 轴上时，1462COQ S OQ D ==g ，解得3OQ =，\点Q 的坐标为(3,0)-或(3,0)，点Q 在y 轴时，1662COQ S OQ D ==g ，解得2OQ =，\点Q 的坐标为(0,2)-或(0,2)，综上所述，点Q 的坐标为(3,0)-或(3,0)或(0,2)-或(0,2)；（3）BOP CBP BCPO S S S D D =+四边形，11(2)2(2)(62)22m m =´-´+´-´-，242m m =-+-，63m =-．17．如图，在平面直角坐标系中，已知(0,)A a ，(,0)B b ，(,)C b c 三点，其中a 、b 、c 满足关系式2|2|(3)0a b -+-=，2c b a=- （1）求a 、b 、c 的值．（2）如果在第二象限内有一点(,0.5)P m ，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与ABC D 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知2|2|(3)0a b -+-=，可得：2a =，3b =，24c b a =-=；（2）12332ABO S D =´´=Q ，12()2APO S m m D =´´-=-，()33ABO APO ABOP S S S m m D D \=+=+-=-四边形；（3）因为14362ABC S D =´´=，ABC ABOP S S D =Q 四边形36m \-=，则3m =-，所以存在点1(3,2P -使ABC ABOP S S D =四边形．18．如图在直角坐标系中，已知(0,)A a ，(B b ，0)(3C ，)c 三点，若a ，b ，c 满足关系式：2|2|(3)0a b -+-=．（1）求a ，b ，c 的值．（2）求四边形AOBC 的面积．（3）是否存在点1(,)2P x x -，使AOP D 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）2|2|(3)0a b -+-=Q ，20a \-=，30b -=，40c -=，2a \=，3b =，4c =；（2）(0,2)A Q ，(0,0)O ，(3,0)B ，(3,4)C ；\四边形AOBC 为直角梯形，且2OA =，4BC =，3OB =，\四边形AOBC 的面积11()(24)3922OA BC OB =´+´=´+´=；（3）设存在点1(,)2P x x -，使AOP D 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．AOP D Q 的面积12||||2x x =´´=，||29x \=´，18x \=±\存在点(18,9)P -或(18,9)-，使AOP D 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．。
专题4.2 坐标系中的面积问题的四大类型(浙教版)(解析版)
专题4.2 坐标系中的面积问题的四大类型【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对坐标与图形面积问题的四大类型的理解！【类型1计算一边在坐标轴上（或平行于坐标轴）的规则图形的面积】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（）个平方单位．B．15C．10D．无法计算A．152【答案】B【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到AD∥x轴，AD=4−(−1)=5，高为1−(−2)=3，利用面积公式直接计算可得．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A(−1,2),B(0,1),C(5,1),D(4,−2)，∴AD∥x轴，AD=4−(−1)=5，高为1−(−2)=3，∴平行四边形ABCD的面积=5×3=15，故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键．2．（2023春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A(−2,6)，B(−5,4)，C(−7,0)，O(0,0)（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（）m2．A ．25B ．250C ．2500D ．2200【答案】C 【分析】根据S 四边形ABCO =S △BCD +S 梯形ABDE +S △AEO ，即可求解．【详解】解：如图所示，A (−2,6)，B (−5,4)，C (−7,0)，O (0,0)S 四边形ABCO =S △BCD +S 梯形ABDE +S △AEO=12×2×4+12(4+6)×3+12×6×2=4+15+6=25∵图上一个单位长度表示10米，∴25×10×10=2500m 2，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图所示，在平面直角 坐标系中，点A 、B 分别是坐标轴上的点，将△OAB 沿x 轴正方向平移83个单位长度得到△FDE ，若A (0,3)，OG =13OA ，则四边形ABEG 的面积是（ ）A ．83B ．4C ．163D ．323【答案】C 【分析】根据平移的性质，求出DF =3,OG =1,OF =BE =83，四边形ABEG 的面积等于四边形DFOG 的面积，求出四边形DFOG的面积是163，即可的答案．【详解】解：∵△OAB沿x轴正方向平移83个单位长度得到△FDE，∴△OAB≌△FDE，∴四边形ABEG的面积等于四边形DFOG的面积，∵A(0,3)，OG=13OA，∴DF=3,OG=1,OF=BE=83，∵四边形DFOG的面积=(1+3)×83×12=163，∴四边形ABEG的面积是163，故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形DFOG的面积．4．（2023·全国·八年级专题练习）如图，已知A(−2，0)，B(4，0)，C(−4，4)，求△ABC的面积．【答案】12【分析】由A、B两点的坐标可得AB=6，然后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：因为C点坐标为(−4，4)，所以△ABC的AB边上的高为4，又由题可知AB=4−(−2)=6，所以S△ABC=12×6×4=12．【点睛】本题考查了图形与坐标，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题关键．5．（2023春·全国·八年级期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(3,4)，C (3,2)．(1)试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；(2)画出将△ABC向下平移4个单位的△A′B′C′；(3)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可；（2）分别找到点A、B、C平移后的对应点，依次连接即可；（3）根据三角形的面积公式求解可得．【详解】（1）解：如图所示：（2）如图，△A′B′C′即为所求；×2×2=2．（3）△ABC的面积为12【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是根据平移的定义和性质得出对应点．6．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）已知，点A(a+3，a+2)．且点A在x轴上，(1)A点的坐标为．(2)若点C坐标为(0,4)，求△AOC的面积．(3)在（2）的条件下，若点P为y轴上一动点，且△ACP的面积为5，求点P的坐标．【答案】(1)(1,0)(2)2(3)(0,14)或(0,−6)【分析】（1）由点A在x轴上可得其纵坐标为0，求出a即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可求出PC=10，再分两种情况：①当点P在y轴正半轴时，②当点P在y轴负半轴时，结合图形解答即可．【详解】（1）∵点A(a+3，a+2)，且点A在x轴上，∴a+2=0，∴a=−2，∴a+3=1，∴点A的坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)；（2）由（1）可知，点A的坐标为(1,0)，∴OA=1，∵点C坐标为(0,4)，∴OC=4，∵∠AOC=90°，∴△AOC 的面积=12OA•OC =12×1×4=2；（3）∵△ACP 的面积为5，∴12PC•OA =5，即12PC ×1=5，解得：PC =10，分两种情况：①当点P 在y 轴正半轴时，如图1，则OP =PC +OC =10+4=14，∴点P 的坐标为(0,14)；②当点P 在y 轴负半轴时，如图2，则OP =PC−OC =10−4=6，∴点P的坐标为(0,−6)；综上所述，点P的坐标为(0,14)或(0,−6)．【点睛】本题考查了坐标与图形以及三角形的面积，正确分类、得出相应点的坐标是解题关键．7．（2023春·甘肃白银·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中有三点A−2，1，B3，1，C2，3．请回答如下问题：(1)在如图所示的平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置；(2)求出以A，B，C三点为顶点的三角形的面积；(3)点P在y轴上，以A，B，P三点为顶点的三角形的面积等于10．请直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)5(3)P点的坐标为0，5或0，−3【分析】（1）由题意根据点的坐标，直接描点即可；（2）根据点的坐标可知，AB∥x轴，进而得出AB=5，点C到线段AB的距离2，根据三角形面积公式求解即可；（3）根据题意，设P的坐标为0，m，再根据三角形的面积，得出P点到AB的距离为4，进而得出|m−1| =4，解出即可得出答案．【详解】（1）解：描点如图；（2）解：依题意，得AB∥x轴，且A−2，1，B3，1，C2，3，∴AB=3−(−2)=5，点C到线段AB的距离3−1=2，×5×2=5；∴S△ABC=12（3）解：∵点P在y轴上，∴设P的坐标为0，m，又∵AB=5，S△ABP=10，∴P点到AB的距离为4，∴|m−1|=4，解得：m=5或−3，∴P点的坐标为0，5或0，−3．【点睛】本题考查了点的坐标、坐标与图形、两点之间的距离，解本题的关键在正确画出图形．8．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别为点A′,B′,C′．(1)在图上画出△A ′B ′C ′，请直接写出点A ′,B ′,C ′的坐标；(2)在图上，连接A ′A ，A ′C ，请直接写出△A ′AC 的面积．【答案】(1)A ′(0,6),B ′(−1,2),C ′(5,2)，图见解析(2)面积是14，图见解析【分析】（1）根据平移的性质即可求解，根据坐标系写出点的坐标；（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，△A ′B ′C ′即为所求，∵把△ABC 向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A ′B ′C ′，A (−2,2)，B (−3,−2)，C (3,−2)，∴A ′(0,6),B ′(−1,2),C ′(5,2)；（2）由题意得：S △AA ′C ′=8×5−12×2×4−12×4×5−12×8×3=14．【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【类型2 计算各边都不在坐标轴上的规则图形的面积】1．（2023春·广东清远·八年级统考期末）已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A (3,2)、B (−1,0)、C (2,0)．在平面直角坐标系中画出三角形ABC ，并求出三角形ABC 的面积．【答案】见解析，3【分析】根据题意画出图形，然后即可求出面积．【详解】解：如图，三角形ABC 即为所求，三角形ABC 的面积为：12×BC ×2=12×3×2=3；【点睛】本题考查了坐标与图形，正确画出图形是关键．2．（2023春·广东肇庆·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A (0,4)，B (8,0)，C (a,b )，点C 在第一象限，CB ⊥x 轴，且到x 轴的距离为6．(1)a =__________，b =_________；(2)求△ABC 的面积；(3)如果在第二象限内有一点P (m,1)，且四边形ABOP 的面积是△ABC 的面积的两倍，求满足条件的P 点的坐标．【答案】(1)a=8，b=6(2)24(3)P(−16,1)【分析】（1）根据CB⊥x轴，可知点C与点B的横坐标相同，结合点C到x轴的距离为6，得点C的纵坐标为6，即可得到a、b的值；（2）根据三角形的面积公式得S△ABC=12×BC×|x B|，即可求出△ABC的面积；（3）由图象可知S四边形ABOP=S△APO+S△AOB，再由三角形的面积公式求出S四边形ABOP=2|m|+16，结合四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍且P在第二象限，即可求出P点的坐标．【详解】（1）解：∵B(8,0)，C(a,b)，点C在第一象限，CB⊥x轴，且到x轴的距离为6，∴a=8，b=6，故答案为：a=8，b=6．（2）解：∵B(8,0)，C(8,6)，∴BC=6，∵S△ABC=12×BC×|x B|，∴S△ABC=12×6×8=24．（3）解：∵A(0,4)，B(8,0)，∴OA=4，OB=8，∵S四边形ABOP=S△APO+S△AOB，∴S四边形ABOP=12×OA×|m|+12×OA×OB=12×4×|m|+12×4×8=2|m|+16，∵S四边形ABOP=2S△ABC，∴2|m|+16=2×24，∴|m|=16，∵且P在第二象限，∴m=−16，∴P(−16,1)．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据坐标得出坐标系内线段的长度，熟练掌握坐标与图形性质，由题意得出方程是解决问题（2）的关键．3．（2023春·江西南昌·八年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知OA=4，OB=3，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．(1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ，)，B( ，)，C( ，)；(2)求三角形ABC的面积；(3)点D为BC与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．【答案】(1)4，0，0，3，2，−2(2)7,0【分析】（1）直接根据图像可得结果；（2）利用割补法计算即可；（3）利用三角形ABC的面积，得到12×(|y B|+|y C|)×AD=7，从而求出AD，结合点A坐标即可得解．【详解】（1）解：由图可知：A(4,0)，B(0,3)，C(2,−2)；（2）三角形ABC的面积为：4×5−12×4×3−12×5×2−12×2×2=7；（3）∵三角形ABC的面积为7，∴12×(|y B|+|y C|)×AD=7，即12×5×AD=7，解得：AD=145，∴4−145=65，即点D ,0．【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法．4．（2023春·北京大兴·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,5)，B (4,1)，将线段AB 先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到线段CD （其中点C 与点A ，点D 与点B 是对应点），连接AC ，BD ．(1)补全图形，点C 的坐标是__________，点D 的坐标是__________．(2)三角形OCD 的面积是__________．【答案】(1)C (−4,1)；D (−1,−3)(2)132【分析】（1）通过题意的内容指示，将图形补全后，即可得出点C 和点D 的坐标．（2）连接OC ，OD 利用割补法即可求出三角形OCD 的面积．【详解】（1）解：补全图形，如图所示，点C 和点D 的坐标分别是(−4,1)；(−1,−3)．（2）解：由题可得：S△OCD=S四边形CMND−S△CMO−S△OND=12×4×(4+1)−12×1×4−12×1×3=132．【点睛】本题考查了作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质及割补法求三角形的面积．5．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，三角形ABC中任意一点P(x0,y0)经平移后对应点为P(x0+5,y0+3)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1．(1)画出平移后的三角形A1B1C1．(2)求三角形A1B1C1的面积．(3)直接写出AB与x轴交点D的坐标___________【答案】(1)见解析(2)11(3)(−72,0)【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；（2）根据割补法求解即可；（3）根据面积法求解即可．【详解】（1）解：如图所示，三角形A1B1C1即为所求；（2）三角形A 1B 1C 1的面积=4×6−12×2×4−12×3×4−12×6×1=11；（3）∵三角形ABC 的面积=12CD ×(3+1)=11，∴CD =112，∴OD =112−2=72，∴D(−72,0)，故答案为：(−72,0)．【点睛】本题考查了平移变换的性质，利用面积法求解（3）是解题的关键．6．（2023春·安徽芜湖·八年级校联考期末）平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)，B(4,2)，C(2,−2)．(1)在网格中画出这个平面直角坐标系；(2)连接CB ，平移线段CB ，使点C 移动到点A ，得到线段AD ．①画出线段AD ；②连接AC，DB，求四边形ACBD的面积．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②14【分析】（1）根据点A(0,1)，B(4,2)，C(2,−2)，即可得；（2）①根据平移的性质即可得到线段AD；②四边形ACBD是由△ADC，△BDC组成，则四边形ACBD的面积为S△ADC+S△BDC．【详解】（1）解：根据点A(0,1)，B(4,2)，C(2,−2)，建立直角坐标系如图所示：（2）解：①如图所示，线段AD即为所求．②四边形ACBD的面积：S△ADC+S△BDC=12×7×2+12×7×2=14．【点睛】本题考查了平面直角坐标系，平移，解题的关键是掌握这些知识点．7．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点均在网格格点（网格线的交点）上．(1)直接写出△ABC 各顶点的坐标；(2)将△ABC 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，可以得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；(3)求△ABC 的面积．【答案】(1)A(−1,−1)，B(4,2)，C(1,3)(2)画图见解析(3)7【分析】（1）直接写出坐标即可；（2）画出平移后三个顶点的坐标，依次连接三个顶点即可；（3）利用割补法即可求解．【详解】（1）解：由图知，A(−1,−1)，B(4,2)，C(1,3)；（2）解：平移后的图形如下：（3）解：S △ABC =5×4−12×1×3−12×2×4−12×3×5=7．【点睛】本题考查了坐标与图形，图形的平移，写出点的坐标，割补法求图形面积等知识，掌握坐标系中点平移的特点是关键．8．（2023春·福建福州·八年级福州华伦中学校考期末）如图，平面直角坐标系中，点A(−1,4)、B(−4,3)、C(−3,1)，把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A′B′C′．(1)请认真的你画出△A′B′C′．(2)求△ABC的面积．【答案】(1)见解析(2)3.5【分析】（1）根据平移的性质即可求解；（2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=9−1.5−1−3=3.5．【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【类型3已知图形面积求顶点坐标】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别个为A（2，0）、B（0，1）、C（2，3）．若P为直线AB上方的坐标轴上的点，满足△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标是（）A．（4，0）B．（0，4）C．（0，2）或（6，0）D．（0，4）或（8，0）【答案】D【分析】先设出点P的坐标，分P在x轴和y轴两种情况讨论，然后求出三角形ABC的面积，再将三角形ABP的面积用点P的坐标表示出来，列出方程，求出点P的坐标即可．【详解】解：由题意得SΔABC=12×3×2=3，∴S△ABP＝3，若点P在x轴上，设P（x，0），则S△ABP＝S△OBP﹣S△OAB＝12⋅x⋅1−12×2×1＝3，解得x＝8，∴P（8，0），若点P在y轴上，设P（0，y），则S△ABP＝S△AOP﹣S△OAB＝12×2y−12×2×1=3，解得y＝4，∴P（0，4），故选：D．【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是得到△ABP与△ABC之间的关系，注意分类讨论．2．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点M，N的坐标分别为（4，0）和（a，a+1），且三角形OMN的面积是8，则a的值为（）A．3或-5B．±4C．3D．-5【答案】A【分析】利用三角形的面积公式，结合点的坐标列方程求解即可．【详解】解：根据题意得：12×4|a +1|=8，解得：a =3或a =−5，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，绝对值方程，结合坐标列出关于a 的方程，是解题的关键．3．（2023春·北京西城·八年级期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸四边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸四边形．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ORST 的四个顶点分别为O (0,0)，R (0,5)，T (8,0)，S (8,5)．已知点E (2,4)，F (0,3)，G (4,2)．若点P 在矩形ORST 的内部，以P ，E ，F ，G 四点为顶点的格点凸四边形的面积为6，所有符合题意的点P 的坐标为 ．【答案】(6,3),(5,4),(7,2),(2,1)【分析】画出图形，运用分割法求出与P ，E ，F ，G 四点为顶点的格点凸四边形的面积为6时的点P 即可．【详解】解：如图，S △EFG =4×2−12×1×2−12×1×4−12×2×2=3,S △P 1EG =12×3×2=3,∴S 四边形P 1EFG =S △EFG +S △P 1EG =3+3=6，此时，格点P 1的坐标为(5,4),过格点P 1作EG 的平行线，过格点P 2,P 3,则有：S △P 2EG =S △P 3EG =S △P 1EG =3,∴S 四边形P 2EFG =6,S 四边形P 3EFG =6,∴P 2(6,3), P 3(7,2),又S △P 4FG =12×(1+2)×4−12×2×2−12×2×1=3,∴S 四边形P 1EFG =S △EFG +S △P 4FG =3+3=6∴P 4(2,1),所以，以P ，E ，F ，G 四点为顶点的格点凸四边形的面积为6的点P 有四处，坐标为(6,3),(5,4),(7,2),(2,1)，故答案为：(6,3),(5,4),(7,2),(2,1)．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，找准、找全点P 的坐标是解答本题的关键．4．（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）如图，点A (4,0)，点B (−2,b )是第二象限内的点，△AOB 面积等于8．(1)求b 的值；(2)在坐标轴上是否存在一点P （不与点A 重合），使S △BOP =S △AOB 若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标，并写出其中一个点P 的坐标求解过程．【答案】(1)b =4(2)P 点坐标0，−8或（0，8或−4，0【分析】（1）根据△AOB 面积等于8列出方程求解即可；（2）分两种情况讨论：当点P 在y 轴上和点P 在x 轴上，分别根据S △BOP =S △AOB 列方程求解即可．【详解】（1）∵点B 是第二象限内的点∴b >0，∴S △AOB =12OA ×b =12×4b =8，∴b =4．（2）P点坐标0，−8或(0,8)或−4，0．求解过程：当点P在y轴上时，S△BOP=12OP×|−2|=8，∴OP=8，即点P坐标0，−8或0，8，当点P在x轴上时，S△BOP=12OP×4=8，∴OP=4，∵点P不与点A重合，∴点P坐标−4，0，综上：P点坐标0，−8或（0，8或−4，0．【点睛】本题主要考查了直角坐标系中点的特征，非负数的性质，三角形的面积，关键是数形结合运用点的坐标进行求得三角形的高与底边长．5．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点都在平面直角坐标系中的坐标轴上，△ABC 的面积S△ABC=24，OA=OB，BC=12，求△ABC三个顶点的坐标．【答案】A(0,4)，B(−4,0)，C(8,0)【分析】首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后写坐标的时候注意点的位置．【详解】解：∵S△ABC=12BC•OA=24，OA=OB，BC=12，∴OA=OB=2×24BC =4812=4，∴OC=8，∵点O为原点，∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．6．（2023春·广东汕尾·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a,0)，B(0,b)，C(c,0)，且a，b，c满足关系式|a−4|+(b−2)2+|c+2|=0，点P(m,n)在第一象限．(1)求a，b，c的值．S三角形ABP（S代表面积）时，求S三角形ABP的值．(2)连接BC，当S三角形ABC=32(3)当m=3，n>2时，三角形ABP的面积为7，求n的值．【答案】(1)a=4，b=2，c=−2；(2)4；(3)n=4；【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0，列式求解即可得到答案；S三角形ABP代（2）根据A(4,0)，B(0,2)，C(−2,0)得到AC=6，OB=2，求出S三角形ABC，结合S三角形ABC=32入求解即可得到答案；（3）过点P作PD⊥y轴于点D，根据题意得到PD=3，OD=n，OA=4，OB=2，得到BD=n−2，结合三角形面积列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵|a−4|+(b−2)2+|c+2|=0，∴a−4=0，b−2=0，c+2=0，解得a=4，b=2，c=−2；（2）解：∵A(4,0)，B(0,2)，C(−2,0)，∴AC=6，OB=2，×6×2=6，∴S三角形ABC=12S三角形ABP，∵S三角形ABC=32∴S三角形ABP=23S三角形ABC=4；（3）解：如图，过点P作PD⊥y轴于点D，∵m=3，∴PD=3，OD=n，由（1）得A(4,0)，B(0,2)，∴OA=4，OB=2，∴BD=n−2．∵三角形ABP的面积为7，S三角形BDP+S三角形AOB+S三角形ABP=S梯形AODP，∴1 2×(n−2)×3+12×4×2+7=12×(3+4)×n，解得n=4；【点睛】本题考查绝对值非负性与完全平方的非负性，平面直角坐标系中图形面积求解，点到坐标轴的距离问题，解题的关键是根据点到坐标轴的距离是三角形的高计算面积．【类型4已知图形面积，但点的位置不确定，需要分类讨论】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知A(a,0)和点B(0,5)两点，则直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（）A．−4B．4C．±4D．±5【答案】C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线AB与坐标轴围成的三角形是以OA、OB为直角边的直角三角形，∵A(a,0)和点B(0,5)，∴OA=|a|，OB=5，∴SΔOAB=12×OA×OB=12×|a|×5=10，∴|a|=4，∴a=±4．故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．2．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知点A−4，0，B6，0，C3，m，如果△ABC的面积是12，则m的值为（）A．1.2B．2.4C．−2.4D．−2.4或2.4【答案】D【分析】根据点的特征，得出A、B两点在x轴上，进而得出AB的长，再根据点C的坐标，得出点C到x轴的距离为|m|，再根据三角形的面积公式，即可得出m的值．【详解】解：∵A−4，0，B6，0，∴A、B两点在x轴上，∴AB=|−4|+6=10，∵C3，m，∴点C到x轴的距离为|m|，∵△ABC的面积是12，×10×|m|=12，∴S△ABC=12解得：m=±2.4．故选：D．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、点到坐标轴的距离、三角形的面积，解本题的关键在计算点C到x轴的距离时，注意加绝对值．3．（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A0，1，B2，0，C4，3，点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为________________．【答案】10，0或−6，0【分析】过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC=S四边形CDOE−S△AEC−S△ABO−S △BCD 求出S △ABC =4，设点P 的坐标为(x,0)，于是得到BP =|x−2|，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥x 轴，CE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，则S △ABC =S 四边形CDOE −S △AEC −S △ABO −S △BCD=3×4−12×2×4−12×1×2−12×2×3=12−4−1−3=4，设点P 的坐标为(x,0)，则BP =|x−2|，∵△ABP 与△ABC 的面积相等，∴12|x−2|×1=4，解得：x =10或x =−6，∴点P 的坐标为10，0或−6，0，故答案为：10，0或−6，0．【点睛】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC 的面积是解题的关键．4．（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图，长方形OABC 在平面直角坐标系中，其中A(4,0)，C(0,3)，点E 是BC 的中点，动点P 从O 点出发，以每秒1cm 的速度沿O−A−B− E 运动，最终到达点E ．若点P 运动的时间为x 秒，那么当x =2秒时，△OPE 的面积等于______cm 2；当△OPE 的面积等于5cm 2时，P 点坐标为______．【答案】 3 0或(4,1)【分析】当x=2秒时，利用三角形面积公式即可求解；第2问分三种情况，分别画出图形，利用三角形的面积公式进行计算解答即可．BC=2，【详解】解：由题意得OA=BC=4，OC=AB=3，BE=CE=12OP×OC=3；当x=2秒时，OP=2，△OPE的面积等于12当△OPE的面积等于5cm2时，分三种情况讨论，①如图，当P在OA上时，0<x≤4，∵△OPE的面积等于5，x·3=5，∴12解得x=10．3∴P0；②当P在AB上时，4<x≤7，如图，∵△OPE 的面积等于5，∴S 矩形OABC −S △AOP −S △OCE −S △EBP =5，∴4×3−12(4+3−x)×2−12×3×2−12×4×(x−4)=5，解得x =5．∴AP =5−4=1，∴P 点坐标为4，1；③当P 在BE 上时，7<x ≤9，如图，∴12(4+3+2−x )×3=5，解得x =173，不合题意，舍去．综上可知，当△OPE 的面积等于5cm 2，P 0或4，1故答案为：30或4，1．【点睛】本题考查了坐标与图形，长方形的性质和三角形的面积公式的应用，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．5．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知A (a,0)，B (b,0)，其中a ，b 满足|a +2|+(1)求a、b的值．(2)如果在第三象限内有一点M(−3,m)，请用含m的式子表示△ABM的面积．(3)在（2）条件下，当m=−4时，在y轴上有一点P，使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】(1)a=−2，b=4(2)−3m(3)P(0，4)或(0，−4).【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）根据（2）的结论得出S△ABM=−3×(−4)=12，设P(0，a)，则OP=|a|，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．．【详解】（1）解：∵|a+2|+(b−4)2=0，∴a+2=0，b−4=0，∴a=−2，b=4；（2）如图1所示，过M作ME⊥x轴于E，∵A(−2,0)，B(4,0)，∴OA=2，OB=4，∵在第三象限内有一点M(−3,m)，∴ME =|m|=−m ，∴S △ABM =12AB ×ME =12×6×(−m)=−3m ．（3）解：m =−4时，S △ABM =−3×(−4)=12，设P(0，a)，则OP =|a|，∴S ΔABP =12AB ⋅OP =12×6×|a|=3|a|，∴3|a|=12，解得a =±4，∴P(0，4)或(0，−4).【点睛】本题主要考查非负数的性质、点的坐标以及三角形的面积公式，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题.6．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图所示的平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (4,3),B (3,1),C (1,2)，将△ABC 平移后得到△DEF ．已知B 点平移的对应点E 点(0,−3)（A 点与D 点对应，C 点与F 点对应）．(1)画出平移后的△DEF ，并写出点D 的坐标为___________，点F 的坐标为___________；(2)直接写出△ABC 的面积___________；(3)连OC 、OB ，则y 轴上是否存在P 点，使S △POC =S △ABC ，若存在，直接写出P 点坐标___________；【答案】(1)作图见解析，D(1，−1) ,F(−2，−2)，(2)52(3)(0，5)或(0，−5)．【分析】（1）画出图象即可解决问题；（2）利用割补法求解面积即可；（3）设出坐标，列一元一次方程即可解决问题；【详解】（1）解∶∵A (4,3),B (3,1),C (1,2)，B 点平移的对应点E 点(0,−3)，∴△ABC 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得△DEF ，△DEF 如图所示，D(1，−1) ,F(−2，−2)，故答案为∶ D(1，−1) ,F(−2，−2)，；（2）解：S △ABC =2×3−12×1×3−2×12×1×2=52，故答案为52；（3）解：y 轴上是否存在P 点，使S △POC =S △ABC ，设P(0，m)，∵S △POC =S △ABC ，S △ABC =52，S △POC =12×|m |×1，∴12×|m |×1=52，解得m=5或m=−5∴P(0，5)或P(0，−5)，故答案为(0，5)或(0，−5)．【点睛】本题考查作图之平移变换，三角形的面积以及解一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为A(0,0),B(7,0) ,C(9,5),D(2,7)(1)求此四边形的面积．(2)在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC=50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)44(2)能，点P坐标为P1(−13,0),P2(27,0),P30,P40,−【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用割补法求三角形的面积，进行求解即可．【详解】（1）解：（1）如图，过D，C分别作DE,CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：S=S△AED+S梯形EFCD−S△CFB=12×AE×DE+12×(CF+DE)×EF−12×FC×FB，=12×2×7+12×(7+5)×7−12×2×5=44；故四边形ABCD的面积为44．（2）当点P 在x 轴上，设P 点坐标为(x,0)；如图：S ΔPBC =12|BP |⋅y C =12|7−x|×5=50，解得：x =−13或27，点P 坐标为(−13,0),(27,0)；当点P 在y 轴上，设P 点坐标为（0，y ），延长CB 交y 轴于E 点，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，设E (0,y E )，则：S ΔCFE =S ΔOBE +S 梯形OBCF ，即：12(5−y E )×9=12×7×(−y E )+12×(7+9)×5，解得：y E =−352，∴E 0,−①P 在直线BC 上方时，S ΔPBC =S ΔPEC −S ΔPEB y ×y ×7=50，解得：y =652；点P 坐标为0,②P 在直线BC 下方时，S ΔPBC =S ΔPEC −S ΔPEB 352−y ×352−y ×7=50，解得y =−1352，∴点P 坐标综上：点P 坐标为P 1(−13,0),P 2(27,0),P 30,P 40,−【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握割补法求图形的面积是解题的关键．8．（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （−2，3），C （−3，0）．(1)求△ABC 的面积是多少？(2)若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上时，且S △ACP =2S △ABC ，求点P 的坐标？(3)若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上时，且S △BCQ =2S △ABC ，求点Q 的坐标？【答案】(1)6(2)P (0，6);P （0,﹣6）(3)Q (-11，0);Q （5，0）【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．【详解】（1）∵A（1，0），B（−2，3），C（−3，0），∴AC=1−（−3）=1+3=4，点B到AC的距离为3，×4×3=6；∴△ABC的面积=12（2）∵S△ACP=2S△ABC=12，∴以AC为底时，△ACP的高=12×2÷4=6，∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；点P在y轴负半轴时，P（0，−6）；（3）∵∵S△BCQ=2S△ABC=12，∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ=12×2÷3=8，∴点Q在C的左边时，Q（−3−8，0），即Q（−11，0）；点Q在C的右边时，Q（−3+8，0），即Q（5，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积解决本题的关键在于要分情况讨论．。
平面直角坐标系中的面积问题-专题练习
y
4 3
B2 (0,2) 2
1
A(2,1)
1 2 图（4） 3 4
O
x
SOAB2 2 2 2
1 2
Y
4 3 2 1
B3 (2,3)
A(2,1)
1 2 3 4
O
X
图（5）
SOAB3 2 2 2
1 2
y
4
B4 (4,4)
3
2 1
A(2,1)
1 2 3 图（6） 4
1 1 1 1 1 3 2 2 2
y
4 3 2 1
B4 (4,4)
方 法 3
E(4,1)
A(2,1)
F(4,0) 1 2 3 图（9） 4
O
x
SOAB4 SOFB4 S梯形AEOF SAEB4
1 1 1 4 4 ( 2 4) 1 2 3 2 2 2 2
y
4 G(0,4) 3 2 1
B4 (4,4)
方 法 4
E(4,1)
A(2,1)
F(4,0) 1 2 3 图（10） 4
x
O
SOAB4 S正方形OFB4G SOB4G S四边形OFB4 A
1 4 4 4 4 6 2 2
y
4 3 2 1
B4 (4,4)
方 法 5
例5
在图(3)中，以OA为边的△OAB的面积为2，试找 出符合条件的且顶点是格点的点C，你能找到几 个这样的点？(在图中现有的网格中找)
y
4 3 2 1
A(2,1)
1 2 图（3） 3 4
O
x
y
4
3 2 1
七年级下 平面直角坐标系-面积问题专题
分类
一、直接求面积。 二、割补法求面积。 三、已知面积求坐标。 四、用含未知数的式子表达面积。
一、 直接求面积。
例题一，求下列图中三角形的面积
割补法求面积----万能的“补” 例题二：
二、割补法求面积
二、割补法求面积
割补法求面积----万能的“补”
例题三：
已知平面直角坐标系中 A(1，1), B（-3，-1）,
C(2,4),求三角形ABC的
面积。
二、割补法求面积
割补法求面积-----割 例题四：
二、割补法求面积
割补法求面积-----割标
例题五：
三、已知面积求坐标
练习：
三、已知面积求坐标
练习：
四、用未知数来表达面积。
例题五：
四、用未知数来表达面积。
例题五：
课堂小结 一，今天这堂课学了什么？ 二，为什么有的三角形面积可以直
接求，而有的需要用割补法？
课堂小结 一，今天这堂课学了什么？ 二，为什么有的三角形面积可以直
接求，而有的需要用割补法？ 三，哪些问题你觉得比较难？
提高拓展：
已知平面直角坐标 系中 已知A(1，1),
B（3，3）,
C在Y轴上，三角 形ABC的面积为2， 求点C的坐标。
专题：在平面直角坐标系中求图形面积(原卷版)
七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》专题 在平面直角坐标系中求图形的面积【例题1】如图，已知三角形ABC 如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C （﹣4，4）．则三角形ABC的面积是（ ）A．4B．6C．12D．24【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面积为 ；【变式1-2】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A1B1C1，画出平移后的图形，并写出点A1的坐标；（2）求三角形ABC的面积．【变式1-3】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．（2）求出此三角形的面积．【变式2-3】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，（1）请写出△ABC各点的坐标；（2）求出S．△ABC【变式2-4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在图中画出三角形A′B′C′；（3）求三角形ABC的面积．【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A （4，0），B （3，4），C （0，2），则四边形ABCO 的面积为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD ，各个顶点的坐标分别为A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进行规划，需要确定它的面积．（1）确定这个四边形的面积（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加2，所得的四边形面积又是多少？【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣2）．（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积．【变式3-3】如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b 为常数），（1）求点D 、E 的坐标；（2）求四边形ACED 的面积．【变式3-4】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A （2，4），B （6，6），C （8，2），求四边形OABC 的面积．【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O （0，0），点A （﹣3，2），点B 在y 轴上，若△AOB 的面积为12，则点B 的坐标为（ ）A ．（0，8）B ．（0，4）C ．（8，0）D ．（0，﹣8）或（0，8）【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．（1）求S；四边形ABCO；（2）连接AC，求S△ABC＝8？若存在，请求点P坐标．（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-5】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝ ，b＝ ；（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；（3）在（2）条件下，当m=―32时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM＝S三角形ABM，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．专题难点突破练1．（2022春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标；（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）如图1，△ABC的面积为 ；（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．①求△ACD的面积；②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．6．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的16，求点M的坐标；（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．。
专题复习：求平面直角坐标系中几何图形的面积
例1、已知△ABC，A（-2，0），B（3， 0），△ABC的面积为10，点 C在y轴 上，求点C的坐标。
变式1： 已知△ABC，A（-2，0）， B变（式32，：0），△ABC的面积为10， 点已知C的△横AB坐C标，为A（1，-2求，点0）C的，坐标。 B（3，0），△ABC的面积为10， 求点C的坐标。
。
y
方法四： 5
4N
s1
3
• C(3,4)
M
s2
2•
A(0,2)
1
-2 -1 o•
1
2
3
4
•
5
B(5,0)x
-1
-2
S=S长方形NOBM– S1 –S2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
方法五： 5
4
• C(3,4)
3
2•
A(01,2)
-2 -1 o•
-1
-2
s3
s1
12
s2
H
34
•5B(5,0) x
1
-2 -1 o•
1
2
3
4
•
5
B(5,0)x
-1
-2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
方法一： 5
4
• C(3,4)
3
2•
A(0,2)
s1
s2
1
-2 -1 o•
1
2
3
4
•
5
B(5,0)x
-1
-2
S=S1+S2
如图所示，则四边形AOBC的面积是
。
y
方法二： 5
4
• C(3,4)
专题05平面直角坐标系中求图形面积(解析版)
专题05平面直角坐标系中求图形面积类型一、直接用公式求面积例1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4A b 为y 轴正半轴上一点，点()3,0B b 是x 轴正半轴上一点，其中b 满足()316b +=．（1）求点A ，B 的坐标．（2）点C 为x 轴上一点，且ABC 的面积为12，求C 点的坐标．【答案】（1）()0,4A ，()3,0B ；（2）点C 的坐标为()3,0-或()9,0【解析】（1）由()316b +=得1b =，∴()04A ，，()30B ，．（2）设点C 的坐标为()0x ，，则3BC x =-，由1（）可知4OA =，∴1432ABC S x =⨯⨯-= 12，解得：9x =或3-．∴点C 的坐标为()30-，或()90，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知点(),0A a ，(),0B b ，a 、b 满足方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）C 为y 轴正半轴上一点，且6ABC S = ，请求出C 的坐标．【答案】（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）【解析】（1）解方程组24a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，解得：31a b =-⎧⎨=⎩，∴A （-3，0），B （1，0）；（2）由（1）可知：AB =4，∵S △ABC =12AB •OC =6，∴12×4×OC =6，解得OC =3，∴C （0，3）．故答案为：（1）A （-3，0），B （1，0）；（2）C （0，3）类型二、割补法求面积例1.如图，三角形ABC 的面积等于（）A ．12B ．1122C ．13D ．1132【答案】D【解析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，如图所示：由题意可得，3BO =，3OC =，6AD =，3CD =，∴6OD =，∴ABC BOC ACDBODA S S S S ∆∆∆=--梯形111()222BO AD OD BO OC CD AD=+⋅-⋅⋅-⋅⋅111(36)63336222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯54918222=--272=，即272ABC S ∆=，故选：D ．【变式训练1】如图，连接AB 、BC 、AC ，则△ABC 的面积是（）A ．312B ．3C ．212D ．2【答案】C【解析】长方形AGDE 的面积为：3×2=6，AGC 的面积：3×1÷2=1.5，CDB △的面积：2×1÷2=1，ABE △的面积：2×1÷2=1，故ABC 的面积为：6-1.5-1-1=2.5，故答案为：C ；【变式训练2】如图，三角形ABO 中，()2,3A --，()2,1B -，A B O ''' 是ABO 平移之后得到的图形，并且O 的对应点O '的坐标为()5,4．（1）作出ABO 平移之后的图形A B O ''' ，并写出A '、B '两点的坐标分别为A '______，B '_____；（2）()00,P x y 为ABO 中任意一点，则平移后对应点P 的坐标为______．（3）求ABO 的面积；【解析】（1）如图，△A 'B 'O '即为所求，A '、B '两点的坐标分别（3，1），（7，3）．故答案为：（3，1），（7，3）．（2）点P '的坐标为（x 0+5，y 0+4）．故答案为：（x 0+5，y 0+4）．（3）S △ABO =3×4-12×2×3-12×1×2-12×4×2=4．【变式训练3】在平面直角坐标系xoy 中，△ABC 的位置如图所示，点A ，B ，C 都在格点上．（1）分别写出下列顶点的坐标：A ________；B ________；（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A ′B ′C ′；（3）计算出△ABC 的面积．【答案】（1）(-1,6)，(-2,0)；（2）见解析；（3）152【解析】（1）由图知，点A 的坐标为(-1,6)，点B 的坐标为(-2,0)，故答案为：(-1,6)，(-2,0)（2）由图得，点C 的坐标为(-4,3)，则点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A ′，B ′，C ′坐标分别为(1,6)，(2,0)，(4,3)，依次连接A ′，B ′，C ′，即得△A ′B ′C ′，所得图形如图所示（3）过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E则ABC AOD CED ADEC S S S S =-- 梯形111(36)31623222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯152=类型三、点的存在性问题例1.如图，在平面直角坐标系中，点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，其中0a >，点A 为BC 的中点，若4BC =，解决下列问题：（1）BC 所在直线与x 轴的位置关系是；（2）求出a 的值，并写出点A ，C 的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使得三角形PAC 的面积等于5？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）平行；（2）()1,2A ，()3,2C ；（3）存在，P 点坐标为()0,3-或()0,7【解析】（1）∵点B ，C 的坐标分别为(),2a a -、()3,2a a ，∴BC 所在直线与x 轴的位置关系是平行．故答案为：平行．（2）∵4BC =，∴()34a a --=，∴1a =，∴B （-1，2），C （3，2），∵A 为BC 的中点，∴()1,2A ．（3）存在点P ．设()0,P m ，∵2AC =，∴12252m ⨯⨯-=，∴3m =-或7.∴P 为()0,3-或()0,7．【变式训练1】如图，在直角坐标系中，已知()0,2A ，()3,0B ，()3,4C 三点．（1）求四边形AOBC 的面积；（2）是否存在点()0.5P x x ,，使2ABC AOBC S S = 四边形？若存在，求出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）存在，()189P --,或(18,9)【解析】如图，∵34C （，），∴33CD ==．∵()34C ，，30B （，），∴404CB =-=，∴4312DCBO S =⨯=四边形．∵()04D ，，()02A ，，∴422DA =-=，∴11236322DCA S =⨯⨯=⨯= ．∵DCA AOBC DCBO S S S =- 四边形四边形，∴1239AOBC S =-=四边形．（2）由（1）得1239AOBC S =-=四边形设存在点()0.5P x x ，，使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．∵△AOP 的面积=122x x ⨯⨯=，∴29x =⨯，∴18x =±∴存在点P （18，9）或（-18，-9），使△AOP 的面积为四边形AOBC 的面积的两倍．【变式训练2】如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t 秒．（1）若AB ∥x 轴，求t 的值；（2）如图2，当t ＝2时，坐标平面内有一点M （不与A 重合）使得以M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）t 的值为1.5；（2）点M 的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，1）．【解析】（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO=BC=3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=3，∴t=3÷2=1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t=2时，OP=4，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP=PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP=∠PDM，∠APO=∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA=DM=3，OP=PD=4，∴M（8，-3）；②如图，若△ABP≌△MPB，连接AM，则AP=PB=BM，∠APB=∠MBP=90︒，∴AP∥MB，且AP=MB，∴四边形APBM是平行四边形，y轴于点E，又∠APB=∠MBP=90︒，∴四边形APBM是正方形，∴AP=AM，过点M作ME⊥同理可证△AOP≌△MEA（AAS），∴OA=EM=3，OP=AE=4，∴M（3，7）；③如图，若△ABP≌△MPB，则AP=BP=BM，过点M 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点F 、G ，过点M 作MH ⊥BF 于点H ，∴四边形FGMH 是矩形，∴MH =FG ，MG =HF ，同理可证△AOP ≌△PFB ≌△BHM （AAS ），∴OA =PF =BH =3，OP =BF =MH =4，∴MG =HF =BF -BH =1，OG =OP +PF +FG =11，∴M （11，1）；综合以上可得点M 的坐标为（3，7），（8，-3），（11，1）．【变式训练3】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()1,0，点D 的坐标为()0,2．延长CB 交x 轴于点1A ，作第1个正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作第2个正方形2221A B C C ，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积是______．【答案】404235(2⨯【解析】()()1,0,0,2,A D 正方形ABCD ，1,2OA OD ∴==,,AD AB ===190,DAO ADO DAO BAA ∠+∠=︒=∠+∠1,ADO BAA ∴∠=∠190,DOA ABA ∠=∠=︒ 1,AOD A BA ∴ ∽1,AO OD A B AB ∴=15,2AO AB A B OD ∴== 正方形111A B C C，1113222A B A C ∴====⨯同理可得：22232442A B ⎛⎫=+==⨯ ⎪⎝⎭33332A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭······20212021202132A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以第2021个正方形的面积是22021404233=5.22⎡⎛⎫⎛⎫⨯⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦故答案为：404235.2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭。
人教版七年级数学下册第七章平面直角坐标系 在直角坐标系中求几何图形的面积专题训练
人教版七年级数学下册在直角坐标系中求几何图形的面积专题训练1.已知：在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴交于点B (b ，0)、点A (0，a )，且a 、b 满足0|32|34=++++--b a b a ，点D (h ，m )是直线AB 上且不与A 、B 两点重合的动点 (1) 求△AOB 的面积;(2) 如图1，点P 、点T 分别是线段OA 、x 轴正半轴上的动点，过T 作TE ∥AB ，连接TP ．若∠ABO＝n °，请探究∠APT 与∠PTE 之间的数量关系？（注：可用含n 的式子表达并说明理由）(3) 若32S △BOD ≥S △AOD ，求出m 的取值范围.2. 已知：如图的网格中， 的顶点 、 ．根据A 、B 坐标在网格中建立平面直角坐标系并写出点C 的坐标： ______，______ ；平移三角形ABC ，使点C 移动到点 ，画出平移后的三角形DEF ，其中点D 与点A 对应，点E 与点B 对应．画出AB 边上中线CD 和高线CE ； 利用网格点和直尺画图 （4）求ABC ∆的面积3.如图， 在平面直角坐标系xOy 中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3,1），（0,2），若把三角形ABC 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 个单位长度得到三角形，点A ，B ，C 的对应点分别为 ， ， .（1）写出点 ， ， 的坐标；（2）在图中画出平移后的三角形 （3）求三角形 的面积4.对于平面直角坐标系xOy 中的点A ，给出如下定义：若存在点B （不与点A 重合，且直线AB 不与坐标轴平行或重合），过点A 作直线m ∥x 轴，过点B 作直线n ∥y 轴，直线m ，n相交于点C.当线段AC ，BC 的长度相等时，称点B 为点A 的等距点，称三角形ABC 的面积为点A 的等距面积. 例如：如图，点A （2，1），点B （5，4），因为AC = BC =3，所以B 为点A 的等距点，此时点A 的等距面积为92.（1）点A 的坐标是（0，1），在点B 1（-1，0），B 2（2，3），B 3（-1，-1）中，点A 的等距点为 .（2）点A 的坐标是（-3，1），点A 的等距点B 在第三象限，①若点B 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛2129，－－，求此时点A 的等距面积； ②若点A 的等距面积不小于98，求此时点B 的横坐标t 的取值范围. 5. 如图,以直角△AOC 的直角顶点O 为原点,以OC,OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系,点A ),0(a ,C )0,(b 满足082=-++-b b a . (1) 点A 的坐标为______________;点C 的坐标为_____________.(2) 已知坐标轴上有两动点P ,Q 同时出发,P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动,Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动,点P 到达O 点 整个运动随之结束.AC 的中点D 的坐标是)3,4(,设运动时间为t 秒.问:是否存在这样的t ,使得 △ODP 与△ODQ 的面积相等?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.(3) 在(2)的条件下,若∠DOC=∠DCO,点G 是第二象限中一点,并且y 轴平分∠GOD.点E 是线段 OA 上一动点,连接接CE 交OD 于点H,当点E 在线段OA 上运动的过程中,探究∠GOA,∠OHC, ∠ACE之间的数量关系,并证明你的结论(三角形的内角和为180可以直接使用).6.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3a，2a）在第一象限，过点A向x 轴作垂线，垂足为点B，连接OA，S△AOB=12，点M从O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接AM，AN，MN．（1）求a的值；（2）当0＜t＜2时，①请探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之间的数量关系，并说明理由；②试判断四边形AMON的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）当OM=ON时，请求出t的值．7.如图,三角形AOB是由三角形A1O1B1平移后得到的,已知点A的坐标为( 2,-2 ),点B的坐的坐标为( 3,-1 ).标为( -4,2 ),若点A求:( 1 )O1,B1的坐标.，( 2 )三角形AOB的面积.8.如图，△ABC在直角坐标系中，（1）请写出△ABC各点的坐标．（2）求出△ABC的面积．（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．9.在平面直角坐标系中,点A、B在坐标轴上,其中A(0,a)、B(b,0)满足：-+a.+ba-b8-212=(1)求A、B两点的坐标；(2)将线段AB平移到CD,点A的对应点为C(-2,t),如图(1)所示.若三角形ABC的面积为9,求点D的坐标；(3)平移线段AB到CD,若点C、D也在坐标轴上,如图(2)所示,P为线段AB上的一动点(不与A、B重合),连接OP,PE平分∠OPB,∠BCE=2∠ECD.求证:∠BCD=3(∠CEP-∠OPE).10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1）、B（5，1）、C（7，3）、D（2，5）．（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；（2）求四边形ABCD的面积．11.在如图的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形回答下列问题：（1）图中格点三角形A′B′C′是由格点三角形ABC通过怎样的变换得到的？（2）如果以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－3，4），请写出格点三角形DEF各顶点的坐标，并求出三角形DEF的面积.12.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式a－2＋（b－3）2＝0，（c－4）2≤0.（1）求a，b，c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13.如图，已知正方形ABOD的周长为42，点P到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．(1)请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；(2)求点P 的坐标及三角形PDO 的面积．14.如图，在方格纸中(小正方形的边长为1)，三角形ABC 的三个顶点均为格点，将三角形ABC 沿x 轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系(O 是坐标原点)，解答下列问题：(1)画出平移后的三角形A′B′C′，并直接写出点A′，B ′，C ′的坐标；(2)求出在整个平移过程中，三角形ABC 扫过的面积．15.已知点A(－2，3)，B(4，3)，C(－1，－3)．(1)求A ，B 两点之间的距离；(2)求点C 到x 轴的距离；(3)求三角形ABC 的面积；(4)观察线段AB 与x 轴的关系，若点D 是线段AB 上一点(不与A ，B 重合)，则点D 的坐标有什么特点？16.如图①，在平面直角坐标系中，C 是第二象限内一点，CB ⊥y 轴于点B ，且B （0，b ）是y 轴正半轴上一点，A （a ，0）是x 轴负半轴上一点，且|a ＋2|＋|b －3|＝0，S 四边形AOBC ＝9.（1）求点C 坐标；（2）如图②，点D 为线段OB 上一动点，且S ADC ＝23S 四边形ADBC ，求点D 的坐标.图① 图②17.在平面直角坐标系中，点A （m ，0），B （0，n ），且m ，n 满足n ＝m 2－4＋4－m 2＋12m －2. （1）求A ，B 两点坐标；（2）如图①，若P （a ，0），且三角形P AB 的面积为6，求a 的值；（3）如图②，若点C 为x 轴正半轴上一点，过点C 作CD ∥AB ，E 为线段AB 上一点，过点O 作OF ⊥OE 交CD 于点F ，其中∠BEH ＝13∠BEO ，∠FCH ＝13∠FCO .试写出∠EHC 与∠BOF 之间的数量关系，并证明你的结论.人教版七年级数学下册在直角坐标系中求几何图形的面积专题训练答案：1.略2.解： 平面直角坐标系如图所示， ，故答案为2，3．平移后的 略． 边上中线CD 和高线CE 略；．故答案为． 3.解：（1）()13，-'A ,()42，B ',()51，-'C .（2）平移后的图形略（3）7.4.解：（1）B 1, B 2 . （2）①如图，根据题意，可知AC ⊥BC .∵A （-3,1），B （29-，21-），∴AC =BC =23. ∴三角形ABC 的面积为8921=⋅BC AC . ∴点A 的等距面积为89. 点B 的横坐标t 的取值范围是92t ≤-或302t -≤＜. 5. (1) )0,8();6,0((2) ∵t t x OQ S D ODQ 242121=⋅⋅=⋅=∆ t t y OP S D ODP 3123)28(2121-=⋅-⋅=⋅=∆ 由t t 3122-=时,4.2=t ∴存在4.2=t 时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) ∠GOD+∠ACE=∠OHC,理由如下∵x 轴⊥y 轴 ∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90° 又∵∠DOC=∠DCO ∴∠OAC=∠AOD∵x 轴平分∠GOD ∴∠GOA=∠AOD ∴∠GOA=∠OAC∴OG ∥AC 过点H 作HF ∥OG∴HF ∥AC ∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD ∴∠GOD+∠ACE=∠FHC+∠FHO即∠GOD+∠ACE=∠OHC6.解：（1）如图1中，∵S △AOB =12，A （3a ，2a ），∴×3a ×2a=12，∴a 2=4，又∵a ＞0，∴a=2．（2）当0＜t ＜2时①∠ANM=∠OMN +∠BAN ，原因如下：如图2中，过N 点作NH ∥AB ，∵AB ⊥X 轴∴AB ∥OM ∴AB ∥NH ∥OM ∴∠OMN=∠MNH ，∠BAN=∠ANH ∴∠ANM=∠MNH +∠ANH=∠OMN +∠BAN ．②S 四边形AMON =12，理由如下：∵a=2∴A （6，4）∴OB=6，AB=4，OM=2t BN=3tON=6﹣3t ∴S 四边形AMON =S 四绞刑ABOM ﹣S △ABN ，=（AB +OM ）×OB ﹣×BN ×AB=（4+2t ）﹣×3t ×4=12+6t ﹣6t=12 ∴四边形AMON 的面积不变（3）∵OM=ON ∴2t=6﹣3t 或2t=3t ﹣6∴t=或6．7.( 1 )点O 1的横坐标为0+( 3-2 )=1;纵坐标为0+[-1-( -2 )]=1;点B 1的横坐标为-4+( 3-2 )=-3;纵坐标为2+[-1-( -2 )]=3;所以点O 1的坐标为( 1,1 ),点B 1的坐标为( -3,3 );( 2)三角形AOB 的面积为 ×1×2+ ×1×2=2. 8.解：（1）由图可知，A （﹣1，﹣1），B （4，2），C （1，3）；（2）S △ABC =4×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×3×5=20﹣4﹣﹣=7；（3）如图，△A′B′C′即为所求，A′（1，1），B′（6，4），C′（3，5）．9.10.解：（1）填空：四边形ABCD 内（边界点除外）一共有 14个整点（2）如下图所示：（图略）∵S 四边形ABCD =S △ADE +S △DFC +S 四边形BEFG +S △BCG ， S △ADE=×2×4=4， S △DFC =×2×5=5， S 四边形BEFG =2×4=8， S △BCG =×2×1=1∴S 四边形ABCD =4+5+8+1=18， 即四边形ABCD 的面积为1811.解：（1）图中格点三角形A′B′C′是由格点三角形ABC 向右平移7个单位长度得到的 （2）三角形DEF 各顶点的坐标分别为D （0，－2），E （－4，－4），F （3，－3），三角形DEF的面积为7×2－12×7×1－12×3×1－12×4×2＝512.解：（1）a ＝2，b ＝3，c ＝4 （2）∵A （0，2），B （3，0），∴OA ＝2，OB ＝3，∴S 四边形ABOP ＝S 三角形AOB ＋S 三角形AOP ＝12×2×3＋12×2×|m|＝3－m （3）存在.∵S 三角形ABC ＝12×4×3＝6，∴3－m ＝6，∴m ＝－3，∴点P 的坐标为（－313解：(1)A (－2，2)，B (0，2)，O (0，0)，D (－2，0) (2)P 1(2，2)P 2(－2，－2)，P 3(2，－2)，三角形PDO 的面积为12×2×2＝1 14解：(1)画图略，A ′(－1，5)，B ′(－4，0)，C ′(－1，0) (2)三角形ABC 扫过的面积为(5＋8)×5×12＝32.5 15.解：(1)A ，B 两点间的距离为4－(－2)＝6 (2)点C 到x 轴的距离为3 (3)三角形ABC 的面积为12×6×6＝18 (4)AB ∥x 轴，若点D 是线段AB 上一点，则点D 的纵坐标等于3，与点A ，B 的纵坐标相同，横坐标大于－2小于416.解：（1）∵|a ＋2|＋|b －3|＝0，∴a ＝－2，b ＝3，∴OA ＝2，OB ＝3，∵S 四边形AOBC ＝9，∴12×（2＋BC ）×3＝9，∴BC ＝4，∴点C 的坐标为（－4，3）（2）设点D 的坐标为（0，x ）， 则S BCD ＝12×4×（3－x ）＝6－2x ，S 四边形ADBC ＝S 梯形AOBC －S AOD ＝9－12×2x ＝9－x ，∵S ADC ＝23S 四边形ADBC ，∴S BCD ＝13S 四边形ADBC ，∴6－2x ＝13（9－x ），解得x ＝95，∴点D 的坐标为（0，95）. 17..解：（1）A （－2，0），B （0，－3）；（2）a ＝2或－6；（3）3∠EHC －∠BOF ＝180°， 证明：过点H 作HG ∥AB ，可证得∠EHC ＝∠BEH ＋∠FCH ，同理过O 点作OP ∥AB ，可证得∠EOF ＝∠AEO ＋∠OFC ＝90°，由上得∠EHC ＝∠BEH ＋∠FCH ，又∠BEH ＝13∠BEO ，∠FCH ＝13∠FCO ，∴∠EHC ＝13（∠BEO ＋∠FCO ），又∠BEO ＝180°－∠AEO ，∠AEO ＝90°－∠OFC ，∴∠EHC ＝13（90°＋∠OFC ＋∠FCO ）＝13（90°＋180°－∠FOC ）＝13[270°－（90°－∠BOF ）]∴∠EHC ＝13（180°＋∠BOF ），∴3∠EHC －∠BOF ＝180°.第11 页共11 页。
平面直角坐标系背景下的面积问题(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题3.19平面直角坐标系背景下的面积问题（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】已知点的坐标求图形面积【考点一】三角形有一边在坐标轴上【例1】（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O （0，0），A （3，0），B （5，2），C （2，3）．求这个四边形的面积．【答案】172．【分析】分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，根据S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF 结合三角形面积公式解题．解：分别过C 点和B 点作x 轴和y 轴的平行线，如图，则E （5，3），A （3，0），B （5，2），C （2，3）,532,2,321,2,523AH BH BE CF CE ∴=-===-===-=所以S 四边形ABCO =S 矩形OHEF ﹣S △ABH ﹣S △CBE ﹣S △OCF =5×3﹣12×2×2﹣12×1×3﹣12×3×2=172．【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，会运用面积的和差计算不规则图形的面积．【举一反三】【变式1】（2021秋·八年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．【答案】2【分析】首先根据题意求出AB的长度和AB边上的高的长度，然后根据三角形面积公式求解即可．解：作CD⊥x轴，垂足为点D．A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，∴OA=5，OB=3，CD=2，∴AB=OA-OB=5-3=2．∴S△ABC=12AB·CD=12×2×2=2．【点拨】此题考查了网格中三角形面积的求法，解题的关键是根据题意求出AB的长度和AB边上的高．【变式2】（2021秋·全国·八年级专题练习）已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD 的面积．【答案】42【分析】把原图形分解成一个三角形加一个梯形加一个三角形，再利用面积公式即可求解．解：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，过D 作DE ⊥x 轴于点E则AE =2，DE =7，BF =2，CF =5，EF =5∴ADE BCFABCD DEFC S S S S ∆∆=++四边形梯形11127(75)52542222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．【点拨】本题考查平面直角坐标系下的不规则图形面积计算，灵活拆解不规则图形是解题关键．【考点二】三角形有一边平行于坐标轴【例2】（2023春·北京朝阳·七年级校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中有三点A （﹣2，1）、B （3，1）C （2，3），请回答如下问题：（1）在坐标系内描出点A 、B 、C 的位置；（2）求出以A 、B 、C 三点为顶点的三角形的面积．【答案】（1）2见解析；（）5．【分析】（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出点A ，B ，C 的位置；（2）将AB 看成底边，则C 到AB 的距离为高，根据图象得出高为2，再用三角形的面积公式即可得出三角形ABC 的面积．解：（1）A ，B ，C 的位置如图所示，（2）以AB 为底边，则C 到AB 的距离为AB 边上的高，∵A （-2，1），B （3，1），∴AB =3-（-2）=5，由图可知C 到AB 的距离为2，1S 5252ABC ∴=⨯⨯= ∴三角形ABC 的面积为5．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能恰当的找到三角形ABC 的底边和高．【举一反三】【变式1】（2022春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）如图在直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），C （3，c ）三点，若a ，b ，c 满足关系式：()223a b -+-＝0．（1）求a ，b ，c 的值．（2）求△ABC 的面积．（3）是否存在点P （x ，2x ），使△BCP 的面积为△AOB 的面积的两倍？若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a ，b ，c 的值分别为2，3，4；(2)△ABC 的面积为6；(3)存在，点P 的坐标为（0，0），（6，12）【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a ,b ,c 的值；（2）由点A 、B 、C 的坐标可得△ABC 的面积；（3）设存在点P （x ，2x ），使△BCP 的面积为△AOB 的面积的两倍，根据面积列出方程，解方程即可．（1）解：∵()223a b -+-，∴20,30,40a b c -=-=-=，∴2,3,4a b c ===，（2）∵A （0，2），B （3，0），C （3，4）；∴4,3,BC OB ==1143622ABC B S BC x ∴=⨯=⨯⨯= （3）设存在点P （x ，2x ），使△BCP 的面积为△AOB 的面积的两倍，∵1123322AOB S OA OB =⨯=⨯⨯= ，∴142BCP P B S x x =⨯⨯- ，143232x ∴⨯⨯-=⨯，即33x -=，解得0x =或6x =，∴P 的坐标为（0,0），（6,12）．【点拨】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．【变式2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知四边形ABCD ．（1）分别写出点A B C D ，，，的坐标；（2）试求四边形ABCD 的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）．【答案】(1)()1,2--A ,()2,3B -,()2,3C ,()2,1D -；(2)16【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标；（2）首先把四边形ABCD 分割成规则图形，再求其面积和即可．解：（1）()1,2--A ,()2,3B -,()2,3C ,()2,1D -（2）11S 33213241622ABCD =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=四边形【点拨】此题主要考查了点的坐标，以及求不规则图形的面积，关键是把不规则的图形正确的分割成规则图形．【考点三】三角形没有一边平行于坐标轴【例3】（2022春·重庆荣昌·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （3，3），B （5，1），C （﹣2，﹣3）．（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，并直接写出点A 1，B 1，C 1的坐标．（2）求△ABC 的面积．【答案】(1)图见详解，（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；(2)11【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．（1）解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．并直接写出点A 1（﹣3，3），B 1（﹣5，1），C 1（2，﹣3）．故答案为：（﹣3，3），（﹣5，1），（2，﹣3）；（2）解：S △ABC ＝6×7-12×6×5﹣12×2×2﹣12×7×4＝11．【点拨】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．【举一反三】【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）ABC 中，A 、B 、C 三点坐标分别为()0,0、()4,1、()1,3．（1）求ABC 的面积；（2）若B 、C 点坐标不变，A 点坐标变为()1,1--，则ABC 的面积为______．【答案】（1）112；（2）8．【分析】（1）分别过点B C 、作x y 、的垂线交x y 、于D E 、两点，并反向延长BD CE 、，交于F 点，则ABC的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解；（2）分别过点、、A B C 作x y 、的垂线，分别相交于点D E F 、、，则ABC 的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．解：（1）分别过点B C 、作x y 、的垂线交x y 、于D E 、两点，并反向延长BD CE 、，交于F 点，如下图：则：4=AD 、3AE =、1CE =、3CF =、1BD =、2BF =由图形可得：ABC ACE CBF ABDS S S S S =---△△△△长方形ADFE 11131134312341123222222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=所以，112ABC S = （2）分别过点、、A B C 作x y 、的垂线，分别相交于点D E F 、、，如下图：则：5AF =、4=AD 、2CD =、3CE =、2BF BE ==由图形可得：ABC ACD CBE ABFsS S S S S =---△△△△长方形ADEF11154422352204358222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=所以，8ABC S =△【点拨】此题考查了平面直角坐标系的应用，割补法求解三角形面积，解题的关键是根据直角坐标系的性质构造出矩形求解三角形面积．【变式2】（2021秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格， ABC 的三个顶点都在格点上．（1）点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）图中线段BC 的长为；（3） ABC 的面积为；【答案】（1）A （3，4），B （0，2）；（2；（3）112；（4）（0，173）或（0，53-）【分析】（1）根据点的位置直接写出坐标；（2）利用勾股定理结合点的坐标计算；（3）利用割补法计算即可；解：（1）由图可知：A （3，4），B （0，2）；（2）BC （3）S △ABC =11134234131222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=112；【知识点2】已知图形面积求点的坐标【考点四】由图形的面积求点的坐标【例4】（2022秋·新疆塔城·七年级塔城地区第二中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a ，0），B （b ，0），其中a ，b 满足|a +1|+()23b -=0．（1）填空：=a ___________，b =___________；（2）若在第三象限内有一点M （-2，m ），请用含m 的式子表示△ABM 的面积；（3）在（2）条件下，当32m =-时，在x 轴上是否存在点P （不与点A 重合），使得PBM ABM S S =三角形三角形，若存在请求出点P 的坐标，不存在说明理由．【答案】(1)-1，3；(2)-2m ；(3)存在，P （7，0）【分析】（1）根据非负数性质可得a 、b 的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算ABM S ，根据PBM S =ABM S 列方程求解可得．（1）解：∵|a +1|+()23b -=0，∴a +1=0且b -3=0，解得：a =-1，b =3，故答案为：-1，3；（2）解：过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，由（1）得：A （-1，0），B （3，0），∴AB =1+3=4，又∵点M （-2，m ）在第三象限，∴MN =|m |=-m ，∴ABM S =12AB •MN =12×4×（-m ）=-2m ；（3）解：当m =-32时，M （-2，-32），∴ABM S =-2×（-32）=3，PBM S =12×PB ×32，由题意得12×PB ×32=3，解得PB =4，∵P 不与A 重合∴P （7，0）．【点拨】本题主要考查非负数的性质，坐标与图形的性质，第3问根据题意建立方程是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）如图，已知(2,3)(4,3)(1,3)A B C ---、、，（1）求点C 到x 轴的距离；（2）求ABC ∆的面积；（3）点P 在y 轴上，当ABP ∆的面积为6时，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)3；(2)18；(3)(0,1)或(0,5)【分析】（1）点C 的纵坐标的绝对值就是点C 到x 轴的距离解答；（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P 的坐标为(0,)y ，根据△ABP 的面积为6，),(2,3)(4,3A B -，整理得|3|2x -=，所以5x =或1x =，即可解答．（1）解：∵(1,3)--C ，∴|3|3-=，∴点C 到x 轴的距离为3；（2）解：∵(2,3)(4,3)(1,3)A B C ---、、，∴4(2)6AB =--=，点C 到边AB 的距离为：3(3)6--=，∴ABC ∆的面积为：66218⨯÷=．（3）解：设点P 的坐标为(0,)y ，∵ABP ∆的面积为6，(2,3)(4,3)A B -、，∴16|3|62y ⨯⨯-=，∴|3|2y -=，∴1y =或5y =，∴P 点的坐标为(0,1)或(0,5)．【点拨】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是利用数形结合的思想．【变式2】（2023春·广东湛江·七年级校考期中）已知，点(32)A a a ++，．且点A 在x 轴上，（1）A 点的坐标为．（2）若点C 坐标为()0,4，求AOC 的面积．（3）在（2）的条件下，若点P 为y 轴上一动点，且ACP △的面积为5，求点P 的坐标．【答案】(1)()1,0；(2)2；(3)()0,14或()0,6-【分析】（1）由点A 在x 轴上可得其纵坐标为0，求出a 即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式求解即可；（3）根据题意可求出10PC =，再分两种情况：①当点P 在y 轴正半轴时，②当点P 在y 轴负半轴时，结合图形解答即可．解：（1）∵点(32)A a a ++，，且点A 在x 轴上，∴20a +=，∴2a =-，∴31a +=，∴点A 的坐标为()1,0，故答案为：()1,0；（2）由（1）可知，点A 的坐标为()1,0，∴1OA =，∵点C 坐标为()0,4，∴4OC =，∵=90AOC ∠︒，∴AOC 的面积11•14222OA OC ==⨯⨯=；（3）∵ACP △的面积为5，∴1•52PC OA =，即1152PC ⨯=，解得：10PC =，分两种情况：①当点P 在y 轴正半轴时，如图1，则10414OP PC OC =+=+=，∴点P 的坐标为()0,14；②当点P 在y 轴负半轴时，如图2，则1046OP PC OC =-=-=，∴点P 的坐标为()0,6-；综上所述，点P 的坐标为()0,14或()0,6-．【点拨】本题考查了坐标与图形以及三角形的面积，正确分类、得出相应点的坐标是解题关键．。
平面直角坐标系背景下的面积问题(基础练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题3.20平面直角坐标系背景下的面积问题（分层练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·广东汕头·统考模拟预测）已知(,0)A a 和点(0,5)B 两点，则直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是（）A ．4-B ．4C ．4±D ．5±2．（2023春·福建福州·七年级校考期中）已知(),0A a ，()0,10B ，()5,0C 三点，且三角形ABC 的面积等于20，则a 的值为（）A ．1或9-B ．9C ．1或9D ．9或9-3．（2022秋·八年级单元测试）若点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()4,0，点C 在y 轴上，ABC 的面积是10，则C 点的坐标可能是（）A ．()0,10B ．()5,0C ．()0,4D ．()0,5-4．（2020春·广西·七年级统考期末）如图，已知三角形ABC 如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(－4，4)，则三角形ABC 的面积是（）A ．4B ．6C ．12D ．245．（2023春·河北承德·八年级校考阶段练习）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO ，各顶点坐标分别为()2,6A -，()5,4B -，()7,0C -，()0,0O （图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（）2m ．A ．25B ．250C ．2500D ．22006．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图在平而直角坐标系中，点(1,3)A --，点(3,1)B -，点(2,2)C ，则三角形ABC 的面积是（）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.57．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，()3,3B ，(),0A a 是x 轴上的动点，当AB 将图案分成面积相等的两部分时，a 等于（）A ．1B ．43C ．32D ．538．（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，已知：()4,3A ，()6,0B ，()5,2E ，求△AOE 的面积（）A ．3.5B ．2.5C ．6D ．79．（2023春·七年级课时练习）如图在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为()2,3A ，()5,0B ，()4,1C ，则AOC 的面积是（）A ．5B ．10C ．75D ．1510．（2021春·河南信阳·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m 其行走路线如图所示，第1次移动到1A ，第2次移动到2A ，…，第n 次移动到n A ．则22021OA A △的面积是（）A ．2505.5mB ．2505mC ．2504.5mD ．2506m 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022春·甘肃武威·七年级校考期末）平面直角坐标系中，由点()()()3433A a B a C b +-，，，，，组成的ABC 的面积是．12．（2015秋·山东滨州·八年级阶段练习）如图，A ，B 两点的坐标分别是A(1，2)，B(2，0)，则ABO 的面积是．13．（2019春·上海浦东新·七年级统考阶段练习）在直角坐标平面内有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是()1,5A -、()3,5B 、()2,1C -，那么这个三角形的面积等于.14．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，有()1,0A -、()2,0B 、()0,4C 三点，则ABC 的面积是．15．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）如图，(20),A -，()0,3B ，()2,4C ，()3,0D ，点P 在x 轴上，直线CP 平分四边形ABCD 的面积，则PD 的长为．16．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，三角形ABC 的三个顶点坐标为(6,6)A 、(0,3)B 、(5,0)C ，连接OA 交BC 于点D ，则三角形BDA 的面积=．17．（2019秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，ABC ∆三点的坐标分别是()2,0A 、()0,1B 、()2,3C ，若点P 为直线AB 上方坐标轴上一点，满足ABP ∆与ABC ∆的面积相等，则点P 的坐标为．18．（2021春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标的最大值，则“矩面积”S ah =．例如：三点坐标分别为A （1，2）、B （-3，1）、C （2，-2），则“水平底”a =5，“铅垂高”h =4，“矩面积”S=20．若D （1，2）、E （-2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”S=15，则的t 值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·四川泸州·八年级四川省泸县第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．（1）求四边形ABCD 的面积（2）点P为y轴上一点，且ABP的面积等于四边形ABCD的面积的一半，求点P的坐标．20．（8分）（2022春·河北张家口·八年级统考期中）写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．21．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知(),0A a ，(),0B b ，其中a ，b 满足()2130a b ++-=．（1）填空：=a ________，b =________；（2）如果在第三象限内有一点()2,M m -，请用含m 的式子表示ABM S △的面积；（3）在（2）条件下，当2m =-时，在x 轴上是否存在点P ，使12BMP ABM S S =△△，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．22．（10分）（2023春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，已知4OA =，3OB =，点C 在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．（1）直接填写点A ，B ，C 的坐标：A (，)，B (，)，C (，)；（2）求三角形ABC 的面积；（3）点D 为BC 与x 轴的交点，运用（2）中的结论求点D 的坐标．23．（10分）（2023春·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）已知ABC ，按要求解答下列问题．（1）如图1.①作BC 边上的高线；②通过测量、计算得ABC 的面积约为______2cm ；（结果保留一位小数）（2）如图2，在正方形网格中，点A 、B 、C 是网格线交点，建立平面直角坐标系xOy ，使得()30A -，，()13C -，．①补全平面直角坐标系；②点P 在直线2x =上，若OBP OBC S S =△△，则点P 的坐标为______24．（12分）（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）【知识呈现】当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解．【问题解答】在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,3A -，()3,1B --，()2,1C ．（1）如图1，分别以点A ，B ，C 向坐标轴作垂线构造长方形BDEF ，求ABC 的面积；（2）在图1中过点A 作AG y ∥轴交BC 于点G ，如图2．①求AG 的长；②猜想：ABC 的面积S 与DE AG 的数量关系式为______．参考答案1．C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O ，则直线AB 与坐标轴围成的三角形是以OA 、OB 为直角边的直角三角形，∵(,0)A a 和点(0,5)B ，∴||OA a =，5OB =，∴11||51022OAB S OA OB a ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴||4=a ，∴4a =±．故选：C【点拨】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．2．C 【分析】根据已知可得：5CA a =-，10BO =，然后三角形的面积公式列式计算即可解答．【详解】解：∵(),0A a ，()0,10B ，()5,0C ，∴5CA a =-，10BO =，∵三角形ABC 的面积等于20，∴1202AC BO ⋅=，即0151022a -⋅=⨯，∴54a -=，∴54a -=或54a -=-，∴9a =或1a =，故选：C ．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．3．D【分析】根据三角形面积公式求出OC 的长即可得到答案．【详解】解：∵点B 的坐标为（4，0），∴OB=4，∵△ABC的面积为10，∴110 2OB OC⋅=，∴OC=5，∴点C的坐标为（0，5）或（0，-5），故选D．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，正确求出OC的长是解题的关键．4．C【分析】作CD⊥x轴于D，分别求出AB=6，CD=4，根据三角形面积公式即可求解.【详解】解：如图，作CD⊥x轴于D，由图形得AB=6，∵点C坐标为(－4，4)，CD⊥x轴于D，∴CD=4，∴11641222ABCS AB CD==⨯=△.故选：C【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，理解平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题关键.5．C【分析】根据BCD AEO ABCO ABDE S S S S =++ 四边形梯形，即可求解．【详解】解：如图所示，()2,6A -，()5,4B -，()7,0C -，()0,0O BCD AEOABCO ABDE S S S S =++ 四边形梯形()1112446362222=⨯⨯++⨯+⨯⨯4156=++=25∵图上一个单位长度表示10米，∴22510102500m ⨯⨯=，故选：C ．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．6．A【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作DE x ∥轴，过点,A B 分别作,AE BD 垂直于ED ，垂足为点,E D ，∵()1,3A --，()3,1B -，()2,2C ，∴()1,2E -，()3,2D ，则5,4,3AE ED BD ===∴三角形ABC 的面积是()1115345331167.5 1.57222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=故选：A ．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．7．A 【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程2111(3)361222ABC S AC BC a =⋅=-⨯=⨯⨯△并求解即可．【详解】解：如下图，当AB 将图案分成面积相等的两部分时，则有2116122ABC S AC BC =⋅=⨯⨯△，即1(3)332a -⨯=，解得1a =．故选：A ．【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．8．A【分析】根据点的坐标，求得,,,,OC AC OD DE CD ，根据AOE AOC DOE ACDE S S S S =+- 梯形进行计算即可求解．【详解】解： ()4,3A ，()6,0B ，()5,2E ，4OC ∴=，3,5,2AC OD DE ===，1CD ∴=则AOE AOC DOEACDE S S S S =+- 梯形1432=⨯⨯()12312++⨯1522-⨯⨯3.5=故选A【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．9．A【分析】过点A 做AD 垂直于x 轴，垂足为D ，则()2,0D ，过点C 做CE 垂直于x 轴，垂足为E ，则()4,0E ，再分别求解,,,AD CE OB 利用AOC 的面积ABO =△的面积OCB -△的面积，从而可得答案．【详解】解： ()2,3A ，()4,1C ，过点A 做AD 垂直于x 轴，垂足为D ，则()2,0D ，过点C 做CE 垂直于x 轴，垂足为E ，则()4,0E ，AOC 的面积ABO =△的面积OCB -△的面积，()0,0O ，()2,3A ，()4,1C ，()5,0B ，∴3AD =，5OB =，1CE =，∴ABO 的面积111553222OB AD =⨯⨯=⨯⨯=，OCB 的面积11551222OB CE =⨯⨯=⨯⨯=，∴AOC 的面积155522=-=．故选A ．【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】从A 1移动到A 4作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m ，则第2020次移动到A 2020，此时移动了2021÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m ），所以，点A 2021的坐标（1011，0），则OA 2021=1011（m ），则△OA 2A 2021的底边为OA 2021，高为1m ，则根据三角形面积公式就可以求得．【详解】解：OA 2021=2020÷4×2+1=1011（m ），△OA 2A 2021的面积=12×1011×1=505.5（m 2）．故选：A ．【点拨】本题考查了点的规律，通过观察发现点的坐标变化规律，找到三角形的顶点坐标，然后计算出底和高，由此计算出三角形的面积．11．12【分析】根据A 和B 两点的纵坐标相等，可得线段AB 的长，再根据点C 的纵坐标，可得以AB 为底的ABC 的高，从而ABC 的面积可求．【详解】解： 点()(),3,4,3A a B a +，4AB ∴=，∴(),3C b -，∴点C 在直线=3y -上，∵直线AB ：3y =与直线=3y -平行，且平行线间的距离为6，146122S ∴=⨯⨯=故答案为：12．【点拨】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及求相应线段的长，是解题的关键．12．2．【详解】试题分析：由题意可知：A 点的纵坐标2是△ABO 的高，OB 的长是B 点的横坐标2，所以此三角形的面积等于底乘以高除以2等于2×2÷2=2．考点：平面直角坐标系中求图形的面积．13．12【分析】首先利用坐标系画出△ACB ，然后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：△ABC 的面积为：146122创=，故答案为12．【点拨】此题主要考查了坐标与图形性质，关键是建立坐标系，确定A 、B 、C 三点位置．14．6【分析】画出简图，根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：如图，3AB =，则ABC 的面积13462=⨯⨯=；故答案为：6．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．15．3【分析】作CE x ⊥轴，根据四边形ABCD 的面积AOB CDE OBCE S S S =++ 梯形求得四边形的面积，设点(0),P x ，则3PD x =-，由直线CP 平分四边形ABCD 的面积列出方程求解可得．【详解】解：过点C 作CE x ⊥轴于点E ，∵(20),A -，()0,3B ，()2,4C ，()3,0D ，∴,,,24,321AO OB OE CE DE =====，∴四边形ABCD 的面积AOB CDEOBCE S S S =++ 梯形()1112334214222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯12=，设点(0),P x ，则3PD x =-，∵直线CP 平分四边形ABCD 的面积，∴11262PCD S =⨯= ，∴()13462x -⨯=，∴0x =，∴3PD =．故答案为：3．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．16．9916【分析】利用等高三角形面积之比等于对应底的比计算即可．【详解】解：过A 作AE x ⊥轴于E 点，BOD ABD ADC DOC S S BD S S CD∆∆∆∆==∴ABD BOD ADC DOC S S BD S S CD ∆∆∆∆+=+，∴ABO ACO S BD S CD∆∆=，∴13621562BD CD ⨯⨯=⨯⨯，∴35BD CD =，ABC BOC ACEBOEA S S S S ∆∆∆∴=--梯形111()222OB AE OE OB OC CE AE =+⋅-⋅-⋅111(36)63516222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯332=， 35ABD ACD S BD S CD ∆∆==，∴53ACD ABD S S ∆∆=，∴533ACD ABD ABD S S S ∆∆∆++=，即83ABC ABD S S ∆∆=，∴33823ABD S ∆=，9916ABD S ∆∴=．故答案为：9916．【点拨】本题考查的三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握等高三角形面积之比等于对应的底的比．17．()0,4或()8,0【分析】根据题意在平面直角坐标系作出,,A B C 三点，作直线AB ，连接AC ，可求出ABC ∆的面积．分析可得点P 有两种情况，一种在x 轴上，一种在y 轴上，分别以AP 和BP 为底，求其长度即可．【详解】解:①当点P 在x 轴上，如图由题意得，ABC ABP S S ∆∆=，1122AC OA AP OB ∙=∙321AP⨯=⨯6AP =．628OP =+=，所以()8,0P ．②当点P 在y 轴上，如图由题意得ABC ABP S S ∆∆=，1122AC OA BP OA ∙=∙322BP⨯=⨯3BP =，314OP =+=，所以()0,4P ，故答案为：()0,4或()8,0．【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与三角形面积，作出图形，找到数量关系列出等式是解答关键．18．−3或6．【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a 和铅垂高“h ，利用分类讨论对其铅垂高“h 进行讨论，从而列出关于t 的方程，解出方程即可求解．【详解】解：∵D （1，2）、E （−2，1）、F （0，t ），∴“水平底”a ＝1−（−2）＝3．“铅垂高“h ＝1或|2−t|或|1−t|①当h ＝1时，三点的“矩面积”S ＝1×3＝3≠15，不合题意；②当h ＝|2−t|时，三点的“矩面积”S ＝3×|2−t|＝15，|2−t|＝5，解得：t ＝−3或t ＝7（舍去）；③当h ＝|1−t|时，三点的“矩面积”S ＝3×|1−t|＝15，|1−t|＝5，解得：t ＝−4（舍去）或t ＝6；综上：t ＝−3或6．故答案为：−3或6．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．19．（1）23；（2）230,8⎛⎫ ⎪⎝⎭或230,8⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，分别计算AF 、DF 、BE 的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得32ADF S =△，4BCE S =△，352CEFD S =梯形即可解题；（2）设()0,P b ，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．【详解】解：（1）分别过C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，因为()30A -，，()B 5，0，()34C ，，()23D -，，所以1AF =，34DF CE ==，25BE EF ==，所以131322ADF S =⨯⨯=△，所以12442BCE S =⨯⨯=△，所以()353452CEFD S =+⨯=梯形，所以33542322ABCD S ++==四边形．（2）设()0P b ，则有123=22ABP ABCD S S =△四边形即11238222AB OP b ⨯⨯=⨯⨯=解得：23||8b =所以238b =±所以点P 的坐标为904⎛⎫ ⎪⎝⎭，或904⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．A （2，2）、B （-2，-1）、C （3，-2），三角形的面积是9.5．【分析】首先根据坐标的定义正确写出三个顶点的坐标，再根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：根据图形得：A （2，2）、B （-2，-1）、C （3，-2），三角形的面积是11154431415222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=5×4-6-2-2.5=9.5．故答案为A （2，2）、B （-2，-1）、C （3，-2），三角形的面积是9.5．【点拨】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．21．(1)1-，3(2)2m-(3)存在()15,0P -，()211,0P 使1 S 2ABM BMP S =△△【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；（2）过点M 作MN x ⊥轴于点N ，MN 为三角形ABM 的高，根据三角形面积公式即可得出答案；（3）结合（2）求出三角形ABM 的面积为4，可得()1|3|282t ⨯-⨯-=，即可确定点P 的坐标．【详解】（1）解：∵()2130a b ++-=，10a +≥，()230b -≥，∴10a +=，30b -=，∴1a =-，3b =．故答案为：1-，3；（2）解：如图，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，∵点()2M m -，在第三象限，∴0m <，∴MN m=-由（1）得()()1030A B -，，，∵4AB =，∴三角形ABM 的面积122AB MN m =⋅=-；（3）解：存在，由（2）得：三角形ABM 的面积2m =-，2m =- ，4ABM S ∴=△，假设存在(),0P t ，使1S 2ABM BMP S = ，8BMP S ∴=△，即()1|3|282t ⨯-⨯-=，15t ∴=-，211t =，∴存在()15,0P -()211,0P 使1S 2ABM BMP S = ．【点拨】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形以及求三角形面积等知识，熟练运用分情况讨论的思想分析问题，采用割补法求三角形面积是解题关键．22．(1)4，0，0，3，2，2-(2)7(3)6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据图像可得结果；（2）利用割补法计算即可；（3）利用三角形ABC 的面积，得到()172B C y y AD ⨯+⨯=，从而求出AD ，结合点A 坐标即可得解．【详解】（1）解：由图可知：()4,0A ，()0,3B ，()2,2C -；（2）三角形ABC 的面积为：111454352227222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（3）∵三角形ABC 的面积为7，∴()172B C y y AD ⨯+⨯=，即1572AD ⨯⨯=，解得：145AD =，∴146455-=，即点D 的坐标为6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法．23．(1)①见解析；②3.8(2)①见解析；②()2,3P 或()2,3P -【分析】（1）①根据三角形高的定义，画出作BC 边上的高线；②通过测量,AD BC ，根据三角形面积公式进行计算即可求解；（2）①根据已知点的坐标确定原点位置，进而补全坐标系即可求解；②根据三角形面积公式求得9OBC S = ，设()2,P n ，根据题意列出方程，即可求解．【详解】（1）解：①如图所示，线段AD 即为所求；②解：通过测量可得2,4AD BC ==计算得ABC 的面积约为21 1.9 4.0 3.8cm 2⨯⨯=故答案为：3.8．（2）①补全平面直角坐标系如图所示，②设()2,P n ，∵11363922OBC S OB =⨯=⨯⨯= ，OBP OBC S S =△△∴192OBP S OB n =⨯=△∴3n =±，∴()2,3P 或()2,3P -【点拨】本题考查了三角形的高，坐标与图形，熟练掌握三角形高的定义，直角坐标系是解题的关键．24．(1)8(2)①3.2②2DE AGS = 【分析】（1）根据ABC ABD ACE BCF BDEF S S S S S =---△△△△矩形即可求得答案．（2）①根据1123822ABC ABG ACG S S S AG AG =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△即可求得答案．②根据111235222ABC ABG ACG S S S AG AG AG =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯△△△，5DE =即可求得答案．【详解】（1）204358ABC ABD ACE BCF BDEF S S S S S =---=---=△△△△矩形．（2）①根据题意可得1123822ABC ABG ACG S S S AG AG =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．解得3.2AG =．②因为111235222ABC ABG ACG S S S AG AG AG =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯△△△，5DE =，可得2ABC DE AG S = △，即2DE AG S = ．故答案为：2DE AG S =．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形，能采用补法和割法求图形面积是解题的关键．。
《》平面直角坐标系中的面积问题》习题
平面直角坐标系中的面积问题练习题1.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1,0），B（2,3），C（2,1）。
求△ABC的面积。
2.如图，已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-2,-2），B（2,3），C（0,-1）。
求△ABC的面积。
3.已知平面直角坐标系中A、B、C的坐标如图所示，求△ABC的面积。
4.如图，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为（-3,0）、（1,3）、（3,-4），求△ABC的面积。
5.平面直角坐标系中有4个点分别是A （0,2）、B （-1,0）、C （1,-1）、D （3,1）.（1）在平面直角坐标系，描出这4个点；（2）顺次联结A 、B 、C 、D 组成四边形ABCD ，求四边形ABCD 的面积.6.如图所示，已知四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （0,2）、B （2,3）、C （3,2）、D （1,0），求四边形ABCD 的面积。
7.在平面直角坐标系中，P （1，4），点A 在坐标轴上，4PAO S ，求点A 的坐标.x -4)x8.已知，点A （-2，0）B （4，0）C （2，4）（1）求△ABC 的面积；（2）设P 为x 轴上一点，若12APC PBC SS =，试求点P 的坐标.9.在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A 、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。
（1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使12APB ABDC SS =四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。
平面直角坐标系面积类试题.
平面直角坐标系内几何图形的面积
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仃）建立坐标系，描出这4个点.
⑵顺次联结组成四边形佃£7求四边形ABCD的面积.
8、侯塔标知：*血'社应芒毎冬网摂m：、」吩俗勿：」弋二•岀匚的面积为平方单位.
9、小明、小彬、小思三位小朋友在玩捉迷藏游戏，已知小明、小彬、小思的坐标分别是（1, 3）,
（-2，5），（-2，0）。
请计算这三位小朋友所围成的三角形的面积是多
少？
0，2）（1，0）（6，2）（2, 10、如图，在四边形ABCD中，A B、C、D的四个点的坐标分别为（
4），求四边形ABCD的面积。
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七年级数学
平面直角坐标系内坐标与几何图形的面积专题精练
一、填空题（每题3分，共27分）
1. 已知点A(x,y).1)若xy=0，则点A在_______________； 2)若xy>0，则点A在_ __________；3)若xy<0，则点A在________________.
2. 坐标轴上的点的特征：x轴上的点______为0，y轴上的点______为0。
3. 象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点_________ ________；二四象限角平分线上的点______________ ______。
4. 平行于坐标轴的点的特征：平行于x
轴的直线上的所有点的______坐标相同，平行于y轴的直线上的所有点的
______坐标相同。
5. 点到坐标轴的距离：点P
(),x y到x轴的距离为_______，到y轴的距离为______，
6．坐标平面内点的平移情况：左右移动点的_____坐标变化，（向右移动____________，向左移动____________），上下移动点的______坐标变化（向上移动____________，向下移动____________）
7. 点P（-3,4）到x轴的距离为_______，到y轴的距离为______。
8. 点M（6，-2）到x轴的距离为_______，到y轴的距离为______。
9. 将点P（－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，y），则xy＝___________
二、选择题（每题3分，共15分）
10. 如果点M（a-1，a+1）在x轴上，则a的值为（）
A. a=1
B. a=-1
C. a>0
D. a的值不能确定
11. 点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐是标（）
A.（5，-3）或（-5，-3）
B.（-3，5）或（-3，-5）
C.（-3，5）
D.（-3，-5）
12.平面直角坐标系内点P（4，-6），向Y轴作垂线，垂足为A，则三角形POA的面积是（） A. 24 B.10 C.
8 D.12
13. 平面直角坐标系内点A（-2，-3），AB∥y轴，AB=5.则B的坐标是（）
A.（3,2 ） B（3，-3 ）和（3,2） C. （ -2,8 ）D.（ -2,2）和（-2，-8）
14. 平面直角坐标系内点A（1，5），AB∥x轴，AB=3.则B的坐标是（）
A. （1,2 ）和（1,8）
B.（-2，5 ）和（4,5）
C. （ 4,8 ）
D.（ -2,2）
三、解答题(15到32题每题4分，33题6分共78分)
15.已知：)3,4(A ，B （4，1），C （-2,1）
（1）AB 与坐标轴的位置关系？线段AB 的长度是多少？
（2）BC 与坐标轴的位置关系？线段BC 的长度是多少？
16.已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少？若直线AB ∥X 轴呢？m 的值是多少？
17. 已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.
18.如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC 的面积吗？
19.平面直角坐标系中，已知点A （-3，-1），B （1，3），C （2，-3），你能求出三角形ABC 的面积吗？
20.如图，你能求出四边形ABCD的面积吗？
解法二：如下图，分别过点A、D作平行于y轴的直线，与过点C平行于x轴的直线交于点E、F.
21、
22.
23.
24.已知A（-2,0），B（4,0）
（1）若点C在坐标轴上，三角形ABC的面积=9，求点C的坐标。
（2）若点C在第四象限，三角形ABC的面积=12，C到Y轴的距离等于3，求C的坐标。
25.如图，以OA为边的△OAB的面积为2，试找出符合条件的且顶点在格点的B点，你能找到几个这样的点。
26、
27、
28、
29、
30、
31、
32、如图，在四边形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的四个点的坐标分别为A （0，2），B （1，0），C （6，2），D （1，4），求四边形ABCD 的面积。
33、如图，在平面直角坐标系中，已知三点A （0，a ），B （b ，0），C （b ，c ），其中a ，b ，c 满足关系式01)3(22=--+-+-b c b a
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）如果在第二象限内有一点P （m ，2
1），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积， （3）若四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等，请求出点P 的坐标；
初中数学试卷。