初中数学第13章正弦定理与余弦定理竞赛专题复习(人教版含答案)

初中数学第13章正弦定理与余弦定理竞赛专题复习(人教版含答案) 第13章正弦定理与余弦定理13.1.1★★ 已知点是内一点，使

得 . 求证： . 解析如图，设的三边为、、，对应角分别为、、，，同理， . 由正弦定理，，故，同理，， . 于是. 13.1.2★★在的及边上分别取点、，使，，，求的所有内角. 解析如图，易知，故 . 又由正弦定理， . 于是（易见），故， . 于是为正三角形，各内角均为. 13.13 ★★★已知凸四边形，，、、、上分别有点、、、，，，，，求证：、、共点. 解析如图，设、垂心分别为、，与交于，与交于 . 由正弦定理及四点共圆，有，，于是 . 同理，得与重合，即、、共点. 13.1.4 ★★★已知，在上，、延长后交于，是的外心（在内），若、、、共圆，则 . 解析如图，设，， .作，，、分别是、之中点. 易知，此即，于是 . 又由正弦定理，于是，，≌ ，故 . 13.1.5★★有一个凸四边形，顶点均在一圆周上，且，，，，

求的值. 解析由正弦定理知，其中、、为三边长，为外接圆

半径.于是由，并考虑个三角形有共同的外接圆，故有 . 代入数字，得，于是. 13.1.6★★★已知凸四边形，对角线交于，，过的一条直线分别交、于、，过的另一条直线分别交、于、，、分别交于、，求证： . 解析如图，设好各角.由知，故，由正弦不定理，知止式可改为，于是，此即，两边同时除去，即得，此即，故. 13.1.7★★证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形的对角线交于，又设，则 . 解析如图，由余弦定理，，，又，，所以 . 因此结论成立. 13.1.8★★梯形，，上底，下底，，、延长后交于，，试用、、表示梯形的高. 解析如图，设，，则由，有 . 又在上找一点，使 .则由余弦定理，，于是 . 设梯形的高为，则由，有，故. 13.1.9★★锐角三角形中，为边上的高，为上一点，，，，求证： . 解析如图，由及得 .因此，即，故 . 不妨设，则，， . 设，由，利用余弦定

理得：，解得或 . 当时，，故 . 当时，在中， . 与为锐

角三角形矛盾，故舍去. 13.1.10★ 试用身影定理推导余弦定理. 解析如图，对于，作，注意可在外，则有（、、为的三对应

边长），则理有，，三个方程联立，即解得等三个式子，这就是余弦定理. 13.1.11★★已知关于的方程，四边形中，，，且（如图所示）. （1）当方程有两个相等实数根时，求及此方程的根；（2）若此实根等于、之和，求之长. 解析（1）因方程有两个相等实

数根，故，解得或 . 因，故不符合题意，应舍去，从而，所

以 . 此时原方程可化为：，解得 . （2）因，从而 . 又，故 . 即 . 因，，故由正弦定理得. 13.1.12★★设是正方形内部一点，到顶点、、的距离分别是、2、3，求正方形的面积. 解析如图

所示，设，则在中，；在中， .于是，解得 .注意到，故应

舍去. 从而，即正方形面积为. 13.1.13★★已知中，，是高，是中点，求证： .并由此证明，若，是角平分线，在上，，则 . 解析如图，，注意其中可取负值. 又中点也是，故，而，于是评注本题亦可先用余弦定理求出. 13.1.14★★2已知中，，延长到点，连结，若，且，求之长. 解析如图，设，，则 . 又由余弦定理，，此即 . 化简并整理，得，解得（舍）， . 所以. 13.1.15★★已知正方形，、分别在、上，与分别交于、，若，求证：以、、为边的三角形有一内角是 . 解析设，，，则，且，， . 于是由比例及余弦定理知只需证明，即 . 而右

式左式，证毕. 13.1.16★★有一个等腰三角形，底边上的高是，，是上一动点，关于、的对称点分别是、，四边形是平行四边形，则至的距离 . 解析如图，由于、互相平分，故、至距

离之和. 13.1.17★在中，点、分别是、的中点，点是重心，对的每一个值，有多少互不相似的，满足点、、、共圆？解

析如图，由、、、共圆，得 . 若设对应边为、、，对应中线为、、，则上式变为 . 又由中线长公式知，消去，得 .又由余弦定理，，再将抵消，得 . 若设，则，这个方程的，于是当时，方程无解；又当时，两边之比为负数，也不符合要求.

除了以上两种情况，剩下来的便是时，此时有互为倒数或相同的解，因此合乎要求的三角形恰有一个. 13.1.18★在中，，化简 . 解析由余弦定理，，故 . 同理，，三式相加，即得. 13.1.19★证

明余弦定理的另一种形式； . 解析如图，不妨设（即），则在上

取一点，使，又作于，于，则在延长线上. 于是平分，且，，两式相加，得 . 又，由勾股定理，，此即. 13.1.20★★已知中，的平分线、上的中线、上的高共点，且，求 . 解析如图，由于

中线和角平分线均在内，故与均为锐角. 设的三条对应边长为、、 .由塞瓦定理，有，即，故，由余弦定理知.① 由于，有，代入式①，化简有，解得，于是，. 13.1.21★★证明斯图沃特定理：为上一点，则 . 解析如图，由于，故，分别在、用余弦定理代、，整理即得斯图沃特定理. 评注斯图沃特定理的一

个著名的推论是中线长公式：若为之中线，则. 13.1.22★★★以点为旋转中心，将逆时针旋转为，设线段、、的中点分别为、、，若，且，求 . 解析首先，反复利用中线长公式得，，由得 .

由∽ 知上式两端只能为零，否则相似比为，有，与题设矛盾.因

此由可知与均为正三角形. 如图，设中点为，连结、、 .若

设（注意可负），则，又，，故≌ ，于是，因此为正三角形， . 评注中线长公式正是余弦定理的推论. 13.1.23★★★如图，在中，，是上一点，，作于，且，若，求的平分线之长. 解析设，，则，， . 由于，，故 . 由，得，解得或 . 因，而，故，从而，所以应舍去，即 . 于是，， . 由角平分线定理知 .故， . 由斯图沃特定理知 .所以 . 评注当为直角时，还有简单的表达式