人教版高中一年级数学1.3-2球的表面积和体积
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1.3.2_球的表面积和体积_课件
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掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
3
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1.3.2《球的表面积和体积》
1
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教学目标
重点难点
球的体积
球表面积
退出
2
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课堂作业 封底
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教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
15
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球的表面积
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第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
那么圆的面积就近似等 于R .
2
6
Hale Waihona Puke 金太阳教育网球的体积
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当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
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高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
高中数学 1.3.2 球的体积和表面积课件 新人教A版必修1
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
32 3
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
例2、某街心花园有许多钢球（钢的密度 是7.9g/cm3),每个钢球重145kg，并且外 径等于50cm，试根据以上数据，判断钢 球是实心的还是空心的。如果是空的,请 你计算出它的内径（π取3.14，结果精确 到1cm）。
1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求 和,取极限”的数学方法.
2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观
点.
3.一个公式:半径为R的球的体积是V
4 R3
3
4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切.
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
3 23
x3 ( 5)3 142 3 11.3
2 7.9 4
由计算器算得: x 2.24 2x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 652 150cm2
1.3.2 球的体积和表面积
1、球的A体积 已知球的半径为R A
ri
Ci
Bi
O
O.
C2 O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
学高一数学1.3.2球的体积和表面积2必修2
【规律方法】 球的轴截面(球的过直径的 截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的 问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有 关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并 充分利用它来分析解决问题．
变式 1 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的
截面面积为 π，则球的体积为( )
A.332π
B.83π
长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
在 Rt△BOC 中，
r1r2＝R2，r1＋r2＝l
①
依题意，有πl4rπ1＋R2r2＝34
②
将①代入②，得r14＋Rr222＝34⇔
(r1＋r2)2＝136R2
③
这时球体积与圆台体积分别为
V 球＝43πR3，V 台＝13πh(r21＋r1r2＋r22)
变式 3 (2010 年高考课标全国卷)设长方体的长、
宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
解析：由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a， 则长方体的体对角线长为 2a2＋a2＋a2＝ 6a.又长方 体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线，∴2R＝ 6 a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
则根据长方体的对角线性质，得(2R)2＝a2 ＋a2＋(2a)2，
即 4R2＝6a2，所以 R＝ 26a. 从而 V 半球＝23πR3＝23π( 26a)3＝ 26πa3，V 正方体＝a3. 因此 V ∶ 半球 V ＝ 正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
【规律方法】 解决与球有关的组合体问 题，可通过画过球心的截面来分析．例如， 底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O， 且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥 的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底 面的圆心．
人教版高中数学课件-球的表面积和体积
球的體積
已知球的半徑為R,用V表示球的體積.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的體積 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
球的體積
1.3.2球的表面積和體積
球
人類的家－－地球
人類未來的家－－火星
探索火星的航太飛船
實際問題
如果用油漆去塗一個乒乓球和一個籃球，且塗 的油漆厚度相同，問哪一個球所用的油漆多？為 什麼？
實際問題
一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球， 球內的氣壓相同，若忽略球內部材料的厚度，則 哪一個球充入的氣體較多？為什麼？
(n
1) n (2n 6
1) ]
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R 3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的體積
1
1
(1 )(2 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
解： 3設球 2的 內徑是2xcm，那麼球的品質為：
7.9 4 50 517054 (g) 3
x 11239.42, 3
解得： x 22.4.
2x 44.8.
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
1-3-2 球的体积和表面积
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
新课引入 空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活 中有着重要应用的是度量几何体的表面积和体积．如图，是 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰 激凌融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？
规律总结：确定一个球的条件是球心位置和球的半径， 已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已 知体积或表面积也可以求其半径．
第一章
1.3
1.3.2
第一章
1．3.2 球的体积和表面积
第一章 空间几何体
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 探索延拓创新
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
课前自主预习
第一章
1.3
1.3.2
[解析]
(1)∵直径为6cm，
∴半径R＝3cm， ∴表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)， 4 3 体积V球＝3πR ＝36π(cm3)． (2)∵S球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即R＝4. 4 3 4 256 3 ∴V球＝3πR ＝3π×4 ＝ 3 π.
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
) C．27π D．36π
[答案] D
[解析] 4 V＝ π×33＝36π. 3
第一章
1.3
1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
人教版高中数学必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图 及数据,解题时要先根据俯视图来确定几何体的上 、下部分形状,然后根据侧视图与正视图确定几何 体的形状,并根据有关数据计算.
练习：某几何体的三视图如图,它的体积为(
) A.72π B.48π C.30π D.24π
答案:C
题型三 球的截面问题
例1.(1)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离 等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表 面积与球的体积． (2)在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是 5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积和 体积．
分析：正方体内接于球， 由球和正方体都是中心 称 形 可知，它 中心重合， 正方体 角 与球的直径相等。
略解：
D
C
D
C
A
B
A
B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
1.如果球O和 个正方体的六个面都相切， 有S=—— 。
2.如果球O和 个正方体的各条棱都相切， 有S=——
(3).若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的__8__ 倍，表面积变为原来的___4_倍.
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.
(4)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和
为6,则两球的体积之差的绝对值为 .
题型二：由三视图求与球有关的组合体 的体积与表面积
例2.某个几何体的三视图如图(单位:m). (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,
则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形. ( )
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积
练习：某几何体的三视图如图,它的体积为(
) A.72π B.48π C.30π D.24π
答案:C
题型三 球的截面问题
例1.(1)已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离 等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表 面积与球的体积． (2)在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是 5πcm2和8πcm2，球心不在截面之间，求球的表面积和 体积．
分析：正方体内接于球， 由球和正方体都是中心 称 形 可知，它 中心重合， 正方体 角 与球的直径相等。
略解：
D
C
D
C
A
B
A
B
D1 A1
O C1
B1
D1 A1
O C1
B1
1.如果球O和 个正方体的六个面都相切， 有S=—— 。
2.如果球O和 个正方体的各条棱都相切， 有S=——
(3).若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的__8__ 倍，表面积变为原来的___4_倍.
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.
(4)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和
为6,则两球的体积之差的绝对值为 .
题型二：由三视图求与球有关的组合体 的体积与表面积
例2.某个几何体的三视图如图(单位:m). (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,
则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形. ( )
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积
高一数学球的表面积和体积优质_2023年学习资料
例题讲解-变式1一种空心钢球的质量是142g外径是5cm,求它-的内径.（钢的密度是7.9g/cm-解：设 心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是-7.9[--1=142-142×3-≈11.3-7.9×4元-由计 器算得：-x≈2.24-2x4.5-答：空心钢球的内径约为4.5cm.
例题讲解-变式2把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中，-至少要用多少纸？-用料最省时，球与正方体有什么位置关系 -球内切于正方体-侧棱长为5cm-S侧=6×52=150cm2
球的体积-学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来.所以-我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法.-4等份等份-16等份-32等份-我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新-拼接起来，把一个圆近似的看成 边长分别是π R和R的矩形-那么圆的面积就近似等锊R2.
球的体积-当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当-份数无穷大时，就得到了圆的面积公式-分割-求近似和 化为准确和-下面我们就运用上述法导出球的体积公式-即先把半球分割成部分，再求出每一部分的近似体积：-并将这 近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑变-为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积，
新课标人教版课Biblioteka 系列-《高中数学》-必修21.3.2《球的表面积和体积》
}1.3球的体积和表面积-教学目标-重点难点-球表面积-退出-例题讲解-课堂练习-课堂小结-课堂作业-封底
教学目标-●掌握球的体积、表面积公式.-●掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思-想进一步理解分割 近似求和→精确求和的思想方法.-●会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养-学生应用数学的能力.-● 解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外-切”的几何体问题.-合
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
高一数学132球的体积和表面积
正方体的内切球直径＝
1
正方体的外接球直径＝
2
与正方体所有棱相切的球直径＝
3
探究 若正方体的棱长为a，则
4
a
5
课堂小结
球的表面积公式； 球的体积公式； 球的表面积公式与 体积公式的应用.
1．阅读教材P.27到P.28；
2. 《习案》第七课时.
课后作业
汇报人姓名
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
讲授新课
O
A
B
C
R
等于或小于定长的点 的集合，叫做球体，简称球．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
讲授新课
半径是R的球的表面积是
例2 圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. 求球的体积与圆柱体积之比； 证明球的表面积等于圆柱的 侧面积.
练习
教科书P.28 练习 第1、3题
一个正方体的 顶点都在球面上， 它的棱长是4 cm， 求这个球的体积．
1. 教科书P.28 练习 第1、3题
练习
2. 教科书P.28 练习 第2题
球的表面积
Annual Work Summary Report
半径是R的球的表面积是
A
球的表面积
S＝4R2
B
3.球的体积
半径是R的球的体积是
半径是R的球的体积是
球的体积
02
添加标题
测得外径等于5.0cm， 求它的内径
01
添加标题
例1 有一种空心钢球， 质量为142g，
03
添加标题
(钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
1.3.2 球的体积 和表面积
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复习引入
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o
思考3:以这些“小球面片”为底，球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么？它们的体积之和近似地等于什 么？
o
思考4:你能由此推导出半径为R的球的 表面积公式吗？
S 4 R
2
思考5:经过球心的截面圆面积是什么？ 它与球的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的 4 3 体积 V R ，这是一个正确的结论，你 3 能提出一些证明思路吗？
知识探究（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它 是怎样得出来的？
a4
S圆 r
2
a3 an
a1
a2
思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”，它们的面积之和等于什么？
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上，且正方体的表面积为a2，求 球O的表面积和体积. C′ o
A
例3 有一种空心钢球，质量为142g （钢的密度为7.9g/cm3），测得其外径 为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.
例4 已知A、B、C为球面上三点， AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M 的距离等于球半径的一半，求这个球的 表面积和体积.
O A M B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
3 6 R , S 54 ,V 27 6 2
作业: P28练习:1，2，3.
思考1:从球的结构特征分析，球的大小 由哪个量所确定？ 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么？
V柱 R
3
V锥
1 3 R 3
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系？
思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你 猜想半球的体积是什么？ 2 3 V球 R 3
1.3
空间几何体的表面积与体积
1.3.2
球的表面积和体积
安徽新华学校
高一 • 数学•必修2
问题提出
1.柱体、锥体、台体的体积公式分 别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式分别是什么？ 2.球是一个旋转体，它也有表面积 和体积，怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容.
知识探究（一）:球的体积