最新第2章 正弦交流电路
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工电子技术第2章
第2章 正弦交流电路
在交流电路中，因各电流和电压多 +j A 为同一频率的正弦量，故可用有向线段 b r 来表示正弦量的最大值(有效值) Im 、 ψ Um(I、U)和初相ψ ，称为正弦量的相量。 O a +1 在正弦量的大写字母上打“•”表示，如 图2-5 有向线段的表示正弦量 幅值电流、电压相量用 I m、 m表示，有 U • U 效值电流、电压相量用 I 、 表示。将电 U • 路中各电压、电流的相量画在同一坐标 φ I ψ 中，这样的图形称为相量图。 ψ 同频率的u和i可用图2-6相量图表示。 图2-6 u和i的相量图 即 超前 Iφ°，I或 U滞后φ°。 U
第2章 正弦交流电路
2.1
正弦交流电的基本概念
正弦交流电压和电流的大小和方向都按正弦规律 作周期性变化，波形如图2-1a。
u U m s in ( t u ) i I m s in ( t i )
(2-1)
为便于分析，在电路中电压参考方向用“+”、“–” 标出，电流参考方向用实线箭头表示；电压、电流实 际方向用虚线箭头表示如图2-1b、c所示
第2章 正弦交流电路
u Im O φ Ψu Ψi i Um
u
i
t
T
图2-2 u和i相位不等的正弦量波形图
当φ=0º 时，称u、I同相；当φ=180º 时，称u比i反相； 当φ=±90º 时，称u与i正交 。 u i u i
u i
ui
u
i
t
u
i
O a) 同相
t O
b) 反相
O c)正交
t
图2-3 正弦量的同相、反相和正交
第2章 正弦交流电路
电工-第二章-正弦交流电路课件
因为电容器承受的最大电压已经超过了它的耐压值，故 该电容器不能在220V的交流电路中使用。 例2-5已知 解：
U
u U m sin t
Um 2 310 2
U m 310 V
f 50 Hz
求电压的有效值U和t=0.125s时的瞬时值。
图2-4正弦电量的初相角
例2-2判断图3-5中正弦电量波形图的初相角，并写出 对应的瞬时值表达式。
。
解：在图3-5（a）中，正弦电量的零点与计时起点重合， 其初相角i=0。其对应的表达式为i=Imsint。 在图3-5（b）中，正弦电量的零点在计时起点之前，其 i 0 初相角为 i
其对应的表达式为
一个周期所对应的电角度为360°，用弧度表示是 2π，则角频率为2πf
ω
t
如上图，角频率、频率和周期的关系为：
1 f T
上式表示，三者之间的关系，只要知道其中的一个，则其余 的均可求出。
2 T
2f
例2-1： 某正弦交流电的频率f=50Hz，求其周期T 和角频率
解
T 1 1 0.02(s) 20(ms) f 50
称为电流最大值相量， I 称为电流有效值相量。 间函数。 I
m
u U m sin(t u )
称为电压最大值相量， 式中，U m
e Em sin(t e )
m
U U m m u U U
U E
u
m
称为电压有效值相量。 U m u
2.2
正弦交流电的相量表示法
在正弦交流电路中，所有的电流和电压都是同频率的 正弦量，故正弦量的角频率不用考虑。复数正好能反映 同频率正弦量的两个要素，故同频率正弦量的运算可以 转化为复数运算。 用复数表示正弦量的方法称为相量表示法，简称相量法， 又称符号法。
第2章正弦交流电-2.2单一元件正弦交流电路
③由于电压的初相为45°，而电流的初相为−45º，故电压和电流的 相量图如图所示。 1 U I ＝— 1 ×100×10=500（var） ④Q＝UI＝— m m 2 2
相量图
2.2单一元件正弦交流电路电阻 Nhomakorabea路电感电路
电容电路
1 电容元件
（1）电容参数C
q q＝Cu 或 C＝— u 电容量的单位是F（法[拉]）。 具有参数C的电路元件称电容元件，简称电容。
相量图
③电压、电流的相量图如图所示。
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
1 电感元件
（1） 电感参数L
Ψ Ψ=LI 或 L＝— I
电感元件
式中，磁链与电流的比值L叫做线圈的电感量，电感量的单位为H（亨[利]）。 具有L参数的电路元件称电感元件，简称电感。 空心线圈的电感量是一个常数，与通过的电流大小无关，这种电感叫做线性电感。线性 电感的大小只与线圈的形状、尺寸、匝数有关。一般而言，线圈直径的截面积越大，匝数越 密，电感量越大。
p>0，吸收能量
p<0，释放能量
2.2单一元件正弦交流电路
电阻电路
电感电路
电容电路
2 电感交流电路
例题：已知加在L＝10mH电感线圈两端的正弦交流电压u＝100sin(1000t+45º)V，求：①感抗XL； ②线圈中的电流最大值Im和线圈中的电流i；③作电路中电压与电流的相量图；④无功功率Q。 解：①感抗XL＝ωL＝1000×10×10−3＝10Ω Um 100V ②Im＝—＝ ———＝10（A） XL 10Ω φi＝φu−90º＝45º−90º＝−45º i＝10sin(1000t−45º)（A）
电工第2章 正弦交流电路
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
新编文档-电工技术第二章 正弦交流电路-精品文档
u
u
t
t
T
T
第一节 正弦交流电的基本概念
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变
化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的
电路称为正弦交流电路。
正i 弦交流电的优越性：
i
便于传输；易于变换
便于运算；
t
_
+ _
u
R
有利于电器设备的运行；
_
i
+ _
u
R
. . . . .
6
求：
i 、u 的相量
u 311.1sin314t - V
解：
3
I 141.4 30o 10030o 86.6 j 50 A 2
U 311.1- 60o 220- 60 o110- j 190.5 V 2
练习：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
和视在功率的概念； 了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征； 了解提高功率因数的意义和方法。
交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变化一次，则
此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方 波、三角波、锯齿波 等。
u u 记做： (t) = (t + T )
第2章(2122)正弦交流电路PPT课件
则
I
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(t
)dt
I
2 m
T
T sin2 (t )dt
0
Im 2
0.707Im
T s2 ( itn ) d T t1 d 1 tT c2 o t s 2) ( d T t
0
02 2 0
2
同理
UUm 2
0.70U 7m
E
Em 2
0.707Em
正弦交流电的有效值等于它的最大值除以 2 而与 其频率及初相无关。
例 题 ： 已知 u= Um sin t , Um =310V, f =50Hz，
试求有效值U 和 t =0.1s 时的瞬时值。
解:
UUm 310 22V 0
22
u (0 .1 ) U m si2n f t3s 1i1 0 1 n0 0 0 0
最后应指出有效值与最大值之间的 2 关系
只适用于正弦交流电量。非正弦周期量的 有效值与最大值之间不存在此关系，但仍 可用有效值定义求取它们之间的关系。
周期与频率——变化的快慢
• 交流电变化一周所需要的时
i Im
间称为周期,它是波形重复
出现所需的最短时间间隔,
t3 . t4
通常用字母 T 表示,如图所 0 t1 t2
t
示,它的单位是秒(s)。
T
每秒时间内重复变化的周期数 称为频率,用字母 f 表示,它的 单位是赫兹(Hz),简称赫,周期和 频率互为倒数,即有
称电压与电流正交
iu u i
ui 18o0
= u i
称电压与电流反相
• 只有同频率正弦量的相位差才等于它们的初相 之差。所以两同频率的正弦量的初相位之差,与 时间t和角频率ω无关。在任何瞬时,初相位之 差是固定值,所以相位差也是固定值。
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
第2章正弦交流电路PPT课件
2.1.2 周期、频率和角频率
周期T：正弦量完整变化一周所需要的时间。 单位：秒
频率f：正弦量每秒变化的周数。
单位：赫兹 周期与频率的关系：
f1 T
10
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工业频率（工频）
我国电力的标准频率为50Hz；国际上多采用此标准， 但美、日等国采用标准为60Hz。这种频率称为工业频 率，简称工频。
i
2
0
T 跳转到第一页
i
由图可知
0
2
tT
T 2
2
(T) / t
角频率反应的是正弦量随时间作周期性变化的 快慢程度， 它和频率f、 周期T的关系为
ω=2πf
或
13
T 1 2 f
跳转到第一页
2.1.3 相位、初相和相位差
1. 相位：正弦量表达式中的角度（ t ）
它是一个随时间变化的量，不仅确定正弦量瞬时值的大 小和方向，而且还能描述正弦量变化的趋势。
1. 振幅：把交流电中瞬时值中的最大值称为振幅
值， 用大写字母Um、 Im、 Em等表示（注意， 一般表达式中的振幅值应为正值）。 振幅值表明 了正弦量振动的幅度。
5
跳转到第一页
2. 有效值：让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻 值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个电阻 消耗的能量相等，则称该直流电流I的值为周期电流i 的有效值。
随时间按正弦规律变化的电压、电流 称为正弦电压和正弦电流。表达式为：
uU msi nt (u) iImsi nt (i)
3
跳转到第一页
以正弦电流为例
iImsi nt (i)
振幅 角频率 相位 初相角: 简称初相
振幅 、角频率和初相称为正弦量的的三要素。
电工学 第二章正弦交流电路
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
电工学第二章 正弦交流电路
例2：在如图所示的电路中，设：
i
i1 i2
i1 I1m sin( ωt φ1 ) 100 sin( ωt 45)A i2 I 2m sin( ωt φ2 ) 60 sin( ωt－30)A
求总电流 i 。
[解](1)用复数形式求解，根据基尔霍夫电流定律：
jφ jφ j 45 j 30 I m I1m I 2 m I1m e I 2 m e 100e 60e
1 因此电感元件中存储的磁场能量为： Li 2 2
返回
2.3.3 电容元件
对于右图中的电路，电容元件有：
dq du i C dt dt
电容的单位为法[拉](F)。 对上式两边乘以u并积分得：
1 2 u id t C u d u C u 0 0 2
t
t
因此电容元件中存储的电场能量为：
返回
常见的频率值 各国电网频率：
有线通讯频率： 无线通讯频率：
中国和欧洲国家采用50Hz 美国、日本等国家采用60Hz
300 - 5000 Hz
30 kHz - 3×104 MHz
高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz
例1：已知f=50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω =2π f =2×3.14×50＝314rad/s
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
返回
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图, 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
ψ２ ψ１
Ι
比电流相量 I 超前 角 电压相量 U
电工学 第2章 正弦交流电路
u= u1 +u2 = 2U sin t
U U2
u2 2U2 sin t 2
u1 2U1 sin t 1
同频率正弦量的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
2.1正弦交流电的基本概念
数学表达式：
i I m sin t
i
Im
波形图：
t
：角频率（弧度/秒）
：电流幅值（最大值）
东 北 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 吴 春 俐
三要素:
Im
(特征量)
： 初相位角
一、周期、频率、角频率(表示变化快慢) i
t
T
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz)
热效应相当
T
0
i R dt I RT
2
2
交流
直流
则有
1 T 2 I i dt 0 T
可得
（均方根值）
当i
I m sin t 时，
Im I 2
有效值电量必须大写，如：U、I
当i
I m sin t 时，
可得
Im I 2
瞬时值i可写为：
i 2 I sin t
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
三、相位、初相位、相位差(表示变化进程)
i 2 I sin t ：正弦量的相位角或相位 （t ）
第2章 正弦交流电路
eU Em sin t eV Em sin(t 120 ) eW Em sin(t 120 )
（2-31）
相应的波形图、相量图如图2-16（a）、 （b）所示。
图2-16 三相对称电动势
2．三相电源的星形联结
（1）星形联结
把上述三相绕组的末端U2、V2和W2连在一 起，就构成星形联结，如图2-17所示。
UR U 311 2 V 220V
【例2-4】
根据式（2-10），电流有效值为
P 100W IR 0.455A U R 220V
2.2.2 纯电感电路
1．电压和电流的关系
纯电感电路如图2-10（a）所示，电感电
流与电压参考方向一致，设电感电流为
iL 2 I L sin t
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
用相量法分析电路如下。
（1）作相量图
图2-13 相量图
（2）求相量和
IL IP
【例2-8】三相电源作星形联结，线电压是 380V，负载是额定电压为220V的电灯组，问： （1）三相负载采用什么联结方式； （2）若三相负载的等效电阻 R1=R2=R3=510 ， 求相电流、线电流和中线电流； （3）若三相负载的等效电阻分别为 R1=510 ， R2=510，R3=2k，求中线电流。
QC UC IC 50 0.157 var 7.85var
当 f 5 000Hz 时，
XC IC 1 1 3.19 2π fC 2 3.14 5 000 10 106
电工学第2章正弦交流电路PPT课件
p=ui=Um sin(ωt+90°) Imsinωt
=UmIm cosωtsinωt =UIsin2ωt
电感元件的功率波形
上式表明， 电感元件的瞬时功率是一个幅值为UI 并以2ω的角频率随时间而变化的正弦量。瞬时功率 的变化曲线如右图所示。
26
当p>0时，表明电感元件吸收能量并作负载 使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
1. 相位角（或相位）——（ωt +ψi） 2. 初相位——t=0时的相位角，即ωt +ψi|t=0＝ψi
初相位不同，正弦波的起始点不同，如下图所 示。
(a)ψi＝0
(b)ψi＞0
(c)ψi<0
由于正弦量是周期性变化量，其值经2π后又重复，所
以一般取主值，| ψi |≤π。
8
2.1.3 初相位
在一个正弦交流电路中， 电压u和电流i的频率是相同的， 但初相位却可以不同。设：
19
在电阻元件的交流电路中，电压u与电流i 相 位相同、频率相同。其波形图、相量图如下所示：
根据 i=Imsinωt ；u=iR=ImRsinωt
可知电压幅值: Um=Im R；
U=I R
如果用相量来表 示电压与电流的
•
•
U
•
Um
•
R
或
••
U IR
关系，则有： I I m
20
瞬时功率：p=ui= Umsinωt Imsinωt=UmImsin²ωt
③指数形式可改写为极坐标形式：
A=r
三种复数式可以互相转换。复数的加减运 算可用直角坐标式；复数的乘除运算用指数形 式或极坐标形式则比较方便。
13
e e 例如: 设A1= a1+jb1 ＝r1 j 1 ；A2= a2+jb2 ＝r2 j 2
第2章 正弦交流电路之谐振
北方民族大学
并联谐振应用举例
+VCC
RC
RC
RL
& U0
替代后， 替代后，在谐振 频率下放大倍数 将提高。 将提高。该种频 率的信号得到较 好的放大， 好的放大，起到 选频作用。 选频作用。
& Ui
& UO β (RC // RL ) =− A= Ui rbe
北方民族大学
2 2
& UR
& UL
X L − XC ∠ tan R
−1
& U
L C
若令： 若令： X L = X C 则：
& UC
∴
& & ϕ = 0 ⇒ U、I ⇒ 谐振
同相
串联谐振的条件是： 串联谐振的条件是：
X L = XC
北方民族大学
谐振频率： 谐振频率： fo
X L = ω L = 2π fL 1 1 = XC = ω C 2πfC
结论： 的变化引起 结论：R的变化引起 I 0 变化 愈小（选择性差） I 0 愈小（选择性差） 愈大（选择性好） I 0 愈大（选择性好）
北方民族大学
谐振曲线讨论（之二） 谐振曲线讨论（之二）
I
I0
分析： ） 分析：（1） I 不变 0
U I0 = R
ω 01 ω 02
变化。 ω0 变化。
即U、R不变 不变
ω0 =
1 LC
或
f0 =
1 2π LC
北方民族大学
并联谐振的特点 & I 同相。 ♣ U 、& 同相。
♣ 电路的总阻抗最大。 电路的总阻抗最大。 定性分析: 定性分析 Z
电工学第二章 正弦交流电
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
新版正弦交流电路
L μ S N 2 (H) l
S — 线圈横截面积（m2） l —线圈长度（m）
i
+-
u L eL
N —线圈匝数
-
+
μ—介质的磁导率（H/m） 电感元件的符号
自感电势：
eL
dψ dt
L di dt
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(2) 电感元件储能
根将据上基 式尔 两霍 边夫 同定乘律上得i ，：并积u 分，eL则得L：ddti
t ui dt
i Li di 1 Li2
0
0
2
磁场能
W 1 Li2 2
即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电
流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电
能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电
源放还能量。
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例1: 有一电感元件，L=0.2H,电流 i 如图所示，求
ψ1 ψ2 0 电流超前电压
ui i
u
O
ωt
电压与ψ电1 流ψ同2 相 0
ui u
i
O
ωt
ψ1 ψ2 90 电流超前电压90
ui u i
O
ωt
90°
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相
ui u i
O
ωt
总目录 章目录 返回 上一页 下一页
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
ui
+ _
i
t
_
+
_u
R
i
+
_u R
_
正弦交流电的优越性：
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第2章正弦交流电路（讲课共6学时）第1 次课正弦量及其相量表示法一、学时：2学时二、目的与要求：1、交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础，而且要为电子电路作好理论基础，故这章是本课程的重要内容之一。
2、深刻理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值概念。
3、熟悉正弦量的各种表示方法及相互间的关系。
三、重点：1、正弦量的特征及各种表示法。
2、 R、L、C的相量图和相位关系。
四、难点：相量计算中的相量图、相位关系。
五、教学方式：多媒体或传统方法。
六、习题安排：七、教学内容：2.1正弦量与正弦电路2.2.1正弦量的时域表示方法1、正弦量三要素i=I m sin(ωt+ψ) (下图是ψ=0时波形图)（1）I m：幅值（最大值）等于有效值I的根号2倍；有效值I等于发热效应等价的直流电流数值。
（2）角频率ω：等于2πf(频率)=2π/T（周期）；单位时间转过的弧度数（3）初相位ψ：t=0时，正弦量的起始相位角度；相位(ωt+ψ)：反映正弦量的变化进程。
2.相位差=ψ1-ψ2不随计时起点而变，反映同频率正弦量相位差，有超前、滞后等问题。
2.2.1正弦量的相量表示法1、相量（1）定义：正弦量除了用波形图及瞬时表达式表示外，还可用一个与之时应的复数表示，这个表示正弦量的复数称为相量。
即I =I∠ψ(2)按复数的运算法则计算加减用直角坐标或三角函数形式，乘除用指数形式或极坐标形式。
I=I ∠ψ=Ie j ψ=I(cos ψ+jsin ψ) 2、相量图：（1）画法：把正弦量用一有向线段表示，同一量纲的相量采用相同的比例尺寸。
（2）加法减法运算：按平行四边形法则计算 例题讨论✧ 已知工频正弦量为50Hz ，试求其周期T 和角频率。
【解】 T ＝f1＝Hz501＝0.02s ，ω＝2πf ＝2×3.14×50rad/s ，即工频正弦量的周期为0.02s ，角频率为314rad/s 。
✧ 已知两个正弦电流i 1＝4sin(ωt +30°)A ，i 2＝5sin(ωt -60°)A 。
试求i =i 1+i 2。
✧ 已知u A =2202sin314t V ，u B =2202sin(314t －120˚)V 和u C =2202sin(314t ＋120˚)V ，试用相量法表示正弦量，并画出相量图。
✧ 已知i 1＝100 2sin(ωt ＋45˚)A ，i 2＝60 2sin(ωt －30˚)A 。
试求总电流i ＝i １＋i ２，并做出相量图。
【解】由正弦电流i 1和 i 2的频率相同，可用相量求得 （1）先作最大值相量1mI 2m I =60（2）用相量法求和电流的最大值相量m I ＝1mI +2m I ＝1002/45˚＋1292/18.4˚ （A ） （3）将和电流的最大值相量变换成电流的瞬时值表达式i ＝129 2sin(ωt ＋18.4˚) (A)（4）做出相量图，如右图所示。
也可以用有效值相量进行计算，方法如下 （1）先作有效值相量1I =100/45˚A 2I =60/－30˚A（2）用相量法求和电流的有效值相量，相量图如图2.2.５所示。
I ＝1I +2I ＝100/45˚＋60/－30˚＝129/18.4˚ （A ）（3）将和电流的有效值相量变换成电流的瞬时值表达式i＝129 2sin(ωt＋18.4˚) (A)由此可见，无论用最大值相量还是用有效值相量进行求和运算，其计算结果是一样的。
第 2 －3次课 正弦交流电路分析 一、学时：4学时 二、目的和要求：三、重点： R 、L 、C 元件的特性、功率的计算方法四、难点：R 、L 、C 元件的特性、功率的计算方法五、教学方式：多媒体或传统方法。
六、习题安排： 七、教学内容：2.2正弦交流电路分析 2.2.1单一参数的交流电路1、电阻元件及其交流电路 （1）电压电流关系① 瞬时关系：u =iR②相量关系：令)sin(i m t I i ψω+= 即i m m I I ψ∠=∙)sin(i m t RI u ψω+=u m i m m m U RI I R U ψψ∠=∠==∙∙m m RI U = 即R IUI U m m == i u ψψ=u 、i 波形与相量如图（b ）（c ）所示。
（2）功率①瞬时功率)cos 1(sin 22t UI t I U ui p m m ωω-===②平均功率⎰===-=TR U RI UI dt t UI TP 0222)cos 1(1ω（3）结论在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值，就是电阻R 。
2、电感元件的交流电路 ⑴电压电流关系① 瞬时关系：dtdi Lu = ② 相量关系： 令)sin(i m t I i ψω+=即i m m I I ψ∠=∙如图（c ）iu mm LI U ψπψω+==2fL X L IUI U L m m πω2====（称L X 为感抗） u 、I 的波形图与相量图，如图（b ）、(c)所示。
⑵ 功率①瞬时功率为p =ui=U m I m sin ωt .sin(ωt+90º)=U m I m sin ωt .cos ωt=2m m I U sin2ωt ＝UI sin2ωt②平均功率为P ＝⎰Tt p T 0d 1＝⎰Tt t UI Td 2sin 1ω＝0（3）结论电感元件交流电路中， u 比i 超前2π；电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积；平均功率为零，但存在着电源与电感元件之间的能量交换，所以瞬时功率不为零。
为了衡量这种能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，即电压和电流有效值的乘积，称为无功功率用大写字母Q 表示，即 Q=UI=I 2X L =U 2/ X L (VAR)im u m m i m i m ti m LI U U t LI t LI d t dI Lu ψπωψψωπωψωωψω+∠=∠=⎪⎭⎫⎝⎛++=+=+=∙22sin )cos()sin(3、电容元件交流电路⑴ 电压电流关系①瞬时关系： 如图（a ）所示i=C tu d d② 相量关系：在正弦交流电路中令u=U m sin （ωt +u ψ ）即 mU = u m U ψ∠ 则i = C tu d d =C tt U u d )sin(d m ψω+=ωCU m cos （ωt+u ψ）= ωCU m sin(ωt+u ψ+90º)=I m sin(ωt+u ψ+90º)Im =I m ∠ψi =ωCU m ∠900+u ψ 可见，I m =ωCU m =U m /X C （X C =1/ωC 称为电容的容抗） ϕ=ψu -ψi = --900u 、i 的波形图和相量图，如图（b ）（c ） 。
⑵功率①瞬时功率p =u i =U m I m sin ωt .sin(ωt+90º)=U m I m sin ωt .cos ωt=2m m I U sin2ωt＝UI sin2ωt②平均功率P ＝⎰Tt p T 0d 1＝⎰Tt t UI Td 2sin 1ω＝0（3）结论在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前900；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为容抗X C ；电容元件是储能元件，瞬时功率的最大值（即电压和电流有效值的乘积），称为无功功率，为了与电感元件的区别，电容的无功功率取负值，用大写字母Q 表示，即Q=－UI=－I 2X C =－U 2/ X C注：1 X C 、X L 与R 一样，有阻碍电流的作用。
2适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。
3 X L 与 f 成正比，X C 与 f 成反比，R 与f 无关。
对直流电f =0，L 可视为短路，X C =∞，可视为开路。
对交流电f 愈高，X L 愈大，X C 愈小。
例题讨论✧ 把一个100Ω的电阻元件接到频率为50Hz ，电压有效值为10V 的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000 Hz ，这时电流将为多少？解： 因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变时，频率虽然改变但电流有效值不变。
即 I=U/R=（10/100）A=0.1=100mA✧ 若把上题中的，100Ω的电阻元件改为25μF 的电容元件，这时电流又将如何变化？【解】当f =50Hz 时X C ＝fC π21＝)1025(5014.3216-⨯⨯⨯⨯＝127.4（Ω） I =C X U =4.12710=0.078（A ）=78（mA ） 当f =5000Hz 时X C ＝)1025(500014.3216-⨯⨯⨯⨯＝1.274（Ω）I =274.110=7.8（A ）可见，在电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。
2.2.2-2.2.3阻抗的概念与正弦交流电路的分析、功率 1.电路分析(1) 电压与电流的关系 u R =RI m sin ωt =U R m sin ωt ①瞬时值计算：设i=I m sin ωt则 u= u R + u L + u C = RI m sin ωt +X L I m sin(ωt + 90º)+X C I m sin(ωt － 90º)=U m sin(ωt+φ) 其幅值为U m ，与电流的相位差为φ。
② 相量计算：如果用相量表示电压与电流的关系，则为=R U +LU +C U =R I +j X L I －j X C I =[R+j(X L －X C )]I 此即为基尔霍夫定律的相量形式。
令Z =IU=R+j(X L －X C ) =|Z | / φ由（b ）图可见 R U 、LU —C U 、组成一个三角形，称电压三角形，电压u 与电流i 之间的相位差可以从电压三角形中得出，φ=arctan RC L U U U -= arctan RX X C L -|Z |、R 和(X L －X C )也可以组成一个直角三角形，称为阻抗三角形。
⑵ 功率 ① 瞬时功率：p=ui=U m I m sin(ωt+φ) sin ωt=UI cos φ－UI cos(2ωt+φ)② 平均功率：P=⎰T pdt T01=⎰+-T dt t UI UI T)]2cos(cos [1ϕωϕ=UI cos φ又称为有功功率，其中 cos φ称为功率因数。
③ 无功功率：Q=U L I －U C I= I 2(X L －X C )=UI sin φ④ 视在功率：S=UI 称为视在功率 可见 22Q P S +=2.2.4电路中的谐振由上图的电压三角形可看出，当X L =X C 时 即电源电压u 与电路中的电流i 同相。