直角坐标系中的点与有序实数对
2022-2023学年江西省南昌市南昌县七年级(下)期中数学试卷(含解析)
2022-2023学年江西省南昌市南昌县七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各数中是有理数的是( )A. πB. 1C. 3D. 3932. 下列各组数中，互为相反数的一组是( )A. −2与(−2)2B. −2和3−8C. 1与2 D. |2|和223.如图，小明用手盖住的点的坐标可能为( )A. (3,2)B. (−3,2)C. (3,−2)D. (−3,−2)4. 一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在( )A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间5.将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为( )A. 135°B. 120°C. 105°D. 75°6. 下列命题中，其中真命题的个数是( )①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应；②内错角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④直线外一点到直线的距离是垂线段．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数，用z=a+bi表示，任何一个复数z=a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对(a,b)表示，如z=1+2i表示Z(1,2)，则z=2−i可表示为( )A. Z(2,0)B. Z(−1,2)C. Z(2,1)D. Z(2,−1)8. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，…，那么点A2023的坐标为( )A. (1011,0)B. (1011,1)C. (1010,0)D. (1010,1)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. π的相反数是______．10. 如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______．11. 若电影院中“5排4号”记作(5,4)，则(6,1)表示的意义是______．12. 把一张对边互相平行的纸条，按图折叠后，EF是折痕，若∠EFB=32°，则∠AEG的度数为______ ．13. 若(2x−4)2+4y+4=0，则x+2y=______ ．14. 已知A(1,2)，B(x,y)，AB//x轴，且B到y轴距离为2，则点B的坐标是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15. 求下列各式中x的值．(1)4x2−16=0；(2)(x−1)3=−125．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分。
两点之间的距离公式及中点坐标公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2
1平面直角坐标系
证法二(向量法)
在 ▱ABCD 中 ,������������ = ������������ + ������������ , 两边平方得������������ 2 =|������������ |2=|������������ |2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 同理得������������ 2 =|������������ |2=| ������������|2+|������������ |2+2������������ ·������������ , 以上两式相加,得 |������������ |2+|������������ |2=2(| ������������ |2+| ������������ |2)+2������������ · (������������ + ������������)=2(|������������|2+| ������������ |2), 即 |AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)若曲线C上的点都是方程f(x,y)=0的解,则曲线C是方程f(x,y)=0的 曲线. ( × ) (2)以方程x2+y2=4的解为坐标的点都是曲线“在y轴右侧到原点的 距离等于2的点的集合”上的点. ( × ) (3)已知等腰三角形ABC的底边为AB,且A(-1,1),B(3,7),则顶点C的轨 迹方程为2x+y-5=0. ( × ) (4)方程(x-a)2+(y-b)2=r2的曲线经过点(1,2)的充要条件是(1-a)2+(2b)2=r2. ( ) √
青岛版八年级数学下册《有序实数对与坐标平面上的点的关系》课件
在数轴上,如何确定一个点的位置呢?
例如:
A
-3 -2
-1
0
1
2
B
3
4
A点记作-2,B点记作3.也就是说,
在直线上一般用一个数据就可以表示一个点的位置。
y
在平面内，两条互相垂直且有
公共原点的数轴组成平面直角坐标
系，如图所示。
5
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6
水平方向的数轴称为x轴或横轴，垂直方向的数
们分别用直角坐标系中的点表示出来吗？你是怎样表示的？
(3)如果P是直角坐标系中任意一点，怎样写出这个点的坐标呢？
这个点的横、纵坐标都是实数吗？
(4)通过上面的讨论，你认为有序实数对与直角坐标系中的点应
当具有什么关系？
一、有序实数对与直角坐标系中的点的关系
把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一
个有序实数对都可以用直角坐标系中唯一的一个
长为2，由勾股定理，得
DB= 2 − 2 = 22 − 12 = 3。
所以，点B的坐标为(-1， 3)。
例2 在直角坐标系中，已知点A( 2， 3)。
(1)分别作出与点A关于y轴成轴对称的点B，关于x
轴成轴对称的点D，并写出它们的坐标;
(2)如果A,B,D是矩形的三个顶点，写出第四个顶
点C的坐标；
(2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，得到什么图形？
(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？
y
B
C
【解】(1)如图所示。
(2)轴对称图形。
1
(3)在平面直角坐标系中， A
点来表示.反之，直角坐标系中的每一个点都表示
平面直角坐标系专题复习
平面直角坐标系专题复习◆知识讲解①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P（a，b）到某轴的距离为│b│，到y轴距离为│a│，到原点距离为a2b2；③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P在第一象限a>0且b>0，P在第二象限a<0，b>0，P在第三象限a<0，b<0，P在第四象限a>0，b<0；④点P（a，b）：若点P在某轴上a为任意实数，b=0；P在y轴上a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上a=0；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上a=－b；⑤A（某1，y1），B（某1，y2）：A，B关于某轴对称某1=某2，y1=－y2；A、B关于的y轴对称某1=－某2，y1=y2；A，B关于原点对称某1=－某2，y1=－y2；AB∥某轴y1=y2且某1≠某2；AB∥y轴某1=某2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．◆例题解析例1（2022贵州贵阳，24，10分）【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（某1，y1）、Q（某2，y2）为端点的线段中点坐标为（【运用】某1+某2y1+y22，2）．（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在某轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；（4分）（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．（6分）（第24题图）【答案】解：（1）∵四边形ONEF是矩形，∴点M是OE的中点．∵O（0，0），E（4，3），3∴点M的坐标为（2，）．2（2）设点D的坐标为（某，y）．若以AB为对角线，AC，BC为邻边构成平行四边形，则AB，CD的中点重合1+某-1+3=某=122∴，解得，．4+y2+1y=-1=22若以BC为对角线，AB，AC为邻边构成平行四边形，则AD，BC的中点重合-1+某1+3=某=522∴，解得，．2+y4+1y=3=22若以AC为对角线，AB，BC为邻边构成平行四边形，则BD，AC的中点重合3+某-1+1=某=-322∴，解得，．1+y2+4y=5=22综上可知，点D的坐标为（1，-1）或（5，3）或（-3，5）．例2如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的内心的坐标．【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．【解答】∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）．设Rt△ABO内切圆的半径为r，则由S△ABO=某6某8=24，S△ABO=r（AB+OA+OB）=12r，知r=2，而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）．【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．12122022年真题一、选择题1.（2022山东日照，7，3分）以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为某轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（）（A）（3，3）（B）（5,3）（C）（3,5）（D）（5,5）【答案】D2.（2022山东泰安，12，3分）若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转900得到OA＇，则点A＇的坐标为（）A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6)【答案】A3.（2022宁波市，5，3分）平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是A．（－3，2）B．（3，－2）C．（－2，3）D．（2，3）【答案】C4.（2022浙江绍兴，10，4分）李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的队员线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角新，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0,2），PM与某轴交于点N(n,0)，如图3.当m3时，求n的值.你解答这个题目得到的n值为（）A.423B.234C.2323D.33yPA0PMN某M3BA0M3B【答案】A5.（2022台湾台北，17）如图(七)，坐标平面上有两直线L、M，其方程式分别为y＝9、y＝－6。
人教版初中七年级下册数学第七章单元测试卷(3)(附答案解析)
单元测验卷一.选择题.1．（3分）点P（3，﹣1）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四2．（3分）点A（0，2）在（）A．第二象限B．x轴的正半轴上C．y轴的正半轴上D．第四象限3．（3分）如果点P（﹣3，b）在第三象限内，则b（）A．是正数B．是负数C．是0 D．可以是正数，也可以是负数4．（3分）如果点A（2，﹣3）和点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（2，3）5．（3分）点P（2，﹣5）到x轴、y轴的距离分别为（）A．2、5 B．2、﹣5 C．5、2 D．﹣5、26．（3分）在第二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上的点的横坐标和纵坐标（）A．相等B．互为倒数C．之差为零D．互为相反数7．（3分）在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（）A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位8．（3分）△DEF（三角形）是由△ABC平移得到的，点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），则点B（1，1）的对应点E，点C（﹣1，4）的对应点F的坐标分别为（）A．（2，2），（3，4）B．（3，4），（1，7）C．（﹣2，2），（1，7）D．（3，4），（2，﹣2）9．（3分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）10．（3分）如图，下列说法正确的是（）A．A与D的横坐标相同B．A与B的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．C与D的纵坐标相同11．（3分）将点A（﹣3，2）先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到A′、将点B（﹣3，6）先向下平移5个单位，再向右平移3个单位，得到B′，则A′与B′相距（）A．4个单位长度B．5个单位长度C．6个单位长度D．7个单位长度12．（3分）已知点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，﹣n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二.填空题.13．（3分）如果将一张“9排5号”的电影票简记为（9，5），那么（5，9）表示的电影票表示的是排号．14．（3分）平面直角坐标系中，原点O的坐标为，x轴上的点的坐标为0，y轴上的点的坐标为0．15．（3分）将点A（﹣2，3）向左平移2个单位长度后，所得点的坐标为；把A向下平移1个单位长度后，所得点的坐标为．16．（3分）已知|x﹣2|+（y+1）2=0，则点P（x，y）在第个象限，坐标为．三.解答题.17．在平面直角坐标系列中，标出下列各点：（1）点A在x轴的正半轴上，距离原点1个单位长度；（2）点B在y轴的负半轴上，距离原点2个单位长度；（3）点C在第四象限，距离x轴1个单位长度，距离y轴3个单位长度；（4）点D在第一象限，距离x轴1个单位长度，距离y轴4个单位长度．请用线段依次连接这些点，你能得到什么图形？18．若线段AB平行于x轴，AB的长为4，且A的坐标为（2，3），求点B的坐标．19．三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣3）、B（3，2）、C（2，﹣1），如果将这个三角形三个顶点的横坐标都加3，同时纵坐标都减1，分别得到点A1、B1、C1，依次用线段连接A1、B1、C1所得三角形A1B1C1．（1）分别写出点A1、B1、C1坐标；（2）三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？20．如图是网格图，每个小正方形的边长均为1．△ABC（“△”表示“三角形”）是格点三角形（即每个顶点都在小正方形的顶点上），它在坐标平面内平移，得到△PEF，点A平移后落在点P的位置上．（1）请你在图中画出△PEF，并写出顶点P、E、F的坐标；（2）说出△PEF是由△ABC分别经过怎样的平移得到的？21．如图是某台阶的一部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1），（1）请建立适当的直角坐标系，并写出其余各点的坐标；（2）如果台阶有10级，请你求出该台阶的长度和高度；（3）若这10级台阶的宽度都是2m，单位长度为1m，现要将这些台阶铺上地毯，需要多少平方米？四、解答题（共1小题，满分0分）22．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为；（2）另取两点B（﹣1.6，2.1）、C（﹣1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…则点P3、P8的坐标分别为、．拓展延伸：（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．参考答案与试题解析一.选择题.1．（3分）点P（3，﹣1）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【考点】D1：点的坐标．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点P（3，﹣1）在第四象限．故选D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（3分）点A（0，2）在（）A．第二象限B．x轴的正半轴上C．y轴的正半轴上D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【分析】根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：∵点A（0，2）的横坐标是0，纵坐标是正数，∴点A在平面直角坐标系y轴的正半轴上．故选C．【点评】本题考查了象限以及x轴、y轴的特点，难度适中．3．（3分）如果点P（﹣3，b）在第三象限内，则b（）A．是正数B．是负数C．是0 D．可以是正数，也可以是负数【考点】D1：点的坐标．【专题】11 ：计算题．【分析】根据第三象限内点的坐标特点得到b＜0．【解答】解：∵P（﹣3，b）在第三象限内，∴b＜0．故选B．【点评】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．4．（3分）如果点A（2，﹣3）和点B关于原点对称，则点B的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（2，3）【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可．【解答】解：∵点A（2，﹣3）和点B关于原点对称，∴点B的坐标为（﹣2，3）．故选A．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点的对称点的横坐标、纵坐标都相反数是解题的关键．5．（3分）点P（2，﹣5）到x轴、y轴的距离分别为（）A．2、5 B．2、﹣5 C．5、2 D．﹣5、2【考点】D1：点的坐标．【分析】求得﹣5的绝对值即为点P到x轴的距离，求得2的绝对值即为点P到y轴的距离．【解答】解：∵|﹣5|=5，|2|=2，∴点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为2．故选：C．【点评】本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．6．（3分）在第二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上的点的横坐标和纵坐标（）A．相等B．互为倒数C．之差为零D．互为相反数【考点】D5：坐标与图形性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等以及第二、四象限内点的横坐标与纵坐标的符号相反解答．【解答】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，第二、四象限内点的横坐标与纵坐标的符号相反，∴第二、四象限内两坐标轴夹角的平分线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数．故选D．【点评】本题考查了坐标与图形，熟记平面直角坐标系与各象限内点的符号特点是解题的关键．7．（3分）在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比（）A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可得答案．【解答】解：将三角形各点的横坐标都减去3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比向左平移了3个单位．故选：B．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握点的变化规律．8．（3分）△DEF（三角形）是由△ABC平移得到的，点A（﹣1，﹣4）的对应点为D（1，﹣1），则点B（1，1）的对应点E，点C（﹣1，4）的对应点F的坐标分别为（）A．（2，2），（3，4）B．（3，4），（1，7）C．（﹣2，2），（1，7）D．（3，4），（2，﹣2）【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：点A的对应点D，是横坐标从﹣1到1，说明是向右移动了1﹣（﹣1）=2个单位，纵坐标是从﹣4到﹣1，说明是向上移动了﹣1﹣（﹣4）=3个单位，那么其余两点移运转规律也如此，即横坐标都加2，纵坐标都加3．故点E、F的坐标为（3，4）、（1，7）．故选B．【点评】本题考查了平移中点的变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．左右移动改变点的横坐标，上下移动改变点的纵坐标．9．（3分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）【考点】D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2．【解答】解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选：B．【点评】本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．10．（3分）如图，下列说法正确的是（）A．A与D的横坐标相同B．A与B的横坐标相同C．B与C的纵坐标相同 D．C与D的纵坐标相同【考点】D5：坐标与图形性质；L5：平行四边形的性质．【分析】由图意得BC∥x轴，那么B与C的纵坐标相同．【解答】解：因为AD∥x，BC∥x，所以A、D纵坐标相同，B、C纵坐标相同，根据选项可知C正确，故选C．【点评】本题用到的知识点为：平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等．11．（3分）将点A（﹣3，2）先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到A′、将点B（﹣3，6）先向下平移5个单位，再向右平移3个单位，得到B′，则A′与B′相距（）A．4个单位长度B．5个单位长度C．6个单位长度D．7个单位长度【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出点A′的坐标，再求出点B′的坐标，然后解答即可．【解答】解：∵点A（﹣3，2）先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，∴点A′（0，﹣3），∵点B（﹣3，6）先向下平移5个单位，再向右平移3个单位，∴点B′（0，1），∴A′与B′相距4个单位．故选A．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．12．（3分）已知点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，﹣n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，即可确定出m、n的正负，从而确定|m|，﹣n的正负，即可得解．【解答】解：∵点A（m，n）在第二象限，∴m＜0，n＞0，则可得|m|＞0，﹣n＜0，∵点B的坐标为（|m|，﹣n），∴点B在第四象限．故选D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键．二.填空题.13．（3分）如果将一张“9排5号”的电影票简记为（9，5），那么（5，9）表示的电影票表示的是5排9号．【考点】D3：坐标确定位置．【分析】由于9排5号的电影票简记为（9，5），则（5，9）的电影票表示的是5排9号．【解答】解：∵“9排5号”的电影票简记为（9，5），∴（5，9）的电影票表示为5排9号．故答案为5，9．【点评】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应．14．（3分）平面直角坐标系中，原点O的坐标为（0，0），x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．【考点】D1：点的坐标．【分析】直接根据坐标系中各个象限内及坐标轴上的点的坐标特点可求解．【解答】解：平面直角坐标系中，原点O的坐标为（0，0），x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0．故各空依次填（0，0）、纵、横．【点评】要掌握平面直角坐标系中各个部位上的点的坐标特点，只有掌握住了，在解题的过程中才能准确而迅速的解题．15．（3分）将点A（﹣2，3）向左平移2个单位长度后，所得点的坐标为（﹣4，3）；把A向下平移1个单位长度后，所得点的坐标为（﹣2，2）．【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据平移规律，左右移，纵不变，横减加；上下移，横不变，纵加减．【解答】解：将点A（﹣2，3）向左平移2个单位长度后，所得点的坐标为（﹣2﹣2，3），即（﹣4，3）；把A向下平移1个单位长度后，所得点的坐标为（﹣2，3﹣1），即（﹣2，2）．故答案为：（﹣4，3），（﹣2，2）．【点评】本题主要考查点坐标的平移变换．关键是熟练掌握点平移的变化规律：左减右加，上加下减．16．（3分）已知|x﹣2|+（y+1）2=0，则点P（x，y）在第四个象限，坐标为（2，﹣1）．【考点】D1：点的坐标；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：由题意得，x﹣2=0，y+1=0，解得x=2，y=﹣1，∴点P（x，y）在第四象限，坐标为（2，﹣1）．故答案为：四，（2，﹣1）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．三.解答题.17．在平面直角坐标系列中，标出下列各点：（1）点A在x轴的正半轴上，距离原点1个单位长度；（2）点B在y轴的负半轴上，距离原点2个单位长度；（3）点C在第四象限，距离x轴1个单位长度，距离y轴3个单位长度；（4）点D在第一象限，距离x轴1个单位长度，距离y轴4个单位长度．请用线段依次连接这些点，你能得到什么图形？【考点】D5：坐标与图形性质．【分析】根据平面直角坐标系与点的坐标的确定找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接即可．【解答】解：如图所示，用线段依次连接这些点，得到一个平行四边形．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键．18．若线段AB平行于x轴，AB的长为4，且A的坐标为（2，3），求点B的坐标．【考点】D5：坐标与图形性质．【分析】根据平行于x轴的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标，再分点B在点A 的左边与右边两种情况讨论求解．【解答】解：∵线段AB平行于x轴，A的坐标为（2，3），∴点B的纵坐标是3，∵AB=4，∴点B在点A的左边时，横坐标为2﹣4=﹣2，点B在点A的右边时，横坐标为2+4=6，∴点B的坐标为（6，3）或（﹣2，3）．【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的点的纵坐标相同，难点在于要分情况讨论．19．三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣3）、B（3，2）、C（2，﹣1），如果将这个三角形三个顶点的横坐标都加3，同时纵坐标都减1，分别得到点A1、B1、C1，依次用线段连接A1、B1、C1所得三角形A1B1C1．（1）分别写出点A1、B1、C1坐标；（2）三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系？【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【分析】（1）根据题意进行计算即可；（2）根据坐标与图形的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．【解答】解：（1）A1（1，﹣4），B1（6，1），C1（5，﹣2）；（2）三角形A1B1C1的大小、形状与三角形ABC的大小、形状完全一样，仅是位置不同，三角形A1B1C1是将三角形ABC沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y 轴方向向下平移1个单位得到的．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握平移后点的坐标的变化规律．把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．20．如图是网格图，每个小正方形的边长均为1．△ABC（“△”表示“三角形”）是格点三角形（即每个顶点都在小正方形的顶点上），它在坐标平面内平移，得到△PEF，点A平移后落在点P的位置上．（1）请你在图中画出△PEF，并写出顶点P、E、F的坐标；（2）说出△PEF是由△ABC分别经过怎样的平移得到的？【考点】Q4：作图﹣平移变换．【分析】（1）根据A点平移到P点的方法，分别找到B、C两点平移后的对应点，再写出坐标即可；（2）根据图中△ABC和△PEF的位置进行描述即可．【解答】解：（1）如图所示：P（﹣3，﹣3），E（﹣2，0），F（﹣1，﹣1）；（2）先把△ABC向左平移3个单位长度，再把它向下平移2个单位长度（或先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度）．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．21．如图是某台阶的一部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1），（1）请建立适当的直角坐标系，并写出其余各点的坐标；（2）如果台阶有10级，请你求出该台阶的长度和高度；（3）若这10级台阶的宽度都是2m，单位长度为1m，现要将这些台阶铺上地毯，需要多少平方米？【考点】D5：坐标与图形性质．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可；（2）根据平移的性质求横向与纵向的长度，即为台阶的长度和高度；（3）根据（2）求出地毯的长度，然后乘以台阶的宽度计算即可得解．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；（2）台阶的长度：1×（10+1）=11，高度：1×10=10；（3）∵单位长度为1m，∴地毯的长度为：（11+10）×1=21m，∵台阶的宽度都是2m，∴地毯的面积为21×2=42m2，答：将这些台阶铺上地毯，需要42平方米．【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平面直角坐标系的定义和在平面直角坐标系中确定点的坐标的方法，平移的性质．四、解答题（共1小题，满分0分）22．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）；（2）另取两点B（﹣1.6，2.1）、C（﹣1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…则点P3、P8的坐标分别为（﹣5.2，1.2）、（2，3）．拓展延伸：（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．【考点】D5：坐标与图形性质；R4：中心对称．【专题】16 ：压轴题；21 ：阅读型．【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；（2）首先利用题目所给公式求出P2的坐标，然后利用公式求出对称点P3的坐标，依此类推即可求出P8的坐标；（3）由于P1（0，﹣1）→P2（2，3）→P3（﹣5.2，1.2）→P4（3.2，﹣1.2）→P5（﹣1.2，3.2）→P6（﹣2，1）→P7（0，﹣1）→P8（2，3），由此得到P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点P2012的坐标，也可以根据图形求出在x轴上与点P2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标．【解答】解：（1）（1，1）；（2）P3、P8的坐标分别为（﹣5.2，1.2），（2，3）；（3）∵P1（0，﹣1）→P2（2，3）→P3（﹣5.2，1.2）→P4（3.2，﹣1.2）→P5（﹣1.2，3.2）→P6（﹣2，1）→P7（0，﹣1）→P8（2，3）；∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环．∵2012÷6=335…2．∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012（2，3）；在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为．【点评】此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，利用题目所给公式是解题的关键，利用公式可以解决后面的所有问题。
2020-2021初中数学命题与证明的知识点总复习有解析(2)
2020-2021初中数学命题与证明的知识点总复习有解析(2)一、选择题1．下列命题中是真命题的是（ ）A ．两个锐角的和是锐角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．点(3,2)-到x 轴的距离是2D ．若a b >，则a b ->-【答案】C【解析】【分析】根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解．【详解】A. 两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；C. 点(3,2)-到x 轴的距离是2是真命题，故本选项正确；D. 若a b >，则a b ->-是假命题，正确结果应为a b -<-，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．2．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ）A ．两条直线B ．相交C ．只有一个交点D ．两条直线相交【答案】D【解析】【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.3．下列命题中真命题是（ ）A 2一定成立B．位似图形不可能全等C．正多边形都是轴对称图形D．圆锥的主视图一定是等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．【详解】A）2，当a＜0时不成立，假命题；B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；C、正多边形都是轴对称图形，真命题；D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题，故选C．【点睛】本题考查了真命题与假命题，涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．下列命题是假命题的是（）A．有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形B．等角的余角相等C．钝角三角形一定有一个角大于90︒D．同位角相等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：选项A、B、C都是真命题；选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题，故选：D．5．下列命题中是真命题的是（）A．多边形的内角和为180°B．矩形的对角线平分每一组对角C．全等三角形的对应边相等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A进行判定；根据矩形的性质可对B进行判定；根据全等三角形的性质可对C进行判定；根据平行线的性质可对D进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．6．下列说法中，正确．．的是( ) A ．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B ．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C ．“相等的角是对顶角”是一个真命题D ．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C 是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B7．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若a>b ，则-a<-bB ．若a>b ，则a+3>b+3C ．若a>b ，则44a b > D ．若a>b ，则a 2>b 2【答案】D【解析】【分析】 利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、若a ＞b ，则-a ＜-b ，正确，是真命题；B 、若a ＞b ，则a+3＞b+3，正确，是真命题；C 、若a ＞b ，则44a b >，正确，是真命题； D 、若a ＞b ，则a 2＞b 2，错误，是假命题；故选：D ．【点睛】 此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．8．下列命题正确的是( )A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的. B．两个全等的图形之间必有平移关系.C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．【详解】解：A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．9．下列命题是假命题的是（）A．同角（或等角）的余角相等B．三角形的任意两边之和大于第三边C．三角形的内角和为180°D．两直线平行，同旁内角相等【答案】D【解析】【分析】利用余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、同角（或等角）的余角相等，正确，是真命题；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题；C、三角形的内角和为180°，正确，是真命题；D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，故选D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解余角的定义、三角形的三边关系、三角形的内角和及平行线的性质，难度不大．10．下列命题：①直角三角形的两个锐角互余；②同旁内角互补；③如果直线12l l P ，直线23l l P ，那 么13l l P ．其中真命题的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】【分析】利用直角三角形的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；②两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题； ③如果直线12l l P ，直线23l l P ，那 么13 l l P ，正确，是真命题； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，掌握命题与定理是解题的关键．11．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B ．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．12．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.【详解】若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1 若0,ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.13．下列命题是真命题的是（ ）A ．若x ＞y ，则x 2＞y 2B ．若|a|=|b|，则a=bC ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2D ．若a ＜1，则a ＞1a【答案】C【解析】【分析】根据实数的乘方，绝对值的性质和倒数的意义等，对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．【详解】A. x ＞y ，如x=0，y=-1，02<(-1)2，此时x 2<y 2 ，故A 选项错误；B. |a|=|b|，如a=2，b=-2，此时a≠b ，故B 选项错误；C. 若a ＞|b|，则a 2＞b 2 ，正确；D. a ＜1，如a=-1，此时a=1a，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题主要利用了实数的性质．14．用三个不等式a ＞b ，ab ＞0，1a ＞1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：①若a＞b，ab＞0，则1a＞1b；假命题：理由：∵a＞b，ab＞0，∴a＞b＞0，∴1a＜1b；②若ab＞0，1a＞1b，则a＞b，假命题；理由：∵ab＞0，∴a、b同号，∵1a＞1b，∴a＜b；③若a＞b，1a＞1b，则ab＞0，假命题；理由：∵a＞b，1a＞1b，∴a、b异号，∴ab＜0．∴组成真命题的个数为0个；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．15．下列命题中，其中真命题的个数是（）①平面直角坐标系内的点与实数对一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④对顶角相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据真命题的定义依次进行判断.【详解】①平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是假命题；②两直线平行，内错角相等，是假命题；③平行于同一条直线的两条直线不一定相互平行，是真命题；④对顶角相等，是真命题；故选：B．【点睛】此题考查真命题的定义，正确掌握坐标与图形，平行线的性质，平行公理，对顶角性质是解题的关键.16．39．下列命题中，是假命题的是（）A．同旁内角互补B．对顶角相等C．直角的补角仍然是直角D．两点之间，线段最短【答案】A【解析】同旁内角不一定互补，同旁内角互补的条件是两直线平行，故选A.17．下列命题的逆命题不正确的是（）A．全等三角形的对应边相等B．两直线平行，同位角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．矩形的对角线相等．【答案】D【解析】【分析】根据求逆命题的原则，把原命题的结论作为条件，原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题，逐一判断逆命题的正误即可．【详解】解：A的逆命题是：对应边相等的三角形是全等三角形，正确；B的逆命题是：同位角相等，两直线平行，正确；C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形，正确；D的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，错误故选：D【点睛】本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定，解题的关键是正确找出各选项的逆命题．18．下列选项中，能说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题的反例是( )A ．1a =-，2b =B ．2a =，1b =-C ．1a =，2b =-D ．2a =-，1b =【答案】D【解析】【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，作答本题直接利用选项中数据代入求出答案．【详解】A. 当1a =-，2b =时，2a ＜2b ，a ＜b ，则此选项不是假命题的反例；B. 当2a =，1b =-时，2a ＞2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；C. 当1a =，2b =-时，2a ＜2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；D. 当2a =-，1b =时，2a ＞2b ，a ＜b ，则此选项是假命题的反例，故选：D ．【点睛】本题考查真命题与假命题．要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．19．对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”，下面四组关于a ，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）A ．a =3，b =2B ．a =﹣3，b =2C ．a =3，b =﹣1D ．a =﹣1，b =3【答案】B【解析】试题解析：在A 中，a 2=9，b 2=4，且3＞2，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故A 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；在B 中，a 2=9，b 2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，故B 选项中a 、b 的值可以说明命题为假命题；在C 中，a 2=9，b 2=1，且3＞﹣1，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故C 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；在D 中，a 2=1，b 2=9，且﹣1＜3，此时满足a 2＜b 2，得出a ＜b ，即意味着命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”成立，故D 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；故选B ．考点：命题与定理．20．用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设( )A ．三角形的三个外角都是锐角B ．三角形的三个外角中至少有两个锐角C ．三角形的三个外角中没有锐角D．三角形的三个外角中至少有一个锐角【答案】B【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角，故选B．【点睛】.在假设结论不成立时要注意考虑结考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．。
平面直角坐标系
八年级《平面直角坐标》专题训练知识点一：点的坐标1、平面直角坐标中，和有序实数对一一对应的是-----------------------（ ） A ．x 轴上的所有点 B ．y 轴上的所有点 C ．平面直角坐标系内的所有点 D ． x 轴和y 轴上的所有点2、下列说法中错误的是--------------------------------------------（ ） A ．x 轴上的所有点的纵坐标都等于0 B ．y 轴上的所有点的横坐标都等于0 C ．若点A(m+2，n)在原点上，则m=—2；n=0； D ．点(1-，1)和点(1，1-)是同一个点3、已知03)2(2=++-b a ，则),(b a P --的坐标为--------------------（ ） A 、（2,3） B 、（2，,3） C 、（－2,3） D 、（―2，,3）知识点二：点的位置1、下列各点中，在第二象限的点是-----------------------------------（ ） A ．（2，3） B ．(2,－3) C ．(－2,3) D ．(－2, －3)2、已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限，那么点N(b, －a)在-----------（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、如果点P （a,b ）在第二象限内，那么点P （ab,a-b ）在---------------（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、已知P(0，a)在y 轴的负半轴上，则Q(21,1a a ---+)在---------------( )A 、y 轴的左边，x 轴的上方B 、y 轴的右边，x 轴的上方C 、y 轴的左边，x 轴的下方D 、y 轴的右边，x 轴的下方知识点三：坐标与距离1、已知点A （－3，5）到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为_______到原点的距离为 。
2020-2021学年福建省福州一中七年级(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年福建省福州一中七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若点P在第四象限内，则点P的坐标可能是（）A．（4，3）B．（3，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）2．2的平方根是（）A．B．C．±2D．23．在实数0，﹣π，﹣，﹣1中，最小的是（）A．﹣B．﹣πC．0D．﹣14．下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了了解某一批灯泡的寿命，选择全面调查B．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查C．为了了解“天问一号”的设备零件的质量情况，选择抽样调查D．为了了解某年福州市的空气质量，选择抽样调查5．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是（）A．∠3与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠1与∠4是内错角D．∠2与∠4是同位角6．已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．3D．47．已知m＜n，下列不等式一定成立的是（）A．﹣2m＜﹣2n B．2m＜2n C．m+2a＜n+a D．m2＜n28．不等式组的解集为x＜2，则k的取值范围为（）A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤19．已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（）x m m+2y n n﹣3t5pA．16B．17C．18D．1910．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（）A．2021个B．4042个C．6063个D．8084个二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）在x轴上，则m＝．12．在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是．13．为了估计一个鱼塘中养的鱼的数量，首先从鱼塘的不同地方捞出一些鱼，在这些鱼的身上做记号，记录下做记号的鱼的数量是150条，然后将这些鱼放回鱼塘，过一段时间后，在相同的地方再捞出一些鱼，共捞出800条，其中做记号的鱼共有40条，则鱼塘中约有条鱼．14．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y 尺，则符合题意的方程组是．15．下列四个命题：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；②若a大于0，b不小于0，则点P（﹣a，﹣b）在第三象限；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若y＝+4，则的算术平方根是．其中，是真命题的有.（写出所有真命题的序号）16．如图，已知AB∥CD，点P、Q分别是直线AB，CD上两点，点G在两平行线之间，连接PG，QG，点E是直线CD下方一点，连接EP，EQ，且GQ的延长线平分∠CQE，PE平分∠APG，若2∠PEQ+∠PGQ＝120°，则∠CQE的度数是．三、解答题：本题共9小题，共86分。
九年级数学二次函数的性质2
y x
2
y=x2 抛物线 y=-x2 （ 0，0） 2与抛物线 （ 0， 0） 顶点坐标 在同一坐标系内，抛物线 y=x 2 在同一坐标系内，抛物线y=x 与抛物线 2 y=-x -x 的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内 2的位置有什么关系？ y轴 y轴 对称轴 y= 如果在同一坐标系内 2 2 画函数 y=ax 与y= -ax 的图象，怎样画才简便？ 2与y= 2的图象，怎样画才简便？ 画函数 y=ax -ax 在x轴的上方（除顶点外） 位置 答：抛物线抛物线 在x轴的下方（除顶点外） y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对 称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的 开口方向 向上 向下 一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 增减性对称来画。 动画演示 极值 当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
注意：列表时自变量 2 取值要均匀和对称。
y x
y x
y
1 x
列表
画出下列函数的图象。
描点
(1 ) y
1 2
x
2Hale Waihona Puke (2) y 2 x2
连线
(3) y
2 3
x
2
y x
2
用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结 自左向右顺次连结
( 3 , 6 )与 ( 3 , 6 )
3
3
y=-2x2
专题11 平面直角坐标系(归纳与讲解)(解析版)
专题11平面直角坐标系【专题目录】技巧1：点的坐标变化规律探究问题技巧2：巧用坐标求图形的面积技巧3：活用有序数对表示点的位置技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【题型】一、用有序数对表示位置【题型】二、求点的坐标【题型】三、距离与点坐标的关系【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征【题型】六、点的坐标的规律探索【题型】七、函数图象的应用【考纲要求】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【考点总结】一、平面直角坐标系【考点总结】二、函数有关的概念及图象【注意】1、坐标轴上的点不属于任何象限点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法 （1）整式：取全体实数 （2）有分母：取值使分母不为零（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0 （4）有很多情况：取它们的公共部分 （5）在实际问题中：取值要符合实际意义 【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2 019秒时，点P 的坐标是( )(第1题)A ．(2 018，0)B ．(2 019，－1)C ．(2 019，1)D ．(2 020，0)2．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P 的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P 的坐标是________．3．如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x 轴或y 轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，其中x ，y 均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A ．(16，22)B ．(－15，－22)C ．(15，－22)D ．(16，－22) 【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 018的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则点A 4的坐标是________，点B 4的坐标是________；(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB 进行n(n 为正整数)次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________． 参考答案1．B 点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为12×2π×1＝π，因为点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，所以点P 1秒走12个半圆．当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，－1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)； ….因为2 019÷4＝504……3，所以第2 019秒时，点P 的坐标是(2 019，－1)． 2．(2 017，1)；(2 018，0) 3．(1)6分钟 (2)(44，7)4．C 点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：正方形在第四象限的顶点 因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以数2 025对应的坐标为(22，－22)． 所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．5．D 点拨：设P 1(x ，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，所以x2＝1，y ＋22＝－1，解得x ＝2，y ＝－4，所以P 1(2，－4)．同理可得P 2(－4，2)，P 3(4，0)，P 4(－2，－2)，P 5(0，0)，P 6(0，2)，P 7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P 2 018的坐标是(－4，2)．故选D . 6．(1)(16，3)；(32，0)(2)(2n ，3)；(2n ＋1，0) 技巧2：巧用坐标求图形的面积 【类型】一、直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC 的面积．【类型】二、利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD 的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C点坐标为(－4，4)，所以三角形ABC 的AB 边上的高为4. 又由题易知AB ＝6， 所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.2．解：如图所示．过点D 作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S 三角形C DE ＝12×(2＋6)×3－12×1×2＝11.3．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12·AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18.方法二：如图，过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别为点E ，F.易知AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6，所以S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE·BE －12BF·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：如图，过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D ，E. 易知AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，所以S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S 三角形ABE －S 三角形ADC＝12(BE ＋CD)·DE －12AE·BE －12AD·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.4．解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，且BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法． 5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限． 当点C 在第一象限时，m ＞0， 则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点C 的坐标为(－4，4)． 又易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.(2)由题意可知AB ＝6.因为点C 在第四象限，|x|＝3，所以x ＝3.因为S 三角形ABC ＝12×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y ＝－3.所以点C 的坐标为(3，－3)． 技巧3：活用有序数对表示点的位置 【类型】一、利用有序数对表示座位号1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【类型】三、利用有序数对表示地理位置3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？【类型】四、利用有序数对表示运动路径4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)参考答案1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，石玲同学的座位可以表示为(4，5)．2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．(2)答案不唯一，如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．【类型】二、坐标轴上的点的坐标3．若点M的坐标为(－a2，|b|＋1)，则下列说法中正确的是()A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的角平分线上？(2)点P在第一、三象限的角平分线上？6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为() A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．【类型】五、关于坐标轴对称的点9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是()A．(－4，3)B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．【类型】六、关于特殊直线对称的点12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为()A．(3，5)，(5，3)B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3) 13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．参考答案1．B2．m＞2点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．C点拨：由－a2可确定a＝0，所以－a2＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(－a2，|b|＋1)在y轴正半轴上．4．(0，－8)5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．7．C点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．9．C10.－611.－2；312．B点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．13．(9，4－m)；17点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．【题型讲解】【题型】一、用有序数对表示位置例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．【题型】二、求点的坐标例2、如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：①O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，①OD ＝6，①四边形OBCD 是正方形，①OB ①BC ，OB =BC =6 ①C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．【题型】三、距离与点坐标的关系例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C 【解析】 由题意，得 x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标例4、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．(－2，2)或(2，－2)【答案】C 【解析】已知点M 在第一、三象限的角平分线上，点M 到x 轴的距离为2，所以点M 到y 轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M 的坐标为（2，2）；点M 在第三象限时，点M 的坐标为（-2，-2）．所以，点M 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C ． 【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征例5、已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ①y 轴，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3C ．﹣1D ．5【答案】B 【详解】 解：①AB①y 轴，①点A 横坐标与点A 横坐标相同，为1， 可得：a -2=1，a=3 故选：B ．【题型】六、点的坐标的规律探索例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．【题型】七、函数图象的应用例7、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．【答案】C【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题． 【详解】本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．平面直角坐标系（达标训练）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A (a ，2)在第二象限内，则a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．-3C ．4D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可； 【详解】解：①点A (a ，2)在第二象限内， ①a ＜0， A ．不符合题意；B ．符合题意；C ．不符合题意；D ．不符合题意； 故选： B ．【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键． 2．若点(),1A a a -在x 轴上，则点()1,2B a a +-在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由点A 在x 轴上求得a 的值，进而求得点B 坐标，进而得到答案． 【详解】解：点(),1A a a -在x 轴上， 10a ∴-=，即1a =，则点B 坐标为()2,1-， ∴点B 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋①的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋①的位置可用有序数对表示为（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋①的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋①的坐标为（-2，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD①AC，①①1=①A=40°①港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（）A ．修车花了25分钟B ．小明家距离学校1000米C ．修好车后骑行的速度是200米/分钟D ．修好车后花了15分钟到达学校【答案】C【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．【详解】解：A ．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B ．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；C ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；D ．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．二、填空题6．已知点()29,62A m m --在第三象限．则m 的取值范围是______． 【答案】3<m <4.5【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可． 【详解】解：①点A （2m −9,6−2m ）在第三象限， ①2m −9＜0且6−2m ＜0， ①3＜m ＜4.5， 故答案为： 3＜m ＜4.5【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M （－2，2）、N （1，－1）， 则A 、B 、C 三个点中为坐标系原点的是____．【答案】A【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.【详解】解：①M（－2，2）,①A是坐标原点.故答案为A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.三、解答题8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析(2)在同一直线上．函数表达式为：66y x =+ (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．（3）根据（2）中的表达式可求出当9x =时，精密电子秤的读数．（4）根据（2）中的表达式可求出当72y =时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． （1） 解：如图所示（2）解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为：y kx b =+将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得6218b k b =⎧⎨+=⎩解得66a b =⎧⎨=⎩∴函数表达式为：66y x =+（3）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当9x =时，60y =∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．（4）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当72y =时，11x =起始时间是上午7:30∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．平面直角坐标系（提升测评）一、单选题1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(1,1)-，点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(1,2)--D ．(1,1)-【答案】A【分析】利用已知点A 、B 的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， ①点C 的坐标为（1，﹣2）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键． 2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（ ）A ．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B ．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C ．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D ．以上都不对 【答案】A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A ． 【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走， 故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d ，存活率为h ．如图，在平面直角坐标系中画出点（d ，h ），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A （d 1，h 1）、B （d 2，h 2）、C （d 3，h 3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）A ．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种B ．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种C ．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种D ．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种 【答案】B【分析】根据图象，比较A 、B 、C 三点的存活率和树冠直径即可得出答案． 【详解】根据题意和图象可得，213h h h >>，231d d d >>， ①乙树种是最优的，①甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径， ①丙树种优于甲树种，①乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种， 故选：B ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．4．点A 在第二象限，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点A 的坐标为（ ） A ．()5,3- B ．()3,5-C ．()5,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：①点A 在第二象限， ①点的横坐标为负数，纵坐标为正数，①点距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度， ①点的坐标为（-5，3）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．5．如图，雷达探测器发现了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个目标．目标C ，F 的位置分别表示为C （6，120°），F （5，210°），按照此方法表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示正确的是（ ）A ．A （4，30°）B ．B （1，90°）C ．D （ 4，240°） D ．E （3，60°）【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A （5，30°），B （2，90°），D （4，240°），E （3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知A 、B 、D 、E 的坐标可表示为：A （5，30°），故A 不正确；B （2，90°），故B 不正确；D （4，240°），故C 正确；E （3，300°），故D 不正确．故选择：C ．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C 、F 两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，。
平面直角坐标系与函数及图像
第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。
中考一轮复习--第9讲 平面直角坐标系与函数的概念
A.(-1,1) B.(3,1) C.(4,-4) D.(4,0)
解析:∵将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长
度,得到点B,
∴点B的横坐标为1-2=-1,纵坐标为-2+3=1,∴B的坐标为(-1,1).故
选A.
考法1
考法2
பைடு நூலகம்
考法3
对应练3(2019·安徽庐江期末)如图为正方形网格中的一片树叶,
点O是这两条数轴的原点,这样建立的两条数轴构成平面直角坐标
系.
考点梳理
自主测试
3.平面直角坐标系中点的坐标
各象限点
坐标的符
号特征
坐标轴上
点的坐标
特征
象限角平
分线上点
的坐标特
征
x 轴上的点的纵坐标为 0 ,y 轴上的点的横坐标为
0,原点的坐标为(0,0)
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等;第
二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反
答案:D
解析:∵点A(-3,0),点P(a,b),点B(m,n)为弦PA的中点,
-3+
0+
∴m= 2 ,n= 2 .
∴a=2m+3,b=2n.
又a,b满足等式:a2+b2=9,
∴(2m+3)2+4n2=9.故选D.
考法1
考法2
考法3
对应练1(2018·四川攀枝花)若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(a,1-b)在( D )
间的距离为|y2-y| .
考点梳理
自主测试
5.坐标系中的距离公式
(1)点P(a,b)到x轴的距离是|b|
(2)点P(a,b)到y轴的距离是|a|
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）知识点：1、对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向;竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向;两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴,y轴作垂线，垂足分别在x轴,y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内3、三大规律（1）平移规律：点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点（2)对称规律关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数；关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变；关于原点对称→横纵坐标都互为相反数.常考题：一．选择题（共15小题）1．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为(）A．（﹣4,3）B．(﹣3，﹣4） C．（﹣3，4）D．（3，﹣4)2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2) B．（﹣6,3）C．（﹣4，﹣6) D．（3，﹣4）3．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2,3），棋子“马"的坐标为（1，3)，则棋子“炮”的坐标为（)A．(3，2）B．（3，1） C．(2,2）D．（﹣2，2）4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1)一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．线段CD是由线段AB平移得到的．点A(﹣1，4）的对应点为C（4，7),则点B(﹣4，﹣1)的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1,2）D．（﹣9，﹣4）6．如图,A，B的坐标为（2，0）,（0，1）,若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（)A．2 B．3 C．4 D．57．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（)A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3,﹣6）D．（﹣1，0）8．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为(）A．（0,2) B．（2,0）C．（4，0） D．（0，﹣4）9．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示,小军的位置用（2,1）表示,那么你的位置可以表示成()A．（5,4) B．(4，5）C．（3，4） D．（4，3）10．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合,则点A的坐标是（）A．(2,5）B．（﹣8，5) C．(﹣8，﹣1) D．（2，﹣1）11．在平面直角坐标系中,若点P(m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣112．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是(）A．(66，34）B．（67,33) C．（100，33）D．（99,34）14．小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上,学校在家南边20米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米,又向北走了﹣70米，此时,小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方15．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何？（)A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺二．填空题（共10小题）16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n),规定以下两种变换：（1）f（m,n)=（m，﹣n）,如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g（m,n）=(﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1)按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4)=（﹣3,4)，那么g［f（﹣3，2）］=．17．已知点M（3，﹣2)，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．18．如图，把“QQ"笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(﹣2，3),嘴唇C点的坐标为（﹣1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是．19．若第二象限内的点P（x，y)满足|x｜=3，y2=25，则点P的坐标是．20．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7,﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）,那么黑棋①的坐标应该是．21．如图,将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点"的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的,那么点A的对应点A′的坐标是．22．如图，这是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置．则椒江区B处的坐标是．23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发,按向上，向右,向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1）,A2（1，1），A3（1,0），A4(2，0)，…那么点A4n+1（n为自然数)的坐标为（用n表示）．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟,它从原点运动到（0，1）,然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1,1）→(1,0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．25．如图,在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→"方向排列,如（1，0），（2，0）,(2，1），（3,2），（3,1），（3，0)(4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．三．解答题（共15小题）26．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上,其中，C点坐标为（1，2）．（1）写出点A、B的坐标：A（，）、B(，)（2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′,则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（，)、B′(，）、C′（，）．(3）△ABC的面积为．27．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图,如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2,﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗?28．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+3)，从B到A记为:A→B（﹣1,﹣3），其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向，那么图中（1）A→C（，），B→D(，），C→（+1，）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程；（3)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1,﹣1），（﹣2,+3)，(﹣1,﹣2），请在图中标出P的位置．29．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)、B（9，0）、C（7,5)、D（2，7)．求四边形ABCD的面积．30．小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东400米，老年大学位于爷爷家西600米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米,再向西走400米．早晨6：00﹣7：00与奶奶一起到和平广场锻炼上午9:00﹣11：00与奶奶一起上老年大学下午4：30﹣5:30到和平路小学讲校史（1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置;（2）求爷爷家到和平路小学的直线距离．31．已知点A（﹣1，﹣2)，点B（1，4）（1)试建立相应的平面直角坐标系;（2）描出线段AB的中点C,并写出其坐标；（3）将线段AB沿水平方向向右平移3个单位长度得到线段A1B1,写出线段A1B1两个端点及线段中点C1的坐标．32．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a,﹣2a）．（1）当a=﹣1时，点M在坐标系的第象限；(直接填写答案）（2)将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．33．已知:A（0，1），B（2，0）,C（4，3）(1)求△ABC的面积；（2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．34．如图，在下面直角坐标系中,已知A（0，a），B（b，0)，C(b,c)三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2｜+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0（1)求a、b、c的值;（2）如果在第二象限内有一点P（m,），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2）的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在，求出点P的坐标,若不存在，请说明理由．35．如图，已知A（﹣2，3)、B（4,3)、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离;(2）求△ABC的面积;（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时,请直接写出点P的坐标．36．有趣玩一玩:中国象棋中的马颇有骑士风度,自古有“马踏八方”之说,如图,按中国象棋中“马"的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从“日"字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点,不能多也不能少．要将图中的马走到指定的位置P处，即从（四，6）走到（六，4),现提供一种走法:（四,6)→（六,5）→（四，4）→(五，2）→（六,4)（1）下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步:（四，6）→(五，8）→(七，7）→→(六，4）(2)请你再给出另一种走法(只要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限），你的走法是:．你还能再写出一种走法吗．37．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别是A （﹣2，﹣3)、B （5，﹣2)、C （2,4）、D （﹣2，2)，求这个四边形的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，点A,B 的坐标分别为（﹣1，0）,（3,0），现同时将点A,B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC,BD ．(1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA,PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．39．如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点,A 点的坐标为(4，0），C 点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线移动（即:沿着长方形移动一周)．（1）写出点B 的坐标（ ）．（2）当点P 移动了4秒时，描出此时P 点的位置，并求出点P 的坐标．（3）在移动过程中，当点P 到x 轴距离为5个单位长度时，求点P 移动的时间．40．先阅读下列一段文字,在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1)、P2（x2，y2），其两点间的距离公式,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1｜或｜y2﹣y1｜．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8）,试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为﹣1,试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6)、B（﹣3，2）、C(3，2），你能判定此三角形的形状吗?说明理由．初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2007•舟山）点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（)A．（﹣4,3) B．（﹣3,﹣4）C．（﹣3,4) D．（3，﹣4）【分析】先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．【解答】解：∵点P在第二象限内，∴点的横坐标＜0，纵坐标＞0，又∵P到x轴的距离是4，即纵坐标是4，到y轴的距离是3，横坐标是﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，4）．故选：C．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，及点的坐标的几何意义．2．（2007•长春）如图,小手盖住的点的坐标可能为（）A．(5,2）B．（﹣6，3）C．(﹣4，﹣6） D．（3，﹣4)【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点,分析选项可得答案．【解答】解:根据图示，小手盖住的点在第四象限,第四象限的点坐标特点是:横正纵负；分析选项可得只有D符合．故选D．【点评】解决本题解决的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是:第一象限（+,+);第二象限（﹣,+）;第三象限（﹣，﹣)；第四象限（+，﹣)．3．（2007•盐城）如图，已知棋子“车"的坐标为（﹣2，3),棋子“马”的坐标为(1，3），则棋子“炮”的坐标为（)A．（3，2） B．（3，1） C．（2,2）D．（﹣2,2）【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点,以底边为x轴,向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；根据得出的坐标系可知,棋子“炮”的坐标为（3，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．4．（2002•江西)在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：因为点（﹣1,m2+1），横坐标＜0，纵坐标m2+1一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选B．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣,﹣);第四象限（+，﹣）．5．（2017春•潮阳区期末)线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为()A．（2，9) B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：平移中,对应点的对应坐标的差相等,设D的坐标为（x，y）；根据题意:有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4)；7﹣4=y﹣（﹣1）,解可得:x=1，y=2；故D的坐标为（1,2）．故选:C．【点评】本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等．6．(2016•菏泽)如图，A，B的坐标为（2,0），(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位,所以点A、B均按此规律平移,由此可得a=0+1=1，b=0+1=1,故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．（2015•安顺）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）A．(﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．【解答】解：根据题意,得点P（﹣2,﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1=﹣3，纵坐标是﹣3+3=0，即新点的坐标为（﹣3，0）．故选A．【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．8．（2013秋•平川区期末）如果点P(m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（）A．（0，2） B．（2,0) C．(4，0）D．(0,﹣4）【分析】因为点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上,那么其纵坐标是0，即m+1=0，m=﹣1，进而可求得点P的横纵坐标．【解答】解：∵点P（m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，∴m+1=0，∴m=﹣1，把m=﹣1代入横坐标得：m+3=2．则P点坐标为（2，0）．故选B．【点评】本题主要考查了点在x轴上时纵坐标为0的特点，比较简单．9．（2017春•和县期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（)A．(5，4）B．（4,5）C．（3，4） D．（4，3）【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标．【解答】解：如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．故选D．【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子．10．（2015•钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2,5) B．（﹣8，5）C．（﹣8,﹣1) D．（2，﹣1）【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位,再向下平移3个单位后可得到A点坐标．【解答】解：在坐标系中,点(﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把(2，2）向下平移3个单位后的坐标为(2，﹣1)，则A点的坐标为（2,﹣1）．故选:D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移:在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．11．（2008•菏泽）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1)在第二象限，则m的取值范围为(）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【分析】根据点P（m﹣3，m+1)在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．【解答】解:∵点P(m﹣3，m+1)在第二象限，∴可得到，解得m的取值范围为﹣1＜m＜3．故选A．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限（﹣，+）；第三象限(﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．12．（2015•威海）若点A(a+1，b﹣2)在第二象限,则点B（﹣a，b+1）在(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零,纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．【解答】解：由A（a+1，b﹣2)在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1,b＞2．由不等式的性质,得﹣a＞1,b+1＞3，点B（﹣a,b+1)在第一象限,故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．13．（2014•株洲)在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位;当n被3除，余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．(67，33) C．（100，33）D．（99，34）【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位,向上1个单位，用100除以3,然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得,每3步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3=33余1,∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．故选：C．【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．14．（2009秋•杭州期末）小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上，学校在家南边20米,书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方【分析】以家为坐标原点建立坐标系，根据题意即可确定小明的位置．【解答】解：根据题意：小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，即向南走了20米，而学校在家南边20米．故此时，小明的位置在学校．故选B．【点评】本题考查了类比点的坐标及学生的解决实际问题的能力和阅读理解能力,画出平面示意图能直观地得到答案．15．（2014•台湾)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？(）A．向北直走700公尺,再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走400公尺D．向北直走400公尺,再向东直走300公尺【分析】根据题意先画出图形,可得出AE=400，AB=CD=300，再得出DE=100，即可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．【解答】解：依题意，OA=OC=400=AE,AB=CD=300，DE=400﹣300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为,向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．故选:A．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据题意画出图形是解题的关键．二．填空题（共10小题）16．（2014•黔西南州)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n)，规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g(m，n)=(﹣m,﹣n），如g (2，1)=(﹣2,﹣1)按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=(﹣3,4），那么g［f（﹣3，2）］=（3，2）．【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算,注意运算顺序及坐标的符号变化．【解答】解：∵f（﹣3,2）=（﹣3，﹣2)，∴g［f（﹣3，2）］=g（﹣3，﹣2）=（3,2)，故答案为:(3，2）．【点评】本题考查了一种新型的运算法则,考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．17．(2013•天水）已知点M（3,﹣2）,将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是（﹣1，1)．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解:原来点的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1．则点N的坐标是（﹣1，1）．故答案填:（﹣1，1)．【点评】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点,平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．18．（2013•绵阳）如图,把“QQ”笑脸放在直角坐标系中,已知左眼A的坐标是（﹣2，3）,嘴唇C点的坐标为（﹣1,1),则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是(3，3)．【分析】先确定右眼B的坐标,然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．【解答】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1,1），∴右眼的坐标为（0，3）,向右平移3个单位后右眼B的坐标为(3，3）．故答案为：（3，3）．【点评】本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．19．（2015•广元）若第二象限内的点P(x，y)满足|x｜=3，y2=25，则点P的坐标是（﹣3,5)．【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x=±5,y=±2,再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x=﹣5，y=2，然后可直接写出P点坐标．【解答】解：∵｜x｜=3，y2=25，∴x=±3，y=±5，∵第二象限内的点P（x，y）,∴x＜0,y＞0，∴x=﹣3，y=5，∴点P的坐标为（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是:第一象限(+，+）；第二象限(﹣，+）;第三象限(﹣，﹣）;第四象限(+，﹣）．20．(2005•杭州)如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为(﹣6，﹣8），那么黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7）．【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系,然后确定其它点的坐标．【解答】解：由白棋②的坐标为(﹣7,﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）得出：棋盘的y轴是右侧第一条线，横坐标从右向左依次为﹣1，﹣2,﹣3，…;纵坐标是以上边第一条线为﹣1，向下依次为﹣2，﹣3,﹣4，…．∴黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7)．故答案为：(﹣3,﹣7）．【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．根据已知条件建立坐标系是关键，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减,上加下减来确定坐标．21．（2015•青岛)如图，将平面直角坐标系中“鱼"的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是(2，3）．【分析】先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．【解答】解：点A变化前的坐标为(6,3)，将横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的,则点A的对应点的坐标是（2,3),故答案为(2，3）．【点评】此题考查了坐标与图形性质的知识,根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键．22．（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km,甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是(10,8）．【分析】根据A点坐标,可建立平面直角坐标系,根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据勾股定理，BC的长．【解答】解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，由题意,得AB=16,∠ABC=30°,AC=8，BC=8．OC=OA+AC=10，B（10，8）．【点评】本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．23．（2013•聊城）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位,得到点A1（0，1)，A2（1，1)，A3（1,0)，A4（2，0)，…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n表示）．的坐标，然后根据变化规律写【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5,点A5（2，1）,。
第七章 平面直角坐标系 七年级数学下册单元复习(人教版)
7－20－7
【典例讲解】
例10. 将顶点坐标为（－4，－1），（1， 1），（－1，4）的三角形向右平移2个单 位长度，再向上平移3个单位长度，则平移 后的三角形三个顶点的坐标分别是（ C ） A.（2，2），（3，4），（1，7） B.（－2，2），（4，3），（1，7） C.（－2，2），（3，4），（1，7） D.（2，－2），（3，3），（1，7）
①由两个数组成;
②两数有顺序性;（a,b）与（b,a）表示的是两个不同的位置（a≠b）.
③成对出现.
（二）平面直角坐标系
1、平面直角坐标系的定义
平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直
角坐标系。水平方向的数轴称为x轴或横轴，习惯取向右的方向为正方向；
知识点一 平面直角坐标系
竖直方向上的数轴称为y轴或纵轴，习惯取向上的方向为正方向； 两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 .
辨识平面直角坐标系的“三要素”： 1. 两条数轴；2. 共原点；3. 互相垂直. 注意：一般取向上、向右为正方向.
知识点一 平面直角坐标系
2、点的坐标表示方法
平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b 分别叫做点p的横坐标、纵坐标， 则有序数对（a，b）叫做点P的坐标,记为P（a，b） 注意：在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标， 中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 点的坐标是有序实数对，(a，b) 和(b，a)(a ≠ b) 虽然数字相同，但由于顺 序不同，表示的位置就不同. 3. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： (1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应. (2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
【专题课件】人教版七年级下册第七章《平面直角坐标系》第一课：有序数对及平面直角坐标系
合作与交流：
A
类似于利用数
C
轴确定直线上点的
位置，能不能找到
一种方法来确定平
面内的点的位置呢？
D B
一、平面直角坐标系的概念 y
5
在平面内画两条
互相垂直的数轴,
4
构成平面直角坐
3
标系.
2
1
-4 -3 -2 -1 O -1
x轴与y轴的交点叫平
-2
面直角坐标系的原点. -3
-4
竖直的叫y轴或纵轴； y轴取向上为正方向
y
D (-3,3)
C (3,3)
A (-3,-3)
B (3,-3)
x
当堂练习
1.请你根据下列各点的坐标判定它们分别在第 几象限或在什么坐标轴上？
A（-5,2)
第二象限
E（1,8）
第一象限
B (3,-2） C（0,4） D（-6,0）
第四象限 y轴的正半轴上 x轴的负半轴上
F（0,0） G（5,0） H（-6,-4) M (0,-3)
数对表示物体的位置. （重点、难点）
导入新课
情境引入
周末小明父子俩 去电影院看国产大 片《湄公河行动》 ，买了两张票去观 看，座位号分别是7 排9号和7排11号.怎 样才能既快又准地 找到座位？
讲授新课
有序数对的定义及应用
思考1 在班里老师想找一个学生，你知道是谁吗？ 提示1 只给一个数据“第２列”，你能确定老师 要找的学生是谁吗？ 提示2 给出两个数据“第２列，第3排”，你能 确定是谁了吗？
预祝
此 次 片区 活
(E,3) (E,1) (C,5) (D,4) (A,1) (D,3)
动圆
满成功 ！
平面直角坐标系
平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表：2.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.设两定点分别为A ，B ，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，设动点M (x ，y )， 则由|MA |2＋|MB |2＝16，可得(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，化简得轨迹方程x 2＋y 2＝4.故选A.2．将正弦曲线y ＝sin x 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线方程为( )A ．y ＝sin 3xB ．y ＝3sin xC ．y ＝sin 13xD ．y ＝13sin x解析：选A.伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝y ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′，代入y ＝sin x . 得y ′＝sin 3x ′，即所求曲线方程为y ＝sin 3x .故选A.3．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 后得到的直线方程为( )A ．3x －4y ＋1＝0B ．3x ＋y －1＝0C ．9x －y ＋1＝0D ．x －4y ＋1＝0解析：选C.由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝12y ′，代入方程3x －2y ＋1＝0，得9x ′－y ′＋1＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x －y ＋1＝0.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后变换为____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.代入曲线y ＝13cos 2x ，得y ′＝cos x ′，即y ＝cos x . 答案：y ＝cos x用坐标法解决平面几何问题1.已知▱ABCD ，求证：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．[证明] 如图所示，以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (b ，c )． 因为AD →＝BC →＝(b －a ，c )， 所以D (b －a ，c )． 所以AB 2＝a 2，AD 2＝(b －a )2＋c 2， AC 2＝b 2＋c 2， BD 2＝(b －2a )2＋c 2.因为AC 2＋BD 2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， 而AB 2＋AD 2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab . 所以AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．建立适当的平面直角坐标系的常用方法(1)如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；(4)如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．已知矩形ABCD ，对于矩形所在的平面内任意一点M ，求证：AM 2＋CM 2＝BM2＋DM 2.证明：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，M (x ，y )， 则AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )，BM 2＋DM 2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )， 所以AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.求轨迹方程问题2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？[解] (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，因为点D (8，0)在抛物线上，所以a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0. y ＝4或y ＝－94(舍去)，所以y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．所以C 点的坐标为(6，4)，|AC |＝25，|BC |＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令．(1)求轨迹方程的一般步骤(2)求轨迹方程应注意的问题选择适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)，设P(x，y)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．平面直角坐标系中的伸缩变换及其应用3.在平面直角坐标系下，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得到的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后得到的曲线C ′的焦点坐标．[解] (1)设A ′点的坐标为(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .由于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2， 所以x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)即为所求． (2)设B 点坐标为(x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′， 由于B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，所以x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，所以B (－1，1)即为所求．(3)设直线l 上任意一点为P (x ，y )，经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，即y ′＝x ′，所以y ＝x 即为所求直线l ′的方程． (4)设双曲线C 上任意一点为P (x ，y )， 经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入方程x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，即x ′29－y ′216＝1，所以曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，可见仍为双曲线，所以焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)即为所求．(1)伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系如下：关系类型变换前 变换后 点P(x ，y )(λx ，μy )函数曲线Cy ＝f (x )y ′＝μf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′方程曲线Cf (x ，y )＝0 f⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′，1μy ′＝0(2)①已知变换前的曲线方程及伸缩变换求变换后的曲线方程；求解方法为代点转移法． ②已知变换后的曲线方程及伸缩变换求变换前的曲线方程，求解方法为代点转移法． ③已知变换前后的曲线方程求伸缩变换；求解方法为待定系数法．1.给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M (3，5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x5y ′＝3y ，变换后得到点M ′的坐标为(5，3)B ．函数y ＝2(x －1)2＋2经过平移变换φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －1y ′＝y －2后再进行伸缩变换φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝18y最后得到的函数解析式为y ＝x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 变换后得到的曲线方程为x 2－y 2＝1，则曲线C的方程是4x 2－9y 2＝1D ．椭圆x 216＋y 29＝1经过伸缩变换φ后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x 轴上解析：选D.对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x 5y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5y ′＝3，故M ′(5，3)，正确；对于B ：y ＝2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y ＝2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝8y ′代入得8y ′＝8x ′2即y ′＝x ′2，因此最后所得函数解析式为y ＝x2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 代入x ′2－y ′2＝1得4x 2－9y2＝1，故变换前方程为4x 2－9y 2＝1也正确；对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x 2＋y 2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x 2＋y 29＝1，此时焦点在y 轴，故D 不正确．2．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.平移变换与伸缩变换的综合应用4.将正弦曲线y ＝sin x ，先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得到曲线C 1，再将C 1进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y得到曲线C 2，求曲线C 2的函数解析式． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π3y ＝y ′＋1， 代入y ＝sin x 得y ′＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，故曲线C 1是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1得 13y ′＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ′＋π3－1，即曲线C 2的函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3.解决平移变换与伸缩变换应注意的问题(1)在三角函数图象变换中，左右平移和上下平移合在一起就是一个平移变换，反过来一个平移变换也可以分解成一个左右平移和一个上下平移．同样周期变换和振幅变换合在一起就是一个伸缩变换，反过来一个伸缩变换也可以分解成一个周期变换和一个振幅变换．(2)对坐标平面内一条曲线进行变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移所得曲线一般情况下是不同的．1.分别求伸缩变换φ1和平移变换φ2，使函数y ＝2cos (πx －3)＋2经过伸缩变换φ1变为y ＝cos(x －3)＋1，再经过平移变换φ2变为y ＝cos x .解：设φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0代入y ′＝cos(x ′－3)＋1得μy ＝cos(λx －3)＋1，即y ＝1μcos(λx －3)＋1μ，又y ＝2cos (πx －3)＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝πμ＝12，即φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝πx y ′＝12y ，设φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋hy ′＝y ＋k 代入y ′＝cos x ′得y ＋k ＝cos(x ＋h )．即y ＝cos(x ＋h )－k ，又y ＝cos(x －3)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－3k ＝－1即φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3y ′＝y －1. 2．将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，求曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的最小正周期及最大值．解：由φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，得φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，λ>0，y ＝1μy ′，μ>0，将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线的方程为y ′＝3μsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λx ′＋π3，由题意，得3μ＝1，2λ＝1，故λ＝2，μ＝13.则曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的方程为y ′＝13cos 2x ′，所以变换后的曲线的最小正周期为π，最大值为13.1．对数轴的理解(1)数轴上的点组成的点集与实数集之间建立了一一对应关系．(2)数轴是最简单的坐标系，也可以认为是一维坐标系，它的三要素是：①原点；②正方向；③单位长度．(3)在数轴上确定点的位置，只需用它对应的实数即可，即每一个实数都能在数轴上唯一确定一个点．2．对平面直角坐标系的理解(1)建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的所有点组成的点集与有序数对(x ，y )组成的集合{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}之间就建立了一一对应关系，因此我们可以把坐标平面内所有点组成的点集直接写成{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}．(2)平面直角坐标系，也可以认为是二维直角坐标系，它的三要素是：①两数轴互相垂直且有公共原点；②x 轴(横轴)水平放置方向向右，y 轴(纵轴)竖直放置方向向上；③两轴上取相同的单位长度．(3)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x ，y )．对于平面内的一点P ，如图1，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足在x 轴，y 轴上对应的数x ，y 分别叫做点P 的横坐标，纵坐标，有序实数对(x ，y )叫做点P 的坐标，点P (x ，y )在各个象限内的符号如图2所示．3．对平面直角坐标系中的伸缩变换的理解 (1)变换中的系数均为正数．(2)在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换．(3)设平面直角坐标系中，变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0将点P (x ，y ) 变换到点P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，为横向伸长变换；当0<λ<1时，为横向缩短变换； 当μ>1时，为纵向伸长变换；当0<μ<1时，为纵向缩短变换．(4)在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新、旧坐标，P ′(x ′，y ′)是坐标变换后的点的坐标，P (x ，y )是坐标变换前的点的坐标．在具体解题时，用x ′，y ′表示出x ，y ，然后代入坐标变换前的方程，可得坐标变换后的方程．(5)由函数y ＝f (x )的图象到函数y ＝Af (ax )(a >0，A >0)的图象，其变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1a x (a >0)，y ′＝Ay (A >0)，其中(x ，y )是变换前点的坐标，(x ′，y ′)是变换后点的坐标． (6)在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线、双曲线伸缩后仍为双曲线、抛物线伸缩后仍为抛物线，而圆伸缩后可能是椭圆或圆．4．结合由y ＝sin x 变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的过程理解伸缩变换 (1)周期变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝y 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin ωx 的图象．(2)振幅变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝xy ′＝Ay 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝A sin x的图象．(3)将y ＝sin x 的图象经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝Ay后得到y ＝A sin ωx 的图象． (4)将y ＝sin x 的图象经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 后就得到y ＝sin(x ＋φ)＋B 的图象．(5)将y ＝sin x的图象先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 再进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωx y ′＝Ay后就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋AB 的图象．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A ．椭圆B ．比原来大的圆C ．比原来小的圆D ．双曲线 解析：选D.由伸缩变换的意义可得．2．点(1，2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2，3)C ．(2，－3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选D.把(1，2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.3．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ＝3cos 12x . 答案：y ＝3cos x24．求满足由椭圆4x 2＋9y 2＝36变成圆x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.又4x 2＋9y 2＝36可化为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1. 与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较，得λ2＝19，μ2＝14，又因为λ>0，μ>0，所以λ＝13，μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标缩为原来的13，纵坐标缩为原来的12，即可得到圆x ′2＋y ′2＝1.[A 基础达标]1．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (2，3)，C (3，1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 解析：选A.|AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2， |BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形．选A.2．将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝2yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：选C.设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy ，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ×(－2)1＝μ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3μ＝12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .3．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2，2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.因为点M (2，2)在直线x ＋y －4＝0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4＝0的直线，选A.4．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的12B ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12解析：选D.设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy 代入y ′＝12sin 12x ′得μy ＝12sin λ2x ，即y ＝12μsin λ2x ，与y ＝sin x 比较知⎩⎪⎨⎪⎧12μ＝1λ2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝12，因为λ>1是伸长，0<μ<1是缩短． 所以应选D.5．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝2，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝1 B ．9x 2＋100y 2＝1 C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89y 2＝1解析：选A.将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝2中得50x 2＋72y 2＝2，即25x 2＋36y 2＝1.6．△ABC 中，已知B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________．解析：因为△ABC 的周长为10，所以|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.所以A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6，2c ＝4.所以a ＝3，c ＝2，b 2＝5.所以A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)7．在平面直角坐标系中，方程x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 后得到的直线方程为________．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入方程x －2y ＋1＝0，得6x ′－2y ′＋3＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为6x －2y ＋3＝0. 答案：6x －2y ＋3＝08．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y变换后得到的曲线在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3上的值域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝12y ′，代入y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6得12y ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，即y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因为－π3<x <π3，所以－π6<x ＋π6<π2. 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6>－33， 所以所求值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞9．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4. 所以曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22， 所以a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. 所以曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．将椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1变换成圆x 2＋y 2＝1，写出变换过程．解：令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1代入(x －2)29＋(y －1)24＝1得x ′29＋y ′24＝1，所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1后得到椭圆x 29＋y 24＝1，再令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3y ′＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′，代入x 29＋y 24＝1，得x ′2＋y ′2＝1.所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1，再经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3y ′＝y 2后就得到圆x 2＋y 2＝1.[B 能力提升]11．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)，四边形ABCD 在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y (a ＞0)的作用下变成正方形，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．23解析：选C.把点A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y 得经过变换后的点的坐标是A ′(－a ，0)，B ′(a ，0)，C ′(a ，1)，D ′(－a ，1)，由|A ′B ′|＝|A ′D ′|且a ＞0，得2a ＝1，即a ＝12.故选C.12．将圆x 2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y变换后得到曲线的离心率等于________．解析：将圆x2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y 变换后得到曲线方程为x ′225＋y ′216＝1，故a 2＝25，b 2＝16，c ＝a 2－b 2＝3，离心率e ＝c a ＝35.答案：3513．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面内求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的值最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．所以所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ， 即为正三角形ABC 的重心．14．(选做题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)因为e ＝33， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，所以b 2a 2＝23.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， 所以b ＝21＋1＝ 2.所以b 2＝2，a 2＝3. 因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2.设M (x ，y )，由于MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，t 2－y ，PF 1→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN →·PF 1→＝2x ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＝0，y ＝t ，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
直角坐标与极坐标的区别
直角坐标系中点的坐标(a,b)，其中横坐标a表示点的水平位置、纵坐标b表示点的垂直高度。
例如，点(3,-2)可以这样来画：从原点开始向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到的位置就是点(3,-2)所对应的位置。
极坐标系中点的坐标(r,θ)，其中r表示该点到原点的距离，而θ表示从x轴正半轴开始逆时针旋转的角度。
例如，点(2,π/3)可以这样来画：先以原点为圆心、2为半径作一个圆，然后从x轴正半轴与这个圆的交点处开始，逆时针旋转60度得到的位置就是点(2,π/3)所对应的位置。
平面上的点既可以建立直角坐标平面来表示，也可以建立极坐标平面来表示。
从某种意义上，可以把直角坐标平面理解成“方”的，把极坐标平面理解成“圆”的。
（当然它们都是可以向四周无限延伸的）用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者有哪些明显的区别？（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ，θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应。
例如（ρ，2nπ＋θ）与（－ρ，(2n＋1)π＋θ）（n为整数）表示的是同一个点，所以点对有序实数对即坐标（ρ，θ）不是一一对应的。
（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）。
可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。
例如方程ρ＝1，ρ2＝1，ρ3＝1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的。
（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。
例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一对极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了。
所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标（ρ，θ）适合曲线C的方程。
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7.8实数（2）学情分析
7.8实数（2）是在学习了实数和数轴上的点一一对应的基础上进行的学习。
学生在初一学习过平面直角坐标系的有关知识。
并且知道了什么是有序数对，任何一个有序有理数对（a，b），在给定的直角坐标系中，都可以用唯一一个点来表示。
平面直角坐标系是一种重要的数学工具，它不仅可以帮助我们确定地理位置，而且能成功地架起数与形之间的桥梁。
不管是学困生还是学优生，对于最基础的作图，比如描点（2，1）都能学会，并且通过让学生去讲台讲解和小组讨论，也都能体会到平面直角坐标系中的点和有序实数对的一一对应关系。
通过交流与发现，使学生认识到当有理数扩充到实数范围后，由于实数和数轴上的点建立了一一对应关系，从而有序实数对和坐标平面上的点也建立起一一对应关系。
这是今后研究函数以及坐标系中图形的平移、位似等变化的基础。
例4与例5是有序实数对与坐标平面上点的一一对应关系的初步应用。
设计的目的是让学生体会，通过合适的直角坐标系，可以较方便地写出等边三角形、正方形等简单图形的顶点坐标，进一步体会可以用坐标刻画一个简单图形。
其中用到的勾股定理，等腰三角形的三线合一定理，两点关于x轴对称和关于y轴对称都有以前的学习基础，关键是引导学生学会添加辅助线，构造直角三角形，借助勾股定理来求出两点间的距离。
本节课，通过教师的精心设计，只要能提高学生的学习积极性和学习热情，不管是学优生还是中等生还是学困生，都能将本节课的知识掌握好，会应用，还能体会到学习数学，钻研数学的乐趣。