函数的概念及基本性质课件

恒成立. 则 称f ( x)为 周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.
3l 2
l 2
l
3l
2
2
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4.函数的有界性
设函数 f (x) 在区间上I 有定义，如果存在常数M，使得对任 意的 xI ，恒有
（1）|f (x)|<M（此时M>0），则称函数 f (x) 在 I 上有界; 否则称函数 f (x) 在 I 上无界. （2）f (x)<M，则称函数 f (x) 在 I 上有上界; （3）f (x)>M，则称函数 f (x) 在 I 上有下界.
解（1）相同.它们的对应法则与定义域均相同.
y
y
2
2
1
1
-2 -1
x 12
-2 -1
x 12
（2）不相同.它们的定义域不同.第一个函数的定义域为 x , 0
而第二个函数的定义域为 x 0 .
y 1
-2 -1 -1
x
1
2
-2
y 1
-2 -1 -1
x
1
2
-2
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注 （5）分段函数
y
1 当x 0
例3
符号函数
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
其 定 义 域D (,), 值 域R f {1,0,1},图 形 如 上 图 。
例4 取整函数 y=[x], x为任意实数,[x]表示不超过x的最大整数.
y
例 如[ 3 ] 0,[ 3 ] 1, 5
其 定 义 域D ( , ),
-x o x 偶函数
-x
o
xx
x
A*
奇函数
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例7 已知 f (x) 是偶函数，且在 (0,) 内单调递减，
试判断 f (x)在 (,0) 内是单调增函数还是单调减函数，
并证明你的判断. 解 因为 f (x是) 偶函数，所以
f (x) f (x)
f (x) 在 (0,) 内单调递减，
在 （0， ） 上 任 意 两 点x1及 x2 , 当x1 x2时, f ( x1 ) f ( x2 ),
函数的概念及基本性质
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一、函数的基本概念
1、定义 设 x为, y两个变量， 为D非空实数集，若对任意
的 x ，D变量 均按y 照一定的法则 有惟一x 的值与之对应，
则称 是 的函y 数（xfunction)，记作
. 其y中 f (称x)为
自变量(xindependent variable)， 的取值范围称x 为函数的
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
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2、函数的奇偶性:
设函数f ( x)的定义域D关于原点对称, 如果对于
x D, 有 f ( x) f ( x（) 或f ( x) f ( x)) , 则称 f ( x)为偶函数（或奇函数）。
y y f (x)
y
A
y f (x)
2Hale Waihona Puke Baidu
f
(
1 x
) （f (2x）)
x联立（1）（2）
解出
2 x2 f (x)
3x
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二、反函数
定义 设有函数 y ，f ( x如) 果能从 为 x f 的1( 反y) 函数， x f 1( y) 记作 y f 1(x)
中y 解 出f ( x)
y f (x)
，则称
注：（1）y f ( x)和x f 1( y)的 定义 域 与 值域 正 好 相反 ； （2）函数 y f ( x)与 其 反 函的数y图形f 关1(于x)
直线 y=x 对称
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y
反函数 y (x)
Q(b, a)
o
P(a, b)
直接函 数y f ( x)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y 对x称.
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例6 设函数
x2 1 y f (x)
,
x0
x , x0
（1）求 y f 的1( x表) 达式、定义域、值域； （2）画出y f (与x) y 的f 图1( x形) .
解：(1)当x 0时，由y x2 1得 x y 1;
当x 0时，由y x得 x y;
故
f
1( x)
x1 , x 1
x , x 0
定义域为(,0] (1,), 值域为(,).
（2）图形为：
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y
3
2
1
x
-2 -1
12
-1
-2
-3
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三、函数的基本性质
1、函数的单调性:
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注：（4）函数定义域的确定： （i）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数组成的集合. （ii）有实际意义的函数，根据实际意义确定.
例1 求函数 f ( x) lg(3 x) 的5定 4义x域 .x2 sin x
解 要使 f ( x有) 意义，显然要满足：
3 x0
sin x 0
5 4x x2 0
x3
即
x k
(k为 整 数)
1 x 5
所以定义域为： Df x 1 x 3, x 0 [1,0)(0,3)
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例2 判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示.
（1）y x2与 y | x |
（2）y lg x2 与 y 2 lg x
在 （ ，0） 上 任 意 两 点x1及 x2 , 当x1 x2时, x1 x2 , 且 x1, x2 0， 因 此，f ( x1 ) f ( x2 )即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在（ ，0）内是单增的
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3、函数的周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如 果 存 在 一 个 正 数l, 使得对于x D, 有( x l) D. 且 f (x l) f (x)
定义域(domain)，常记为 ；
Df
y称为因变量(dependent variable)，与之对应的值称为函
数值，函数值的集合 f ( x) x 称D为f 函数的值域(range)，常记
为.
Zf
注：（1）函数两要素：定义域、对应法则；
（2）函数表示法 ：表格法、图形法、公式法；
（3）单值函数，多值函数。
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当x1 x2时, 恒 有f ( x1 ) f ( x2 ) (或f ( x1 ) f ( x2 )）,则称函数
f ( x)在 区间I上 是单 调 增 加（ 或 单调减 少） 的.
y f (x)
y
y
y f (x)
值 域R f Z ,图 形 如 右 图 ， 称其为阶梯曲线。
-4 -3 -2 -1o- 1 2 3 -
4 5x
-
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例5 设函数 f (满x)足方程， 2 f ( x) f求( 1 ) 1
f (x)
xx
1
解 先 x将换为 再x 求出的表达式.
因为 2 f ( x) f（( 1x1)） 1x