数值分析作业题(1)

第一章 误差与算法

1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____，___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .

2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。

3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？

00.24990.249910,0m =⨯=即，

031

|0.2499|0.00010.5100.510,34

m n n ---=<⨯=⨯=即

22

3.1428751...,7

=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？

213

3.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.

* 有效数字与相对误差的关系 4. 利用递推公式计算积分1

10

,1,2,...,9

n x n I x e dx n -==⎰, 建立稳

定的数值算法。

1

1

1

1

1

1

1110

11,n 2,...,9

n x n x n x n x n n I x e dx x de

x e

n x e dx nI ------===-=-=⎰⎰⎰该算法是不稳定的。因为：

1

1()()...(1)!()n

n n I n I n I εεε-=-==- 111n n I I n n

-=-， 10110I =

5. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.

6. 时间复杂度是指：.算法需耗费时间的度量， 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 3n ,

则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂

度为3()O n .

二 代数插值

1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。 x 0 1 4 f(x) 1 9 3 Lagrange:

设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应i x 的标准基函数)(x l i 为：

1200102

()()(1)(x 4)1

()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------

1()...l x =

2()...l x =

因此，所求插值多项式为：

2

20

()()()....i i i P x f x l x ===∑

(3)2()

()(0)(1)(x 4)3!

f R x x x ξ=---

Newton:

构造出插商表：

xi f(xi ) 一 二 三 0 1 1 9 8 4 3 -2 -5/2 所以, 所求插值多项式为：

2001001201()()[,]()[,,]()()

5

18(0)(0)(1)

2

...

P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=

插值余项：

2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---

2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______

)('],[000x f x x f =

3. 过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式，使得满足插值条件：f (0)=1, f ’(0)=0 , f (1) =2, f ’(1)=1

设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，，

写出插商表：

xi f(xi) 一 二 三 0 1 0 1 0 1 a 1 1 1 a 1 0 a-1

因此, 所求插值多项式为：

222000000100011012232()()[,]()[,,]()[,,,]()()

10(0)1(0)1(0)(1)21P x f x f x x x x f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+--=+-+----=-++插值余项：

222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-

4. 求f (x)=sin x 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式，并写出误差估计式。

将[a,b]区间等分n 份，,,0,1,...,i b a

h x a ih i n n

-=

=+= 则插值标准基函数是：

1

0101

,()0,i x x x x x l x h

x x +-⎧≤≤⎪

=-⎨⎪>⎩

1

11

1011,(),,1,...,1

0,[,)(,]i i i

i i i i i i n x x x x x h x x l x x x x i n h

x x x x x --++-+-⎧≤≤⎪⎪

-⎪=≤≤=-⎨-⎪∈⋃⎪⎪⎩

1

11

,()0,n n n n n x x x x x l x h x x ----⎧≤≤⎪

=⎨⎪<⎩

10sin()()n

i i i P x l x ==∑

误差：221

14

2)('')()()(Ch h f x P x f x R <===ξ

第三章 数据拟合

1.已知数据如下： X ： -2 -1 0 1 2 Y ： 0 1 2 1 0 求二次多项式拟合函数

设所求二次多项式拟合函数为：2

2012P a a x a x =++, 则法方程

组为：

55

5

22111

02312

34221i

i i i i i i i i i i

i

i i i x x a y x x x a x y x x x a x y ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝

⎭

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 即：