什么是中国剩余定理

什么是中国剩余定理

上传: 邝壬香更新时间：2012-11-29 17:39:55

什么是中国剩余定理？

剩余定理详细解法

中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：

今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？

意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？

《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23

如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择：70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。

韩信点兵又称为中国剩余定理

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：

「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

中国剩余定理例题讲解1

中国剩余定理例题讲解2

一道中国剩余定理类型题（附两种解法）

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有几个？

答案：

方法一：

用剩余定理做：

7*100+2*36+3*45=907

9、5、4的最小公倍数是：180 907/180=5。。。7

所以这样的三位数是：180*1+7=187 180*2+7=367 180*3+7=547 180*4+7=727 180*5+7=907

共有：五个

方法二：

枚举法：类似题型若无特殊的条件，一般都通过枚举法找出符合条件的最小值，然后在此基础上加上各除数的最小公倍数，则可以得出相应的答案。

具体到此题，我们可以利用一些特殊条件缩小范围，减少枚举次数。

①因为除以4余3，因此该数为奇数；

②因为除以5余2，因此该数个位数为2或7，根据①，可知该数个位数应为7；

③因为除以9余7，结合②，该数最少应为97；结合①，经过尝试，得到符合条件的最小数值为187

④3个除数9、5、4的最小公倍数180，

因此符合条件的三位数有187、367、547、727、907共5个。

关于中国剩余定理的一道数学题

一条长长的阶梯，

如果每步跨2 级，那么最后余1 级；

如果每步跨3 级，那么最后余2 级；

如果每步跨5 级，那么最后余4 级；

如果每步跨6 级，那么最后余5 级；

如果每步跨6 级，那么最后余5 级；

只有当每步跨7级时，最后才刚好走完.

问这条台阶最少有多少级.

答案：

如果每步跨2 级，那么最后余1 级；

可知是个奇数如果每步跨3 级，那么最后余2 级；

可知+1就是3的整数倍如果每步跨5 级，那么最后余4 级；

可知尾是4或9.但是是个奇数,所以是9如果每步跨6 级，那么最后余5 级；

可知+1就是6的整数倍只有当每步跨7级时，最后才刚好走完.

可知是7的整数倍7*7=49 7*17=119 49+1不是3的倍数,排除了.

119+1是3和6的整数倍,所以台阶有119级

在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：

韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。

最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。这道“物不知数”的题目是这样的：

“今有一些物不知其数量。如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。问：这些物一共有多少？”

用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：