什么是中国剩余定理

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什么是中国剩余定理

什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。

问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

小学奥数中国剩余定理练习

练习与巩固
练习题目的选择
01
02
03
基础题目
选择一些涉及中国剩余定理基础概念和应用的题目，帮助小学生理解基本原理。
难度适中
题目难度应适中，既不过于简单也不过于复杂，适合小学生的思维能力和理解能力。
覆盖面广
题目应涵盖中国剩余定理的不同应用场景，以便学生全面了解该定理的应用范围。
练习题目的解答过程
原理
中国剩余定理的基本思想是将同余方程组转化为线性方程组，然后利用线性代数的方法求解。
定理的应用范围
解决同余方程组问题
在编码理论中的应用
中国剩余定理主要用于解决同余方程组问题，特别是当方程个数和未知数个数相同时，它可以给出唯一解。
中国剩余定理在纠错码和编码理论中也有广泛应用，它可以用于构造一些特定的纠错码。
小学奥数中国剩余定理练习
• 引言 • 中国剩余定理的基本概念 • 小学奥数中的中国剩余定理题目 • 解题技巧与策略 • 练习与巩固 • 总结与反思
01
引言
主题简介
定义
中国剩余定理是指在整数环中，给定一组两两互质的整数，对于任意一组不全为0的整数解，存在一个特定的解法，使得这组解都是方程的解。
反思与总结
引导学生对解题过程进行反思和总结，帮助他们掌握解题技巧和方法。
举一反三
通过解析一道题目，启发学生思考类似问题的解决方法，提高他们的思维能力和解题能力。
06
总结与反思
学习收获与体会
掌握了中国剩余定理的基本原理和应用方法，能够解决一些复杂的数学问题。
在学习过程中，逐渐培养了耐心和细心，能够更好地应对挑战和困难。
通过练习，提高了自己的数学思维能力和解题技巧，对数学有了更深入的理解。

行测技巧：速解中国剩余定理

行测技巧：速解中国剩余定理余数问题在行测考试中考察频率都非常高，而且以不同的形式考察，比如说对余数基本定义的考察，以及同余数特性题型的考察。

掌握好解余数问题的一些技巧，对考生来说至关重要。

今天主要来说说中国剩余定理的解题方法。

中国剩余定理有着千年的文化历史，早在春秋时期就出现过，是我国悠久历史的象征，中国剩余定理是一个大的数学体系，而今天主要是学习现有的公职类考试中常见题型的考察形式，以及解题方法。

一、什么是中国剩余定理：中国剩余定理最早出现在《孙子算经》中，又名物不知数问题。

今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何?”这个问题称为“孙子问题”，后经宋朝人传入西方，引起西方广大关注，以至于后来该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

二、中国剩余定理的通用形式：M除以A得到余数a;M除以B得到余数b;M除以C得到余数c;求M为多少?三、中国剩余定理的解法:1.余同加余：M÷3 (1)M÷4 (1)当M除以不同的除数得到余数相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加一，如下：M=12N+12.和同加和：M÷3 (2)M÷4 (1)当M除以不同的除数得到余数与除数的加和相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加上余数与除数的相应的和，如下：M=12N+53. 差同减差：M÷5 (2)M÷4 (1)当M除以不同的除数得到除数与余数的差相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数减去除数与余数的差，如下：M=12N-34. 逐步满足法：根据条件从除数最小的式子用数逐步满足题目要求，试探的找出答案。

5. 带入排除法：将答案依次带到题目中，判断那个选项符合要求。

中国剩余定理求解同余方程组

中国剩余定理求解同余方程组
中国剩余定理是一种求解同余方程组的方法，它可以将一个方程组转化为一个等价的方程，从而简化计算。

具体来说，如果我们有以下同余方程组：
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
…
x ≡ an (mod mn)
其中m1、m2、…、mn是两两互质的正整数，那么中国剩余定理告诉我们，存在一个唯一的解x，满足0 ≤ x < M = m1 × m2 ×…× mn，并且这个解可以通过以下方式求出：
1. 计算M1 = M/m1, M2 = M/m2, …, Mn = M/mn。

2. 对于每个i，计算Mi的逆元ti（即满足Mi ti ≡ 1 (mod mi)的ti），可以使用扩展欧几里得算法求出。

3. 计算x = a1 M1 t1 + a2 M2 t2 + … + an Mn tn (mod M)。

这个方法的时间复杂度为O(nlogM)，其中logM是M的位数。

因此，当n较小而M较大时，中国剩余定理比较适用。

需要注意的是，如果m1、m2、…、mn不两两互质，那么这个方程组可能无解，或者有多个解。

此时，我们需要先对方程组进行合并，得到一个两两互质的方程组，再使用中国剩余定理求解。

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中国剩余定理简介

中国剩余定理简介在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（mod3=2），五五数之剩三（mod5=3），七七数之剩⼆(mod7=2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分下⾯三步：1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。

2、⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。

3、⽤233除以3、5、7的最⼩公倍数105，得到余数23，这个余数23就是符合条件的最⼩数。

很神奇，是吧？我们逐步剖析。

我们第⼀⽬标是求⼀个数n符合条件，⽽不需最⼩。

我们先假设n1是满⾜mod3=2的任意⼀个数，n2是满⾜mod5=3的任意⼀个数，n1是满⾜mod7=2的任意⼀个数。

如果想要(n1+n2)也mod3=2，n2必须是3的倍数（易证）。

如果想要(n1+n2+n3)也mod3=2，n3也得是3的倍数。

归纳得要想(n1+n2+n3)同时满⾜mod3=2,mod5=3,mod7=2，必须有：1. n1mod3=2 && 5|n1 && 7|n12. n2mod5=3 && 3|n2 && 7|n23. n3mod7=5 && 3|n3 && 5|n3于是只需要在5,7的倍数中找⼀个mod3=2的作为n1，在3,7的倍数中找⼀个mod5=3的作为n2，在3,5的倍数中找⼀个mod7=2的作为n3即可。

解决这个⼩问题孙⼦⼜⽤了⼀个⼩技巧。

就是不是先找mod3=2的，⽽是先找mod3=1的再把它乘2⾃然它就mod3=2了。

中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系

中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系1 引言中国剩余定理是关于南北朝时期一部著名的算术著作《孙子算经》中物不知数问题引出的一个定理．《孙子算经》中物不知数问题是：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”2 中国剩余定理及其证明2.1中国剩余定理的定义)150](3[P在现在的初等数论中，中国剩余定理是这样叙述的：设k m m ，⋯⋯,1是两两既约的正整数，那么对任意整数 ,,1k a ，a ⋯⋯ 一次同余方程组 k j m a x j j ≤≤≡1),(mod 1 （1）必有解，且解数为1．事实上，同余方程组（1）的解是)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡ （2）这里k m m m m ⋯⋯=21 , )1(k j M m m j j ≤≤=,以及j x 是满足k j m x M j j j ≤≤≡1),(mod 1 （3）的一个整数（既是j M 对模 j m 的逆）．中国剩余定理的数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都起着广泛应用.2.2中国剩余定理的证明)99](1[P证明1 首先证明解的存在性．令k m m m M ⋯⋯=21,对于每个,,,2,1n k ⋯=令k k k ，km m m m m M M ⋯⋯==+-111，根据定理条件可得1),(=k k m M ,又根据一元同余式有解的充要条件可知)(m od 1k k m x M ≡是有解的．设它的唯一解为x k ．构造)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡.根据K M 的构造可知,k j m M k j ≠≡),(mod 0那么k k k a x M a x M x +⋯⋯+≡111)(mod k k k k m x M a ≡，又k x 是)(m od 1k k m x M ≡的解，所以有)(m od )(m od k k k k k k m a m x M a x ≡≡，这就证明了x 是所给同余式组的一个公共解，所以解存在．再证解的唯一性．假使y 是所给同余式组的另一公共解，则有)(m od k k m a x ≡≡)(mod k m y 所以对于每一个k 都有K M 整除)(x y -，又根据i j m m j i ≠=,1),(所以k m m m ⋯⋯21整除)(x y -, 于是)(mod M y x ≡所以解是唯一的．证毕．证明2 为简单起见考虑2=k 的情形，现在，21m m m =， 1112,m M m M ==及同余方程组（1）是)(m od 11m a x ≡)(m od 22m a x ≡由第一个方程知，可把x 表为：y m a x 11+=．这样，以上同余方程组变为同余方程，)(m od 2121m a a y m -≡即，)(m od 2122m a a y M -≡由))(m od (12122m a a M y --≡,进而有))(m od (12221m a a x M y m -≡. （4）由此及式（4）得))(m od (12221m a a x M a x -+≡)(m od )1(222122m a x M a x M +-≡ （5）由21,m m 的对称性，同样可得)(m od )1(211111m a x M a x M x -+≡ （6）但（5）式和（6）式还都不是我们需要的式（2）（2=k ）的形式．但利用式（3）（0=k ），容易看出 ),(m od 112211m x M x M -≡),(m od 112211m x M x M -≡所以),(m od 12211m x M x M -≡由此及（5）式（或（6）式）立即推出：若x 是解则必有)(m od 222111m a x M a x M x +≡容易验证222111a x M a x M +的确是原同余方程组的解．证毕．用证法二来证2=k 的情形并不方便．下面再介绍一种证法．证明 3 首先，我们来指出这样一个事实：若 0x 满足同余方程组（1），0x '满足下面的同余方程组k j m a x j j ≤≤'≡1),(mod那么，00x x '+一定是同余方程组 k j m a a x j j j ≤≤'+≡1),(mod的解．因此，我们可以用下面的叠加方法来求同余方程组（1）的解．设=ji a ⎩⎨⎧≠=j i j i a j 0,（7）对每个固定的)1(k i i ≤≤考虑同余方程组k j m a x j ij ≤≤≡1),(mod （8）注意到i j ≠时 0=ij a 所以由这方程组的第k i i ,,1,1,,1⋯+-⋯ 个方程（注意j m 两两既约）)(mod 0i M x ≡,即y M x i = . 代入第i 个方程得)(mod i i i m a y M ≡.由)(m od i i i m a x y ≡,即)(m od m a x M y M i i i i ≡ .即)(m od m a x M x i i i ≡.容易验证，i i i a x M 确实同余方程组（8）的解（这就证明了同余方程组（8）有解且解数为1．注意到由式（7）可得j r j j j a a a a =+⋯⋯++)()2()1(,所以，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 一定是同余方程组（1）的解．在证法一中已证明了若有解，则解数为1．定理证毕．细心的读者会发现，一元同余式组与求解一次不定方程组是一样的，同余式组中 k j m a x j 「≤≤≡1),(mod 用线性方程组的语言可表达为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-kk k a m x x a m x x a m x x 222111 （9） (x 为整数范围内的根)3线性方程组定理（线性方程组有解判别定理）)78](2[p 非奇次线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯sn s s n n a a a a a a a a a 212212111211 与增广矩阵 A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211 有相同的秩.定理)90](2[p 如果0γ 是非奇次方程组的一个特解，那么该方程组的任一解 γ 都可以表成 ηγγ+=0其中 η是其导出组的一个解．因此，对于该方程组的任一特解γ，当γ取遍它的导出组时，此方程组就给得到它的全部解．线性方程组（9）可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋯⋯⋯-=-=kk k m a x x m a x x m a x x /)(/)(/)(222111 因为k x x x ,,,21⋯⋯，都是整数．所以由中国剩余定理知，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 为x 的一个特解．其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-0002211k k m x x m x x m x x的所有解为x 为m 的整数解倍．所以（9）的通解为),(m od 111111m a x M a x M am a x M a x M x k k k k k k +⋯⋯+≡++⋯⋯+= （a 为整数）总的来说，中国剩余定理是线性组合的最早应用，它又是数论中的一个特有的重要概念．4 相关例题“物不知数”问题就是要求同余方程组)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡x x x （10）的正整数解．书中求出了满足这一问题的最小正整数解23=x ，所用的具体解法实质上就是求这同余方程组的形如式（2）的解，我们来解决同余方程组（10），这里.15,21,357,5,3321321======M M M m m m 容易算出可取.1,1,2332211===---M M M (这里jj M -是j M 对模 j m 的逆) 因此（10）的解为 )105(mod 23233211531212235≡≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x因此，满足“物不知数”问题的正整数解是,,2,1,0,10523⋯=+=t t x 最小的为23.定理2)155](3[p 设k k k x x M M m m m ,,,,,,,,,111⋯⋯⋯与中国剩余定理中假设一致．再设)(mod )()1(11m x x M x x M x k k k ⋯+≡那么,x 遍历模m 的完全（既约）剩余系的充要条件是)(j x分别遍历j m 的完全（既约）剩余系.此外，还有k j m xx j ≤≤≡1),(m od )(. (11) 下面来举几个例子．例1)157](3[P 解同余方程组)11(mod 2)7(mod 2)5(mod 1)3(mod 1-≡≡-≡≡x x x x 解取 ,11,7,5,34321====m m m m 满足中国剩余定理的条件．这时,753,1153,1173,11754321⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M我们来求1x ，由于)3(m od 1)1()1()1(1≡-⨯⨯-=M ，所以)3(m od 1111x x M ≡≡,因此可取)5(m od 112)2(.121≡⨯⨯-==M x ,知)5(m od 1222x x M ≡≡,因此可取)7(m od 4543.132≡⨯⨯==M x ,知 )7(m od 41333x x M ≡≡,因此可取)11(m od 6573.243≡⨯⨯==M x ,知)11(m od 61444x x M ≡≡，因此可取24=x ,进而由中国剩余定理知同余方程组解为)11753)(mod 2(2)753(22)1135()1(1)1173(11)1175(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≡x 即)1155(mod 394420660231385≡-+-≡x例2 求相邻的四个整数，它们依次22227532，，，，整除．解设这四个相邻整数是.2,1,,1++-x x x x 按要求应满足),2(m od 012≡-x ),3(mod 02≡x),5(m od 012≡+x ),7(mod 022≡+x所以，这是一个解同余方程组的问题，这里242322217,5,3,2====m m m m 两两既约，满足定理的条件.532,732,752,7532224222322222221⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M由)2m od 111121（≡≡M ，知 )2(m od 12111x x M ≡=因此可取11=x ．由 )3(m od 4417102222≡⨯≡⨯≡M ，知)3(m od 412222x x M ≡=，因此可取x 2=-2 ．由)5(mod 112122223-≡⨯≡M ，知)5(mod 1112322x x M -≡=,)5(mod 3222233x x ≡-=, )5(mod 2416233x x -≡=因此可取 94=x ．由)7(m od 1863)24()13(24≡⨯≡-⨯-＝M ，知 )7(m od 1812444x x M ≡≡,)7(mod 5543244x x ≡≡,)7(m od 5030244x x ≡≡,因此可取4x =-19由定理知⨯-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≡)19(532)1(97320)2(752117532222222222222x )7532(m od 22222⨯⨯⨯-）（)44100mod 342491587611025（+-≡.所以满足要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是,4410029348t + ,4410029349t +,4410029350t + ,4410029351t + （t 为整数）最小的这样的四个相邻正整数是29351,29350,29349,29348．例3 求模11的一组完全剩余系，使其中每个数被,7,5,3,2除后的余数分别为1,1,1,1--．解在定理2中取,11,7,5,3,255321=====m m m m m ,以及,1,1,1)3()2()1(=-==x x x1)4(-=x .由定理2知，当)5(x 遍历模11的完全剩余系时)5(5544332211x x M x M x M x M x M x +-+-= （12）这就给出了所要求的完全剩余系．下面来求)51(≤≤j x j ．由)2(m od 1≡i M 知)2(m od 1111x x M ≡≡,所以可取11=x ．由 )3(m od 12-≡M 知)3(m od 11222x x M ）（-≡≡ 所以可取12-=x ．由)5(mod 23≡M 知)5(mod 21333x x M ≡≡,所以可取23-=x ．由)7(m od 14≡M 知)7(m od 1444x x M ≡≡,所以可取14=x ．由)11(mod 15≡M 知)11(m od 1555x x M ≡≡.所以可取 15=x 这样就得到)5(753211532)2(117321175211753x x ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=41)3(2102106712103309247701155)5()5()5(+=+=+--+=x x x具有这样性质的最小的模11的完全剩余系是.4110210,419412108210,317210,416210,415210,414210,413210411022,41210,41+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 例4 解同余方程组)15(mod 1),20(mod 11),8(mod 3≡≡≡x x x .解这里15,20,8321===m m m 不两两既约，所以不能直接用定理．容易看出，这同余方程组的解和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)5(mod 11)4(mod 11)8(mod 3≡≡≡≡≡x x x x x的解同解．显见，满足第一个方程的x 必满足第二个方程，而第三，第四个方程是一样的．因此，原方程组和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)8(mod 3≡≡≡x x x （13）的解相同．同余方程组（13）满足定理的条件．容易解出同余方程组（13）的解为 )120(mod 29-≡x .注意到[]12015,20,8=所以这也是原同余方程组的解，且解数为1.例4给出了模k m m ，⋯⋯,1 不是两两既约时，同余方程组（1）如何求解的例子．对于一般情形的解法原则上也是这样．例5 解同余方程组)1155(mod 19≡x .解这是一个一次同余方程．这里我们把它化为模较小的一次同余方程组来解．由于117531155⨯⨯⨯=，所以这个同余方程组和方程组)3(mod 55619≡x , )5(mod 55619≡x ,)7(mod 55619≡x , )11(mod 55619≡x .的解相同．这同余方程组就是)3(mod 1≡x , )5(mod 1≡-x ,)7(mod 32≡x , )11(mod 63≡-x .上述同余方程组就变为)3(mod 1≡x , )5(mod 1-≡x ,)7(mod 2≡x , )11(mod 2-≡x .这同余方程组可用定理的方法来解．实际上，这就是我们的例1中的同余方程组，它的解是)1155(mod 394≡x这就是原同余方程组的解．例6 解同余方程组)10(mod 13≡x ,)15(mod 74≡x解利用例4的方法这同余方程组的解与同余方程组)5(mod 74)3(mod 74)5(mod 13)2(mod 13≡≡≡≡x x x x 的解相同．但第二个同余方程)5(mod 13≡x 可化为)5(mod 2≡x ，第四的同余方程组 )5(mod 74≡x 可化为)5(mod 2-≡x ，与)5(mod 8≡x 矛盾，所以原同余方程组无解．我们用线性方程组的方法来解以上例1中的一元同余式组例7 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=-=-2112715134321x x x x x x x x (16) 线性方程组(21)可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=-=11/)2(7/)2(5/)1(3/)1(4321x x x x x x x x 因为4321,,,x x x x 都是整数，由中国剩余定理知,394=x 为 x 的一个特解，其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-0110705034321x x x x x x x x 的所有解为11753⨯⨯⨯的整数倍．（16）式的通解为)1155(mod 3941155394≡+=a x .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题，再算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果．5 结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就，它在数学史上占有光辉的一页，其数学思想一直启发和指引着历代数学家们，在数学领域，特别是计算机领域发挥着重要作用．。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是对同余方程组求解的一种方法，它是中国古代数学家在解决实际问题时所创立的。

在小学数学学习中，中国剩余定理也有其应用和意义。

中国剩余定理的核心思想是将一个同余方程组转化为两个同余方程的组合问题，通过求解后再利用同余理论确定唯一解。

其关键在于划定不同同余方程之间的“不干涉区间”，以确保各个同余方程不会互相干扰，从而统一起来保证整个问题的解的统一性。

在小学数学中，我们可以通过举例来说明中国剩余定理的运用。

例如，我们需要求解同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)首先需要划分不干涉区间，即寻找同时满足以上两个同余方程的最小公因数。

也就是说，要找到一个整数，既能被3整除又能被4整除。

显然，这个数是12，因此我们可以将原来的同余方程组转化为下面这个同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 8 (mod 12)接下来，我们可以尝试求解这个同余方程组。

首先，通过第一个同余方程，我们可以得到：x = 2 + 3k其中k为整数。

通过对k的求解，我们可以得到所有满足以上两个同余方程的解，即：k = 3 + 4n 或 k = 2 + 4m（其中n，m为整数）将k带入第一个同余方程，我们可以得到最终的解为：x = 11 + 12q（其中q为整数）通过以上步骤，我们成功地将一个同余方程组化简为了一个同余方程，从而得到了其所有解。

这就是中国剩余定理在小学数学中的运用。

总之，中国剩余定理在小学数学中可能不会直接出现，但它的思想和方法可以为学生理解和解决一些实际问题提供帮助。

通过引导学生思考，他们可以深入理解数学的本质和意义，从而更好地掌握其中的知识和技巧。

中国剩余定理

▪ 后来人们根据古人的研究经验又得出《3、 5、8剩余定理》诗曰：三人同行40多，五树梅花96朵，八仙过海105招，除百二十便解惑。并补充《3、4、5剩余定理》：三人同行40里，四季花开45枝，五朵金花36浪，除去六十便得知。
▪谢谢
韩信点兵
▪ 秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2 名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
物不知数
▪ 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3 余2，除以5余3，除以 7余2。
解答
▪ 《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术（即答案）曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。”

高中数学知识点精讲精析中国剩余定理

4 中国剩余定理1．中国剩余定理也称孙子定理。

是中国先圣们对一次同余论的重大贡献。

.2．问题叙述在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。

我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》卷下记载：物不知数今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？即，求一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2。

这个被称做孙子问题。

3．孙子算经之解法《孙子算经》所给答案是N＝23。

由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。

但是《孙子算经》并不是这样做的。

“物不知数”题的术文指出的解法为：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。

将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。

列成算式就是：N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。

有一首口诀就描述了孙子问题的解法：孙子歌三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。

孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。

后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。

《孙子算经》没有说明这三个数的来历。

4．现代数论求解孙子问题在现代数论中是一个一次同余问题，显然，这相当于求不定方程组N=3x+2N=5y+3N=7z+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)②孙子问题求解过程如下：最小公倍数在每一组数中找出“除以7余2”的最小数——30；在每二组数中找出“除以5余3”的最小数——63；在每三组数中找出“除以3余2”的最小数——35；则有，30+63+35 = 128 一定是一个符合“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数。

但不一定是最小的。

再求128除以105(即3，5，7的最小公倍数)的余数即得23。

中国剩余定理多项式

中国剩余定理多项式中国剩余定理是数论中的一项重要定理，它是由古代中国数学家孙子推理出来的。

该定理可以帮助我们求解一类特殊的同余方程组，应用广泛且非常实用。

在介绍中国剩余定理之前，我们先来看一个例子。

假设我们有一个同余方程组：$x \equiv a \pmod m$$x \equiv b \pmod n$其中，$m$和$n$是任意两个互质的正整数。

中国剩余定理告诉我们，这个方程组一定存在一个解$x$，且这个解满足$x\equiv x_0 \pmod {mn}$，其中$x_0$是一个满足$x_0 \equiv a \pmod m$和$x_0 \equiv b \pmod n$的解。

接下来，我们来证明中国剩余定理。

设$x_0$和$x_1$分别是满足$x_0 \equiv a \pmod m$和$x_0 \equiv b \pmod n$的两个解。

我们可以证明$x_0 \equiv x_1 \pmod {mn}$。

由于$m$和$n$是互质的，所以根据费马小定理，我们有：$(a^{\phi(n)})^n \equiv a^n \equiv 1 \pmod n$$(b^{\phi(m)})^m \equiv b^m \equiv 1 \pmod m$其中，$\phi(n)$和$\phi(m)$分别表示欧拉函数的值。

根据同余的性质，我们可以得到以下等式：$(a^{\phi(n)})^n = a^{\phi(n) \cdot n} \equiv 1 \pmod n$$(b^{\phi(m)})^m = b^{\phi(m) \cdot m} \equiv 1 \pmod m$现在，我们来证明$x_0 \equiv x_1 \pmod {mn}$。

根据$x_0\equiv a \pmod m$和$x_0 \equiv b \pmod n$，我们可以得到以下等式：$x_0 - a = km, x_0 - b = ln$其中，$k$和$l$是整数。

生动讲解中国剩余定理

生动讲解中国剩余定理
contents
目录
• 引言 • 中国剩余定理的背景 • 中国剩余定理的原理 • 中国剩余定理的证明 • 中国剩余定理的应用 • 中国剩余定理的扩展和推广
01 引言
什么是剩余定理
• 剩余定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。它提供了一种解决一类线性同余方程组的方法，这些方程组中的每一个方程都是模数不同的。简单来说，如果有一组线性同余方程，每个方程都有一个不同的模数，那么中国剩余定理告诉我们如何找到一个整数，满足所有这些方程。
剩余定理的重要性
• 剩余定理在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于密码学、计算机科学、数论和代数几何等。在密码学中，它被用于公钥密码系统的设计和分析，如RSA算法。在计算机科学中，它被用于实现模运算的高效算法，以及解决一些优化问题。在数论和代数几何中，它被用于研究整数的性质和结构。因此，理解并掌握中国剩余定理是非常重要的。
数据压缩
在数据压缩中，中国剩余定理可以用于优化数据编码和解码的过程，提高数据传输和存储的效率。
并行计算
在并行计算中，中国剩余定理可以用于优化并行算法的设计和实现，提高计算性能。
06 中国剩余定理的扩展和推广
对称中国剩余定理
方程组，其解存在且唯一。
02 中国剩余定理的背景
历史背景
古代数学家的贡献
中国剩余定理起源于中国古代数学家的研究，如《九章算术》中的“方程”章就提到了线性同余方程组的解法。
数学史上的里程碑
中国剩余定理是中国古代数学的重要成果，也是世界数学史上的里程碑之一，对后世数学的发展产生了深远影响。
数学背景
同余方程
同余方程是数论中的基本概念，它描述了整数之间的一种等价关系。中国剩余定理主要应用于解决线性同余方程组的问题。

奥数数论：中国剩余定理要点及解题技巧

奥数数论：中国剩余定理要点及解题技巧中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有⼀席⾮常重要的地位。

下⾯给⼤家讲解中国剩余定理的由来、知识点及解题技巧，帮助⼤家学好中国剩余定理。

◆　中国剩余定理的由来
韩信点兵⼜称为中国剩余定理，相传汉⾼祖刘邦问⼤将军韩信统御兵⼠多少，韩信答说，每3⼈⼀列余1⼈、5⼈⼀列余2⼈、7⼈⼀列余4⼈、13⼈⼀列余6⼈……。

刘邦茫然⽽不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满⼀万，每5⼈⼀列、9⼈⼀列、13⼈⼀列、17⼈⼀列都剩3⼈，则兵有多少？
⾸先我们先求5、9、13、17之最⼩公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最⼩公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（⼈）。

中国有⼀本数学古书「孙⼦算经」也有类似的问题：
「今有物，不知其数，三三数之，剩⼆，五五数之，剩三，七七数之，剩⼆，问物⼏何？」答⽈：「⼆⼗三」术⽈：「三三数之剩⼆，置⼀百四⼗，五五数之剩三，置六⼗三，七七数之
剩⼆，置三⼗，并之，得⼆百三⼗三，以⼆百⼀⼗减之，即得。

凡三三数之剩⼀，则置七⼗，
五五数之剩⼀，则置⼆⼗⼀，七七数之剩⼀，则置⼗五，即得。

」
孙⼦算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上⾯这种问题的解法，中国⼈发现得⽐西⽅早，所以这个问题的推⼴及其解法，被
称为中国剩余定理。

◆　中国剩余定理要点及解题技巧。

中国剩余定理

中国剩余定理古代数学的光辉业绩——中国剩余定理我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？”这里的几何指多少的意思。

翻译成数学语言就是：求正整数N，使N 除以3余2，除以5余3，除以7余2。

如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。

术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。

以二百一十减之，即得。

凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。

一百六以上，一百五减之，即得。

”过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。

歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：3 705 217 15105三组数的共同特征是：70除以3余1，除以5、7余0；21除以5余1，除以3、7余0；15除以7余1，除以3、5余0。

首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。

然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。

70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。

2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。

3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。

2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。

统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。

N必然满足原题所有三个余数条件。

但N不一定是最小的。

歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。

这个23就是问题的最小解。

这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。

中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。

中国剩余定理

中国剩余定理中国剩余定理缘起自求解一次同余式问题。

《孙子算经》中有“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”用现代数学符号表示，这相当于求解一次同余式组()()()2mod 33mod 52mod 7N N N ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的最小正整数解。

《孙子算经》中给出了此题的解法及答案。

对于更一般的情况，南宋数学家秦九韶在他的划时代巨著《数学九章》中提出了“大衍总数术”，明确、系统地叙述了求解一次同余式组的一般方法。

在西方，经过欧拉、拉格朗日、高斯三代人、前后六十多年努力，才完成了一次同余式理论的建立，得到了与秦九韶一致的算法，并给出了严格的证明。

后人称之为“中国剩余定理”。

中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学发展做出的巨大贡献，它其中蕴含的深刻的数学思想在近代数学中占有同样重要的地位。

在抽象代数的理论中，整数集与一元多项式集都属于主理想整环，有着许多相似的性质。

关于整数的中国剩余定理可以自然地推广到一元多项式环上，得到如下结果：设()()()12,,,n m x m x m x 是n 个两两互素的多项式，()()()12,,,n a x a x a x 是任意n 个多项式，则一定存在多项式()f x 满足：()()()()()()()()()()()()1122mod mod mod n n f x a x m x f x a x m x f x a x m x ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩并且在()()()()()()12mod n m x m x m x m x m x =意义下是唯一的。

也就是说，次数小于()m x 的()f x 是唯一确定的。

特别地，当()i m x 均为一次多项式时，上面的结果即等价于插值多项式的存在与唯一性定理，从而可得出著名的拉格朗日插值多项式。

不仅仅是主理想环，在更一般的含单位元1的交换环上，我们也有类似结论。

此外，中国剩余定理在赋值论中也起着不可或缺的作用，而赋值论是研究代数数论和交换代数的重要工具。

中国剩余定理

古代数学的光辉业绩——中国剩余定理我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？”这里的几何指多少的意思。

翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。

如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。

术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。

以二百一十减之，即得。

凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。

一百六以上，一百五减之，即得。

”过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。

首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。

然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。

70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。

2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。

3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。

2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。

统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。

N必然满足原题所有三个余数条件。

但N不一定是最小的。

歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。

这个23就是问题的最小解。

这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。

中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。

《孙子算经》之物不知数题：中国剩余定理

《孙⼦算经》之物不知数题：中国剩余定理1、《孙⼦算经》之"物不知数"题今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩七，七七数之剩⼆，问物⼏何？2、中国剩余定理定义：设 a,b,m 都是整数. 如果 m|(a-b), 则称 a 和 b 模 m 同余, 记为m 称为这个同余式的模.定理(中国剩余定理):设 m1,m2,...,m r是两两互素的正整数. 设 a1,a2,...,a r是整数, 则同余⽅程组模 M = m1m2...m r有唯⼀解3、C语⾔源代码1 #include<stdio.h>23//////////////////////////////////////////4// 作者：落枫飘飘5// 时间：2016、04、216// 博客：/wuqianling/p/5415758.html7//////////////////////////////////////////8// 《孙⼦算经》之"物不知数"题：9// 今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩七，七七数之剩⼆，问物⼏何？10//////////////////////////////////////////11// 根据题意我们有如下同余⽅程组:12// x=2%3 ---> x=3*k+213// x=3%514// x=2%715//////////////////////////////////////////161718// 分析法求解19int analytical(float m1, float m2, float m3, float a1, float a2, float a3)20 {21float x=0.0, k1=0.0, k2=0.0, k3=0.0;2223for(k1 = 0; ; k1++)24 {25 x = m1*k1 + a1; // ---> x=3*k1+226 k2 = (x-a2) / m2; // ---> k2=(x-2)/327if(k2 == (int)k2) // 判断k2是否为整数28 {29 k3 = (x-a3) / m3;30if(k3 == (int)k3) // 判断k3是否为整数31break;32 }33 }34return (int)x;35 }363738// 中国剩余定理求解39int chineseRemainderTheorem(int m1, int m2, int m3, int a1, int a2, int a3)40 {41int i, x;42int M, M1, M2, M3;43int y1, y2, y3;4445 M = m1 * m2 * m3;46 M1 = m2 * m3; // M1=M/m1=m2*m347 M2 = m1 * m3;48 M3 = m1 * m2;49 y1 = M1 % m1;50 y2 = M2 % m2;51 y3 = M3 % m3;52 x = (a1*M1*y1 + a2*M2*y2 + a3*M3*y3) % M;5354return x;55 }565758int main()59 {60// x=2%3 即 x=a1%m161// x=3%5 即 x=a2%m262// x=2%7 即 x=a3%m363int m1=3, m2=5, m3=7;64int a1=2, a2=3, a3=2;65 printf("分析法:\nx=%d \n\n", analytical(m1,m2,m3,a1,a2,a3));66 printf("中国剩余定理:\nx=%d \n\n", chineseRemainderTheorem(m1,m2,m3,a1,a2,a3)); 67return0;68 }69。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的一个重要定理，最早由中国古代数学家孙子钱编著的《孙子算经》一书中提出。

它是一种求解同余方程组的方法，能够通过给定的多个同余方程，得到一个解使得这些方程同时成立。

在小学数学学习中，中国剩余定理虽然属于高级数学知识，但我们可以简化它的概念和运用，在数学学习中进行启发式教学。

我们需要简单了解一下同余方程的定义。

在数论中，同余方程是指具有相同余数的整数之间的关系。

设a、b为任意整数，m为正整数，则称a与b对于m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当m整除a-b。

中国剩余定理的核心思想是：如果有两个数a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)，同时a和b对于不同的m有不同的余数，那么可以通过这两个同余方程，找到一个解x，使得x对于这两个m的余数分别为a和b。

这样的解可以称为“同余类”。

举个例子来说明，假设有两个同余方程：x≡1(mod 2)和x≡2(m od 3)。

我们可以通过中国剩余定理，求解出一个解x=5。

这意味着5在模2下的余数为1，同时在模3下的余数为2。

实际上，5还可以加上2的倍数或者3的倍数，得到一系列满足同余关系的数。

例如x=5+6k(k为整数)也满足上述两个同余方程。

在小学数学学习中，我们不需要引入复杂的数论概念和运算，但可以通过启发式教学的方式，让学生在实际问题中体验和应用中国剩余定理。

以下是一个例子：假设小明花了一些钱买了一本书，他知道这本书的价格除以2余1，除以3余2，除以5余4。

请问这本书可能的价格是多少？我们可以引导学生尝试用暴力枚举法来找到这个数。

从1开始，依次检查是否满足给定的同余方程。

这样的话，显然非常耗时且不够高效。

接下来，我们可以向学生讲解并尝试应用中国剩余定理的简化方法。

设x为书的价格，则根据题意有以下同余方程：x≡1(mod 2)x≡2(mod 3)x≡4(mod 5)我们可以从第一个同余方程开始，找到一个数a满足a=1(mod 2)。

中国剩余定理

中国剩余定理中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的重要定理，用于求解一类关于模数不互素的同余方程组。

该定理由中国古代数学家孙子（Sunzi）在《孙子算经》中首次提出，因此得名。

中国剩余定理的核心思想是将一个复杂的同余方程组转化为一组简单的同余方程，然后通过求解这些简单方程来得到原方程的解。

中国剩余定理的应用广泛，不仅在数论中有重要的地位，还在密码学、编码理论、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

中国剩余定理的具体表述如下：设n1, n2, , nk为k个正整数，它们两两互素，即gcd(ni, nj) = 1 (i ≠ j)。

给定k个整数a1, a2, , ak，求解同余方程组：x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) . x ≡ ak (mod nk)中国剩余定理告诉我们，如果k个正整数n1, n2, , nk两两互素，那么对于给定的任意k个整数a1, a2, , ak，上述同余方程组一定存在解，并且解唯一模n = n1 * n2 * , * nk。

具体的解可以通过如下步骤求得：1.计算N = n1 * n2 * . * nk。

2.对于每个i，计算Ni = N / ni。

3.对于每个i，计算Mi = Ni^(-1) mod ni，其中Ni^(-1)是Ni在模ni下的逆元。

4.计算x = (a1 * N1 * M1 + a2 * N2 * M2 + . + ak * Nk * Mk) mod N。

通过上述步骤，我们可以得到方程组的唯一解x，满足x ≡ ai (mod ni) (1 ≤ i ≤ k)。

中国剩余定理的证明较为复杂，可以利用数论中的一些基本定理和性质进行推导。

但无论是证明还是应用，中国剩余定理都是一个非常有用的工具。

在密码学中，中国剩余定理被广泛应用于RSA算法的加密和解密过程中，以提高计算效率。

在编码理论中，中国剩余定理可以用于设计纠错码，提高数据传输的可靠性。

13中国剩余定理-课件

中国剩余定理又名「孙子定理」或称「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「秦王暗点兵」或「韩信点兵」，但当今数学界则称之为「中国剩余定理」（Chinese Remainder Theorem）。

「今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？」（摘自《孙子算经》卷下，第26题），意思是：现在一个未知数，除3时，余数是2；除5时，余数是3；除7时，余数是2，问这个未知数的最小值？中国著名数学家华罗庚教授，对这道题目有以下的说法：「求一个数，3除余2，5除余3，7除余2。

这个问题太容易回答了，因为3除余2，5除余3，7除余2，则21除余2。

而23是3、7余2最小的数，刚好又是5除余3的数。

所以心算快的人都算出！」（摘自《华罗庚科普著作选集》第84页）正如华罗庚教授所说，重点并不是计算出23这个结果，数学便是不仅于此。

数学的研究便是希望找到这道题的特质，作出普遍化的解法。

你又可知道这道名题的普遍解吗？很多中国的名事迹或名题，在民间都有歌谣，有的唱出一个故事，有的唱出这些名题的解法。

而这「鬼谷算」也不例外，而且还有几个不同版本，以下是其中之一：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。

摘自《算法统宗》卷四这些解的意思是说，用70乘3除所得的余数，用21乘5除所得的余数，用15乘7除所得的余数，然后再加起来。

如果其和大于105，则减去105，直至小于105为止，最后这个数便是答案。

以「鬼谷算」中的余数为例： 2×70+3×21+2×15－105－105 =23那么，（一）如何推出这个结果？（二）如果除数改变了，或有更多的余数时又如何？简而言之，可以把这个方法推广吗？讨论中国剩余定理，同余（congruence）的概念是必须的理论基础。

给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a－b是n的倍数。

用符号a≡b(mod n)来代表。

什么是中国剩余定理