比与比例讲义

一、教学内容:

知识点：

1．表示两个比相等的式子叫做比例.

2．组成比例的四个数,叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。如：80：2=200：5. 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

52002

80= 80×5=2×200（交叉相乘，积相等） 3．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺.

图上距离：实际距离=比例尺

4．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系.

k x y =（一定） 成正比与x y

5．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.

k y x =⋅（一定） 成反比与x y

例题讲解：

1.4:( )=2016

=( )÷10=( )%

解：设4:x =%102016z y =÷=,可以求得x =5,y =8, z =80.

2.在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变,后项应加 .

解：在3:5里,如果前项加6,前项为3+6=9,即扩大了9÷3=3倍,要使比值不变,后项也应扩大3倍,即为5⨯3=15.后项应增加15-5=10.

3.12:1的图纸上,精密零件的长度为6厘米,它的实际长度是 毫米.

解：根据:实际距离=图上距离÷比例尺.可得:6÷(12:1)=0.5(厘米)=5(毫米).

4.买甲、乙两种铅笔共210支,甲种铅笔每支价值3分,乙种铅笔每支价值4分,两种铅笔用去的钱相同,甲种铅笔买了 支.

解：甲、乙两种铅笔单价之比为3:4,又两种笔用去的单价相同,故甲乙两种铅笔数之比为4:3.其中甲占总数的344+即74,甲种铅笔数为12074210=⨯(支).

5.车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩托车的辆数与小卧车的辆数的比是 .

解：因为2:5=4:10,所以4辆车共有10个轮子,如果4辆车全是小卧车,那么轮子数应为16个,比实际多6个.故每4辆车中有摩托车(4⨯4-10)÷(4-2)=3(辆),有小卧车1辆.所以摩托车与小卧车的辆数之比为3:1.

7.自然数A 、B 满足182111=

-B A ,且A :B =7:13.那么,A +B = .

解：设A =7K ,B =13K ,18219161317111=

=-=-K K K B A ,故K =12,从而A +B =20K =240.

8.光明小学有三个年级,一年级学生占全校学生人数的25%,二年级与三年级学生人数的比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人,一年级有学生 人.

解：二、三年级占全校总数的1-25%=75%,故三年级占全校总数的75%73344=

+⨯

.一年级

比三年级少的40人占全校的285%2573=-.于是全校有22428540=÷(人),一年级学生有

224⨯25%=56(人).

9.水泥、石子、黄砂各有5吨,用水泥、石子、黄砂按5:3:2拌制某种混凝土,若用完石子,水泥缺 吨.黄砂多 吨. 解：石子占总份数的2353++,即103.当石子用5吨时,混凝土共有

32161035=÷(吨),因为水泥占总份数的2355++即21,那么3216吨混凝土中的水泥应为3182

13216=⨯(吨). 同法可求得3216

吨混凝土中的黄砂为:313235216=++⨯(吨) 水泥缺31353

18=-(吨),黄砂多3213135=-(吨). 10.甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A 、B 两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇,如果它们同向而行,那么甲追上乙需要 小时.

解：设甲的速度为每小时行13K 米,乙的速度为每小时行11K 千米,则两地相距

(13K +11K )⨯0.5=12K 千米.甲追上乙需12K ÷(13K -11K )=6(小时).

11.已知甲、乙两数的比为5:3,并且它们最大公约数与最小公倍数的和是1040,那么甲数是多少,乙数是多少.

解：设甲和乙的最大公约数为K ,则甲数为5K ,乙数为3K ,它们的最小公倍数为15K .于是K +15K =1040,解得K =65.

从而甲数为5⨯65=325,乙数为3⨯65=195.

12.有一块铜锌合金,其中铜与锌的比是2:3.现在加入锌6克,共得新合金36克,求在新合金内铜与锌的比. 解：铜在旧合金中占52322=+,故旧合金中有铜125230=⨯(克),有锌30-12=18(克).

新合金中,铜仍为12克,锌为18+6=24(克),于是铜与锌的比为12:24=1:2.

13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时

间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间? 解：上坡路占总路程的613211=++,上坡路程为

3256150=⨯(千米),上坡时间为9253325=÷(小时). 平路时间为361254

5925=⨯(小时),下坡时间为3615046925=⨯(小时). 全程时间为125103615036125925=++(小时)

14.一个圆柱体的容器中,放有一个长方形铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水,3分钟时,水恰好没过长方体的顶面,又过了18分钟,水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面积等于多少？

解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20:30=2:3.

注20厘米的水的时间为123218=⨯

(分),这说明注入长方形铁块所占空间的水要用时间为12-3=9(分).已知长方形铁块高为20厘米,因此它们底的面积比等于它们的体积之比,而它们的体积比等于所注入时间之比,故长方形底面面积:容器底面面积=9:12=3:4.

厘米,那么长方体底面积:容器底面面积等于多少?

二、练习：

【热身训练】

一、（1）某厂男工人比女工人多51

，男工人与全厂职工人数的比是（ ）

（2）行完全程，甲需8小时，乙需6小时，甲乙速度比是（ ）

（3）一个正方体的棱长扩大2倍，得到的新正方体与原正方体的棱长之和之比是（ ），表面积之比是（ ），体积之比是（ ）。

（4）13×a=15×b ，那么a:b=（ ）:（ ）