第11章 统计学
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第11章
统计决策
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统计决策的一般问题
1. 决策的概念和种类
（1）决策的概念
决策就是为了实现特定的目标，根据客观的可能性，在
占有一定信息和经验的基础上，借助一定的工具、技巧 和方法，对影响未来目标实现的诸因素进行准确的计算 和判断选优后，对未来行动做出决定。统计决策有广义 和狭义之分，凡是使用统计方法进行决策的方法称为广 义的统计决策；狭义的统计决策是指在不确定条件下的 决策。
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不确定情况下的决策需要具备以下几个条件：
（1）决策人要求达到的一定目的 （2）存在两个或两个以上可供选择的方案
（3）存在着不以决策人主观意志为转移的客观状态，即 自然状态
（4）在不同情况下采取不同方案所产生的结果是可以计 量的，所有的结果构成一个结果空间。
（2）决策的种类
按决策问题所处的条件不同，可分为确定型决策、不确 定型决策和对抗型决策三种。
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确定型决策：
确定型决策是指可供选择方案的条件已确定。
不确定型决策：
不确定型决策是指决策时的条件是不确定的，细分起来 又可以分成两种。一种是已知各种可能情况出现的概率，
因此可以结合概率来作出判断，选择方案，称为风险型
决策。另一种是未知任何信息的决策，称为完全不确定 情况下的决策。
对抗型决策：
对抗性决策的特点是包含了两个或几个人之间的竞争， 并且不是所有的决策都在决策人的直接控制下，而要考 虑到对方的策略。
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2. 决策的作用和步骤
（1）决策的作用
决策的作用体现在：科学的统计决策起着由决策 目标到结果的中间媒介作用；科学的统计决策提 供有事实根据的最优行动方案，起着避免盲目性、
减少风险性的导向效应；统计决策在市场、经济、
管理等诸多领域中有广泛的用途。
（2）决策的步骤
一个完整的决策包括以下步骤
①确定目标和搜集资料，包括必要的调整计算 ②辨认自然状态和可能采取的行动
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③计算全部损益值 ④对全部行动进行筛选，淘汰不可接受的行动，保留 可以接受的行动 ⑤用适当的方法确定先验概率，进行必要的概率计算 ⑥用先验概率和各种行动方案种的损益值，计算期望
损益值，据以评价各种行动的可能结果
⑦进行择优决策分析，选出最优行动方案
若要做后验决策，还要继续进行以下步骤：
⑧搜集补充材料，包括抽样的或非抽样的，计算所需要的条 件概率和联合概率，利用先验概率和联合概率，按贝叶斯公
式计算后验概率
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⑨用后验概率和各种行动中的损益值，计算期望损益值，据 以评价各种行动的可能结果 ⑩进行择优决策，选出最优行动方案
3. 决策的公理和原则
（1）决策的公理
决策的公理是所有理智健全的决策者都能接受或承认
的基本原理，是许许多多决策者长期决策实践经验的
总结。
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决策的公理有两个基本点：
（1）决策者通常对自然状态出现的可能性有一个大致的 估计，即存在“主观概率”；
（2）决策者对于每一行动方案的结果根据自己的兴趣、
爱好等价值标准有自己的评价，这个评价叫做行动方案的 “效用”。
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统计决策的6条公理：
①方案的优劣是可比较和判别的； ②方案必须具有独立存在的价值； ③在分析方案时只有不同的结果才需要加以比较； ④主观概率和方案结果之间不存在联系； ⑤效用的等同性； ⑥效用的替换性。
（2）决策的原则
做出正确的决策应遵循的三条原则：可行性原则；经 济性原则；合理性原则。
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风险型决策方法
1. 风险型决策的基本问题
（1）风险型决策的概念
风险型决策，是根据预测各种事件可能发生的先验概率，
然后再采用期望效果最好的方案作为最优决策
方案。因此，这种决策具有一定的风险。
先验概率就是根据过去、经验或主观判断而形成的对各自 然状态的风险程度的测算值。简而言之，原始的概率就是 先验概率。
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可行方案是由各方面专家根据决策目的，综合考虑资 源条件及实现的可能性，经充分讨论研究制定出来的。
（2）损益矩阵
可行方案
自然状态是指各种可行方案可能遇到的客观情况和状 态。这些情况和状态来自系统的外部环境，一般决策 者不能控制。
损益矩阵 包括三部 分内容
自然状态及其发生的概率
各种自然状态发生的概率有主观概率和客观概率之分， n 满足 。 0 Pi 1 且 Pi 1
i 1
各种行动方案的可能结果
损益矩阵三部分内容在 一个表上表现出来，该 表就称为损益矩阵表。
它是根据不同可行方案在不同自然状态下资源的条件、 生产能力的状况，应用综合分析的方法计算出来的收 益值或损失值。
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损益矩阵表
1
行动方案 d1
2 P2
L12
n Pn
1n 2n
P 1
L11
d2
L21
L22
L L
dm
Lm1
Lm2
Lmn
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2. 不同标准的决策方法
在风险型决策中，可以选用不同标准为依据进行决策， 在实践中常用的方法有：以期望值为标准的决策方法；
以等概率（合理性）为标准的决策方法；以最大可能性
为标准的决策方法。
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（1）以期望值为标准的决策方法
是以收益和损失矩阵为依据，分别计算各可行方案的期 望值，选择其中期望收益值最大（或期望收益值最小） 的方案作为最优方案。
第j种状态 的概率
期望收益值的计算公式：E (di )
x P ( )
j 1 ij j
m
第i个方案 的期望值
第i个方案第j种 状态的损益值
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（2）以等概率为标准的决策方法
由于各种自然状态出现的概率无法预测，因此假定几种 自然状态的概率相等，即 方案作为最优决策方案。
P 1 n
，然后求出各方案的期望
损益值，最后选择收益值最大（或期望损失值最小）的
（3）以最大可能性为标准的决策方法
此方法是以一次试验中事件出现的可能性大小作为选择
方案的标准，而不是考虑其经济的结果。
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（4）各种方法的适用场合
①以期望值为标准的决策方法一般适用于几种情况： 概率的出现具有明显的客观性质，而且比较稳定；决策不 是解决一次性问题，而是解决多次重复的问题；决策的结果 不会对决策者带来严重的后果。 ②以等概率（合理性）为标准的决策方法适用于各种自然 状态出现的概率无法得到的情况。 ③以最大可能性为标准的决策方法适用于各种自然状态中 其中某一状态的概率显著地高于其他方案所出现的概率，而 期望值又相差不大的情况。
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3. 决策树
（1）决策树的意义
决策树是对决策局面的一种图解。它是把各种备
选方案、可能出现的自然状态及各种损益值简明 地绘制在一张图表上。用决策树可以使决策问题
形象化。
决策树的意义：
决策树便于管理人员审度决策局面，分析决策过
程，尤其对那些缺乏所需数学知识从而不能胜任 运算的管理人员。
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决策树决策法：
就是按一定的方法绘制好决策树，然后用反推决 策树方式进行分析，最后选定合理的最佳方案。
（2）决策树制作的步骤及其应用
决策点和方案枝
绘出决策点和方案枝， 在方案枝上标出对应 的备选方案； 绘出机会点和概率枝， 在概率枝上标出对应 的自然状态出现的概 率值； 在概率枝的末端标出对 应的损益值，这样就得 出一个完整的决策树。
机会点和概率枝
标出损益值
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P1
L11 L12 … L1n
P2
Pn P1 d2 … 决策点和方案枝 P2 Pn P1 P2 Pn 机会点和概率枝
… … …
L21 L22 L2n … …
Lm1 Lm2 Lmn
损益值
决策树图
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4. 完全信息价值
（1）完全信息价值的概念
完全信息是指对决策问题做出某一具体决策行动时 所出现的自然状态及其概率，能提供完全确切、肯
定的情报。也称完全情报。
完全信息价值等于利用完全情报进行决策所得到的 期望值减去没有这种情报而选出的最优方案的期望 值。它代表我们应该为这种情报而付出的代价的上 限。
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完全信息价值的意义：
①通过计算信息价值，可以判断出所做决策方案 的期望利润值随信息量增加而增加的程度。 ②通过计算信息价值，可使决策者在重大问题的 决策中，能够明确回答对于获取某些自然状态信
息付出的代价是否值得的问题。
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5. 连续型变量的风险型决策方法
（1）连续型变量风险型决策中的几个概念
连续性变量的风险型决策方法是解决连续型变量，或 者虽然是离散型变量，但可能出现的状态数量很大的 决策问题的方法。连续性变量的风险型决策方法可以 应用边际分析法和标准正态概率分布等进行决策。
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边际费用是指增加一个单位产品所需增加的费用。
边际收入是生产和出售一个单位产品所得到的收入增量。
边际利润是指存有并卖出一追加单位产品所得到的利润值。 期望边际利润是边际利润乘以其中的追加产品能被卖出的概率。 边际损失是指由于存有一追加单位产品而卖不出去所造成的 损失值。期望边际损失是边际损失乘以其中的追加产品卖不出
去的概率。
（2）边际分析法的应用
边际分析法是令期望边际利润等于期望边际损失，求 出转折概率，根据转折概率对应结果进行决策。
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（3）应用标准正态概率分布进行决策
设有一生产销售问题的风险型决策，如果满足下列两个条件，即： ①该决策问题的自然状态（市场需求量）为一连续型的随机变量 X ，其概率密 度为 f ( x) ； ②备选方案 d1, d2 , , dm 分别表示生产（或存有）数量为 1, 2, , m 单位的某种产品 或商品。 那么，该风险型决策取得最大期望利润值的方案 dk ，其所代表生产（存有）的 单位产品数量 k （最佳方案）由下式决定：
a b k
f ( x)dx b
其中： a 为边际利润值，即生产并卖出一追加单位产品所获得的利润值； b 为 边际损失值，即存有一追加单位产品而卖不出去所造成的损失值。
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贝叶斯决策方法
1. 贝叶斯决策的一般问题
（1）贝叶斯决策的概念和步骤
贝叶斯决策方法是根据预测各种事件可能发生
的先验概率，然后采用期望值标准或最大可能 性标准等来选择最佳决策方案。一般来说，利 用贝叶斯定理求得后验概率，据以进行决策的 方法，称为贝叶斯决策方法。
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已具备先验概率的情况下，贝叶斯决策过程的步骤为：
①进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补 充资料可能得到的结果和如何决定最优对策； ②搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概
率，对历史概率要加以检验，辨明其是否适合计算后验概
率； ③用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计 算边际概率,用贝叶斯定理计算后验概率； ④用后验概率进行决策分析。
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（2）贝叶斯决策的优点及其局限性
贝叶斯决策的优点：
①贝叶斯决策能对信息的价值或是否需要采集新的信息
做出科学的判断；
②它能对调查结果的可能性加以数量化的评价，而不是 像一般的决策方法那样，对调查结果或者是完全相信，
或者是完全不相信；
③如果说任何调查结果都不可能完全准确，先验知识或 主观概率也不是完全可以相信的，那么贝叶斯决策则巧 妙地将这两种信息有机地结合起来了； ④它可以在决策过程中根据具体情况不断地使用，使决 策逐步完善和更加科学。
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贝叶斯决策的局限性：
①它需要的数据多，分析计算比较复杂，特别在解决复 杂问题时，这个矛盾就更为突出； ②有些数据必须使用主观概率，有些人不太相信，这也 妨碍了贝叶斯决策方法的推广使用。
2. 贝叶斯决策方法的类型和应用
（1）先验分析和预后验分析
先验分析是指决策者详细列出各种自然状态及其概率、
各种备选行动方案与自然状态的损益值，并根据这些 信息对备选方案做出抉择的过程。
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预后验分析是后验概率决策分析的一种特殊形式的演算。 它有两种形式：扩大型预后验分析和常规型预后验分析。
扩大型预后验分析，是一种反推决策树分析；常规型预后
验分析，是一种正向分析。
（2）后验分析
根据预后验分析，如果认为采集信息和进行调查研究是 值得的，那么就应该决定去做这项工作，一旦取得了新 的信息，决策者就结合这些新信息进行决策分析。结合 运用这些信息并修正先验概率，称为后验分析。
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预后验分析与后验分析十分相似，只是在预后验分析阶 段从未进行调查研究，只是分析采集信息和调查研究是 不是值得。后验分析是进行过调查研究以后取得新信息 以后分析的过程。
统计决策
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统计决策的一般问题
1. 决策的概念和种类
（1）决策的概念
决策就是为了实现特定的目标，根据客观的可能性，在
占有一定信息和经验的基础上，借助一定的工具、技巧 和方法，对影响未来目标实现的诸因素进行准确的计算 和判断选优后，对未来行动做出决定。统计决策有广义 和狭义之分，凡是使用统计方法进行决策的方法称为广 义的统计决策；狭义的统计决策是指在不确定条件下的 决策。
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不确定情况下的决策需要具备以下几个条件：
（1）决策人要求达到的一定目的 （2）存在两个或两个以上可供选择的方案
（3）存在着不以决策人主观意志为转移的客观状态，即 自然状态
（4）在不同情况下采取不同方案所产生的结果是可以计 量的，所有的结果构成一个结果空间。
（2）决策的种类
按决策问题所处的条件不同，可分为确定型决策、不确 定型决策和对抗型决策三种。
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确定型决策：
确定型决策是指可供选择方案的条件已确定。
不确定型决策：
不确定型决策是指决策时的条件是不确定的，细分起来 又可以分成两种。一种是已知各种可能情况出现的概率，
因此可以结合概率来作出判断，选择方案，称为风险型
决策。另一种是未知任何信息的决策，称为完全不确定 情况下的决策。
对抗型决策：
对抗性决策的特点是包含了两个或几个人之间的竞争， 并且不是所有的决策都在决策人的直接控制下，而要考 虑到对方的策略。
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2. 决策的作用和步骤
（1）决策的作用
决策的作用体现在：科学的统计决策起着由决策 目标到结果的中间媒介作用；科学的统计决策提 供有事实根据的最优行动方案，起着避免盲目性、
减少风险性的导向效应；统计决策在市场、经济、
管理等诸多领域中有广泛的用途。
（2）决策的步骤
一个完整的决策包括以下步骤
①确定目标和搜集资料，包括必要的调整计算 ②辨认自然状态和可能采取的行动
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③计算全部损益值 ④对全部行动进行筛选，淘汰不可接受的行动，保留 可以接受的行动 ⑤用适当的方法确定先验概率，进行必要的概率计算 ⑥用先验概率和各种行动方案种的损益值，计算期望
损益值，据以评价各种行动的可能结果
⑦进行择优决策分析，选出最优行动方案
若要做后验决策，还要继续进行以下步骤：
⑧搜集补充材料，包括抽样的或非抽样的，计算所需要的条 件概率和联合概率，利用先验概率和联合概率，按贝叶斯公
式计算后验概率
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⑨用后验概率和各种行动中的损益值，计算期望损益值，据 以评价各种行动的可能结果 ⑩进行择优决策，选出最优行动方案
3. 决策的公理和原则
（1）决策的公理
决策的公理是所有理智健全的决策者都能接受或承认
的基本原理，是许许多多决策者长期决策实践经验的
总结。
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决策的公理有两个基本点：
（1）决策者通常对自然状态出现的可能性有一个大致的 估计，即存在“主观概率”；
（2）决策者对于每一行动方案的结果根据自己的兴趣、
爱好等价值标准有自己的评价，这个评价叫做行动方案的 “效用”。
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统计决策的6条公理：
①方案的优劣是可比较和判别的； ②方案必须具有独立存在的价值； ③在分析方案时只有不同的结果才需要加以比较； ④主观概率和方案结果之间不存在联系； ⑤效用的等同性； ⑥效用的替换性。
（2）决策的原则
做出正确的决策应遵循的三条原则：可行性原则；经 济性原则；合理性原则。
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风险型决策方法
1. 风险型决策的基本问题
（1）风险型决策的概念
风险型决策，是根据预测各种事件可能发生的先验概率，
然后再采用期望效果最好的方案作为最优决策
方案。因此，这种决策具有一定的风险。
先验概率就是根据过去、经验或主观判断而形成的对各自 然状态的风险程度的测算值。简而言之，原始的概率就是 先验概率。
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可行方案是由各方面专家根据决策目的，综合考虑资 源条件及实现的可能性，经充分讨论研究制定出来的。
（2）损益矩阵
可行方案
自然状态是指各种可行方案可能遇到的客观情况和状 态。这些情况和状态来自系统的外部环境，一般决策 者不能控制。
损益矩阵 包括三部 分内容
自然状态及其发生的概率
各种自然状态发生的概率有主观概率和客观概率之分， n 满足 。 0 Pi 1 且 Pi 1
i 1
各种行动方案的可能结果
损益矩阵三部分内容在 一个表上表现出来，该 表就称为损益矩阵表。
它是根据不同可行方案在不同自然状态下资源的条件、 生产能力的状况，应用综合分析的方法计算出来的收 益值或损失值。
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损益矩阵表
1
行动方案 d1
2 P2
L12
n Pn
1n 2n
P 1
L11
d2
L21
L22
L L
dm
Lm1
Lm2
Lmn
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2. 不同标准的决策方法
在风险型决策中，可以选用不同标准为依据进行决策， 在实践中常用的方法有：以期望值为标准的决策方法；
以等概率（合理性）为标准的决策方法；以最大可能性
为标准的决策方法。
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（1）以期望值为标准的决策方法
是以收益和损失矩阵为依据，分别计算各可行方案的期 望值，选择其中期望收益值最大（或期望收益值最小） 的方案作为最优方案。
第j种状态 的概率
期望收益值的计算公式：E (di )
x P ( )
j 1 ij j
m
第i个方案 的期望值
第i个方案第j种 状态的损益值
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（2）以等概率为标准的决策方法
由于各种自然状态出现的概率无法预测，因此假定几种 自然状态的概率相等，即 方案作为最优决策方案。
P 1 n
，然后求出各方案的期望
损益值，最后选择收益值最大（或期望损失值最小）的
（3）以最大可能性为标准的决策方法
此方法是以一次试验中事件出现的可能性大小作为选择
方案的标准，而不是考虑其经济的结果。
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（4）各种方法的适用场合
①以期望值为标准的决策方法一般适用于几种情况： 概率的出现具有明显的客观性质，而且比较稳定；决策不 是解决一次性问题，而是解决多次重复的问题；决策的结果 不会对决策者带来严重的后果。 ②以等概率（合理性）为标准的决策方法适用于各种自然 状态出现的概率无法得到的情况。 ③以最大可能性为标准的决策方法适用于各种自然状态中 其中某一状态的概率显著地高于其他方案所出现的概率，而 期望值又相差不大的情况。
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3. 决策树
（1）决策树的意义
决策树是对决策局面的一种图解。它是把各种备
选方案、可能出现的自然状态及各种损益值简明 地绘制在一张图表上。用决策树可以使决策问题
形象化。
决策树的意义：
决策树便于管理人员审度决策局面，分析决策过
程，尤其对那些缺乏所需数学知识从而不能胜任 运算的管理人员。
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决策树决策法：
就是按一定的方法绘制好决策树，然后用反推决 策树方式进行分析，最后选定合理的最佳方案。
（2）决策树制作的步骤及其应用
决策点和方案枝
绘出决策点和方案枝， 在方案枝上标出对应 的备选方案； 绘出机会点和概率枝， 在概率枝上标出对应 的自然状态出现的概 率值； 在概率枝的末端标出对 应的损益值，这样就得 出一个完整的决策树。
机会点和概率枝
标出损益值
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P1
L11 L12 … L1n
P2
Pn P1 d2 … 决策点和方案枝 P2 Pn P1 P2 Pn 机会点和概率枝
… … …
L21 L22 L2n … …
Lm1 Lm2 Lmn
损益值
决策树图
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4. 完全信息价值
（1）完全信息价值的概念
完全信息是指对决策问题做出某一具体决策行动时 所出现的自然状态及其概率，能提供完全确切、肯
定的情报。也称完全情报。
完全信息价值等于利用完全情报进行决策所得到的 期望值减去没有这种情报而选出的最优方案的期望 值。它代表我们应该为这种情报而付出的代价的上 限。
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完全信息价值的意义：
①通过计算信息价值，可以判断出所做决策方案 的期望利润值随信息量增加而增加的程度。 ②通过计算信息价值，可使决策者在重大问题的 决策中，能够明确回答对于获取某些自然状态信
息付出的代价是否值得的问题。
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5. 连续型变量的风险型决策方法
（1）连续型变量风险型决策中的几个概念
连续性变量的风险型决策方法是解决连续型变量，或 者虽然是离散型变量，但可能出现的状态数量很大的 决策问题的方法。连续性变量的风险型决策方法可以 应用边际分析法和标准正态概率分布等进行决策。
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边际费用是指增加一个单位产品所需增加的费用。
边际收入是生产和出售一个单位产品所得到的收入增量。
边际利润是指存有并卖出一追加单位产品所得到的利润值。 期望边际利润是边际利润乘以其中的追加产品能被卖出的概率。 边际损失是指由于存有一追加单位产品而卖不出去所造成的 损失值。期望边际损失是边际损失乘以其中的追加产品卖不出
去的概率。
（2）边际分析法的应用
边际分析法是令期望边际利润等于期望边际损失，求 出转折概率，根据转折概率对应结果进行决策。
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（3）应用标准正态概率分布进行决策
设有一生产销售问题的风险型决策，如果满足下列两个条件，即： ①该决策问题的自然状态（市场需求量）为一连续型的随机变量 X ，其概率密 度为 f ( x) ； ②备选方案 d1, d2 , , dm 分别表示生产（或存有）数量为 1, 2, , m 单位的某种产品 或商品。 那么，该风险型决策取得最大期望利润值的方案 dk ，其所代表生产（存有）的 单位产品数量 k （最佳方案）由下式决定：
a b k
f ( x)dx b
其中： a 为边际利润值，即生产并卖出一追加单位产品所获得的利润值； b 为 边际损失值，即存有一追加单位产品而卖不出去所造成的损失值。
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贝叶斯决策方法
1. 贝叶斯决策的一般问题
（1）贝叶斯决策的概念和步骤
贝叶斯决策方法是根据预测各种事件可能发生
的先验概率，然后采用期望值标准或最大可能 性标准等来选择最佳决策方案。一般来说，利 用贝叶斯定理求得后验概率，据以进行决策的 方法，称为贝叶斯决策方法。
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已具备先验概率的情况下，贝叶斯决策过程的步骤为：
①进行预后验分析，决定是否值得搜集补充资料以及从补 充资料可能得到的结果和如何决定最优对策； ②搜集补充资料，取得条件概率，包括历史概率和逻辑概
率，对历史概率要加以检验，辨明其是否适合计算后验概
率； ③用概率的乘法定理计算联合概率，用概率的加法定理计 算边际概率,用贝叶斯定理计算后验概率； ④用后验概率进行决策分析。
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（2）贝叶斯决策的优点及其局限性
贝叶斯决策的优点：
①贝叶斯决策能对信息的价值或是否需要采集新的信息
做出科学的判断；
②它能对调查结果的可能性加以数量化的评价，而不是 像一般的决策方法那样，对调查结果或者是完全相信，
或者是完全不相信；
③如果说任何调查结果都不可能完全准确，先验知识或 主观概率也不是完全可以相信的，那么贝叶斯决策则巧 妙地将这两种信息有机地结合起来了； ④它可以在决策过程中根据具体情况不断地使用，使决 策逐步完善和更加科学。
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贝叶斯决策的局限性：
①它需要的数据多，分析计算比较复杂，特别在解决复 杂问题时，这个矛盾就更为突出； ②有些数据必须使用主观概率，有些人不太相信，这也 妨碍了贝叶斯决策方法的推广使用。
2. 贝叶斯决策方法的类型和应用
（1）先验分析和预后验分析
先验分析是指决策者详细列出各种自然状态及其概率、
各种备选行动方案与自然状态的损益值，并根据这些 信息对备选方案做出抉择的过程。
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预后验分析是后验概率决策分析的一种特殊形式的演算。 它有两种形式：扩大型预后验分析和常规型预后验分析。
扩大型预后验分析，是一种反推决策树分析；常规型预后
验分析，是一种正向分析。
（2）后验分析
根据预后验分析，如果认为采集信息和进行调查研究是 值得的，那么就应该决定去做这项工作，一旦取得了新 的信息，决策者就结合这些新信息进行决策分析。结合 运用这些信息并修正先验概率，称为后验分析。
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预后验分析与后验分析十分相似，只是在预后验分析阶 段从未进行调查研究，只是分析采集信息和调查研究是 不是值得。后验分析是进行过调查研究以后取得新信息 以后分析的过程。