数学建模—微分方程的应用举例
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的作用, 那么物体的运动方程为
即 (11.11)
其中 这个方程称为强迫振动的微分方程, 它是一个二阶常系数非齐次线性微分方程.
下面就三种情形分别讨论物体运动方程的解.
串联电路问题
如图12-11-7是由电阻R、电感L及电容C（其中R,L,C是常数）串联而成的回路, 时合上开关, 接入电源电动势 求电路中任何时刻的电流
例5（E05）在图12-11-7的电路中, 设
且初始电量和电流均为0, 求电量 和电流
解由已知条件知，可得到方程
其特征方程为 特征根
故对应齐次方程的通解为
而非齐次方程的特解可设为
代入方程，并比较系数可得 所以
从而所求方程的通解为
利用初始条件 得到
又
由 得 于是
解 中含有两部分，其中第一部分
即当 充分大时，有
如果物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油、水等)的阻力的作用, 设阻力与质点运动的速度成正比, 且阻力的方向与物体运动方向相反, 则有
其中 (阻尼系数). 从而物体运动满足方程
或 (11.10)
这个方程叫做有阻尼的自由振动微分方程, 它也是一个二阶常系数齐次线性方程.
如果物体在振动过程中所受到的外力除了弹性恢复力与介质阻力之外, 还受到周期性的干扰力
因为当 时， (取负号是因此时加速度的方向与 轴的方向相反).
代入得到 初始条件为
先求物体到达地面时的速度. 由 得
代入并分离变量得
把初始条件代入上式，得 于是
式中令 就得到物体到达地面时得速度为
再求物体落到地面所需的时间.
分离变量得
由条件 得
在上式中令 便得到物体到达地面所需得时间为
弹簧振动问题
例4（E04）设有一个弹簧, 它的一端固定, 另一端系有质量为m的物体, 物体受力作用沿x轴运动, 其平衡位置取为坐标原点(图12-11-3). 如果使物体具有一个初始速度 那么物体便离开平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振动. 在此过程中, 物体的位置x随时
解设所求追迹曲线方程为 经过时刻 甲在追迹曲线上的点为 乙在点 于是 (1)
由题设，曲线的弧长 为
解出 代入(1)，得
整理得
追迹问题的数学模型
设 则方程化为
或
两边积分，得
即
将初始条件 代入上式，得 于是
(2)
两边同乘 并化简得
(3)
(2)式与(3)式相加得
两边积分得
代入初始条件 得 故所求追迹曲线为
(2) 追迹问题
(3) 自由落体问题
(4) 弹簧振动问题
(5) 串联电路问题
例题选讲
衰变问题
例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻 的质量.
解用 表示该放射性物质在时刻 的质量，则 表示 在时刻 的衰变速度，依题意得 (1) 它就是放射性元素衰变的数学模型，其中 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间 增加时，质量 减少.
易求出方程(1)的通解为 若已知当 时， 代入通解 中可得 则可得到特解 它反映了某种放射性元素衰变的规律.
注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素 的半衰期约为50亿年；通常的镭 的半衰期为1600年，而镭的另一同位素 的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，
第十一节数学建模—微分方程的应用举例
微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.
分布图示
★ 衰变问题
★ 追迹问题
★ 自由落体问题
★ 弹簧振动问题
★ 串联电路问题
★ 返回
内容要点
(1) 衰变问题
间t变化. 要确定物体的振动规律, 就是要求出函数
解据胡克定律知, 弹簧的弹性恢复力 与弹簧变形 成正比:
其中 (称为弹性系数), 负号表示弹性恢复力与物体位移方向相反. 在不考虑介质阻力的情况下, 由牛顿第二定律 可得
或 (11.9)
方程(11.9)称为无阻尼自由振动的微分方程. 它是一个二阶常系数齐次线性方程.
一克 衰变成半克所需要的时间与一吨 衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.
追迹问题
例2（E02）设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速 向正北行走；甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.
甲追到乙时，即点 的横坐标 此时 即乙行走至离 点 个单位距离时被甲追到.
自由落体问题
例3（E03）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).
解取连结地球中心与该物体的直线为 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点 (如图).设地球的半径为 物体的质量为 物体开始下落时与地球中心的wk.baidu.com离为 在时刻 物体所在位置为 于是速度为 由万有引力定律得微分方程 即 其中 为地球的质量， 为引力常数.
因此， 称为稳态解.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
根据克希霍夫回路电压定律, 有
其中RI为电流在电阻上电降压, 而 (Q为电容器两极板间的电量, 是时间t的函数)为电容在电感上电压降, 则为电流在电感上电压降. 由电学知, 于是方程成为
(11.13)
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程. 若当 时, 已知电量为 和电流为 则我们有初始条件:
此时, 能求出方程(11.13)初vi始问题的解.
即 (11.11)
其中 这个方程称为强迫振动的微分方程, 它是一个二阶常系数非齐次线性微分方程.
下面就三种情形分别讨论物体运动方程的解.
串联电路问题
如图12-11-7是由电阻R、电感L及电容C（其中R,L,C是常数）串联而成的回路, 时合上开关, 接入电源电动势 求电路中任何时刻的电流
例5（E05）在图12-11-7的电路中, 设
且初始电量和电流均为0, 求电量 和电流
解由已知条件知，可得到方程
其特征方程为 特征根
故对应齐次方程的通解为
而非齐次方程的特解可设为
代入方程，并比较系数可得 所以
从而所求方程的通解为
利用初始条件 得到
又
由 得 于是
解 中含有两部分，其中第一部分
即当 充分大时，有
如果物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油、水等)的阻力的作用, 设阻力与质点运动的速度成正比, 且阻力的方向与物体运动方向相反, 则有
其中 (阻尼系数). 从而物体运动满足方程
或 (11.10)
这个方程叫做有阻尼的自由振动微分方程, 它也是一个二阶常系数齐次线性方程.
如果物体在振动过程中所受到的外力除了弹性恢复力与介质阻力之外, 还受到周期性的干扰力
因为当 时， (取负号是因此时加速度的方向与 轴的方向相反).
代入得到 初始条件为
先求物体到达地面时的速度. 由 得
代入并分离变量得
把初始条件代入上式，得 于是
式中令 就得到物体到达地面时得速度为
再求物体落到地面所需的时间.
分离变量得
由条件 得
在上式中令 便得到物体到达地面所需得时间为
弹簧振动问题
例4（E04）设有一个弹簧, 它的一端固定, 另一端系有质量为m的物体, 物体受力作用沿x轴运动, 其平衡位置取为坐标原点(图12-11-3). 如果使物体具有一个初始速度 那么物体便离开平衡位置, 并在平衡位置附近作上下振动. 在此过程中, 物体的位置x随时
解设所求追迹曲线方程为 经过时刻 甲在追迹曲线上的点为 乙在点 于是 (1)
由题设，曲线的弧长 为
解出 代入(1)，得
整理得
追迹问题的数学模型
设 则方程化为
或
两边积分，得
即
将初始条件 代入上式，得 于是
(2)
两边同乘 并化简得
(3)
(2)式与(3)式相加得
两边积分得
代入初始条件 得 故所求追迹曲线为
(2) 追迹问题
(3) 自由落体问题
(4) 弹簧振动问题
(5) 串联电路问题
例题选讲
衰变问题
例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻 的质量.
解用 表示该放射性物质在时刻 的质量，则 表示 在时刻 的衰变速度，依题意得 (1) 它就是放射性元素衰变的数学模型，其中 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间 增加时，质量 减少.
易求出方程(1)的通解为 若已知当 时， 代入通解 中可得 则可得到特解 它反映了某种放射性元素衰变的规律.
注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素 的半衰期约为50亿年；通常的镭 的半衰期为1600年，而镭的另一同位素 的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，
第十一节数学建模—微分方程的应用举例
微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.
分布图示
★ 衰变问题
★ 追迹问题
★ 自由落体问题
★ 弹簧振动问题
★ 串联电路问题
★ 返回
内容要点
(1) 衰变问题
间t变化. 要确定物体的振动规律, 就是要求出函数
解据胡克定律知, 弹簧的弹性恢复力 与弹簧变形 成正比:
其中 (称为弹性系数), 负号表示弹性恢复力与物体位移方向相反. 在不考虑介质阻力的情况下, 由牛顿第二定律 可得
或 (11.9)
方程(11.9)称为无阻尼自由振动的微分方程. 它是一个二阶常系数齐次线性方程.
一克 衰变成半克所需要的时间与一吨 衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.
追迹问题
例2（E02）设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速 向正北行走；甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.
甲追到乙时，即点 的横坐标 此时 即乙行走至离 点 个单位距离时被甲追到.
自由落体问题
例3（E03）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).
解取连结地球中心与该物体的直线为 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点 (如图).设地球的半径为 物体的质量为 物体开始下落时与地球中心的wk.baidu.com离为 在时刻 物体所在位置为 于是速度为 由万有引力定律得微分方程 即 其中 为地球的质量， 为引力常数.
因此， 称为稳态解.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
根据克希霍夫回路电压定律, 有
其中RI为电流在电阻上电降压, 而 (Q为电容器两极板间的电量, 是时间t的函数)为电容在电感上电压降, 则为电流在电感上电压降. 由电学知, 于是方程成为
(11.13)
这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程. 若当 时, 已知电量为 和电流为 则我们有初始条件:
此时, 能求出方程(11.13)初vi始问题的解.