级高数A期末考试题及答案

10级高数A 2期末考

试题及答案 一、填空题（每题3分，共24分） 1. 微分方程054=-'-''y y y 的通解为 x x e C e C y -+=251 .

2.设函数2232y x z -=，则全微分=dz ___ydy xdx 64-______

3．椭球面522222=++z y x 在点（1，1，1）处的切平面方程为___522=++z y x _

4.设积分区域4:22≤+y x D ，则二重积分⎰⎰D

dxdy y x f ),(在极坐标下化为二次积分为

______⎰⎰2

020)sin ,cos (rdr r r f d θθθπ___ 5.设积分区域为11,11,11:≤≤-≤≤-≤≤-z y x Ω，则三重积分⎰⎰⎰=Ω

dxdydz 2____16_____

6.设L 是圆周222=+y x ，则对弧长的曲线积分⎰=+L ds y x )(22____π24_____

7.无穷级数Λ+++=

∑∞=4

332211n n u 的通项=n u __1+n n ___. 8. 函数x x f 211)(+=展开成x 的幂级数为_____ ∑∞=-0

)2(n n n x _____. 二、计算下列各题（每题7分，共63分）

1、求微分方程0)1()1(=+-+dy y dx x 的通解.

解：分离变量：dy y dx x )1()1(+=+

两边积分，得通解 C y y x x ++=+222

121 2、设函数2223cos y x x

y z -+=，求x z ∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2 解：x x y x

y x x y x y x z 6sin 6)(sin 22+=+-⋅-=∂∂ y x

y x y x x y y z 4sin 14)1(sin --=-⋅-=∂∂

)cos (sin 1)1(cos sin 12222x y x y x y x

x x y x y x y x y x z +=⋅+=∂∂∂ 3、设函数()y x x f z -=,3,其中f 是可微函数,求x

z ∂∂，y z ∂∂. 解：213f f x

z +=∂∂， 2f y z -=∂∂ 4、求函数1245),(22+++-=x y xy x y x f 的极值.

求偏导数 2410+-=y x f x ，y x f y 24+-=

令0=x f ，0=y f 解得驻点2,1-=-=y x

求二阶偏导数 10=xx f ，2=yy f ，4-=xy f ，于是有042>=-B AC ，且0>A

所以，在点)2,1(--处，函数取极小值0)2,1(=--f

5、计算二重积分⎰⎰+=

D y x y x I d d )1(2，其中D 是由直线x y =，x y -=2及y 轴所围成的区域.

解：原式=⎰⎰-+x x dy y x dx 2210)1(⎰+--=1032)2222(dx x x x 6

7= 6、计算对坐标的曲线积分

⎰+-+-L dy y x dx y )21()31(，其中L 为从)0,2(A 到)0,2(-B 的上半圆周24x y -=，取逆时针方向. 解：y x Q y P +-=-=21,31

2,3-=∂∂-=∂∂x Q y P ，1=∂∂-∂∂y P x Q 补线：x y L ,0:1=从-2到2

则⎰+-+-1)21()31(L dy y x dx y 42

2==⎰-dx 由格林公式，

π2)21()31(1==+-+-⎰⎰⎰+D L L dxdy dy y x dx y 于是，⎰⎰-=

+11L L L I 42-=π

7．用高斯公式计算积分⎰⎰∑

+++++=dxdy z y dzdx y x dydz z x I )()()(，其中曲面∑为圆柱

面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的圆柱体的整个边界曲面的外侧。

解：z y R y x Q z x P +=+=+=,, ，1,1,1=∂∂=∂∂=∂∂z

R y Q x P 3=∂∂+∂∂+∂∂z

R y Q x P 由高斯公式，原式⎰⎰⎰Ω=

dv 333⋅⋅=ππ9= 8、判断级数∑∞=+⋅13)

1(2n n n n 的敛散性. 解：3

311)1(2)2()1(2lim lim +++=+∞→+∞→n n n n u u n n n n

n n 12)2()1(2lim 32>=++=∞→n n n n 由比值审敛法知，级数发散。 9．求幂级数∑∞

=12n n

n x 的收敛区间. 解：x n

x n x u u n n n n n n =+=+∞→+∞→331

1)1(lim lim 所以，当1

三、（本题9分）某厂要用铁板做成一个体积为38m 的有盖长方体水箱。问当长、宽、高分别取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

解：设水箱的长宽高分别为z y x ,,，则水箱的表面积为xz yz xy S 222++=

题目欲求函数xz yz xy S 222++=在满足条件8=xyz 时的最小值。

令)8(222-+++=xyz xz yz xy L λ，则由022=++=yz z y L x λ，022=++=xz z x L y λ，022=++=xy x y L x λ，08=-=xyz L λ

解得唯一驻点2===z y x

由问题的实际背景知，一定存在最小值。

因此当2===z y x 时，表面积最小，即最省料。

四、（本题4分）证明：无穷级数

∑∞=++-+1)122(n n n n 收敛，且其和为21-

证明：级数的前n 项和为 )122()2324()1223(n n n S n ++-++++-++-=Λ )122()2324()1223(n n n ++-++++-++-=Λ )12()21(+-++-=n n

)21(lim -=∞→n n S 由级数收敛性的定义知，该级数收敛，且其和为21-