高等代数课件线性空间
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沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第六章§2 线性空间的定义与简单性质公开课教学课件
在V 中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：
§2 线性空间的定义与简单性质
§2 线性空间的定义与简单性质
证：设 V,且 0
k 1 ,k 2 P ,k 1 k 2 ,有 k 1,k 2 V
又 k 1－ k 2 (k 1 k 2 ) 0
k1k2.
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
§2 线性空间的定义与简单性质
③ 1 R＋，a 1a1a, a R＋，即1是零元；
④
a
R＋，1
a
R＋，且a
1 a
a
1 a
1
§2 线性空间的定义与简单性质
1
即 a 的负元素是 a ；
⑤ 1 aa1 a; a R＋； ⑥k ( la ) k a l ( a l) k a lk a k l ( k l )a ; ⑦( k l )a a k l a k a l a k a l ( k a ) ( la ) ⑧k ( a b ) k ( a b ) ( a b ) k a k b k a k b k
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： ( a 1 , a 2 ,, a n ) ( b 1 , b 2 ,, b n ) ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ,, a n b n )
k ( a 1 ,a 2 ,,a n ) ( k a 1 ,k a 2 ,,k a n ) ,k P
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：
§2 线性空间的定义与简单性质
§2 线性空间的定义与简单性质
证：设 V,且 0
k 1 ,k 2 P ,k 1 k 2 ,有 k 1,k 2 V
又 k 1－ k 2 (k 1 k 2 ) 0
k1k2.
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
§2 线性空间的定义与简单性质
③ 1 R＋，a 1a1a, a R＋，即1是零元；
④
a
R＋，1
a
R＋，且a
1 a
a
1 a
1
§2 线性空间的定义与简单性质
1
即 a 的负元素是 a ；
⑤ 1 aa1 a; a R＋； ⑥k ( la ) k a l ( a l) k a lk a k l ( k l )a ; ⑦( k l )a a k l a k a l a k a l ( k a ) ( la ) ⑧k ( a b ) k ( a b ) ( a b ) k a k b k a k b k
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： ( a 1 , a 2 ,, a n ) ( b 1 , b 2 ,, b n ) ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ,, a n b n )
k ( a 1 ,a 2 ,,a n ) ( k a 1 ,k a 2 ,,k a n ) ,k P
高等代数课件(北大版)第六章 线性空间§6.2
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即
V ,k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k 与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
f ( x ), g ( x ), h ( x ) P [ x ], k,l P
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
例1 例2
引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P [ x ]n { f ( x ) a n 1 x
k a a
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
定义了一种运算，叫做数量乘法：即
V ,k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k 与 的数量乘积，记为 k . 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
f ( x ), g ( x ), h ( x ) P [ x ], k,l P
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ， 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β 、γ ，则有
0, 0
数学与计算科学学院 2012-9-22§6.2 线性空间的定义与简单性质
例1 例2
引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添
上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘
法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P [ x ]n { f ( x ) a n 1 x
k a a
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
高等数学(高教版)第六章线性空间第五节课件
W1
(x,
y, z)R3
|
x 2
y4 1
z 1
3
;
W2 {(x, y, z) R3 | x y 0 且 x y z 0}.
解 先来判断 W1 . 设 = ( x1 , y1 , z1 ) W1 , 则有 x1 y1 4 z1 1 . 又设 k R , 因为
2 1 3
kx1 ky1 4 kz1 1 ,
不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包 含在条件 1 中，作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此，我们得到
定理 3 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对
于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么W
就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面
我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可
任一极大分无必关要组条都件是是由这它两生个成向的量子组空等间价.
本若请本若请本若请节想本若单请节想本若单请节想本若单内请结节想击本若单内请结节想击本 本若 若单内请 请结节想击本 本容若 若单束内请 请结返节想击本 本容若 若单束内请 请结返节 节想 想击本 本容若 若单 单束内请 请结返节 节已想想本击本容若单单束回内请结返节 节已想想本击本容若单单束回内 内请结 结返节 节已想 想本击 击本容若单 单束回内 内结请结结返堂节已想本击击按本容若单束回内 内结请结结堂返节已想本击击按本容 容若单束 束回内 内结请结 结堂返 返节已想本击 击按容 容束单束束课回内结结堂返返钮节已想本击按容 容束束单束课回内结结堂返返钮节已 已想本 本击按容 容束单束 束课回 回内结结堂返 返钮已 已本本击按,容束束课回回.内结结堂!返钮已 已本本击按,容束束课回回.内结 结结堂 堂!返钮已 已本 本击按 按,容束束课回 回.结 结堂堂!返钮已本按按,容束束课回.结 结堂堂返!钮已本按按,容束 束束课 课回.结 结堂 堂返!钮 钮已本按 按,束 束课课回.结堂!钮钮已本按,束束课课回.结堂!钮钮已本按,,束束课课回..结堂!!钮钮按,,束课..结堂!!钮按,,束课..结堂!!钮按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.5
例6
,2 , ,r V 设V为数域P上的线性空间， 1
令 W { k k k k P , i 1 , 2 , , r } 1 1 2 2 r r i
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
, , , 即 的一切线性 1 2 r 组合所成集合.
2019/3/18
, W , k P , 其次， 3
( x y , x y , , x y , 0 ) W 则有 1 1 2 2 n 1 n 1 3
k ( k x , k x , , k x , 0 ) W 1 2 n 1 3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
2019/3/18
数学与计算科学学院
2、线性子空间的判定
V 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
W , k P ,有 kW
, W , 有 W ;
则W是V的一个子空间．
V ( W ) ,则 推论：V为数域P上的线性空间,W
, W ,, a b P , a b W . W是V的子空间
2019/3/18
数学与计算科学学院
证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 由于 WV ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
2019/3/18
例4
n元齐次线性方程组
a a 1 1x 1 a 1 2x 2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 a x a x a x 0 sn n s1 1 s2 2
高等代数北大版线性空间
引 入 我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量 有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种 向量 ，令 在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与 相应，就 得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设 ：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积 是 V到V 旳1－1相应. 任取 ， V , k P, 有
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义 二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.
第二节线性空间的定义与简单性质ppt课件
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常 的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上 的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多 项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多 项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
§6.2 线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一
数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个
§6.2 线性空间的定义与简单性质
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记 = k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
+ = 0 ( 称为 的负元素) .
线性空间PPT课件
( 1 , … , n ) = ( 1 , … , n ) A 得
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
高等代数第6章线性空间
1集合映射映射2线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质3维数基与坐标基与坐标4基变换与坐标变换基变换与坐标变换5线性子空间线性子空间6子空间的交与和子空间的交与和7子空间的直和子空间的直和8线性空间的同构第第6章章线性空间1集合映射一集合?集合的定义
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
第6章 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
线性空 间
集合· 映射 线性空间的定义与简单性质 维数· 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§1
集合· 映射
一、集合
集合的定义:作为整体看的一堆东西。通
常用大写英文字母A,B,C,…表示。 组成集合的东西叫元素，用小写英文字 母a,b,c,…表示
Rn: 为n维实向量空间 R3: 是3维实向量空间,即通常的几何空间.
例3 Pmn: 数域P上m×n矩阵全体组成的集合 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成P上 线性空间. 例4 C0(a, b): 闭区间 [a, b] 上所有连续函数全 体组成的集合对于函数的加法和数与函数的 乘法，即 (f + g)(x) = f(x) + g(x) (kf)(x) = kf(x) 构成实数域R上的线性空间.
例2
P[x]是无限维线性空间.
例3
线性空间Pn[x]中,1, x, x2, …, xn－1 是一组基,且dim Pn[x] = n． f(x)= a0+a1x ++an-1 xn-1 在这组基下的坐标是(a0, a1,, an-1) 可以证明1, (x-a), (x-a)2,…, (x-a)n－1也是 一组基。 用Taylor公式展开
注
(1)零空间0没有基, 规定其维数为0,
高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.8
得到V到Pn的一个单射
n 1 2
n
: V P , ( a , a , , a ) ( a , a , , a ) , a a a
n
反过来，对于 Pn 中的任一元素
1 2
并且
( ) ( a ,,,) aa , 即
1 12 2
1 2 n
是V中唯一确定的元素， n n
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
2019/3/18
数学与计算科学学院
二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
的 是 V 到 V 2、设 V , V 是数域P上的线性空间，
同构映射，则有 1） 2）
0 0 , .
k k 0 3）因为由 k 1 12 2 r r
( )( ) k ( ) 0 可得 kk 1 1 2 2 rr
反过来，由 kk ( )( ) k ( ) 0 1 1 2 2 rr 可得
数学与计算科学学院
i m V n ,1 , ,, 4）设 d 为V 中任意一组基. 2 n
) , ( ) ,, ( ) 由2）3）知， ( 为 的一组基. 1 2 n
所以 d i md V n i m V .
2019/3/18
数学与计算科学学院
5）首先
n
( k ) ( k a , k a , k a ) k P 1 2 n
k ( a , a ,) a k ( ) , 1 2 n 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
n 1 2
n
: V P , ( a , a , , a ) ( a , a , , a ) , a a a
n
反过来，对于 Pn 中的任一元素
1 2
并且
( ) ( a ,,,) aa , 即
1 12 2
1 2 n
是V中唯一确定的元素， n n
就是一个V到Pn的同构映射，所以 V Pn .
2019/3/18
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二、同构的有关结论
1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.
的 是 V 到 V 2、设 V , V 是数域P上的线性空间，
同构映射，则有 1） 2）
0 0 , .
k k 0 3）因为由 k 1 12 2 r r
( )( ) k ( ) 0 可得 kk 1 1 2 2 rr
反过来，由 kk ( )( ) k ( ) 0 1 1 2 2 rr 可得
数学与计算科学学院
i m V n ,1 , ,, 4）设 d 为V 中任意一组基. 2 n
) , ( ) ,, ( ) 由2）3）知， ( 为 的一组基. 1 2 n
所以 d i md V n i m V .
2019/3/18
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5）首先
n
( k ) ( k a , k a , k a ) k P 1 2 n
k ( a , a ,) a k ( ) , 1 2 n 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.7
引入
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形： 1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
2023/9/15§6.7 子空间的直和
2023/9/15§6.7 子空间的直和
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的， (2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1,a2 ,a3 ) V1 V3 , 都只有唯一分解式： (a1,a2 ,0) (0,0,a3 ).
故 V1 V2是直和.
j 1
i 1,2, , s
2023/9/15§6.7 子空间的直和
" " 假若V1 V2 Vs不是直和, 则零向量还有一个分解式
0 1 2 s , j Vj , j 1,2, , s （*）
在(*)式中，设最后一个不为0的向量是 i , (i s)
则(*)式变为 0 1 2 i ,
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
2023/9/15§6.7 子空间的直和
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间：
x1 x2
xn 0
①
x1 x2
xn
②
证明: Pn V1 V2
证：解齐次线性方程组①，得其一个基础解系
1 (1,0, ,0,1) 2 (0,1, ,0, 1)
1 2 , 1 V1,2 V
是唯一的，和 V1 V2就称为直和，记作 V1 V2 .
注: ① 分解式 1 2 唯一的，意即
高等代数第六章 线性空间
线性空间的维数
定义7 如果在线性空间V中有n个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关的向 量，那么V就称为n维的；如果在V中可以找 到任意多个线性无关的向量，那么V就称为 无限维的。
按照这个定义，几何空间中向量所成的 线性空间是三维的；n元数组所成的空间是n 维的；
由所有实系数多项式所成的线性空间是 无限维的，因为对于任意的N，都有N个线
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里 所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得 多。线性空间有时也称为向量空间。以下我 们经常是用小写的希腊字母 , , ,代表线 性空间V中的元素，用小写的拉丁字母 k,l, p, 代表数域F中的数
线性空间的性质
1.零元素是唯一的。 假设01，02是线性空间V中的两个元素。
（1，0，，0），
显然
2 （0，1，，0），
n (0,0,,1)
是一组基。对每一个向量 (a1, a2,, an ) ，
都有 a11 a22 ann
所以
(a , 1
a 2
,,
a n
)
就是向量
在这组基下的坐
标。不难证明，
1 ' （1，1，，1）， 2 '（0，1，，1）， n ' (0,0,,1)
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
, ,,
1
2
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
最新扬州大学高等代数课件(北大三版)--第六章-线性空间说课讲解精品课件
6
性空间.
线 性
(3) R, kC k 不一定属于 R (例如： 1, k 1 i , 有
空 间
k 1iR 成立)
→
R 非 C 上的线性空间.
第七页，共83页。
高 例5 （1）数域P上一元(yī yuán)多项式环P[x]；
等
（2）P[x]n={f(x)｜əf＜n} ∪{0}.
代
数 证明： (1) P[x]对多项式的加法，数乘运算封闭，且 8 条算律成立
→ P[x]构成 P 上的线性空间. (2) 显然成立.
由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法
6
统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法.
线 性 空 间
第八页，共83页。
高 二. 基本(jīběn)性质
等 代 8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个 数 运算、8条算律为基础推导(tuīdǎo)其它基本
记成 {1,2, ,n} ；
6
是 P117 向量线性相关概念在一般线性空间中的推广.
线 性
定义 3 {1,2 , ,r }与{ 1, 2 , , s }等价
空 { 1,2 , ,r } { 1, 2 , , s }且{ 1, 2 , , s } {1,2 ,
间
记为 {1,2 , ,r } 等价 { 1, 2 , , s }.
线 性
间，Mn×1 = {(a1, a2, , an )/ ai P,i 1,2, ,n}为 P 上 n 元列空
空
间，统一记为 Pn .
间
第五页，共83页。
高 例3
等
C[a,b]={f：[a,b]上连续(liánxù)实 函数}：
线性代数第三章线性空间课件
将线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
amn xn bm
（1）
的系数矩阵按列进行分块， 即 A 1, 2, , n ,
则方程组（１）可以写成
1x1 2 x2 n xn 线性方程组（１）有解当且仅当方程组的常数 项向量可以由其系数矩阵的列向量组线性表出．
并且，定义向量 与 的减法为
( ).
容易验证，向量的加法和数量乘法满足下面8条性质：
1）加法交换律： ；
2）加法结合律：( ) ( ) ；
3）对于任意的 n ，均有 0 ；
4）对于任意的 n，均存在负向量 ，使得
5） 1 ；
( ) 0;
II : 1, 2, , t 线性表出，且线性无关，则有 s t.
推论2 如果 I :1,2 , ,s 与 II : 1, 2, , t 等
价，且两个向量组均线性无关，则有 s t.
推论3 任意 n+1 个 n 维向量均线性相关．
定理5 设向量组 I :1,2 , ,s 线性无关，且
i (a1i , a2i , , ani )T , i 1, 2, , s.
于是，单个向量 组成的向量组线性相关当且仅当
0;
换句话说， 单个向量组 成的向量组线性无关当
且仅当
0.
定理2 如果向量组 I :1,2, ,s 的一个部分组线
性相关，那么这个向量组 I 就线性相关．
这个命题的逆否命题为：
如果向量组 I :1,2, ,s 线性无关，那么它任
何一个部分组也线性无关．
组系数矩阵的列向量组是线性相关的．或者说 齐次线性方程组（３）只有零解当且仅当方程
高等代数-线性空间
负向量存在性
(5) 1 ; (6) a( ) a a ,a K;
数乘与加法的协调
(7) (a b) a b,a,b K;
(8) a(b ) (ab).
线性空间_例
例4 Kmn {A (aij )mn | aij K, i 1,2,..., m, j 1,2,..., n}
(2) 数乘
若k K, (a1, a2 ,L , an ) , 则 k (ka1, ka2 ,L , kan ).
n维向量_3
向量运算规则（八条运算规则）
(1) 加法交换律 ;
0向量存在性
(2) 加法结合律 ( ) ( );
(3) 0,, 0 ; (4) , , 0;
例6. 所有偶数集合是数环, 不是数域.
例7. Q( 3) {a b 3 a,b Q}是数域. Q(3 2) {a b3 2 a,b Q} 不是数域, 是数环. W {a3 2 a Q}不是数环, 也非数域.
命题 任一数域必包含0, 1. 命题 任一数域必包含有理数域Q. 命题 R和C之间不存在任何其他数域.
线性映射和线性变换
线性空间理论的应用
矩阵的秩——对矩阵分类 线性方程组解的结构
目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域和数环 • 熟练掌握线性空间的概念、基本性质； • 正确判断一个集合对于给定的运算是否构
成一个线性空间
集合
➢ 若干个事物的整体称为集合(记作A, B, C等) ➢ 组成集合的事物称为元素(记作a, b, c等) ➢ 集合具有：确定性、互异性、无序性
a11 a22 L amm ,
则称 是1,2 ,L
,
的
m
线性组合,
或称向量 可
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
高等代数--第六章 线性空间
f3(x) x
是否线性相关
f4(x) 5
以上定义是大家过去已经熟悉的，不仅
如此，在第三章中，从这些定义出发对n元
数组所作的那些论证也完全可以搬到数域F
上的抽象的线性空间中来并得出相同的结论。
1.单个向量 是线性相关的充分必要条件
是 。两个以上的向量
线性相
关的 充0分必要条件是其中有1一,个2 ,向,量r 是其余 向量的线性组合。
2.如果向量组
线性无关，而且
可以被
线1,性2 ,表出,，r 那么
。
1
,
2
,,
s
rs
由此推出，两个等价的线性无关的向量
组，必定含有相同个数的向量。
3.如果向量组
1
,
2
,,
r
线性无关，但向
量组
1
,
2
,,
r
,
线性相关，那么
可以被
, ,, 线性表出，而且表法是唯一的。
12
r
对于n元数组所成的向量空间，有n个线性无 关的向量，而任意n+1个向量都是线性相关 的。在一个线性空间中，究竟最多能有几个 线性无关的向量，显然是线性空间的一个重 要属性。我们引入
我们来证01=02。 由于01、 02是零元素，所以 01+02 =01， 01+02 =02
于是 01=01 +02=02。 这就证明了零元素的唯一性。
2.负元素是唯一的。
这就是说，适合条件 0的元素 是被元素 唯一决定的。 假设 有两个负元素 与 ， 0, 0. 那么 0 ( ) ( ) 0 .
定义3 设 1,2 ,,r
(1)
1
,
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证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
⑦ (k l)oa akl akal ak al (k oa) (l oa)
⑧ k o(a b) k o(ab) (ab)k akbk ak bk
(k oa) (k ob);
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
例6 令 V f ( A) f ( x) R[x], A Rnn
即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．
证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
f ( A) g( A) h( A), kf ( A) d( A) 其中，k R, h( x),d( A) R[ x] 又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.
证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
③ 1R＋，a 1 a1 a, a R＋，即1是零元；
④aLeabharlann R＋，1aR＋，且a
1 a
a
1 a
1
1
即 a 的负元素是 a ；
⑤ 1oa a1 a ; a R＋；
⑥ k o(l oa) k oal (al )k alk akl (kl ) oa ;
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ;
∵ (1) 1 (1) (11) 0 0 ∴两边加上－ 即得(1) ; ∵k( ) k k( ) k
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β，使得
; 0
数量乘法满足下列两条规（则 :
⑤ 1
β 称⑥
k(l )
(kl )
数量乘法与加法满足下列为两条规则：
⑦
(k l)
k
l
的 负
⑧
k( ) k k
元
注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
事实上,a, b R , a b ab R ,且 ab唯一确定；
a R ,k R, k oa ak R,且 ak 唯一确定．
其次，加法和数量乘法满足下列算律
① a b ab ba b a
② (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (bc) a (b c)
∴两边加上 k 即得k( ) k k .
4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0, 则 (k 1k ) k 1(k ) k 1 0 0.
练习：
1、P273：习题3 1）2）4） 2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
k oa ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k oa ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1
log
2 2
1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
加法满足下列四条规则： , , V
① ② ( ) ( )
高等代数课件
第六章 线性空间
§6.2 线性空间的定义 与简单性质·
代数与几何教研室
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中
定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ，
在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
例1 引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P[ x]n { f ( x) an1xn1 L a1x a0 an1,L ,a1,a0 P}
例3 数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 用 Pmn 表示．
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a
b
log
b a
以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x) , 则f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数
乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．