集合中的数学思想整体思想
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此时 0 和 4 应为方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 的两个实根，
0 0
+
4 4
= =
− a
2(a + 1
2 −1
1)
1
无解，故此种情况不成立．
综上： a −1．
例 2 设 U = R ， 集 合 A = {x | x2 + 4x + 3 = 0} ， B = {x | x2 + (m +1)x + m = 0} ， 若 (CU A) B = ，则 m 的取值范围是__________． 【分析】集合 A 可求，集合 B 未知，可由 (CU A) B = 确定二者之间的关系， 即： B A ．接下来与例 1 类似地展开讨论即可． 【详解】 解： (CU A) B =
不等式 x2 − 2ax −1 0 的解集为： a − a2 +1 x a + a2 +1
−3 a − a2 +1 0 在数轴上表示集合 A 与集合 B，如下图：
若 A B 中恰含有一个整数，则：
故选 B．
a + a+
a2 +1 2 ，得： 3 a 4
C．[ 3 , +) 4
D． (1, +)
【分析】可利用维恩图表示各个群体所构成的集合，根据集合间的关系作判断．
【详解】
解：对集合 A，解 x2 + 2x − 3 0 得： x −3或 x 1；
对集合 B， a 0
方程 x2 − 2ax −1 = 0 判别式： = 4(a2 +1) 0
求其补集，即是最终的 a 的取值范围，这样有效减少了讨论次数．
【详解】
解：若集合 A 中含有两个元素，则对方程 ax2 + 3x + 2 = 0 有：
=
a0 9 − 8a
0
，得：
a
9 8
且
a
0
若集合 A 中至多有一个元素，则 a 的取值范围是 a = 0 或 a 9 8
例 2 设 I = R ，集合 A = {x | x2 + 4ax − 4a + 3 = 0}， B = {x | x2 + (a −1)x + a2 = 0}，
PM
分类讨论思想
分类讨论是解决含参问题的最一般方法，学生务必熟练掌握。下面是利用分 类讨论解决含参问题的一般步骤：
（1）明确讨论对象．对于含参问题，我们通常是把范围未知（待求）的那 个字母当成参数，即将其当作讨论对象．
（2）确立分类标准．分类标准是我们进行分类讨论的依据。若欲对一实际 问题确立最佳的分类标准，需要我们根据对象的特征发现其中潜在的界线，而所 谓界线其实是一个特殊位置，通常表现出来就是临界条件，我们的分类标准往往 在此之上确立．这里需要注意的是，对某个具体问题我们可能确立不同的分类标 准，据此展开的讨论就可能产生不同的效果，这个非常简便，而那个却异常繁琐， 甚至难以求解。所以确立最佳的分类标准就显得尤为重要，而这往往也是分类讨 论的难点．
【详解】
解：集合 M 与集合 N 在直角坐标系中表示如下：
M N = {(0,3), (4, 0)}
正难则反思想
有这样一则故事：一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来，想用最少的 篱笆围出最大的面积．工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计；物理学家 将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起来半个地球总够大了；数学 家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”．
这个故事很好地体现了“正难则反”的思想．人们习惯的思维方式是正向思 维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题， 若直接从正面分析，可能思路受阻，或者即使有思路，实施起来却也困难重重， 这时不妨突破思维定势而从反面入手，则可能出其不意，收获奇效．
例 1 已知集合 A = {x | ax2 + 3x + 2 = 0} 中至多有一个元素，则实数 a 的取值范围是.
a2 +1 3
4
3
例 3 已 知 集 合 M = {(x, y) | x2 + y2 = 1} ， N = {(x, y) | x + y = 1} ， 则 M N =
16 9
43
________．
【分析】集合 M 与集合 N 中的元素分别是满足椭圆和直线方程的点，故 M N
具有明确的几何含义，表示由两曲线的交点构成的集合．
的元素存在的，故 P M ．
【注意】当一个集合作为另一个集合中的元素存在时，我们认为后者比前者的级
别要高，两集合为从属关系，用“”连接． 【详解】
解： P = {a,b} ， t P
t = 或 t = {a}或 t = {b}或 t = {a, b}
M = ,{a},{b},{a,b}
例 1 设集合 A = 0, 4 ，B = x x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0, x R ．若 B A ，则实数
a 的取值范围是________． 【分析】这是集合中常见的含参问题，通常给出两个集合：一个已知（或可求）， 另一个未知，切入点往往在于未知集合与已知集合之间的关系，可据此确立分类 标准，进而展开讨论．
0个 0 → 0个
解 1个 = 0 → 1个 元素 B A B = {0},{4}
2个 0 → 2个
{0, 4}
【注意】
（1）空集的特殊性．空集是任何集合的子集，所以 B 可以为空．为防止遗漏，
通常优先考虑．
（2） = 0时，a 的值唯一确定，但这仅满足 B 中含有一个元素，还需检验该元
素是否是 0 或 4．
（3） 0时，集合 B 的元素是确定的，即方程的两个解已知，可以直接利用韦
达定理求参．
【详解】 解： B A
（1）若 B = ，
则对 B 中方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 有：
= [2(a +1)]2 − 4(a2 −1)
= 8(a +1) 0
整体思想
集合中的数学思想
从集合的朴素含义来看，集合本质上是我们假定的一个整体，这其实就是整 体思想的体现——当面对众多的研究对象茫茫然毫无头绪时，在某个瞬间我们敏 锐地捕捉到了这些对象所具有的共同特征，从而将其看成一个整体，一个集合就 这样诞生了。
如果我们的研究对象是数或是（直角坐标系上的）点，那它们所构成的集合 就是数集或点集。假如放眼数学之外，我们可以说由诗构成的集合就是诗集，由 小说构成的集合就是小说集，由歌曲构成的集合就是音乐专辑，由士兵构成的集 合就是军队……
分类讨论时思路一定要明确．由于 B A ，所以可根据元素个数将集合 B 的 可能情况分为三类，同时我们注意到集合 B 是由一元二次方程的解所构成的，且 【方程解的个数】与【B 中元素个数】之间是一一对应关系，这种对应关系恰恰 可以利用方程的判别式建立起来，这就给了我们分类的依据，即根据判别式的三 种情况进行分类讨论．之后我们会发现，这样分类既全面，又可减少验证次数．
C = {x | x2 + 2ax − 2a = 0}，若 A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数 a 的取值 范围. 【分析】此题的切入点在于三个集合中“至少有一个不是空集” ．若从正面分 析，粗略可分为三种情况，即三个都不是空集、两个不是空集以及一个不是空集， 但这里需明确哪个为空哪个不为空，还要继续细分，讨论起来将异常之繁琐.因 此，从反面入手解决此题实乃必要之举． 【注意】（1）寻找切入点.当题目中出现“至少”、“至多”、“存在”或“对于任
例 1 已知 P = {a,b} ， M = {t | t P} ，则 P 与 M 的关系为（ ）
A． P M B． PM
C． M P D． P M
【分析】集合 M 的构成元素 t 是集合 P 的子集，即： M 是由集合 P 的子集构成
的集合．而 P 的子集包含其本身，所以从集合 M 所处的级别来看，P 是作为 M
得： a −1 （2）若 B 中含有一个元素，
则对 B 中方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 有：
= 8(a +1)=0 得： a = −1
将 a = −1代入方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 中，得： x2 = 0
即： x = 0 此时集合 B = {0} A ，符合题意． （3）若 B 中含有两个元素，则 B = {0, 4}
数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老又最基本的研究对象，数代表抽象的数学语言， 形则表示具体的几何图形，前者精确，而后者直观。所谓数形结合即是将数与形 有机地结合起来，“以形助数”或“以数解形”。这是抽象思维与形象思维的结合， 化抽象为具体，或化具体为抽象，可使复杂问题简单化，从而优化解题路径．在 集合中，我们常用数形结合解决涉及集合间的关系及运算的问题．
将 m =1代入 x2 + (m +1)x + m = 0 得： x = −1 B = {−1} A ，符合题意． （2）若 B 中含有两个元素，则 B = {−1, −3} = A ，
−1+ (−3) = −(m
(−1) (−3) =
m
+ 1)
，得：
m
=
3
．
综上： m =1或 m = 来自百度文库．
例 1 某班共 30 人，其中15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动， 8 人对这两 项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________． 【分析】可利用维恩图表示各个群体所构成的集合，根据集合间的关系作判断．
【详解】
解：
card (U ) = 30 card (A) = 15 card (B) = 10 card (CU (A B)) = 8 card ( A B) = 22 card ( A B) − card (B) = 22 −10 = 12
B A 对集合 A，解 x2 + 4x + 3 = 0 得： x1 = −1 ， x2 = −3 A = {−1, −3}
对集合 B，方程 x2 + (m +1)x + m = 0 判别式 = (m −1)2 0 方程有解， B （1）若 B 中含有一个元素，
由 = (m −1)2 = 0 得： m =1
（3）逐类展开讨论．根据分类标准，对所有的分类情况逐一进行讨论，不 能有任何遗漏，分别得到阶段性结果．
（4）检验筛选结果．对分类获得的阶段性结果进行检验，所得结果既要满 足问题本身的要求，也要满足对应的分类要求，二者缺一不可．
（5）归纳作出结论．归纳上述所有符合条件的结果，即对其取并集，作出 结论。
分级思想
同一些元素，若从不同的角度去看，可能具有不止一种共同特征，进而则分 属于不同的集合，如：1,3,5,7，它们既属于奇数集，又属于整数集，当然也属于 有理数集……
而一个集合，若从更高的层面上看，可能成为另一个集合中的元素。比如： 整数集是由所有的整数构成的集合，在同一层面上与之对立的是分数集，而整数 和分数都可以精确地表示成两个整数的比，这是它们具有的共同特征，因而又可 以把它们看作一个整体，即构成一个新的集合——有理数集，这时整数集和分数 集就是作为有理数集中的元素存在的。由此我们不难生出“分级”的观念，可以 认为有理数集的级别要比整数集要高。
【分析】对于此类含参问题，可采用一般方法——分类讨论进行求解．集合 A 是
由方程 ax2 + 3x + 2 = 0 的解所构成的，根据解的不同情况，集合 A 的元素个数有
三种可能，分别是 0 个、1 个、2 个，由于“至多有一个元素”，则需讨论 0 个和
1 个这两种情况．
但此题可考虑从反面切入，即由集合 A 中含 2 个元素求出 a 的取值范围，再
同样，在有理数集这个层面上，与之对立的是无理数集，若从更高的层面上 看，它们又都是实数集中的元素。而实数集又和虚数集共同构成了新的集合—— 复数集。至此，我们已经得到了在传统观念下最高级别的数集。在我们眼前俨然 出现一个等级森严的数字王国，复数就是这个封建国度的君王。
这是集合中分级思想的体现。类似的例子还有，比如我们熟悉的生物的分类 等级：域、界、门、纲、目、科、属、种……
喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人．
例 2 设集合 A = {x | x2 + 2x − 3 0}，集合 B = {x | x2 − 2ax −1 0, a 0}，若 A B 中
恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． (0, 3) 4
B．[ 3 , 4] 43
0 0
+
4 4
= =
− a
2(a + 1
2 −1
1)
1
无解，故此种情况不成立．
综上： a −1．
例 2 设 U = R ， 集 合 A = {x | x2 + 4x + 3 = 0} ， B = {x | x2 + (m +1)x + m = 0} ， 若 (CU A) B = ，则 m 的取值范围是__________． 【分析】集合 A 可求，集合 B 未知，可由 (CU A) B = 确定二者之间的关系， 即： B A ．接下来与例 1 类似地展开讨论即可． 【详解】 解： (CU A) B =
不等式 x2 − 2ax −1 0 的解集为： a − a2 +1 x a + a2 +1
−3 a − a2 +1 0 在数轴上表示集合 A 与集合 B，如下图：
若 A B 中恰含有一个整数，则：
故选 B．
a + a+
a2 +1 2 ，得： 3 a 4
C．[ 3 , +) 4
D． (1, +)
【分析】可利用维恩图表示各个群体所构成的集合，根据集合间的关系作判断．
【详解】
解：对集合 A，解 x2 + 2x − 3 0 得： x −3或 x 1；
对集合 B， a 0
方程 x2 − 2ax −1 = 0 判别式： = 4(a2 +1) 0
求其补集，即是最终的 a 的取值范围，这样有效减少了讨论次数．
【详解】
解：若集合 A 中含有两个元素，则对方程 ax2 + 3x + 2 = 0 有：
=
a0 9 − 8a
0
，得：
a
9 8
且
a
0
若集合 A 中至多有一个元素，则 a 的取值范围是 a = 0 或 a 9 8
例 2 设 I = R ，集合 A = {x | x2 + 4ax − 4a + 3 = 0}， B = {x | x2 + (a −1)x + a2 = 0}，
PM
分类讨论思想
分类讨论是解决含参问题的最一般方法，学生务必熟练掌握。下面是利用分 类讨论解决含参问题的一般步骤：
（1）明确讨论对象．对于含参问题，我们通常是把范围未知（待求）的那 个字母当成参数，即将其当作讨论对象．
（2）确立分类标准．分类标准是我们进行分类讨论的依据。若欲对一实际 问题确立最佳的分类标准，需要我们根据对象的特征发现其中潜在的界线，而所 谓界线其实是一个特殊位置，通常表现出来就是临界条件，我们的分类标准往往 在此之上确立．这里需要注意的是，对某个具体问题我们可能确立不同的分类标 准，据此展开的讨论就可能产生不同的效果，这个非常简便，而那个却异常繁琐， 甚至难以求解。所以确立最佳的分类标准就显得尤为重要，而这往往也是分类讨 论的难点．
【详解】
解：集合 M 与集合 N 在直角坐标系中表示如下：
M N = {(0,3), (4, 0)}
正难则反思想
有这样一则故事：一位农夫请了物理学家、工程师和数学家来，想用最少的 篱笆围出最大的面积．工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计；物理学家 将篱笆拉成一条直线，假设篱笆有无限长，认为围起来半个地球总够大了；数学 家一声不响地用很少的篱笆把自己围起来，说道：“我现在是在外面”．
这个故事很好地体现了“正难则反”的思想．人们习惯的思维方式是正向思 维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题， 若直接从正面分析，可能思路受阻，或者即使有思路，实施起来却也困难重重， 这时不妨突破思维定势而从反面入手，则可能出其不意，收获奇效．
例 1 已知集合 A = {x | ax2 + 3x + 2 = 0} 中至多有一个元素，则实数 a 的取值范围是.
a2 +1 3
4
3
例 3 已 知 集 合 M = {(x, y) | x2 + y2 = 1} ， N = {(x, y) | x + y = 1} ， 则 M N =
16 9
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________．
【分析】集合 M 与集合 N 中的元素分别是满足椭圆和直线方程的点，故 M N
具有明确的几何含义，表示由两曲线的交点构成的集合．
的元素存在的，故 P M ．
【注意】当一个集合作为另一个集合中的元素存在时，我们认为后者比前者的级
别要高，两集合为从属关系，用“”连接． 【详解】
解： P = {a,b} ， t P
t = 或 t = {a}或 t = {b}或 t = {a, b}
M = ,{a},{b},{a,b}
例 1 设集合 A = 0, 4 ，B = x x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0, x R ．若 B A ，则实数
a 的取值范围是________． 【分析】这是集合中常见的含参问题，通常给出两个集合：一个已知（或可求）， 另一个未知，切入点往往在于未知集合与已知集合之间的关系，可据此确立分类 标准，进而展开讨论．
0个 0 → 0个
解 1个 = 0 → 1个 元素 B A B = {0},{4}
2个 0 → 2个
{0, 4}
【注意】
（1）空集的特殊性．空集是任何集合的子集，所以 B 可以为空．为防止遗漏，
通常优先考虑．
（2） = 0时，a 的值唯一确定，但这仅满足 B 中含有一个元素，还需检验该元
素是否是 0 或 4．
（3） 0时，集合 B 的元素是确定的，即方程的两个解已知，可以直接利用韦
达定理求参．
【详解】 解： B A
（1）若 B = ，
则对 B 中方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 有：
= [2(a +1)]2 − 4(a2 −1)
= 8(a +1) 0
整体思想
集合中的数学思想
从集合的朴素含义来看，集合本质上是我们假定的一个整体，这其实就是整 体思想的体现——当面对众多的研究对象茫茫然毫无头绪时，在某个瞬间我们敏 锐地捕捉到了这些对象所具有的共同特征，从而将其看成一个整体，一个集合就 这样诞生了。
如果我们的研究对象是数或是（直角坐标系上的）点，那它们所构成的集合 就是数集或点集。假如放眼数学之外，我们可以说由诗构成的集合就是诗集，由 小说构成的集合就是小说集，由歌曲构成的集合就是音乐专辑，由士兵构成的集 合就是军队……
分类讨论时思路一定要明确．由于 B A ，所以可根据元素个数将集合 B 的 可能情况分为三类，同时我们注意到集合 B 是由一元二次方程的解所构成的，且 【方程解的个数】与【B 中元素个数】之间是一一对应关系，这种对应关系恰恰 可以利用方程的判别式建立起来，这就给了我们分类的依据，即根据判别式的三 种情况进行分类讨论．之后我们会发现，这样分类既全面，又可减少验证次数．
C = {x | x2 + 2ax − 2a = 0}，若 A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数 a 的取值 范围. 【分析】此题的切入点在于三个集合中“至少有一个不是空集” ．若从正面分 析，粗略可分为三种情况，即三个都不是空集、两个不是空集以及一个不是空集， 但这里需明确哪个为空哪个不为空，还要继续细分，讨论起来将异常之繁琐.因 此，从反面入手解决此题实乃必要之举． 【注意】（1）寻找切入点.当题目中出现“至少”、“至多”、“存在”或“对于任
例 1 已知 P = {a,b} ， M = {t | t P} ，则 P 与 M 的关系为（ ）
A． P M B． PM
C． M P D． P M
【分析】集合 M 的构成元素 t 是集合 P 的子集，即： M 是由集合 P 的子集构成
的集合．而 P 的子集包含其本身，所以从集合 M 所处的级别来看，P 是作为 M
得： a −1 （2）若 B 中含有一个元素，
则对 B 中方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 有：
= 8(a +1)=0 得： a = −1
将 a = −1代入方程 x2 + 2(a +1) x + a2 −1 = 0 中，得： x2 = 0
即： x = 0 此时集合 B = {0} A ，符合题意． （3）若 B 中含有两个元素，则 B = {0, 4}
数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老又最基本的研究对象，数代表抽象的数学语言， 形则表示具体的几何图形，前者精确，而后者直观。所谓数形结合即是将数与形 有机地结合起来，“以形助数”或“以数解形”。这是抽象思维与形象思维的结合， 化抽象为具体，或化具体为抽象，可使复杂问题简单化，从而优化解题路径．在 集合中，我们常用数形结合解决涉及集合间的关系及运算的问题．
将 m =1代入 x2 + (m +1)x + m = 0 得： x = −1 B = {−1} A ，符合题意． （2）若 B 中含有两个元素，则 B = {−1, −3} = A ，
−1+ (−3) = −(m
(−1) (−3) =
m
+ 1)
，得：
m
=
3
．
综上： m =1或 m = 来自百度文库．
例 1 某班共 30 人，其中15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动， 8 人对这两 项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________． 【分析】可利用维恩图表示各个群体所构成的集合，根据集合间的关系作判断．
【详解】
解：
card (U ) = 30 card (A) = 15 card (B) = 10 card (CU (A B)) = 8 card ( A B) = 22 card ( A B) − card (B) = 22 −10 = 12
B A 对集合 A，解 x2 + 4x + 3 = 0 得： x1 = −1 ， x2 = −3 A = {−1, −3}
对集合 B，方程 x2 + (m +1)x + m = 0 判别式 = (m −1)2 0 方程有解， B （1）若 B 中含有一个元素，
由 = (m −1)2 = 0 得： m =1
（3）逐类展开讨论．根据分类标准，对所有的分类情况逐一进行讨论，不 能有任何遗漏，分别得到阶段性结果．
（4）检验筛选结果．对分类获得的阶段性结果进行检验，所得结果既要满 足问题本身的要求，也要满足对应的分类要求，二者缺一不可．
（5）归纳作出结论．归纳上述所有符合条件的结果，即对其取并集，作出 结论。
分级思想
同一些元素，若从不同的角度去看，可能具有不止一种共同特征，进而则分 属于不同的集合，如：1,3,5,7，它们既属于奇数集，又属于整数集，当然也属于 有理数集……
而一个集合，若从更高的层面上看，可能成为另一个集合中的元素。比如： 整数集是由所有的整数构成的集合，在同一层面上与之对立的是分数集，而整数 和分数都可以精确地表示成两个整数的比，这是它们具有的共同特征，因而又可 以把它们看作一个整体，即构成一个新的集合——有理数集，这时整数集和分数 集就是作为有理数集中的元素存在的。由此我们不难生出“分级”的观念，可以 认为有理数集的级别要比整数集要高。
【分析】对于此类含参问题，可采用一般方法——分类讨论进行求解．集合 A 是
由方程 ax2 + 3x + 2 = 0 的解所构成的，根据解的不同情况，集合 A 的元素个数有
三种可能，分别是 0 个、1 个、2 个，由于“至多有一个元素”，则需讨论 0 个和
1 个这两种情况．
但此题可考虑从反面切入，即由集合 A 中含 2 个元素求出 a 的取值范围，再
同样，在有理数集这个层面上，与之对立的是无理数集，若从更高的层面上 看，它们又都是实数集中的元素。而实数集又和虚数集共同构成了新的集合—— 复数集。至此，我们已经得到了在传统观念下最高级别的数集。在我们眼前俨然 出现一个等级森严的数字王国，复数就是这个封建国度的君王。
这是集合中分级思想的体现。类似的例子还有，比如我们熟悉的生物的分类 等级：域、界、门、纲、目、科、属、种……
喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人．
例 2 设集合 A = {x | x2 + 2x − 3 0}，集合 B = {x | x2 − 2ax −1 0, a 0}，若 A B 中
恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． (0, 3) 4
B．[ 3 , 4] 43