初中数学认识三角形

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初中七年级上册数学认识三角形(基础)知识讲解

认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类；4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段．②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数．②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数．③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形.②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.③ 直角三角形：有一个内角是直角的三角形. “直角三角形”用符号“Rt △”表示，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边. 两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形也叫做正三角形. 要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个点叫做三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB 于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是三角形．【答案】直角【解析】解：设三角分别为2x，3x，5x，依题意得2x+3x+5x=180°，解得x=18°．故三角36°，54°，90°．故填直角．【总结升华】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中最大内角的度数，便可判断出此三角形的形状.举一反三：【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形．A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断【答案】C类型三、三角形的三边关系4. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值．【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能构成三角形．举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b .举一反三：【变式】（2015•杭州模拟）已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（）A. 12B. 11 C . 8 D. 3 【答案】C ．类型四、三角形中重要线段6. （2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）A. B.C. D.【答案】A；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1。

初中数学人教八年级上册第十一章三角形-三角形的边

课堂小结
三角形
定义及其基本要素
分类
顶点、角、边
按角分类
不重不漏
按边分类分类
原理两点之间线段最短
三边关系内容应用
两边之和大于第三边两边之差小于第三边
|a-b|<x<a+b (a>b,x为第三边）
由此可以得到：A CBC AB
A BBC AC AC AB BC
议一议 1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么
大小关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么大小关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？
归纳总结
三角形两边的和大于第三边. 三角形两边的差小于第三边.
拓展提升
6.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c| ＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0. ∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b| ＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b ＝3c＋a－b.
典例精析例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7<8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时，由于 5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形.
形的角.
记法：三角形ABC用符号表示_△__A_B_C___.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字

初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定

初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定初中数学知识归纳: 相似与全等三角形的判定在初中数学中，相似与全等三角形的判定是常见的几何问题。

通过对相似与全等三角形的认识和判定，我们可以解决很多与三角形有关的问题。

本文将对相似与全等三角形的判定进行归纳总结，并提供一些相关的例题分析。

通过阅读本文，希望可以帮助大家更好地理解和应用这一重要的数学知识点。

一、相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

相似三角形的判定条件主要有以下几种：1. AAA相似判定法当两个三角形的对应角度相等时，我们可以判定它们为相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个内角相对应分别相等，即三个对应角度分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE, ∠BAC = ∠EDF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

2. AA相似判定法当两个三角形的两个对应角度相等，并且它们的对应两边成比例时，我们可以判定它们为相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的两个对应角分别相等，并且两个对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠BAC = ∠DFE，并且 AB/DE =BC/EF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

3. SSS相似判定法当两个三角形的对应边的比值相等时，我们可以判定它们为相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

二、全等三角形的判定全等三角形是指形状和尺寸都完全相同的两个三角形。

全等三角形的判定条件主要有以下几种：1. SSS全等判定法当两个三角形的三个对应边的长度完全相等时，我们可以判定它们为全等三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个对应边长度分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

初中数学_1认识三角形教学设计学情分析教材分析课后反思

第四章三角形1认识三角形（第1课时）一、教材分析本节课是北师大版七年级下册第四章第一节的第一课时，在小学初步认识三角形的基础上，进一步了解三角形的表示方法，认识三角形的各组成要素，理解三边关系，也是今后学习三角形其它性质的基础。

根据具体的教学内容将采取以学生自主探究为主，教师适时引导相结合的方法，让学生在学中乐，乐中学的氛围中完成教学任务。

三角形内角和性质是平面几何最基本的性质之一，能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题。

三角形的学习在研究其他几何图形和解决实际问题中有着广泛的应用，因此探索和掌握三角形内角和的性质能帮助学生更好地认识现实世界，并且能运用直角三角形两锐角互余的性质解决简单的问题。

会按角的大小关系对三角形分类，能判断出给定三角形的形状，建立初步的空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。

二、学情分析1、学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了有关三角形的一些初步知识，对三角形内角和为180度和三角形的分类已有了解，能在生活中抽象出三角形的几何图形，并能大致的说出三角形的简单概念.但不够严密，教师要在教学中指出，并要强调三角形概念的要点.学生在第二章对两直线平行的条件以及平行线的性质进行了探索，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能．2、学生的活动经验基础：在活动经验上，小学四年级学生就是通过拼摆的方式来认识三角形的。

通过前面的学习，学生对拼摆、测量、交流等活动已积累了一定的经验，具备了一定的合作交流能力和合情推理能力。

三、教学目标1.知识与技能结合具体实例，经历从现实生活中抽象出几何模型的过程，进一步认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形的三边关系,并能初步运用三边关系解决简单的实际问题，经历观察﹑操作﹑分析﹑归纳等一系列活动,发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力。

2.过程与方法通过动手实践、自主探索，培养学生自主学习的能力；通过师生互动探究，培养学生合作交流的能力。

北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形课件(共65张PPT)

1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形锐角三角形:三个角都是锐角的三角形钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共边是AC.
1 认识三角形
知识点二三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直直角三角形
线)的交
点位置钝角三角形
交点在三角形内交点在直角顶点处交点在三角形外
三条中线交于三角形内一点(这一点称为三角形的重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段的位置
锐角三角形直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全在三角形内
三角形内一条,三角形外两条

初二数学三角形的要点

初二数学：三角形第一部分：三角形的相关概念一、知识点讲解：1．三角形的定义：注意从三个方面理解。

⑴三点不在同一直线上；⑵三条线段；⑶首尾顺次相接。

2．三角形中“三线”的几种表示法：⑴三角形的角平分线：如图1所示，①AD是三角形ABC的平分线；②AD平分∠BAC交BC于D；③∠BAD=∠DAC=1/2∠BAC。

④∠BAC=2∠BAD=2∠DAC。

⑵三角形的中线：如图2所示，①AM是ΔABC的中线；②AM是ΔABC中BC边上的中线；③点M是BC边的中点；④BM=MC。

⑶三角形的高线：如图3所示，①AD是ΔABC的高；②AD是ΔABC中BC边上的高；③AD垂直于BC。

垂足为D；④∠ADB=∠ADC=90°。

3. 概念区分：⑴三角形的角平分线与一个角的平分线的区别和联系。

联系：都把一个角分成了两个相等的角。

区别：前者是线段，后者是射线。

⑵三角形的中线和三角形的高均是线段。

⑶三角形的高与三角形一边上的垂线的区别、联系。

联系：所构成的∠ADC=∠ADB=∠EFB=∠EFC=90°区别：前者是线段AD。

后者是直线EF，不一定过顶点A。

⑷每个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高。

它们都分别相交于一点，三条角平分线的交点、三条中线的交点都在三角形内部。

锐角三角形的三条高线在三角形内，因此交点在三角形内部。

直线三角线的两条高线恰好是它的两条直角边，因此交点在直角顶点上。

钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，交点在三条高线的延长线上。

二、例题与分析：例1．如图：⑴图中共有_________个三角形；⑵∠B是ΔABD中__________的对角，又分别是ΔABE、ΔABC中______、________的对角；⑶∠AEB的对边是________,分别在三角形________中；⑷AB分别是ΔABE、ΔABD中________、_______的夹边。

分析：数三角形是初中常见题，其方法很多。

大致规律是：定一边找另一顶点；或先定一点依次找另两个顶点。

三角形的分类是人教版几年级的内容

三角形是初中数学中的基础知识，而在人教版的教材中，从七年级开始就开始涉及了三角形的分类。

在人教版七年级数学教材中，主要涉及了直角三角形、等腰三角形、等边三角形等基本概念和性质。

在八年级数学教材中，则会更加深入地讲解各种三角形的性质和相关定理，如中线定理、角平分线定理等。

而在九年级数学教材中，会进一步学习三角形的相似性质、共线定理等更加抽象和深入的概念。

下面，我们将具体讨论在人教版七至九年级数学教材中，三角形的分类及相关内容。

一、七年级数学教材中的三角形分类1. 直角三角形在七年级数学教材中，直角三角形是最基本的三角形之一。

通过学习，学生会了解到直角三角形的定义、性质等概念。

也会学习到勾股定理的应用，从而深入理解直角三角形的特点和定理。

2. 等腰三角形另外一个重要的三角形分类是等腰三角形。

在七年级数学教材中，学生将学习到等腰三角形的定义、性质以及相关定理。

通过大量的练习，学生可以掌握等腰三角形在平面几何中的应用。

3. 等边三角形等边三角形也是七年级数学教材中涉及到的重要内容之一。

学生将学习到等边三角形的定义、性质以及相关定理，从而加深对等边三角形的认识和理解。

二、八年级数学教材中的三角形分类1. 中线定理在八年级数学教材中，学生将进一步学习三角形的分类及相关的定理和性质。

其中，中线定理是一个重要的定理之一。

通过学习中线定理，学生可以进一步了解中线与三角形的关系，以及中线在三角形中的性质和应用。

2. 角平分线定理另外一个重要的定理是角平分线定理。

学生将学习到角平分线的性质及在三角形中的应用，从而提高对三角形性质的理解和运用能力。

三、九年级数学教材中的三角形分类1. 三角形的相似性质在九年级数学教材中，学生将学习到更加复杂和抽象的三角形分类及相关定理。

其中，三角形的相似性质是一个重要的内容。

通过学习三角形的相似性质，学生可以进一步了解三角形的特点和规律，从而在解决实际问题时进行应用。

2. 共线定理另外一个重要的定理是共线定理。

初中数学认识三角形-重难点题型解析版

认识三角形-重难点题型【浙教版】【题型1 三角形的分类】【例1】（2020秋•无棣县期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．【解答】解：三角形根据边分类{不等边三角形等腰三角形{两边相等的三角形三边相等的三角形(等边三角形)，∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．【变式1-1】（2020秋•交城县期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．0【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．综上所述，正确的结论2个．故选：B．【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．【变式1-2】（2020春•淮阳区期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形的分类判断即可．【解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原命题是真命题；（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原命题是假命题；（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原命题是假命题；故选：A．【点评】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答．【变式1-3】（2020春•长春期末）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）A．都是锐角三角形B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个锐角三角形和一个钝角三角形【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【题型2 三角形的计数问题】【例2】（2020秋•恩施市期中）图中锐角三角形的个数有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先找出以A 为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E 为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角三角形相加即可．【解答】解：①以A 为顶点的锐角三角形△ABC 、△ADC 共2个；②以E 为顶点的锐角三角形：△EDC ，共1个；所以图中锐角三角形的个数有2+1＝3（个）；故选：B ．【点评】本题考查了三角形．数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n 个点，那么就有n(n−1)2条线段，也可以与线段外的一点组成n(n−1)2个三角形．【变式2-1】（2020秋•齐河县期末）如图，共有个三角形．【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数．【解答】解：图中有：△OAB ，△OAC ，△OAD ，△OBC ，△OCD ，△OBD ，共6个．故答案为：6．【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏．【变式2-2】（2020春•江都区期中）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，那么图中以AD 为高的三角形共有个．【分析】由于AD ⊥BC 于D ，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB 上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．【变式2-3】（2020秋•潮阳区期末）如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形个．【分析】根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，即第n 个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21．注意规律：后面的图形比前面的多4个．【解答】解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21，故答案为：21．【点评】注意正确发现规律，根据规律进行计算．长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【题型3 三角形三边关系的应用】【例3】（2021春•青浦区期中）如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（）A．10B．13C．14D．15【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，得到三角形的周长的范围，判断即可．【解答】解：∵三角形的两边长为2和5，∴第三边x的长度范围是5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+2+7，即10＜a＜14，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．【变式3-1】（2020秋•仓山区期末）某木材市场上木棒规格与对应价格如下表：规格1m2m3m4m5m6m价格（元/根）101520253035小明的爷爷要做一个三角形木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到该木材市场购买一根木棒．则小明的爷爷至少带的钱数应为（）A．10B．15C．20D．25【分析】根据三角形的三边关系可得5﹣2＜x＜5+2，再解出不等式可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度，然后根据木棒价格可直接选出答案．【解答】解：设第三根木棒的长度为xm，根据三角形的三边关系可得：5﹣2＜x＜5+2，解得2＜x＜8，x＝3，4，5，6，7，共5种选择，根据木棒的价格可得选3m最省钱，所以小明的爷爷至少带的钱数应为20元，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．【变式3-2】（2021春•九龙坡区校级月考）设a，b，c是△ABC的三边的长，化简√(a−b−c)2−|a﹣b+c|−√(c+a+b)2的结果是．【分析】可根据三角形的性质：两边之和大于第三边．依此对原式进行去根号和去绝对值．【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a＜b+c，a+c＞b，∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，c+a+b＞0，∴原式＝b+c﹣a﹣a+b﹣c﹣a﹣b﹣c＝﹣3a+b﹣c，故答案为：﹣3a+b﹣c．【点评】本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于第三边去根号和去绝对值解答．【变式3-3】（2021春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为，能构成三角形的截法共有种．（只考虑三段木棍的长度）【分析】已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．【解答】解：∵木棍的长度为20厘米，即三角形的周长为20厘米，∴①当三角形的最长边为9厘米时，有4种截法，分别是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；②当三角形的最长边为8厘米时，有3种截法，分别是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘米；8厘米，6厘米，6厘米；③当三角形的最长边为7厘米时，有1种截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；∴能构成三角形的截法共有4+3+1＝8种．故答案为：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8．【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力，注意不能构成三角形的情况一定要排除．【题型4 三角形三边关系的证明】【例4】（2020秋•安庆期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：（1）BD+CD＜AB+AC；（2）AD+BD+CD＜AB+BC+AC．【分析】（1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题；（2）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）延长BD交AC于E，在△ABE中，有AB+AE＞BE，在△EDC中，有ED+EC＞CD，∴AB+AE+ED+EC＞BE+CD，∵AE+EC＝AC，BE＝BD+DE，∴AB+AC+ED＞BD+DE+CD，∴AB+AC＞BD+CD；（2）由（1）同理可得：AB+BC＞AD+CD，BC+AC＞BD+AD，AB+AC＞BD+CD，∴2（AB+BC+AC）＞2（AD+BD+CD），∴AB+BC+AC＞AD+BD+CD．【点评】考查了三角形的三边关系，不等式的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．【变式4-1】（2020秋•西林县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．试比较DA+DB+DC与12（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程．【分析】由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC，∠ACD＝∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12（∠ABC+∠ACB）=12×110°＝55°，∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣55°＝125°；（2）DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC），理由如下：在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB①，同理：DB+DC＞BC②，DA+DC＞AC③，①+②+③得：2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，∴DA+DB+DC＞12（AB+BC+AC）．【点评】本题考查了三角形的三边关系以及角平分线的定义等知识；熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【变式4-2】（2020秋•朝阳期中）如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP．【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论．【解答】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△PDC中，CD+PD＞PC，∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC∴AB+AC＞BP+CP．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键．【变式4-3】（2020秋•九龙坡区校级月考）已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．【分析】由三角形的三边关系可得BD﹣BC＜AD﹣AC，即可得结论．【解答】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD，∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，∴BD﹣BC＜AD﹣AB，【点评】本题考查了三角形三边关系，熟练运用三角形的三边关系可求解．【例5】（2020秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．【变式5-1】（2021春•郫都区校级期中）下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线的判定和性质进行分析即可．【解答】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；其中说法正确的有2个，故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的高、平行线的判定和性质，关键是注意点到直线的距离的定义．【变式5-2】（2021春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线是射线B．过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线C．锐角三角形的三条高交于一点D．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．【解答】解：A．三角形的角平分线是线段，故A不符合题意；B．三角形的中线是线段，故B不符合题意；C．锐角三角形的三条高交于一点说法正确，故C符合题意；D．锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形的角平分线，三角形的中线，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的高、角平分线、中线的概念．【变式5-3】（2020秋•昆明期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△EBC的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．BC是△ABE的高【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．【题型6 利用三角形的中线解决周长问题】【例6】（2021春•盐田区校级期中）如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为．【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，∵△ACD的周长28cm，∴AC+AD+CD＝28（cm），∵AC＝10cm，∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），∵AB＝13cm，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝41（cm），故答案为：41cm．【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式6-1】（2020秋•安徽期中）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，则边AC的长为．【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再根据AC+CD＝60，AB+BD＝40，即可得出x和y的值．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，∵AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．故答案为：48cm．【点评】本题考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．【变式6-2】（2020春•双阳区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝10②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．【点评】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，根据周长的差得出边AB与AC的差等于4是解题的关键．【变式6-3】（2021春•靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，求线段AE的长．【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE长为1cm或3cm．【点评】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．【题型7 利用三角形的中线解决面积问题】【例7】（2021春•徐州期中）如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，∵E是BD的中点，∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE=12S△ABC，∴△ABC的面积＝12cm2．故选：D．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．【变式7-1】（2021春•东台市月考）如图，△ABC的面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，则图中四边形EDCF的面积等于（）A．50B．55C．60D．65【分析】连接CE，由△ABC面积为280cm2，AE＝ED，BD＝3DC，可求出△ABD，△ADC的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出△ABE、△BEC，△AEC的面积，从而得到△ABE与△BEC的高之比为3：4，亦即△AEF与△CEF的高之比，进而得到△CEF的面积，最后求出四边形EDCF的面积．【解答】解：连接CE，如图．∵△ABC的面积为280cm2，BD＝3DC，∴S△ADC＝280×14=70cm2，S△ABD=280×34=210cm2．又AE＝DE，∴S△ABE＝S△BDE=12×210=105cm2，∴S△AEC＝S△DEC=12×70=35．∴S△BEC＝S△BDE+S△DEC＝140，∴△ABE与△BEC面积比为105：140＝3：4，∴△ABE与△BEC高之比为3：4，即△AEF与△CEF的高之比为3：4，∴S△CEF=47S△AEC=47×35=20，∴四边形EDCF的面积为S△DEC+S△CEF＝35+20＝55．故选：B．【点评】本题考查三角形的面积计算，关键是弄清楚各部分面积之比．利用底一定时，三角形面积与高成正比的性质进行推理解答．【变式7-2】（2021春•碑林区校级期中）如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（）A．4B．6C．8D．16【分析】连接AE，由F为BE中点可得S△ABE＝4，又由E为CD中点可得S△ADE=12S△ADC，S△BDE=12S△BDC，从而S△ABE＝S△ADE+S△BDE=12（S△ADC+S△BDC）=12S△ABC＝4，即可得到答案．【解答】解：连接AE，如图．∵F为BE中点，S△ABF＝2，∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，又E为CD中点，∴S△ADE=12S△ADC，S△BDE=12S△BDC，∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE =12S△ADC+12S△BDC=12（S△ADC+S△BDC）=12S△ABC＝4，故S△ABC＝8．故选：C．【点评】本题考查吧三角形的面积计算，熟悉三角形中，同底不等高的三角形面积比为高之比、同高不等底的三角形面积比为底之比是解题关键．【变式7-3】（2021春•常熟市期中）如图，点D ，E 分别是△ABC 边BC ，AC 上一点，BD ＝2CD ，AE ＝CE ，连接AD ，BE 交于点F ，若△ABC 的面积为18，则△BDF 与△AEF 的面积之差S △BDF ﹣S △AEF 等于（）A ．3B ．185C ．92D ．6【分析】由△ABC 的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得．【解答】解：∵S △ABC =12BC •h BC =12AC •h AC ＝18，∴S △ABC =12（BD +CD ）•h BC =12（AE +CE ）•h AC ＝18，∵AE ＝CE =12AC ，S △AEB =12AE •h AC ，S △BCE =12EC •h AC ，∴S △AEB ＝S △CEB =12S △ABC =12×18＝9，即S △AEF +S △ABF ＝9①，同理：∵BD ＝2CD ，BD +CD ＝BC ，∴BD =23BC ，S △ABD =12BD •h BC ，∴S △ABD =23S △ABC =23×18＝12，即S △BDF +S △ABF ＝12②，①﹣②得：S △BDF ﹣S AEF ＝（S △BDF +S △ABF ）﹣（S △AEF +S △ABF ）＝12﹣9＝3，故选：A ．【点评】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．【题型8 与三线有关的角度计算】【例8】（2020秋•蚌埠期末）如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义和已知得到∠BAD＝∠DAC，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝40°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、角平分线的定义是解题的关键．【变式8-1】（2021春•碑林区校级期中）如图，AD，AE为△ABC的高线，角平分线，DF ⊥AE于点F．当∠DAC＝21°，∠B＝25°时，∠DAF的度数为（）A．21°B．22°C．25°D．30°【分析】依据AD，AE为△ABC的高线，角平分线，即可得到∠BAD和BAE的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠DAF的度数．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又∵∠B＝25°，∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，又∵∠CAD＝21°，∴∠BAC＝65°+21°＝86°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×86°＝43°，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAE＝65°﹣43°＝22°，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握三角形高线和角平分线的定义．【变式8-2】（2020秋•兴化市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，EF ∥BC交BD于点G，若∠BEG＝130°，则∠DGF＝°．【分析】根据角平分线的定义得到∠EBG＝∠CBG，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠CBG，等量代换得到∠EBG＝∠EGB，再根据三角形的内角和定理和对顶角的性质于是得到结论．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠CBG，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠CBG，∴∠EBG＝∠EGB，∵∠BEG＝130°，∴∠EGB=180°−130°2=25°，∴∠DGF＝∠EGB＝25°．故答案为：25．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式8-3】（2020秋•红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO=12∠BAC＝25°，∠ABO=12∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．【点评】本题主要考查角平分线，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．。

初中数学知识点归纳精品教学-三角形初步认识知识点及练习题

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6.如图，将等边三角形 ABC 剪去一个角后，则∠1+∠2 的大小为（ A.120° B.180° C.200°
） D.240°
7.如图，一块三角形绿化园地，三个角都做有半径为 2R 的圆形喷水池，则这三个喷水池占去的绿化园地（即阴影部分）的面积为（ A. 2R
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21.如图,∠A=65 ， ∠B=75 ，将纸片的一角折叠，使点 C 落在△ABC 外，若∠2=20 则∠1 的度数为
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度.
22.如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCDE 的内部，若∠A=400，则∠1+∠2= 23.如图，在△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=148°，则∠EDF=__________. 24.在△ABC 中， ∠B 内角平分线和∠C 外角平分线交于一点 A1， ∠A1BC 与∠A1CD 的平分线交于 A2，继续作∠A2BC 与∠A2CD 的平分线可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，当∠A=64°时，∠A2014 的度数为
15.一条线段的长为 a，若要使 3a-l， 4a+1， 12-a 这三条线段组成一个三角形，则 a 的取值范围_________ 16.如图,△ABC 中,DE⊥BC 于 E,AF⊥BC 于 F,已知△BCD 与△ABC 的面积之比为 1:3,DE=3cm,则 AF= .
17.如图所示,若∠A=30°,∠B=45°,∠C=44°,则∠DFE 等于 18.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=900,∠A=540,将其折叠,使点 A 落在边 CB 上 A/处,折痕为 CD,则∠A/DB= 19.多边形的每一个内角都等于 1500，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条 20.若一个 n 边形 n 个内角与某一个外角的总和为 13500，则 n 等于

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_《认识三角形》知识点解读1

《认识三角形》知识点解读1三角形是平面内最简单、最基本的几何图形之一，在生活中随处可见。

他不仅是我们学习其他图形的基础，而且是现实生活中有着广泛的应用。

因此探讨三角形中的基本性质可以使我们更好的认识现实世界，为了更好的学好三角形，我们先着眼于三角形的一些基本概念和性质。

知识点1三角形的概念及表示（重点）不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

解读：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

例1 如图所示，图中的三角形有（）A.6个B.8个C.10个D.12个分析：数三角形个数易遗漏或重复。

要做到不重不漏，就应按照一定的顺序去数。

如图，可按图形的形成过程去数，共有8个三角形，分别是：△ABC，△ADC，△ABD，△BCD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD。

答案：选B知识点2 三角形的内角和及其他性质（重点）三角形的内角和等于180°。

直角三角形的两锐角互余。

例2若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（）A.45°B.60°C.90°D.120°分析：因为三角形内角和为180°，条件中说三个内角不相等，最小角若大于60°，则内角和超过180°。

答案：应选B知识点3 三角形的分类（难点）按边分类：不等边三角形（三边均不相等）和等腰三角形（至少两边相等）【等边三角形：三条边都相等的三角形。

它是特殊的等腰三角形】按角分类：锐角三角形（三个角均为锐角）、直角三角形（有一个角为直角）、钝角三角形（有一个角为钝角）解读：（1）对三角形进行分类时，要做到不重不漏；（2）由定义知等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形，这两类三角形在三角形分类中不能并列出现。

初中数学知识点精讲精析认识三角形

1 认识三角形学习目标1. 认识三角形的概念及其基本要素。

2. 掌握三角形三条边之间的关系。

3. 认识等腰三角形和等边三角形。

知识详解1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义。

2. 三角形的角与角之间的关系：（1）三角形三个内角的和等于180°；（三角形的内角和定理）。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

3.三角形的分类4.通常，我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC。

把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。

5.有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。

两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。

三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。

6.三角形的主要线段（1）连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。

简称三角形的中线。

三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。

（2）三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。

简称三角形的角平分线。

一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。

（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

北师大版七下数学4.1认识三角形(第1课时)说课稿

北师大版七下数学4.1认识三角形（第1课时）说课稿一. 教材分析北师大版七下数学4.1认识三角形是初中学段数学课程的一部分，本节课的主要内容是让学生掌握三角形的概念、特性以及分类。

通过本节课的学习，使学生能够认识三角形，了解三角形的性质，能够运用三角形的知识解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线的基本知识，对图形的认知有一定的基础。

但是，对于三角形的特性以及分类，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从简单到复杂，逐步引导学生掌握三角形的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解三角形的概念，掌握三角形的特性，了解三角形的分类。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学与生活实际的联系。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的概念、特性以及分类。

2.教学难点：三角形的高的概念以及计算方法的掌握。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的三角形实例，引导学生回顾已学的线段、射线知识，为新课的学习做好铺垫。

2.探究新知：（1）介绍三角形的概念：让学生观察课件中的三角形实例，引导学生发现三角形的特征，从而总结出三角形的定义。

（2）探讨三角形的高：通过几何画板演示，让学生直观地理解三角形的高的概念，并引导学生掌握计算三角形高的方法。

（3）介绍三角形的分类：让学生观察不同类型的三角形，引导学生根据三角形的特性进行分类。

3.巩固练习：设计一些有关三角形的问题，让学生运用所学知识解决问题，巩固新学的知识。

4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生对三角形有更清晰的认识。

新浙教版八年级上册初中数学全册教学课件 (2)可修改全文

新浙教版初中数学全册课件
八年级上册
第1章三角形的初步认识
1.1 认识三角形
第1课时三角形及其三角、三边的关系
目录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.三角形的定义. 2.三角形的表示方法及有关概念.（重点） 3.三角形的分类. （重点、难点）
新课讲解
练一练
所有的命题都是基本事实。 X 所有的真命题都是定理。 X 所有的定理是真命题。 √ 所有的基本事实是真命题。 √
课堂小结
1．知识方面：真命题与假命题的概念
当堂小练
1. “两点之间，线段最短”这个语句是（ B ） A、定理 B、基本事实 C、定义 D、只是命题
当堂小练
2. “同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ C ） A、定理 B、基本事实 C、定义 D、只是命题
当堂小练
3.下列各阴影部分的面积有何关系？
Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙
拓展与延伸
在△ABC中，AE，AD分别是BC边上的中线和高。说明△ABE的面积
与△AEC的面积相等。
解： ∵ AE是BC边上的中线
A
∴ BE = EC
1 ∵S △ABE= 2 BE · AD
1 S △AEC= 2 EC · AD
B
C ED
新课导入
一对父子的谈话
爸爸，什么叫法律？
法律就是法国的律师
那么什么是法盲？
法盲就是法国的盲人
新课讲解知识点1 定义的定义可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行。
一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.

初中数学《认识三角形》教案

初中数学《认识三角形》教案第2课时三角形的中线、角平分线、高教学目的掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，并会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法.让学生从实践中得到三角形的三条中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部.重点、难点1．重点：三角形角平分线、中线、高的概念及其画法. 2．难点：钝角三角形高的画法.教学过程一、复习提问1．什么叫角平分线?如何画一个角的平分线?2．已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线.l A3．三角形按角分类可分为哪几种?二、新授今天我们要学习三角形中的三种重要线段中线、角平分线和高.1．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.如图，点D是BC边的中点，即AD是△ABC 的中线.问：三角形有几条中线?若已知AD是三角形的中线，你可得到什么结论?2．三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，2，那么CE是△ABC的角平分线.问：三角形有几条角平分线?三角形的角平分线和角平分线有什么不同?3．三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高.如图BFAC，垂足为F，则BF是△ABC的高，三角形有3条高.例1．如图△ABC，边BC上的高画得对吗?为什么?[分析]根据三角形高的概念，BC边上的高应是BC边所对的顶点 A向BC作垂线，顶点A与垂足间的线段，所以(1)，(2)，(4)都错了，只有(3)是对的.4．做一做：让学生拿出昨天做的三个锐角三角形. (1)分别画出中线、角平分线、高.(2)你能用折纸的办法得到这些线段吗?试一试.(只要求折出一条中线、一条高，一条角平分线)(3)把锐角三角形换成直角三角形、钝角三角形再试一试.将你的结果与同伴进行交流.5．议一议：(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样?[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点](2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系?[三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部](3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢?[直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外.](4)你能折出钝角三角形的三条高吗?三、巩固练习教科书第62页练习.第l题也可以让学生剪下一个等腰三角形，用折纸的方法验证底边上的高、中线、角平分线互相重合.四、小结：1．三角形的三种重要线段中线、高、角平分线的概念. 2．三角形的中线、高、角平分线的画法. 3．三角形的三条中线(高、角平分线)之间的位置关系以及它们与三角形间的位置关系.五、作业补充作业。

初中数学三角形教案(优秀5篇)

初中数学教案优秀教案_初中数学三角形教案（优秀5篇）初中数学三角形教案篇一1．使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1．2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想．4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美先学后教，达标导学1．教学重点：是性质定理1的应用．2．教学难点：是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用．1课时投影仪、胶片、常用画图工具．［复习提问］1．三角形中三种主要线段是什么？2．到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质？3．什么叫相似比？根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例．下面我们研究相似三角形的其他性质（见图）．建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1．性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比初中数学三角形教案篇二1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。

理解正切的意义和与现实生活的联系。

2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算。

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。

理解正切的意义，并用它来表示两边的比。

引导―探索法。

更多免费教案下载绿色圃中一、生活中的数学问题：1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？⑵有什么关系？⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢？⑷由此你得出什么结论？三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值。

初中数学(人教版)八年级上知识点最全总结

初中数学（人教版）八年级上知识点最全总结第十一章全等三角形一．知识框架二．知识概念1. 全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

2 ．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3. 三角形全等的判定公理及推论有：（1 ）“ 边角边” 简称“SAS”（2 ）“ 角边角” 简称“ASA”（3 ）“ 边边边” 简称“SSS”（4 ）“ 角角边” 简称“AAS”（5 ）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL ）。

4. 角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。

5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式( 顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。

通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。

在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。

第十二章轴对称一．知识框架二．知识概念1. 对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2. 性质：（1 ）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2 ）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3 ）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（4 ）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（5 ）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结

初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。

2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。