结构动力学(6)-第五章 模态综合法(20080617)

βT q 0
0 I 2B m12B 0 Λ 22B 0
m21B m11A m11B m21A 0 K 11A K 11B 0
因为在边界上：
f 1A f 1B 0
（满足界面上力的平衡条件）。
这种即满足位移协调、又满足力的平衡条件，称为双协调的。
于是
Φij p i Φi pB Φ jj p j A Φ j B A
p jA = Φ jjA1Φ jiApiA +Φ jjA1Φ jBpB
其中 Φ jj 为方阵，其阶次为两者界面的自由度数。
选择变换为
I piA 1 p jA = Φ jjA Φ jiA p 0 B Φ jjA 1Φ jB q = βq I 0
6．2 系统自由度减缩 1）静凝聚方法（Guyan缩聚）
K 11 K 21 K 12 u 1 M 11 K 22 u 2 M 21 M 12 u 1 f 1 M 22 u 2 f 2
当质量阵中只有第一部分不为零时，则可由第二部分的方程
0 f jA 0 f jB Φ jBT
0 T Φ jB
0 f jA 0 T 0 Φ jBT f jB Φ jB (f jA f jB )
４）求解后返回物理坐标
扫描鹰 全球鹰
X-45Ｃ
瑞士一飞机公司的PC-12飞机结构模型
其中
p iA q= p B
A、B两子结构合并为
p A Λ A2 + p B 0
0 f jA 0 p A Φ jA = Λ B 2 p B 0 Φ jB f jB
变换后得
Mq + Kq = 0
变换成
~ ~ Z11 ()u1 f1
如展开：
~ -1 Z11 ( ) K 11 K 12 K 22 K 21 2 (M12 K 22 K 21 K 12 K 22 M 21 K 12 K 22 M 22 K 22 K 21 )
-1 -1 -1 -1
4 ()
子结构的模态集：（1）主模态集；（2）约束模态集；（3）附加模
态集
u = Φp
３）按照子结构界面上的连接条件（协调方程），把所有的子结构的 不独立的模态坐标 p 变换到系统的耦联广义坐标系上，进行二次坐标
变换
p βq
４）求解后，返回物理坐标
u Φβq
子结构间的连接方式： 1）刚性 2）弹性 3）半弹性、半刚性
M = βT β
Λ A2 K =β 0
T
0 β ΛB2
1
右端
Φj A T β 0 0 f jA I (Φ jjA Φ jiA ) Φ jB f jB 0 (Φ jjA1Φ jB )T
T
Φ jiAT 0 T Φ jjA I 0
Λ 2 ，满足
作第一次变换
u = Φp
按内部和边界分开
ui Φi = p u j Φ j
j 指界面。界面上有：
u j = Φ jp
３）第二次方程变换及系统方程
当有A、B两个子结构时。对A：
0 M Au A + K Au A = f j
u2 Z22 ()[f2 Z21 ()u1 ]
-1
[Z11 () Z12 ()Z22 ()Z21 ()]u1 f1 Z12 ()Z22 f2
-1 -1
问题： a）不适用于在时域里求解； b）求解不方便（原来是线性特征问题，现为非线性）
变换可写为
I u1 u1 T( )u1 -1 u2 - Z 22 ( )Z21 ( )
T
子结构的主模态集：
0 ΦN Φ 22
一般只取低阶的部分模态。 静凝聚为
u2 K 22 (f1 K 21u1 )
-1
I Φc 1 K 22 K 21
引入变换为
u 1 Φ cu1 u 2
令：
Φ Φc
I 0 ΦN 1 K 22 K 21 Φ 22
K 21u1 K 22 u 2 f 2
求解得到
u2 K 22 (f2 K 21u1 )
-1
代回到第一部分的方程，有：
-1 -1 (K11 K12K 22 K 21 )u1 M11u1 f1 K12K 22 f2
相当于作了以下的变换：
I u1 u1 Tu 1 -1 u 2 - K 22 K 21
变换后的方程为
TTKTu 1 TTMTu1 TTf
当严格满足上述假设时，变换前后的方程有相同的解。当不满足时，
仍然可以采取一样的变换，但只是一种近似。
近似程度取决于第二部分的性态和耦合的程度。当这些部分比较刚硬 时，则缩聚前后关于低阶模态部分的解基本一致（从物理意义上讲，就是 这部分的变形类似于静态变形）。 2） 动凝聚方法 频域的方程为
如考虑A与B为刚性连接，则位移协调方程为界面位移相等，即：
u1A u1B
于是有
p1A p1B q1
系统得广义坐标为
q q 2A

T
q 2B
T
q1
T

T
p1A 0 p I 2A 2A p1B 0 p 2B 0
0 0 0 I 2B
4）返回物理坐标
6．4
自由界面模态综合法 与固定界面法相同，将整体划分为若干个子结构。不同的是
1） 分割 将界面自由度完全放松，而不是完全固定。 A B
２）子结构模态分析及第一次坐标变换
界面完全自由时，子结构的方程为
Mu + Ku = 0
求解特征值问题，得到 Φ 和
ΦT MΦ = IΦT 源自Φ = Λ2一般只取低阶部分的模态参与变换。可以证明，只要
c f
要分析的最高频率
子结构模态的最高截取频率
物理意义：子结构越刚，则保留的模态坐标可以越少。
４）界面坐标的减缩 （１）静凝聚 （２）Ritz减缩
u b Φb q b
其中 Φ b的每一列都是Ritz向量；
（３）重新插值
~ ub Nbub
6．3 固定界面模态综合法 分析下面的例子： A B
1）分割
A
B
分割后固定界面
对于每个自结构建立方程，譬如子结构A：
K 11 K 12 u1 M11 M12 u1 f1 K K 22 u 2 M 21 M 22 u 2 0 21
于是变换后有
p A + Λ A2p A = Φ jAf jA
对B同样有
pB + ΛB2pB = Φ jBf jB
在界面上
u jA = u jB
或
Φ jAp A = Φ jBpB
（相当于有一部分自由度是不独立的）
f jA = f jB
设界面自由度为
N，可将界面模态矩阵分为块 j
Φii Φ ji
I1 q 2A 0 q 2B βq I1 q1 0
变换以后，得到：
ˆ ˆ Mq Kq 0
其中
I 2A ˆ M βT Mβ 0 m12A Λ 22A ˆ M β T Kβ 0 0
其中下标为1的部分是界面部分，f 1 是相互之间的作用力。 2）各子结构的模态计算 固定界面时，u 1 0 ，于是
M 22 u 2 K 22 u 2 0
求解得到， Φ 22 , Λ 22 为全部模态向量组成的矩阵和特征值组成 的矩阵，并归一化
Φ22 M 2 2Φ22 I
T
Φ22 K 2 2Φ22 Λ22
0 Λ 22
f1 gΦ f 0
T
3）二次坐标变换建立系统方程（或者组集）
M A 0 0 p A K A M B p B 0 0 p A g A K B p B g B
第五章
模态综合法
提高精度的方法：1）增加结点 2）提高单元插值函数的阶次（单元自由度） 会导致自由度数目庞大，求解费时。
解决策略：分部件建模。
6．1 引言 基本思想“化整为零、积零为整” １）分割 将整体（系统）划分为若干个子结构（部件）。子结构上的自 由度分为内部自由度和界面自由度，子结构之间连接处称为界面。 因界面的处理方法分为固定界面法、自由界面法和混合界面法。 ２）建立子结构模态集和模态坐标
K 11 2 M11 K 12 2 M12 u1 Z11 ( ) Z12 ( ) u1 f1 u 2 2 K 21 M 21 K 22 M 22 u2 Z 21 ( ) Z 22 ( ) 2 f 2
如果仅仅取到二次项，那就是静凝聚的结果。
3）利用模态坐标的动凝聚方法 求解：
(K22 2M22 )φ2 0
得到 Φ 2 ，于是：
u 2 Φ 2q
当取全部特征向量时，此变换是精确的。
综合静凝聚方法一起构造变换：
I 0 u1 u1 -1 u 2 - K 22 K 21 Φ 2 q
u1 p Φ 1 u 2 p 2
（如果取全部模态，则为精确的变换） 可知
p1 u1
变换后得到：
Mp Kp g
其中
m M Φ T MΦ 11 m21