2015届高三第一次半月考数学试题(文)答

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2015届高三第一次半月考数学试题(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设全集为R ,集合A ={x |x 2-9<0},B ={x |-1<x ≤5},则A ∩(∁R B )=( C )
A .(-3,0)
B .(-3,-1)
C .(-3,-1]
D .(-3,3)
2. 下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A )
A .f (x )=1x 2
B .f (x )=x 2+1
C .f (x )=x 3
D .f (x )=2-x 3.设a =log 37,b =21.1,c =0.83.1,则( B )
A .b <a <c
B .c <a <b
C .c <b <a
D .a <c <b
4. 下列叙述中正确的是( D )
A .若a ,b ,c ∈R ,则“ax 2+bx +c ≥0”的充分条件是“b 2-4ac ≤0”
B .若a ,b ,c ∈R ,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”
C .命题“对任意x ∈R ,有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ,有x 2≥0”
D .l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β
5.已知f ′(x )是f (x )的导函数,在区间[0,+∞)上f ′(x )<0,且偶函数f (x )满足
1(21)()3
f x f -<,则x 的取值范围是( C )
A.2(,)3+∞
B. 1(,)3-∞
C. 1(,)3-∞⋃2(,)3+∞
D. 12(,)33
6.如下图所示,函数y =2sin(ωx +θ)(|θ|<π2
)的图象,那么( A ) A .ω=2,θ=π6 B .ω=1011,θ=-π6 C . ω=1011,θ=π6 D .ω=2,θ=-π6
7.在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( D )
A B
C D
8.将函数f (x )=3sin2x -cos2x 的图象向右平移θ(θ>0)个单位,所得函数是奇函数,则实数θ的最小值为( D )
A.π6
B.5π6
C.π12
D.5π12
9.已知函数f (x )=2sin ωx 在区间[-π3,π4
]上的最小值为-2,则ω的取值范围是( B ) A .(-∞,-92]∪[6,+∞) B .(-∞,-2]∪[32
,+∞) C .(-∞,-2]∪[6,+∞) D .(-∞,-92]∪[32
,+∞) 10. 若0<x 1<x 2<1,则( C )
A .e x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1
B .e x 2-e x 1<ln x 2-ln x 1
C .x 2e x 1>x 1e x 2
D .x 2e x 1<x 1e x 2
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)
11. ⎝⎛⎭⎫1681-34+log 354+log 345=____278
____ 12. 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13
,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__ x ≤8.______. 13. 曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 e 22
14. 已知函数f (x )=x 2+mx -1,若对于任意x ∈[m ,m +1],都有f (x )<0成立,则实数m 的取值范围是____⎝
⎛⎭
⎫-22,0____. 15.若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=___516 ___. 16.下面有五个命题:
①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π;
②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=kπ2
,k ∈Z}; ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点;
④把函数y =3sin(2x +π3)的图象向右平移π6
个单位得到y =3sin2x 的图象; ⑤函数y =sin(x -π2
)在[0,π]上是减函数. 其中真命题的序号是___①④_____.
17.规定[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[2,3]=2,
[-2.7]=-3,函数y =[x ]的图象与函数y =ax 的图象在[0,2014)内有2014个交点,则a 的取值范围是__(20132014
,1]______. 三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(本题满分12分) 已知p :函数y=x 2+mx+1在(﹣1,+∞)上单调递增,q :函数y=4x 2+4(m ﹣2)x+1大于0恒成立.若p ∨q 为真,p ∧q 为假,求m 的取值范围.
解:若函数y=x 2
+mx+1在(﹣1,+∞)上单调递增,则﹣≤﹣1,
∴m ≥2,即p :m ≥2 …(3分)
若函数y=4x 2+4(m ﹣2)x+1大于0恒成立,则△=16(m ﹣2)2﹣16<0,
解得1<m <3,
即q :1<m <3 …(6分)
∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 、q 一真一假 …(7分)
当p 真q 假时,由得m ≥3 …(9分)
当p 假q 真时,由得1<m <2 …(11分)
综上,m 的取值范围是{m|m ≥3或1<m <2} …(12分)
19.(本题满分12分)已知函数f (x )=ax +1x 2(x ≠0,常数a ∈R). (1)讨论常数f (x )的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f (x )在x ∈[3,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.
解:(1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称;
当a =0时,f (x )=1x 2,满足对定义域上任意x ,f (-x )=f (x ), ∴a =0时,f (x )是偶函数;
当a ≠0时,f (1)=a +1,f (-1)=1-a ,
若f (x )为偶函数,则a +1=1-a ,a =0矛盾,
若f (x )为奇函数,则1-a =-(a +1),1=-1矛盾,
∴当a ≠0时,f (x )是非奇非偶函数.
(2)任取x 1>x 2≥3,f (x 1)-f (x 2)
=ax 1+1x 21-ax 2-1x 22 =a (x 1-x 2)+x 22-x 21x 21x 22
=(x 1-x 2)(a -x 1+x 2x 21x 22
), ∵x 1-x 2>0,f (x )在[3,+∞)上为增函数,
∴a >x 1+x 2x 21x 22,即a >1x 1x 22+1x 21x 2
在[3,+∞)上恒成立, ∵1x 1x 22+1x 21x 2<227,∴a ≥227
. 20(本题满分13分)
已知a =(cos x +sin x ,sin x ),b =(cos x -sin x,2cos x ),设f (x )=a·b .
(1)求函数f (x )的最小正周期;
(2)由y =sin x 的图象经过怎样变换得到y =f (x )的图象,试写出变换过程;
(3)当x ∈[0,π2
]时,求函数f (x )的最大值及最小值. 解:(1)∵f (x )=a·b
=(cos x +sin x )(cos x -sin x )+2sin x cos x
=cos 2x -sin 2x +2sin x cos x =cos2x +sin2x =2sin(2x +π4
), ∴f (x )的最小正周期T =π.
(2)把y =sin x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到y =sin(x +π4
)的图象;再把y =sin(x +π4)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变得到y =sin(2x +π4
)的图象;再把y =sin(2x +π4
)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变得到y =2sin(2x +
π4
). (3)∵0≤x ≤π2,∴π4≤2x +π4≤54
π. ∴当2x +π4=π2,即x =π8
时,f (x )有最大值2, 当2x +π4=54π,即x =π2
时,f (x )有最小值-1.
21.(本题满分13分)已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2.
(1)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间;
(2)△ABC 中,()()sin 44f A f B A B ππ
-+-=,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,且C=60︒,c=3,求△ABC 的面积.
【解析】(1)由题意,()f x .
而0m >,于是m =π()2sin()4
f x x =+. ()f x 为递减函数,则x 满足ππ3π2π+2π+242
k x k +≤≤ ()k ∈Z , 即π5π2π+2π+44
k x k ≤≤()k ∈Z . 所以()f x 在[]0π,上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,. (2)设△ABC 的外接圆半径为R ,由题意,得32=23sin sin 60c R C ==.
化简ππ()()sin 44
f A f B A B -+-=,得
sin sin sin A B A B +=.
由正弦定理,得()2R a b +=,a b +=. ①
由余弦定理,得229a b ab +-=,即()2
390a b ab +--=. ②
将①式代入②,得()22390ab ab --=.
解得3ab =,或 32ab =-(舍去).
1sin 2ABC S ab C ∆=
=. 22.(本题满分14分) 已知函数f (x )=e x ﹣1﹣x .
(1)求y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若存在41,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,使a ﹣e x
+1+x <0成立,求a 的取值范围;
(3)当x≥0时,f(x)≥tx2恒成立,求t的取值范围.
解(1)∵函数f(x)=e x﹣1﹣x.
f′(x)=e x﹣1,f(1)=e﹣2,f′(1)=e﹣1.
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y﹣e+2=(e﹣1)(x﹣1),
即y=(e﹣1)x﹣1.(3分)
(2)a<e x﹣1﹣x,即a<f(x).
令f′(x)=e x﹣1=0,x=0.
∵x>0时,f′(x)>0,x<0时,f′(x)<0.
∴f(x)在(﹣∞,0)上减,在(0,+∞)上增.
又时,
∴f(x)的最大值在区间端点处取到,


∴,
∴f(x)在上最大值为,
故a的取值范围是,(8分)
(3)由已知得x≥0时,e x﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立,
设g(x)=e x﹣x﹣1﹣tx2.
∴g′(x)=e x﹣1﹣2tx.
由(2)知e x≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,
故g′(x)≥x﹣2tx=(1﹣2t)x,从而当1﹣2t≥0,
即时,g′(x)≥0(x≥0),∴g(x)为增函数,又g(0)=0,
于是当x≥0时,g(x)≥0,即f(x)≥tx2,∴时符合题意.(11分)
由e x>1+x(x≠0)可得e﹣x>1﹣x(x≠0),从而当时,g′(x)<e x﹣1+2t(e﹣x﹣1)
=e﹣x(e x﹣1)(e x﹣2t),
故当x∈(0,ln2t)时,g′(x)<0,
∴g(x)为减函数,又g(0)=0,
于是当x∈(0,ln2t)时,g(x)<0,即f(x)≤tx2,
故,不符合题意.综上可得t的取值范围为(14分)。

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