2015届高三第一次半月考数学试题(文)答

2015届高三第一次半月考数学试题(文科)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( C )
A ．(－3，0)
B ．(－3，－1)
C ．(－3，－1]
D ．(－3，3)
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A )
A ．f (x )＝1x 2
B ．f (x )＝x 2＋1
C ．f (x )＝x 3
D ．f (x )＝2－x 3.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( B )
A ．b <a <c
B ．c <a <b
C ．c <b <a
D ．a <c <b
4. 下列叙述中正确的是( D )
A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”
B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”
C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”
D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
5．已知f ′（x ）是f （x ）的导函数，在区间[0，+∞）上f ′（x ）<0，且偶函数f （x ）满足
1(21)()3
f x f -<，则x 的取值范围是（ C ）
A.2(,)3+∞
B. 1(,)3-∞
C. 1(,)3-∞⋃2(,)3+∞
D. 12(,)33
6．如下图所示，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(|θ|<π2
)的图象，那么( A ) A ．ω＝2，θ＝π6 B ．ω＝1011，θ＝－π6 C ． ω＝1011，θ＝π6 D ．ω＝2，θ＝－π6
7.在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( D )
A B
C D
8．将函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为( D )
A.π6
B.5π6
C.π12
D.5π12
9．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4
]上的最小值为－2，则ω的取值范围是( B ) A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[32
，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D ．(－∞，－92]∪[32
，＋∞) 10. 若0＜x 1＜x 2＜1，则( C )
A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1
B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1
C ．x 2e x 1＞x 1e x 2
D ．x 2e x 1＜x 1e x 2
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)
11. ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝____278
____ 12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13
，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__ x ≤8.______． 13. 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 e 22
14. 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____⎝
⎛⎭
⎫－22，0____． 15．若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝___516 ___． 16．下面有五个命题：
①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；
②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ2
，k ∈Z}； ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；
④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6
个单位得到y ＝3sin2x 的图象； ⑤函数y ＝sin(x －π2
)在[0，π]上是减函数． 其中真命题的序号是___①④_____．
17．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2,3]＝2，
[－2.7]＝－3，函数y ＝[x ]的图象与函数y ＝ax 的图象在[0,2014)内有2014个交点，则a 的取值范围是__(20132014
，1]______． 三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(本题满分12分) 已知p ：函数y=x 2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q ：函数y=4x 2+4（m ﹣2）x+1大于0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．
解：若函数y=x 2
+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则﹣≤﹣1，
∴m ≥2，即p ：m ≥2 …（3分）
若函数y=4x 2+4（m ﹣2）x+1大于0恒成立，则△=16（m ﹣2）2﹣16＜0，
解得1＜m ＜3，
即q ：1＜m ＜3 …（6分）
∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假 …（7分）
当p 真q 假时，由得m ≥3 …（9分）
当p 假q 真时，由得1＜m ＜2 …（11分）
综上，m 的取值范围是{m|m ≥3或1＜m ＜2} …（12分）
19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R)． (1)讨论常数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．
解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称；
当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )， ∴a ＝0时，f (x )是偶函数；
当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ，
若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾，
若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1),1＝－1矛盾，
∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数．
(2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)
＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22 ＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22
＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22
)， ∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，
∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2
在[3，＋∞)上恒成立， ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227
. 20(本题满分13分)
已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a·b .
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到y ＝f (x )的图象，试写出变换过程；
(3)当x ∈[0，π2
]时，求函数f (x )的最大值及最小值． 解：(1)∵f (x )＝a·b
＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x
＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4
)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.
(2)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到y ＝sin(x ＋π4
)的图象；再把y ＝sin(x ＋π4)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝sin(2x ＋π4
)的图象；再把y ＝sin(2x ＋π4
)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到y ＝2sin(2x ＋
π4
)． (3)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤54
π. ∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8
时，f (x )有最大值2， 当2x ＋π4＝54π，即x ＝π2
时，f (x )有最小值－1.
21．(本题满分13分)已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2.
(1)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间;
(2)△ABC 中,()()sin 44f A f B A B ππ
-+-=,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,且C=60︒,c=3,求△ABC 的面积.
【解析】(1)由题意,()f x .
而0m >,于是m =π()2sin()4
f x x =+. ()f x 为递减函数,则x 满足ππ3π2π+2π+242
k x k +≤≤ ()k ∈Z , 即π5π2π+2π+44
k x k ≤≤()k ∈Z . 所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，. (2)设△ABC 的外接圆半径为R ,由题意,得32=23sin sin 60c R C ==.
化简ππ()()sin 44
f A f B A B -+-=,得
sin sin sin A B A B +=.
由正弦定理,得()2R a b +=,a b +=. ①
由余弦定理,得229a b ab +-=,即()2
390a b ab +--=. ②
将①式代入②,得()22390ab ab --=.
解得3ab =,或 32ab =-(舍去).
1sin 2ABC S ab C ∆=
=. 22．(本题满分14分) 已知函数f （x ）=e x ﹣1﹣x ．
（1）求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若存在41,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使a ﹣e x
+1+x ＜0成立，求a 的取值范围；
（3）当x≥0时，f（x）≥tx2恒成立，求t的取值范围．
解（1）∵函数f（x）=e x﹣1﹣x．
f′（x）=e x﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），
即y=（e﹣1）x﹣1．（3分）
（2）a＜e x﹣1﹣x，即a＜f（x）．
令f′（x）=e x﹣1=0，x=0．
∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣∞，0）上减，在（0，+∞）上增．
又时，
∴f（x）的最大值在区间端点处取到，
，
，
∴，
∴f（x）在上最大值为，
故a的取值范围是，（8分）
（3）由已知得x≥0时，e x﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立，
设g（x）=e x﹣x﹣1﹣tx2．
∴g′（x）=e x﹣1﹣2tx．
由（2）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，
故g′（x）≥x﹣2tx=（1﹣2t）x，从而当1﹣2t≥0，
即时，g′（x）≥0（x≥0），∴g（x）为增函数，又g（0）=0，
于是当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥tx2，∴时符合题意．（11分）
由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0），从而当时，g′（x）＜e x﹣1+2t（e﹣x﹣1）
=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2t），
故当x∈（0，ln2t）时，g′（x）＜0，
∴g（x）为减函数，又g（0）=0，
于是当x∈（0，ln2t）时，g（x）＜0，即f（x）≤tx2，
故，不符合题意．综上可得t的取值范围为（14分）。