数据结构-kruskal算法求最小生成树 实验报告
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1、 问题简述
题目：图的操作。 要求：用kruskal算法求最小生成树。 最短路径： ①输入任意源点，求到其余顶点的最短路径。 ②输入任意对顶点，求这两点之间的最短路径和所有 路径。
2、 程序设计思想
首先要确定图的存储形式。经过的题目要求的初步分析，发现该题 的主要操作是路径的输出，因此采用边集数组（每个元素是一个结构 体，包括起点、终点和权值）和邻接矩阵比较方便以后的编程。 其次是kruskal算法。该算法的主要步骤是： GENERNIC-MIT(G,W) 1. A← 2. while A没有形成一棵生成树 3 do 找出A的一条安全边(u,v); 4. A←A∪{(u,v)}; 5. return A 算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。在每步决定 是否把边(u,v)添加到集合A中，其添加条件是A∪{(u,v)}仍然是最小生 成树的子集。我们称这样的边为A的安全边，因为可以安全地把它添加 到A中而不会破坏上述条件。 然后就是Dijkstra算法。Dijkstra算法基本思路是： 假设每个点都有一对标号 (dj, pj)，其中dj是从起源点s到点j的最 短路径的长度 (从顶点到其本身的最短路径是零路(没有弧的路)，其长 度等于零)；pj则是从s到j的最短路径中j点的前一点。求解从起源点s 到点j的最短路径算法的基本过程如下： 1) 初始化。起源点设置为：① ds=0, ps为空;② 所有其他点: di=∞, pi=?;③ 标记起源点s，记k=s,其他所有点设为未标记的。
cost[i][j]=ge[k].w; } for(i=1;i<=n;i++) s[i]=0; s[v0]=1; dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0); printpath2(dist,path,v0,v1); break; } printf("please choise\n"); printf("1.kruskal\n "); printf(“2.shortpath\n”); printf(“3.shortpath between two point\n”); printf(“4.exit\n”); scanf("%d",&a); } }
六、附录
将序列3，7，2，1，4，6，8，9，10，5插入到初始为空的平衡树和 3阶B_树中，画出插入过程，然后依次删除每个元素，画出删除过程。 平衡树插入过程如下所示： 3 3 3 3 7 2 7 2 7 1
3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 7 6 8 9 10 6 RL 2 3 8 RR 1 4 6 7 8 1 2 4 7 1 2
printf("please choise\n"); printf("1.kruskal\n "); printf(“2.shortpath\n”); printf(“3.shortpath between two point\n”); printf(“4.exit\n”); scanf("%d",&a); while(a!=4) {switch(a) {case 1:insertsort(ge,e); kruskal(ge,n,e); break; case 2:printf("input the start point:"); scanf("%d",&v0); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) cost[i][j]=32767; for(k=1;k<=e;k++) {i=ge[k].bv; j=ge[k].tv; cost[i][j]=ge[k].w; } for(i=1;i<=n;i++) s[i]=0; s[v0]=1; dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0); printpath1(dist,path,s,n,v0); break; case 3:printf("input the start point:"); scanf("%d",&v0); printf("input the end point:"); scanf("%d",&v1); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) cost[i][j]=32767; for(k=1;k<=e;k++) {i=ge[k].bv; j=ge[k].tv;
2) 检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的距离， 并设置： dj=min［dj, dk+lkj］ 式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。 3) 选取下一个点。从所有未标记的结点中，选取dj 中最小的一个 i： di=min［dj, 所有未标记的点j］ 点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。 4) 找到点i的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i的点 j*，作为前一点,设置： i=j* 5) 标记点i。如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i， 转到2) 再继续。 而程序中 求两点间最短路径算法。其主要步骤是： 1 调用dijkstra算法。 2 将path中的第“终点”元素向上回溯至起点，并显示出 来。 程序结构框图为：
可。其关键在于不同情况下输出形式的不同。 4、 printpath2函数： 该函数主要用来输出两点间的最短路径。其主要部份与 printpath1函数相同，只是无需由循环将所有顶点一一输出， 只需将path数组中下标为v1的元素回溯至起点并显示出来。
4、 源程序
#define MAXE 100 struct edges {int bv; int tv; int w; }; typedef struct edges edgeset; int seeks(int set[],int v) {int i; i=v; while(set[i]>0) i=set[i]; return i; } kruskal(edgeset ge[],int n,int e) {int set[MAXE],v1,v2,i,j; for(i=1;i<n+1;i++) set[i]=0; i=1; j=1; while(j<=e&&i<=n-1) {v1=seeks(set,ge[j].bv); v2=seeks(set,ge[j].tv); if(v1!=v2) {printf("(%d,%d):%d\n",ge[j].bv,ge[j].tv,ge[j].w); set[v1]=v2; i++; } j++; } }
void insertsort(edgeset ge[],int e) {int i,j; for(i=2;i<=e;i++) if(ge[i].w<ge[i-1].w) {ge[0]=ge[i]; j=i-1; while(ge[0].w<ge[j].w) {ge[j+1]=ge[j]; j--; } ge[j+1]=ge[0]; } } void dijkstra(int cost[MAXE][MAXE],int dist[MAXE],int path[MAXE],int s[MAXE],int n,int v0) {int u,vnum,w,wm; for(w=1;w<=n;w++) {dist[w]=cost[v0][w]; if(cost[v0][w]<32767) path[w]=v0; } vnum=1; while(vnum<=n-1) {wm=32767; u=v0; for(w=1;w<=n;w++) if(s[w]==0&&dist[w]<wm) {u=w; wm=dist[w]; } s[u]=1; vnum++; for(w=1;w<=n;w++) if(s[w]==0&&dist[u]+cost[u][w]<dist[w]&&cost[u][w]!=32767) {dist[w]=dist[u]+cost[u][w]; path[w]=u; }
} } void printpath1(int dist[],int path[],int s[],int n,int v0) {int i,k; for(i=1;i<=n;i++) if(s[i]==1) {k=i; while(k!=v0) {printf("%d<-",k); k=path[k]; } printf("%d:%d\n",k,dist[i]); } else printf("%d<-%d:32767\n",i,v0); } void printpath2(int dist[],int path[],int v0,int v1) {int k; k=v1; while(k!=v0) {printf("%d<-",k); k=path[k]; } printf("%d:%d\n",k,dist[v1]); } main() {edgeset ge[MAXE]; int cost[MAXE] [MAXE],dist[MAXE],path[MAXE],s[MAXE],a,n,e,i,j,k,v0,v1; printf("input the number of point:"); scanf("%d",&n); printf("input the number of edges:"); scanf("%d",&e); printf("input the edges:\n"); for(i=1;i<=e;i++) scanf("%d,%d,%d",&ge[i].bv,&ge[i].tv,&ge[i].w);
5、 程序调试
将如下图输入：
①
6 5 1 5 ③ 3 ⑤ 6 6 4 2 ⑥ 5
②Biblioteka Baidu
④
依次输入：6 （六个顶点） 10 （十条边） 1，2，6 1，3，1 1，4，5
2，3，5 2，5，3 3，4，5 3，5，6 3，6，4 4，6，2 5，6，6 显示菜单。 选择1 输出：（1，3）：1 （4，6）：2 （2，5）：3 （3，6）：4 （2，3）：5 选择2 输入1 （起点） 输出：1：32767 2<-1:6 3<-1:1 4<-1:5 5<-3<-1:7 6<-3<-1:5 选择3 输入1 (起点) 5 (终点) 输出:5<-3<-1:7 选择4 退出。
Begin
输入顶点数n 输入边数e 输入边集 显示菜单，等待选择 end 4 1 2 3
求两点间最短距离 Dij-kstra算法 Kru-skal算法
3、 程序具体实现
1、 kruskal函数： 因为kruskal需要一个有序的边集数组，所以要先对边集数组排 序。其次，在执行中需要判断是否构成回路，因此还另有一个判 断函数seeks，在kruskal中调用seeks。 2、 dijkstra函数： 因为从一源到其余各点的最短路径共有n-1条，因此可以设一变 量vnum作为计数器控制循环。该函数的关键在于dist数组的重新 置数。该置数条件是：该顶点示被访问过，并且新起点到该点的 权值加上新起点到源点的权值小于该点原权值。因此第一次将其 设为：if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u]<dist[w]）。但是在 实际运行中，发现有些路径的权值为负。经过分析发现，因为在 程序中∞由32767代替。若cost[u][w]==32767，那么cost[u] [w]+dist[u]肯定溢出主负值，因此造成权值出现负值。但是如 果cost[u][w]==32767，那么dist[w]肯定不需重新置数。所以将 条件改为：if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u] <dist[w]&&cost[u][w]!=32767）。 修改之后，问题果然解决。 3、 printpath1函数： 该函数主要用来输出源点到其余各点的最短路径。因为在主函数 调用该函数前，已经调用了dijkstra函数，所以所需的dist、 path、s数组已经由dijkstra函数生成，因此在该函数中，只需 用一变量控制循环，一一将path数组中的每一元素回溯至起点即
题目：图的操作。 要求：用kruskal算法求最小生成树。 最短路径： ①输入任意源点，求到其余顶点的最短路径。 ②输入任意对顶点，求这两点之间的最短路径和所有 路径。
2、 程序设计思想
首先要确定图的存储形式。经过的题目要求的初步分析，发现该题 的主要操作是路径的输出，因此采用边集数组（每个元素是一个结构 体，包括起点、终点和权值）和邻接矩阵比较方便以后的编程。 其次是kruskal算法。该算法的主要步骤是： GENERNIC-MIT(G,W) 1. A← 2. while A没有形成一棵生成树 3 do 找出A的一条安全边(u,v); 4. A←A∪{(u,v)}; 5. return A 算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。在每步决定 是否把边(u,v)添加到集合A中，其添加条件是A∪{(u,v)}仍然是最小生 成树的子集。我们称这样的边为A的安全边，因为可以安全地把它添加 到A中而不会破坏上述条件。 然后就是Dijkstra算法。Dijkstra算法基本思路是： 假设每个点都有一对标号 (dj, pj)，其中dj是从起源点s到点j的最 短路径的长度 (从顶点到其本身的最短路径是零路(没有弧的路)，其长 度等于零)；pj则是从s到j的最短路径中j点的前一点。求解从起源点s 到点j的最短路径算法的基本过程如下： 1) 初始化。起源点设置为：① ds=0, ps为空;② 所有其他点: di=∞, pi=?;③ 标记起源点s，记k=s,其他所有点设为未标记的。
cost[i][j]=ge[k].w; } for(i=1;i<=n;i++) s[i]=0; s[v0]=1; dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0); printpath2(dist,path,v0,v1); break; } printf("please choise\n"); printf("1.kruskal\n "); printf(“2.shortpath\n”); printf(“3.shortpath between two point\n”); printf(“4.exit\n”); scanf("%d",&a); } }
六、附录
将序列3，7，2，1，4，6，8，9，10，5插入到初始为空的平衡树和 3阶B_树中，画出插入过程，然后依次删除每个元素，画出删除过程。 平衡树插入过程如下所示： 3 3 3 3 7 2 7 2 7 1
3 2 1 3 2 1 3 2 1 4 7 6 8 9 10 6 RL 2 3 8 RR 1 4 6 7 8 1 2 4 7 1 2
printf("please choise\n"); printf("1.kruskal\n "); printf(“2.shortpath\n”); printf(“3.shortpath between two point\n”); printf(“4.exit\n”); scanf("%d",&a); while(a!=4) {switch(a) {case 1:insertsort(ge,e); kruskal(ge,n,e); break; case 2:printf("input the start point:"); scanf("%d",&v0); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) cost[i][j]=32767; for(k=1;k<=e;k++) {i=ge[k].bv; j=ge[k].tv; cost[i][j]=ge[k].w; } for(i=1;i<=n;i++) s[i]=0; s[v0]=1; dijkstra(cost,dist,path,s,n,v0); printpath1(dist,path,s,n,v0); break; case 3:printf("input the start point:"); scanf("%d",&v0); printf("input the end point:"); scanf("%d",&v1); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) cost[i][j]=32767; for(k=1;k<=e;k++) {i=ge[k].bv; j=ge[k].tv;
2) 检验从所有已标记的点k到其直接连接的未标记的点j的距离， 并设置： dj=min［dj, dk+lkj］ 式中，lkj是从点k到j的直接连接距离。 3) 选取下一个点。从所有未标记的结点中，选取dj 中最小的一个 i： di=min［dj, 所有未标记的点j］ 点i就被选为最短路径中的一点，并设为已标记的。 4) 找到点i的前一点。从已标记的点中找到直接连接到点i的点 j*，作为前一点,设置： i=j* 5) 标记点i。如果所有点已标记，则算法完全推出，否则，记k=i， 转到2) 再继续。 而程序中 求两点间最短路径算法。其主要步骤是： 1 调用dijkstra算法。 2 将path中的第“终点”元素向上回溯至起点，并显示出 来。 程序结构框图为：
可。其关键在于不同情况下输出形式的不同。 4、 printpath2函数： 该函数主要用来输出两点间的最短路径。其主要部份与 printpath1函数相同，只是无需由循环将所有顶点一一输出， 只需将path数组中下标为v1的元素回溯至起点并显示出来。
4、 源程序
#define MAXE 100 struct edges {int bv; int tv; int w; }; typedef struct edges edgeset; int seeks(int set[],int v) {int i; i=v; while(set[i]>0) i=set[i]; return i; } kruskal(edgeset ge[],int n,int e) {int set[MAXE],v1,v2,i,j; for(i=1;i<n+1;i++) set[i]=0; i=1; j=1; while(j<=e&&i<=n-1) {v1=seeks(set,ge[j].bv); v2=seeks(set,ge[j].tv); if(v1!=v2) {printf("(%d,%d):%d\n",ge[j].bv,ge[j].tv,ge[j].w); set[v1]=v2; i++; } j++; } }
void insertsort(edgeset ge[],int e) {int i,j; for(i=2;i<=e;i++) if(ge[i].w<ge[i-1].w) {ge[0]=ge[i]; j=i-1; while(ge[0].w<ge[j].w) {ge[j+1]=ge[j]; j--; } ge[j+1]=ge[0]; } } void dijkstra(int cost[MAXE][MAXE],int dist[MAXE],int path[MAXE],int s[MAXE],int n,int v0) {int u,vnum,w,wm; for(w=1;w<=n;w++) {dist[w]=cost[v0][w]; if(cost[v0][w]<32767) path[w]=v0; } vnum=1; while(vnum<=n-1) {wm=32767; u=v0; for(w=1;w<=n;w++) if(s[w]==0&&dist[w]<wm) {u=w; wm=dist[w]; } s[u]=1; vnum++; for(w=1;w<=n;w++) if(s[w]==0&&dist[u]+cost[u][w]<dist[w]&&cost[u][w]!=32767) {dist[w]=dist[u]+cost[u][w]; path[w]=u; }
} } void printpath1(int dist[],int path[],int s[],int n,int v0) {int i,k; for(i=1;i<=n;i++) if(s[i]==1) {k=i; while(k!=v0) {printf("%d<-",k); k=path[k]; } printf("%d:%d\n",k,dist[i]); } else printf("%d<-%d:32767\n",i,v0); } void printpath2(int dist[],int path[],int v0,int v1) {int k; k=v1; while(k!=v0) {printf("%d<-",k); k=path[k]; } printf("%d:%d\n",k,dist[v1]); } main() {edgeset ge[MAXE]; int cost[MAXE] [MAXE],dist[MAXE],path[MAXE],s[MAXE],a,n,e,i,j,k,v0,v1; printf("input the number of point:"); scanf("%d",&n); printf("input the number of edges:"); scanf("%d",&e); printf("input the edges:\n"); for(i=1;i<=e;i++) scanf("%d,%d,%d",&ge[i].bv,&ge[i].tv,&ge[i].w);
5、 程序调试
将如下图输入：
①
6 5 1 5 ③ 3 ⑤ 6 6 4 2 ⑥ 5
②Biblioteka Baidu
④
依次输入：6 （六个顶点） 10 （十条边） 1，2，6 1，3，1 1，4，5
2，3，5 2，5，3 3，4，5 3，5，6 3，6，4 4，6，2 5，6，6 显示菜单。 选择1 输出：（1，3）：1 （4，6）：2 （2，5）：3 （3，6）：4 （2，3）：5 选择2 输入1 （起点） 输出：1：32767 2<-1:6 3<-1:1 4<-1:5 5<-3<-1:7 6<-3<-1:5 选择3 输入1 (起点) 5 (终点) 输出:5<-3<-1:7 选择4 退出。
Begin
输入顶点数n 输入边数e 输入边集 显示菜单，等待选择 end 4 1 2 3
求两点间最短距离 Dij-kstra算法 Kru-skal算法
3、 程序具体实现
1、 kruskal函数： 因为kruskal需要一个有序的边集数组，所以要先对边集数组排 序。其次，在执行中需要判断是否构成回路，因此还另有一个判 断函数seeks，在kruskal中调用seeks。 2、 dijkstra函数： 因为从一源到其余各点的最短路径共有n-1条，因此可以设一变 量vnum作为计数器控制循环。该函数的关键在于dist数组的重新 置数。该置数条件是：该顶点示被访问过，并且新起点到该点的 权值加上新起点到源点的权值小于该点原权值。因此第一次将其 设为：if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u]<dist[w]）。但是在 实际运行中，发现有些路径的权值为负。经过分析发现，因为在 程序中∞由32767代替。若cost[u][w]==32767，那么cost[u] [w]+dist[u]肯定溢出主负值，因此造成权值出现负值。但是如 果cost[u][w]==32767，那么dist[w]肯定不需重新置数。所以将 条件改为：if（s[w]==0&&cost[u][w]+dist[u] <dist[w]&&cost[u][w]!=32767）。 修改之后，问题果然解决。 3、 printpath1函数： 该函数主要用来输出源点到其余各点的最短路径。因为在主函数 调用该函数前，已经调用了dijkstra函数，所以所需的dist、 path、s数组已经由dijkstra函数生成，因此在该函数中，只需 用一变量控制循环，一一将path数组中的每一元素回溯至起点即