第十一章 无穷级数 11-3

∑
故此级数对一切 x ( −∞ < x < +∞ ) 绝对收敛
u n +1 α −n (3) lim = lim x =| x | n→∞ u n→ ∞ n + 1 n
敛； | 则当 x |< 1时， 级数收 ； | x |> 1时， 敛 当 级数发 ， 散 为何值. 而x = ±1时，级数是否收敛取决于 α 为何值.
∑un = u1 + u2 + L+ un +L
∞
un+1 满足条件 lim = ρ （其中ρ 可以为+ ∞） n→∞ un
收敛，且绝对收敛； 则当ρ < 1时，级数 ∑un 收敛，且绝对收敛； 当ρ > 1时，级数 ∑un 发散
n=1 n=1 ∞ ∞
判别下列级数的收敛性: 例 4 判别下列级数的收敛性
n =1
下面判断是否条件收敛 ，首先认定是交错级数 ， 但因不满足 un+1 ≤ un，所以莱布尼茨判定法 无效.
此处可用定义证明.
Q s2 n
或 s2 n
1 1 1 1 1 1 )+( ) + L+ ( ) =( − − − 3 2 5 4 2n + 1 2n
1 1 1 1 1 1 ) + L+ ( )+ =− +( − − 2 3 4 2n − 1 2n 2n + 1
任意项级数的敛散性
1.∑un绝对收敛： un 收敛； 绝对收敛： 收敛； ∑
∞
∞
2.∑un条件收敛： un 发散， un收敛； 条件收敛： 发散， 收敛； ∑ ∑
n=1 ∞
n =1 ∞
∞
3.∑un发散 .
n=1
n=1 ∞
n =1
n =1
定理2 若 定理
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
解
x − (1 + x ) )′ = Q( ( x ≥ 2) 2 < 0 x −1 2 x ( x − 1)
x 单调递减 , x−1 n = 0. 又 lim u n = lim n→ ∞ n→ ∞ n − 1 故函数
∴ un > un+1 ,
原级数收敛. 原级数收敛
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件； 必要条件； 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 结果如何？ 结果如何？ 2.判定 2.判定 un+1 < un的方法
三、小结
任意项级数
审 敛 法
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理 交错级数 莱布尼茨定理 莱布尼茨定理)
∞ຫໍສະໝຸດ Baidu
思考题1 思考题 设级数 ∑ | un |收敛, 收敛,
n =1
收敛? 能否推得 ∑ un 收敛?反
n =1
∞
之是否成立? 之是否成立?
思考题1解答 思考题 解答
收敛， 收敛, 由级数 ∑ | un |收敛 ，可以推得 ∑ un 收敛
n =1 n =1 ∞ ∞
反之不成立. 反之不成立 例如： 例如：
n1 ∑ ( −1) 收敛 收敛, n n =1 ∞
1 ∑ 发散 发散. n =1 n
∞
思考题2 思考题
判断级数 ∑
n= 2
∞
（ − 1）
n n
n + − 1） （ 绝对收敛？ 若收敛是条件收敛还是 绝对收敛？
是否收敛？ 是否收敛？
思考题2解答 思考题 解答
un =
∞ ∞ 1 1 > 而∑ 发散， 发散， n 2n n =1 2n n + − 1） （
1
∴ ∑ un 发散； 发散；
第三节 任意项级数的绝对与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 思考题
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 负项相间的级数称为交错级数.
∑ ( −1) n =1
∞
n −1
un或∑ ( −1) un (其中un > 0)
n n =1
∞
定理1 如果交错级数满足条件: 定理 1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
n=1 n
∞
sin n 的收敛性. 例 3 判别级数 ∑ 的收敛性. 2 n =1 n
解
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
故由定理知原级数收敛. 故由定理知原级数收敛
∞
定理3 如果任意项级数 定理
n=1
则此级数对一切 x ( −∞ < x < +∞ ) 绝对收敛
2n un+1 ∞ (2n)! 2 n x (2) lim = lim | x| ∑ ( −1) n →∞ u n →∞ (2n + 2)! ( 2n)! n ∞ n =1 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1 x 2 |x| =0 = lim n ! n=1 n →∞ (2n + 2)(2n + 1)
2 n→ +∞
n =1 ∞
b 3n 证明: = 0. 三、证明: lim n n → ∞ n! a
练习题答案
绝对收敛； 2. 条件收敛； 一、1. 绝对收敛； 2. 条件收敛； 3. 条件收敛. 3. 条件收敛.
);(ⅱ (ⅰ)un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ)limun = 0,
n→∞
则级数收敛, 则级数收敛,且其和s ≤ u1,其余项 rn 的绝对值
rn ≤ un+1.
例 1 判别交错级数
1 1 1 1− + − +L 2 3 4
的敛散性 . 1 1 2 L = u n + 1 ( n = 1，， ） 解 Q un = > n n+1 又 lim u n = 0 级数收敛. 故级数收敛 n→ ∞ ∞ ( − 1) n n 例 2 判别级数 ∑ 的收敛性. n−1 n=2
∴ s 2 n为单调减少有下界数列 ，
从而 lim s2 n = s； Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
n→ ∞
所以 lim sn = s ∴ 原级数收敛 . n→∞ n ∞ （ − 1） ∴ 级数 ∑ 条件收敛 . n n= 2 n + − 1） （
练 习 题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的, 一、 判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收 敛还是条件收敛? 敛还是条件收敛? ∞ 1 1 1 1 n −1 n 1. ∑ ( −1) ；2. − + − + L； n −1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 3 n =1 ∞ ( −1) n 3. ∑ . n = 2 n − ln n 存在,证明: 二、若 lim n un 存在,证明:级数 ∑ un 收敛 .
un +1 1)un +1 − un < 0； 2） < 1； un 3）相应函数的单调性 . ）
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？ 问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
xn (1) ∑ ; n = 0 n!
(3)
∞
x 2n (2) ∑ ( −1)n ; ( 2n)! n =1
n! xn
∞
∑
∞
α (α − 1 ) L (α − n + 1 )
n=1
un+1 | x| | x |n (n − 1)! ⋅ = lim =0 解 (1) lim u = lim n −1 n→∞ n→∞ n n→∞ n ! | x| n