第十一章 无穷级数 11-3
高等数学第11章 无穷级数
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解 部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
第十一章 无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了 解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错 级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概 念及二者的关系。
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
+
L
+
ln
n
+ n
1
拆项相消
Ch11-3幂级数 (1)
n 0
说明:据此定理
n a x n 的收敛半径为 R lim n 0
n
an an 1
证明 对级数 a n x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
lim
a n 1 x n 1 an x n
n
a n 1 lim x x, n a n
O
R
发散区域
x
推论
如果幂级数
n a x n 不是仅在 x 0 一点收敛, n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全 确定的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R 时,幂级数绝对收敛；
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
例3 求下列幂级数的收敛域.
(1)
n 2 1 n n ( 1) ( x ) ; (2) 2 n n 1
x 2 n 1 . n n 1 2
an 1 2 n 解(1) lim 2 lim n a n n 1 n
1 R , 2
1 1 即 x 收敛 , x ( 0,1)级数收敛 ; 2 2 1 级数为 , 发散; 当x 0时, n 1 n ( 1) n 当x 1时, 级数为 , 收敛. n n 1
第11章 无穷级数
11.1 常数项级数的概念和性质 11.2 常数项级数的审敛法 11.3 幂级数 11.4 函数展开成幂级数 11.5 函数的幂级数展开式的应用 11.6 傅里叶级数 11.7 周期为 2l 的周期函数的傅里叶级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第十一章 无穷级数
第十一章 无穷级数一、常数项级数1. 基本概念（1）无穷级数的定义： +++++=∑∞=n n n u u u u u 3211（2）级数的收敛与发散如果 s s n n =∞→lim ，则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, s 叫做级数∑∞=1n n u 的和，且1n n s u ∞==∑；如果n s 没有极限，则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.（3）性质性质1线性性质：设级数1n n u s ∞==∑，1n n v σ∞==∑，,αβ为常数，则1()n n n u v s αβαβσ∞=+=+∑.性质2 （级数收敛的必要条件）级数∑∞=1n n u 收敛.0lim =⇒∞→n n u如果级数的一般项不趋于零, 则级数发散。
（4）柯西审敛原理级数∑∞=1n n u 收敛⇔对任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n >N 时，对任意的自然数p ，有 12n n n p n p n u u u s s ε+++++++=-< 成立（5）几个典型常数项级数的敛散性 ① 等比级数 (几何级数)2n n n aq a aq aq aq ∞==+++++=∑ ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥∞+)( 1||,1)( 1||,收敛发散q q a q② 调和级数：=∑∞=11n n+++++n 131211 (发散)③ P-级数： ++++++=∑∞=pp p p n p n n1413121111 ⎩⎨⎧≤>发散时当收敛时当,1,1p p 【例1】判别级数1213nn n ∞=-∑的收敛性，并求级数的和。
解：由于12131133333n n n n n n n n n n n u --++==-=-，由定义2231223341(1)()()()3333333n n n n n S -+=-+-+-++-113nn +=- ∴1lim lim(1)13n n n n n S S →∞→∞+==-=所以原级数收敛，且和为1。
11-3_含参变量广义积分讲解
d
d
d
g( y)dy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 。
c
c
a
a
c
定理5： 设函数 f (x, y) , f y (x, y) 在区域
{(x, y) | a x , c y d} 上连续且积分
g( y) f (x, y) dx
0
2 1t2
及 ue 1t2 u2 dt eu2 I 0
分别对于t 及u是连续的, 积分互换后的逐次积分显然存在.
于是,(1)式中的积分顺序可以互换, 且有
I 2
dt
0
ue 1t2 u2 du
0
1 2
dt 0 1t2
.
4
I 0, I ex2 dx .
则含参变量无穷积分
f (x, y)g(x, y)dx
a
在 Y 上一致收敛。
对任意项级数（阿贝尔判别法）
若序列an 单调有界，而级数
则级数 anbn 收敛。 n1
bn
n1
收敛，
对函数项级数（Abel 判别法）
若函数项级数 an (x)bn (x) 满足： n1
（1）函数序列an (x) 对于固定的 x X 关于n单调，
都有
f x, y dx A
,
则称含参变量的无穷积分
a
f
x,
y dx
在
Y上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, ydx
a
在 Y上
点点收敛, 若存在常数 l 0 , 不论 N 多么大,
高等数学无穷级数111精品文档
的敛散性.
解 由于
nlimun
lim n2 2n5 n(3n1)(3n1)
1 9
0
发散
用级数收敛的必要条件 ln imun 0, 判别级数发散.
例
判别级数
n1
1 3n
lnn 3 3n
敛散性.
解
因调和级数
1
n 1 3 n 发散.
1
n1n(n51)21n
n1
5 n(n1)
n1
1 2n
n 1n(n 51)5n 1 n 1n1 1
令gn5kn1k1k11
5(1
1 ), n1
ln im gn5ln i (m 1n1 1)5,
常数项级数的基本概念
级数收敛的必要条件 lnimun 0
记住等比级数(几何级数) aq n 的收敛性
n0
基本审敛法
1. 当ln i m un0,则级数发散
2. 由定义, 若sns,则级数收敛
3. 按基本性质
级数收敛的必要条件: ln im un 0
设 un 为收敛级数, a为非零常数,
性质4 设级数 u n 收敛, 则对其各项任意
n1
加括号所得 新级数仍收敛于原级数的和.
注 ①一个级数加括号后所得新级数发散,
则原级数发散.
事实上, 设级数收敛, 根据性质4 加括后 的级数就应该收敛了.
②一个级数加括号后收敛, 原级数敛散 性不定.
例(如 11)(11)收敛 1111 发散
部分和定义 un 前n项 的 和 n1 S n u 1 u 2 u 3 u n
高等数学第11章 无穷级数
18
19
20
21
22
11.4 幂级数
幂级数是函数项级数的一种重要情形，我们首先介 绍函数项级数的几个基本概念。 11.4.1 函数项级数的一些基本概念设｛un（x）｝ 是定义在区间I上的一个函数列，则由这函数列所构成的 表达式
23
11.4.2 幂级数的基本概念
24
25
26
27
28
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
35
36
37
38
39
40
41
11.6 函数幂级数展开式的应用
11.6.1 近似计算 例11.28 计算ln2的近似值，误差不超过0.0001. 解 若用展开式
42
43
44
பைடு நூலகம்
45
46
47
11.7 傅立叶级数
11.7.1 三角级数 我们常会碰到周期运动，如描述简谐振动的正弦函 数
29
30
31
32
33
34
11.5 函数展开成幂级数
前面已讨论了幂级数的性质以及求一个收敛的幂级 数的和函数.若给定一个函数，能否找一个幂级数来表示 此函数？如果能找到，函数的幂级数表示式是否唯一？ 11.5.1 泰勒级数 高等数学上册讲过泰勒公式，若f（x）在点x0的某 邻域内存在n+1阶的连续导数，则
8
9
10
11
12
13
14
15
11.3 一般项级数
上节我们讨论了正项级数的敛散性，一般级数的敛 散性问题要比正项级数复杂，本节我们只讨论特殊类型 级数的敛散性问题。 11.3.1 交错级数
高等数学(三)第11章 无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．11.1 数项级数的概念及性质11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小球运动的总时间为+++++=k t t t t T 222321.这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义.令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1)的部分和数列．从形式上不难知道∑∞=1n n u =n n S ∞→lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞=1n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差∑∑∑∞+==∞==-=-111n k knk k k k n u u u S S叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |．例11.1.1 判定级数 ++⋅++⋅+⋅)1(1321211n n 的敛散性．解 所给级数的一般项为111)1(1+-=+=n n n n u n ，部分和)1(1321211+⋅++⋅+⋅=n n S n 111)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n ，所以1)111(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n ，故该级数收敛于1，即1)1(11=+∑∞=n n n ． 例11.1.2 考察波尔察诺级数∑∞=--11)1(n n 的敛散性．解 它的部分和数列是1, 0, 1, 0, … ,显然n n S ∞→lim 不存在，∑∞=--11)1(n n 发散．例11.1.3 讨论几何级数(也称等比级数)∑∞=0n naq +++++=n aq aq aq a 2的敛散性，其中a ≠ 0, q 称为级数的公比．解 该几何级数前n 项的部分和21(1),11 ,1n n n a q q qS a aq aq aq na q -⎧-≠⎪-=++++=⎨⎪=⎩， 当q = 1时，由于lim lim n n n S na →∞→∞==∞，所以级数发散；当q = -1时，级数变为 +-+-a a a a ，显然lim n n S →∞不存在，所以级数发散；当| q | > 1时，由于lim n n S →∞=∞，所以级数发散；当| q | < 1时，由于lim 1n n a S q →∞=-，所以级数收敛于1a q-．因此，几何级数0n n aq ∞=∑当| q | < 1时收敛于qa-1；当| q | ≥ 1时发散． 几何级数的敛散性非常重要，许多级数敛散性的判别，都要借助几何级数的敛散性来实现．11.2 .2 数项级数的性质根据级数敛散性的概念，可以得到级数的几个基本性质．12()n n n ku k u u u kS ++=+++=,112)()k k k n k u u u u u u +++++++-+++S S -lim ．从性质1的证明可以看出，如果n S 没有极限且k ≠0，则n σ也不可能有极限.换句话说，级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不改变．例如，47412)31(1313213231(32(3)1(2111=-=---+-=-+=-+∑∑∑∞=∞=∞=nn nn n n n n ．由性质4知，若级数加括号后发散，则原级数必发散．但加括号后收敛的级数，去括号后未必收敛．例如，级数⋅⋅⋅+-+-+-)11()11(11(）收敛，但去括号后级数⋅⋅⋅+-+-+-111111却发散．由级数收敛的必要条件可知，如果0lim ≠∞→n n u 或不存在，则级数一定发散．因此可用性质5判定级数∑∞=1n n u 发散性，有时性质５也称为“级数发散的第n 项判别法”．例11.1.4 判定级数∑∞=+112n n n 的敛散性．解 由于02112limlim ≠=+=∞→∞→n n u n n n ，故此级数发散．例11.1.5 证明调和级数 +++++n131211发散． 证明 将调和级数的两项、两项、四项、…、2m 项、… 加括号，得到一个新级数++++++++++++++++)21221121()81716151()4131()211(1m m m ．因为 2141414131 ,21211=+>+>+， ,218181818181716151=+++>+++，21212121212211211111=+++>+++++++++m m m m m m ， 所以新级数前m + 1项的和大于21+m ，故新级数发散．由性质4知，调和级数发散． 由于调和级数的一般项)(01∞→→=n nu n ，因此例5说明：级数的一般项u n 趋于零仅仅是级数收敛的必要条件，并非充分条件．所以，不可用性质５来判定级数的收敛性．例11.1.6 有甲，乙，丙三人按以下方式分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；按此方法一直下去.那么最终每人分得多少苹果？解 依题意，每人分得的苹果为+++++n 4141414132． 它是41==q a 的等比级数，因此其和为 3141141=-=S ． 即最终每人分得苹果的31．习题 11.11.写出下列级数的一般项．(1) -+-+-5645342312； (2) +-+-97535432a a a a ．2.判断下列级数的敛散性． (1))1(1n n n -+∑∞=； (2)∑∞=16sinn n π； (3) ++⋅-++⋅+⋅)12()12(1531311n n ； (4) +++++++41312110021；(5)n n n n-∞=-+-∑)11()1(11； (6))31(1n n n+∑∞=．11.2 数项级数的审敛法11.2.1正项级数及其审敛法对于正项级数∑∞=1n n u ，其部分和S n = S n -1 + u n ≥ S n -1 (n = 2, 3, …)，即部分和数列{S n }单调递增．若数列{S n }有界，则由单调有界数列必有极限的准则知，数列{S n }收敛，所以正项级数∑∞=1n n u 必收敛，设其和为S ，则有S n ≤ S ．反之，若正项级数∑∞=1n n u 收敛于S ，则由收敛数列必有界的性质知，数列{S n }必有界．于是我们得到下述重要结论：例11.2.1证明正项级数 +++++=∑∞=!1!21!111!10n n n 收敛．证明 因为),2,1( 2122211211!11 ==⋅⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=-n n n n ， 于是对任意的n ，有2221212111)!1(1!21!111-+++++≤-++++=n n n S,3213211211121<-=--+=--n n即正项级数∑∞=0!1n n 的部分和数列有界，故级数∑∞=0!1n n 收敛．利用定理11.2.1，可导出正项级数的若干审敛法，这里只介绍其中较为重要的两个．例11.2.2讨论广义调和级数(又称p —级数) +++++=∑∞=pppn pn n13121111 (其中p为常数)的敛散性．解 当 p ≤ 1时，有n n p 11≥，由于∑∞=11n n发散，由定理2.2知，p 级数发散． 当p >1时，取n x n ≤<-1，有ppx n 11≤，得到11111d d (2,3,)n n p pp n n x x n n n x --=≤=⎰⎰ 于是p 级数的部分和111123n p p p S n=++++231211111d d d np p pn x x x x x x -≤++++⎰⎰⎰1111111d 1(11,11n p p x x p n p -=+=+-<+--⎰即部分和数列{S n }有界，由定理11.2.1知，p 级数收敛．综上所述，当p > 1时，p 级数收敛 ；当p ≤ 1时，p 级数发散，以后我们常用p 级数作为比较审敛法时使用的级数．例11.2.3 判定下列级数的敛散性． (1) 2111n n ∞=+∑； (2)n ∞=． 解 (1) 因为22111n n u n ≤+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法知，级数∑∞=+1211n n 也收敛． (2) 因为n n n u n 111122=≥-=，而调和级数∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=-1211n n 也发散．使用比较审敛法时，需要找到一个敛散性已知的正项级数来与所给正项级数进行比较，这对有些正项级数来说是很困难的.自然提出这样的问题：能否仅通过级数自身就能判定级数的敛散性呢？如果正项级数的一般项中含有乘积、幂或阶乘时，常用比值审敛法判定其敛散性． 例11.2.4 判定下列级数的敛散性：(1) 2132nnn n ∞=∑； (2) 11(1)!n n ∞=-∑； (3)11(21)n n n ∞=+∑． 解 (1) 因为123)1(23lim 322)1(3lim lim 2221211>=+=⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n nn n ，所以级数∑∞=1223n n n n 发散．(2) 因为101lim !)!1(lim lim1<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ，所以级数∑∞=-1)!1(1n n 收敛． (3) 因为1)32)(1()12(lim lim1=+++=∞→+∞→n n n n u u n nn n ，此时比值审敛法失效，必须改用其他方法判别此级数的敛散性．由于22121)12(1n n n n u n <<+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法可知，级数∑∞=+1)12(1n n n 也收敛．11.2.2 交错级数及其审敛法交错级数的特点是正负项交替出现．关于交错级数敛散性的判定，有如下重要定理． 例11.2.5 判定交错级数 +-++-+--nn 1)1(41312111的敛散性．解 此交错级数的n u n 1=，且满足 1111+=+>=n n u n n u 且01lim lim ==∞→∞→n u n n n ，由定理11.2.4知，该交错级数收敛，其和小于1．11.2.3 任意项级数及其审敛法设有级数∑∞=1n n u ，其中u n ( n = 1, 2,…)为任意实数，称此级数为任意项级数．对于任意项级数，如何来研究其敛散性？除了用级数定义来判断外，还有什么办法？为此要介绍绝对收敛与条件收敛概念．1,2,)的级数，称为交错级例如，级数2111)1(n n n ∑∞=--绝对收敛，级数n n n 1)1(11∑∞=--条件收敛．定理11.2.5说明，对于任意项级数∑∞=1n n u ，如果它所对应的级数∑∞=1||n n u 收敛，则该级数必收敛，从而将任意项级数的敛散性判别问题转化为正项级数来讨论．但应注意，如果级数∑∞=1||n n u 发散，不能判定级数∑∞=1n n u 也发散．例11.2.6 判定级数∑∞=12)sin(n nn α的敛散性，其中α为常数． 解 由于n nn 212)sin(0≤≤α，而级数∑∞=121n n 是收敛的，由比较审敛法可知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛，即级数∑∞=12)sin(n n n α绝对收敛，由定理11.2.5知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛． 例11.2.7讨论交错p-级数p n n n 1)1(11∑∞=--的绝对收敛与条件收敛性，其中p 为常数．解 当p ≤ 0时，pn n nu 1)1(1--=不趋于)(0∞→n ，故该级数发散．当p >1时，有ppn n n11)1(1=--，且级数∑∞=11n p n收敛，故该级数绝对收敛．当0<p ≤ 1时，级数∑∞=11n p n 发散，但p n n n 1)1(11∑∞=--是交错级数，且满足定理11.2.4的条件，故所给级数条件收敛．习题11.21.用比较审敛法判定下列级数的敛散性． (1) ∑∞=-+133)1(n n n ；(2) )0(111>+∑∞=a an n ．2.用比值审敛法判定下列级数的敛散性．(1) ∑∞=⋅1!2n n nnn ； (2) ∑∞=123n n n ．3.判定下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) ;3)1(111-∞=-∑-n n n n (2) ∑∞=13sin n nn α． 11.3 幂 级 数11.3.1函数项级数的概念 实例1存款问题设年利率为r (实际上其随时间而改变)，依复利计算，想要在第一年末提取1元，第二年末提取4元，第三年末提取9元，第n 年末提取2n 元，要能永远如此提取，问至少需要事先存入多少本金？分析：这里本金为存入的钱，设为A ，则一年后本金与利息之和为一年的本利和，即为)1(r A +，两年后的本利和为2)1(r A +，n 年后的本利和为n r A )1(+.解 若本金A 为n r -+)1(元，n 年后可提取本利和1)1()1(=+⋅+-n n r r （元）.从而 若要n 年后提取本利和2n 元，则本金应为n r n -+)1(2元.所以为使第一年末提1元本利和，则要有本金1)1(-+r ；第二年末能提取本利和22=4元，则要有本金22)1(2-+r 元；第三年末能提取本利和32=9元，则要有本金32)1(3-+r 元，…第n 年末能提取2n 元本利和，则要有本金n r n -+)1(2元；如此下去，所需本金总数为∑∞=-+12)1(n n r n.令r x +=11，得∑∑∞=∞=-=+1212)1(n n n nx n r n .实例2中的∑∞=12n n x n 即为一个无穷级数，但通项不再是我们前面所学的常数，而是函数，称为函数项无穷级数．对于区间I 上的任意确定值x 0，函数项级数(3.1)便成为数项级数++++)()()(00201x u x u x u n ． (11.3.2) 如果数项级数(11.3.2)收敛，则称点x 0为函数项级数(11.3.1)的收敛点；如果数项级数 (11.3.2)发散，则称点x 0为函数项级数(3.1)的发散点．函数项级数(11.3.1)的全体收敛点（或发散点）的集合叫做该级数的收敛域（或发散域）．设函数项级数(11.3.1)的收敛域为D ，则对于任意的x ∈D ，函数项级数(11.3.1)都收敛，其和显然与x 有关，记作S (x )，称为函数项级数(11.3.1)的和函数，并记作D x x u x u x u x S n ∈++++=,)()()()(21 ．例如，级数201n n n x x x x ∞==+++++∑的收敛域为(-1,1)，和函数为x-11，即 01(1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑．把函数项级数(11.3.1)的前n 项的和记作S n (x )，则在收敛域上有)()(lim 1x S x S un n n n==∞→∞=∑．将 r n (x ) = S (x ) -S n (x )称作该函数项级数的余项，则0)(lim =∞→x r n n ．11.3.2 幂级数及其收敛性特别地，当x 0 = 0时，+++++=∑∞=n n n nn x a x a x a a x a 22100(11.3.4)称为关于x 的幂级数．本节主要讨论幂级数(11.3.4)，幂级数(11.3.3)可通过代换t = x – x 0化成幂级数(11.3.4)来研究．下面首先讨论幂级数(11.3.4)的收敛域问题，即x 取数轴上哪些点时幂级数(11.3 .4) 收敛．0,1,2,)，因此．定理11.3.1表明，如果幂级数(11.3.4)在x= x0处收敛(发散)，则对于开区间(-| x0 |, | x0 |)内(闭区间[-| x0 |, | x0 |]外)的一切x，幂级数(11.3.4)都收敛(发散) ．这样的正数R称为幂级数(11.3.4)的收敛半径．由于幂级数(11.3.4 )在区间(-R, R)一定是绝对收敛的，所以我们把(-R, R)称为幂级数(11.3.4)的收敛区间．幂级数在收敛区间内部有很好的性质．幂级数(11.3.4)在区间(-R, R)的两个端点x = ±R处可能发散也可能收敛，需要把x = ±R代入幂级数(11.3.4)，化为数项级数来具体讨论．一旦知道了x =±R处幂级数(3.4)的敛散性，则幂级数(11.3.4)的收敛域为下面四个区间(-R, R), [-R, R) , (-R, R ], [-R, R ]之一．若幂级数(11.3.4)仅在x = 0处收敛，则规定收敛半径R = 0，此时收敛域退缩为一点，即原点；若对一切实数x，幂级数(11.3.4)都收敛，则规定收敛半径R = +∞，此时收敛区间与收敛域都是(-∞, +∞)．下面给出幂级数(11.3.4)的收敛半径的求法．例11.3.1求下列幂级数的收敛半径．(1) 1(1)31nn n n x ∞=-+∑ (2) 0!n n x n ∞=∑； (3) 202n n n x ∞=∑．解 (1) 因311313lim 13)1(13)1(lim lim1111=++=+-+-==+∞→++∞→+∞→n n n n n n n n nn n a a ρ，故收敛半径31==ρR ． (2) 因011lim !1)!1(1lim lim1=+=+==∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n ρ，故收敛半径R = + ∞．(3) 因为该级数缺少奇次幂的项，定理3.2失效，换用比值审敛法求收敛半径．由于2(1)121212limlim 22n n n n n n nnx u x x u +++→∞→∞==，因此，由正项级数的比值审敛法知，当2112x <，即2||<x 时该幂级数绝对收敛；当2112x >，即2||>x 时该幂级数发散．故收敛半径2=R ． 例11.3.2 求下列幂级数的收敛区间和收敛域．(1) 11(1)n nn x n +∞=-∑； (2) 21(2)n n x n ∞=-∑． 解 (1) 因为11lim )1(1)1(lim lim121=+=-+-==∞→++∞→+∞→n nnn a a n n n n nn n ρ， 所以收敛半径11==ρR ，收敛区间是(-1, 1)，即该级数在(-1, 1)内绝对收敛．在端点x = 1处，级数成为交错级数∑∞=+-11)1(n n n ，这是收敛的级数．在端点x = -1处，级数成为∑∞=-11n n，这是发散的级数，故该级数的收敛域为(-1, 1]．(2) 令t = x -2，则所给级数变成∑∞=12n n nt ．因为 ,1)1(lim 1)1(1lim lim22221=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n nn n ρ故级数∑∞=12n n n t 的收敛半径11==ρR ，即级数∑∞=12n n nt 在区间(-1, 1)内绝对收敛．在端点t = 1处，级数∑∞=12n n n t 变成p 级数∑∞=121n n ，故收敛；在t = -1处，级数∑∞=12n n n t 变成交错级数∑∞=-121)1(n n n 也收敛．因此，幂级数∑∞=12n n n t 的收敛区间为(-1,1)，收敛域为[-1, 1]，从而级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛区间为(1,3)，收敛域为[1, 3]．(因为-1 ≤ t ≤ 1，即-1 ≤ x - 2 ≤ 1，所以13x ≤≤)．11.3.3幂级数的运算 1. 四则运算设幂级数∑∞=0n n n x a 和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R 1和R 2，它们的和函数分别为S 1(x )和S 2( x )，令R = min{ R 1, R 2}，则在(-R , R )内有(1) 加法运算(2) 乘法运算2. 分析运算设幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为(0)R R >)，在(-R , R )内的和函数为S (x )，则有(1) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内连续．(2) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可导，且有逐项求导公式：(3) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可积，且有逐项积分公式：注意：逐项求导和逐项积分前后，两幂级数具有相同的收敛半径和收敛区间． 例11.3.3 求下列幂级数的和函数． (1)11(11)n n nx x ∞-=-<<∑； (2)10(11)1n n x x n ∞+=-<<+∑．解 (1) 设11(), (1, 1)n n S x nx x ∞-==∈-∑，两端积分，得111()d d 1xxn n n n xS x x nx x x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， 上式两端对x 求导，得21(), (1, 1)(1)S x x x =∈--．(2) 设10(), (1, 1)1n n x S x x n ∞+==∈-+∑，两端对x 求导，得 ∑∑∞=∞=+-=='+='10111)1()(n n n n x x n n x S ．上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xS x S x x x-==---⎰， 而S ( 0 ) = 0，所以()ln(1), (1, 1)S x x x =∈---．例11.3.4求幂级数20, (1, 1)21nn x x n ∞=∈-+∑的和函数，并计算()2011212nn n ∞=+∑的值．解 设20(), (1, 1)21nn x S x x n ∞==∈-+∑，两端同时乘以x ，得,12)(012∑∞=++=n n n x x xS 两端对x 求导，得 ,1112])([202012x x n x x xS n nn n -=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∑∞=∞=+ 上式两端从0到x 积分，得 20111()ln ,211xx x x x xx S +==--⎰d 所以 11()ln , (1, 1)21x S x x x x+=∈--．因为21=x 在(-1, 1)内部，代入上式，得 3ln 211211ln21212112120=-+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=nn n ． 习题 11.31.求下列幂级数的收敛区间．(1) +⋅⋅+⋅+64242232x x x ； (2)∑∞=++-11212)1(n n nn x ；(3)∑∞=--122212n n nx n ； (4)∑∞=-1)5(n n n x ．2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数． (1) )11( 14014<<-+∑∞=+x n x n n ; (2)∑∞=+<<-+0)1(2)11( )1(2n n x x n ，并求级数∑∞=-+01221n n n 的和． 11.4 函数展开成幂级数前面我们讨论了幂级数在收敛域内求和函数的问题，在实际应用中常常遇到与之相反的问题，就是对一个给定的函数，能否在一个区间内展开成幂级数？如果可以，又如何将其展开成幂级数？其收敛情况如何？本节就来解决这些问题．11.4.1泰勒(Taylor)级数如果函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0, δ )内有定义，且能展开成x - x 0的幂级数，即对于任意的x ∈U ( x 0, δ )，有+-++-+-+=n n x x a x x a x x a a x f )()()()(0202010 ． (11.4.1)由幂级数的分析性质知，函数f (x )在该邻域内一定具有任意阶导数，且 ),2,1( )()!1(!)(01)( =+-++=+n x x a n a n x fn n n ． (11.4.2)在式(11.4.1)和式(11.4.2)中，令x = x 0，得)(00x f a =，!1)(01x f a '=，,!2)(02x f a ''= ,!)(,0)(n x f a n n =． (11.4.3) 将式(11.4.3)代入式(11.4.1)中，有+-++-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000．这说明，如果函数f (x )在x 0的某邻域U ( x 0, δ )内能用形如式(11.4.1)右端的幂级数表示，则其系数必由式(11.4.3)确定，即函数f (x )的幂级数展开式是唯一的．函数f (x )的泰勒级数(11.4.4)的前n + 1项之和记为S n +1(x )，即n n n x x n x f x x x f x x x f x f x S )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(2000001-++-''+-'+=+ ，并把差式f (x )- S n +1(x )叫做泰勒级数(4.4)的余项，记作R n ( x )，即)()()(1x S x f x R n n +-=．显然，只要函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0，δ )内具有任意阶导数，则它的泰勒级数(11.4.4) 就已经确定，问题是级数(11.4.4)是否在x 0的某邻域内收敛？若收敛，是否以f (x )为其和函数？为此有下面的定理．显然，使用定理11.4.1来进行收敛性的判定是困难的．下面直接给出余项R n (x )的表达式称上式为拉格朗日型余项．在实际应用，若取常数x 0 = 0，此时泰勒级数(11.4.4)变成称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)级数，其余项为11.4.2函数展开成幂级数将函数)(x f 展开成0x x -或x 的幂级数，就是用其泰勒级数或麦克劳林级数表示)(x f ．下面结合例题来研究如何将函数展开成幂级数．1. 直接展开法直接利用麦克劳林公式将函数f (x )展开为x 的幂级数的方法称为直接展开法，可以按照下列步骤进行(展开为(x -x 0)的幂级数与之类似)：第一步 求出函数f ( x )在x = 0处的各阶导数 ),0(,),0(),0(),0()(n ff f f '''．若函数在x = 0处的某阶导数不存在，就停止进行，该函数不能展开为x 的幂级数．例如，在点x = 0处，37)(x x f =的三阶导数不存在，它就不能展开为x 的幂级数．第二步 写出幂级数+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2并求出收敛半径R 及收敛区间(-R , R )．第三步 在收敛区间(-R , R )内，考察余项R n ( x )的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ(ξ介于0与x 之间)， 是否为零？如果为零，第二步所写出的幂级数就是函数f ( x )在(-R , R )内的展开式，即),(,!)0(!2)0()0()0()()(2R R x x n f x f x f f x f nn -∈+++''+'+= ．如果不为零，第二步写出的幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f ( x )． 例11.4.1将下列函数展开为x 的幂级数．(1) ()e x f x =； (2) x x f sin )(=； (3) m x x f )1()(+=(m 为任意常数)． 解 (1) 因为f (x ) = e x ，故f (n )(0 ) = 1( n = 0,1, 2,…)．从而e x 的麦克劳林级数为++++++!!3!2132n x x x x n ． 容易求得它的收敛半径R = +∞，下面考察余项1e ()(1)!n n R x x n ξ+=+， (ξ介于0与x 之间)． 因为ξ介于0与x 之间，所以||e e x ξ<，因而有||11e e |()|||||(1)!(1)!x n n n R x x x n n ξ++=<++． 对于任一确定的x 值，e |x |是一个确定的常数，而级数++++++!!3!2132n x x x x n是绝对收敛的，由级数收敛的必要条件可知0)!1(||lim 1=++∞→n x n n ， 所以 1||||lime 0(1)!n x n x n +→∞=+．由此可得，0)(lim =∞→x R n n ，这表明级数收敛于e x ，所以23e 1 ()2!3!!n x x x x x x n =++++++-∞<<+∞．(2) 因为x x f sin )(=，所以),2,1( )2sin()()( =+=n n x x f n π，则 ,)1()0(,0)0(,,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()12()2(n n n ff f f f f -==-='''=''='=+．于是sin x 的麦克劳林级数为++-++-+-+)!12()1(!7!5!312753n x x x x x n n ．它的收敛半径R = + ∞，考察余项的绝对值)(0)!1(||)!1()21sin()(11∞→→+≤+++=++n n x n x n x R n n n πξ．于是得展开式)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n．(3) 用同样的方法，可以推得牛顿二项展开式)11( !)1()1(!2)1(1)1(2<<-++--++-++=+x x n n m m m x m m mx x nm ．这里m 为任意实数．当m 为正整数时，就退化为中学所学的二项式定理．最常用的是12m =±的情形，读者可自己写出这两个式子．2．间接展开法以上几个例子是用直接展开法把函数展开为麦克劳林级数，直接展开法虽然步骤明确，但运算常常过于繁琐，尤其最后一步要考察n →∞时余项R n ( x )是否趋近于零，这不是一件容易的事．下面我们从一些已知函数的幂级数展开式出发，利用变量代换或幂级数的运算求得另外一些函数的幂级数展开式，这种将函数展开成幂级数的方法叫间接展开法．例11.4.2将下列函数展开为x 的幂级数． (1) x x f cos )(=; (2) )1ln()(x x f +=．解(1) 由例1中的(2)知，)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n，两边对x 逐项求导，得).( !2)1(!4!21cos 242+∞<<-∞+-+-+-=x n x x x x nn ）（ (2) 由牛顿二项展开式得)11( )1(11132<<-+-++-+-=+x x x x x xn n ．上式两端从0到x 逐项积分，得)11( 1)1(432)1ln(1432<<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ． 又因为当x = -1时该级数发散，当x = 1时该级数收敛，故有)11(11)1()1ln(10≤<-+-=++∞=∑x x n x n n n．例11.4.3将下列函数展开为x - 1的幂级数： (1) x x f ln )(=； (2) 2)(2--=x x x x f ． 解 (1) )]1(1ln[ln )(-+==x x x f ，利用)1ln(x +的展开式得),111( 1)1()1(3)1(2)1()1(ln 132≤-<-++--+--+---=+x n x x x x x n n 即 )20(1)1()1(ln 1≤<+--=+∞=∑x n x x n n n．(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--=--=x x x x x x x x x f 221131)1)(2(2)(2 ][)1(12)211(2131----+=x x ． 由)11( )1(110<<--=+∑∞=x x x n n n ，得 )1211( 21)1(212112111 2<-<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+x x x x x nn ． )111( )1()1()1(1)1(112<-<-+-++-+-+=--x x x x x n ． 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--∑∑∞=∞=002)1(2)21()1(21312n n n n n x x x x x n n n n x )1(22)1(3101-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+，)20(<<x ． 习题 11.41.将下列函数展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间． (1) xx f -=31)(； (2) x x f 2cos )(=； (3) x x f arcsin )(=． 2.将函数231)(2++=x x x f 展开成(x + 4)的幂级数．11.5幂级数展开式的应用利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算，即展开式成立的区间内，函数值用级数的部分和按规定的精度要求近似计算.例11.5.1计算2的近似值( 精确到小数点四位，即误差不超过0.0001).解 由于 ++--++-+⋅+=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(!11)1(2ααααααα21)211(2242-=-=根据上一节二项式展开式，取21-=x ，21=α 21)211(2242-=-=)21!453121!33121!21211(28642 -⋅⋅-⋅---=取前四项的和作为近似值，其差（称截断误差）为4r )21!5753121!4531(2108 +⋅⋅⋅+⋅⋅=0098.025225))21()21(211(21!45312910328≈=⋅=++++⋅⋅< 于是，近似值为≈24219.1)21!33121!21211(2642≈⋅---=.由“四舍五入”引起的误差叫做舍入误差. 计算时取五位小数，四舍五入后误差不会超过小数点后四位.本题如果用下面做法，展开的级数收敛很快，同样取前四项计算，误差很小.2150114.12-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+⋅+⋅+⋅+⨯= 43250112835501165501835012114.1取前四项来作计算， 则4142.1]50116550183501211[4.1232≈⋅+⋅+⋅+⨯≈前四项的截断误差⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⨯< 544501*********.1r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⨯⨯= 245015011501128354.1 83341025.65012814950128354.14950501128354.1-⨯≈⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=例11.5.2 计算2ln 的近似值(精确到小数点后第4位). 解 将展开式)11()1(432)1ln(1432≤<-+-++-+-=+-x nx x x x x x nn 中的x 换成x -，得)11(432)1ln(432<≤--------=-x nx x x x x x n两式相减，得到不含有偶次幂的展开式)11(7531211ln 753<<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+x x x x x x x令211=-+xx ，解出31=x .以31=x 代入得⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅+⋅+⋅= 753317131513131311122ln若取前四项作为2ln 的近似值，则误差为0001.0700001341911132])91(911[32)31131311113191(2||911211131194<<⨯=-⨯=+++<+⨯+⨯+⨯= r于是取 6931.0317131513131311122ln 753≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅≈.例11.5.3 利用x sin 求12sin 的近似值(精确到小数点后第6位). 解 由于展开式+--+-+-=--!)12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n （+∞<<∞-x ） 是交错级数，取前n 项部分和做近似估计，误差!)12(!)12()(1212+=+≤++n x n x x R n n n （+∞<<∞-x ）151801212ππ=⨯== x ，取前三项能满足精度要求，于是53)15(!51)15(!311515sin12sin ππππ+-≈= 20791170.0)20943951.0(1201)20943951.0(6120943951.053≈+-≈ 精确到六位小数，207912.012sin ≈.例11.5.4 计算定积分⎰=10sin dx x xI 的近似值，精确到0.0001.解 因1sin lim0=→xxx ，所给积分不是广义积分，若定义函数在0=x 处的值为1，则它在区间]1,0[上连续.由前一节知，被积函数的展开时为+--+-+-=--!)12()1(!5!31sin )1(2142n x x x x x n n （∞<<∞-x ） 在区间]1,0[上逐项积分，得⎰10sin dx x x+-⋅--++⋅-⋅+⋅-=-!)12()12(1)1(!771!551!33111n n n这是交错级数，因为第四项5109.2352801!771-⨯<=⋅，所以取前三项的和作为积分的近似值就能满足精度要求.0.9461!551!3311≈⋅+⋅-≈I 例11.5.5 在爱因斯坦（Einstein ）的狭义相对论中，速度为v 的运动物体的质量为220/1cv m m -=其中0m 为静止着的物体的质量，c 为光速.物体的动能是它的总动能与它的静止能量之差202c m mc K -=（1）证明在v 与c 相比很小时，关于K 的表达式就是经典牛顿物理学中的动能公式2021v m K =（2）估计s m v /100≤时，这两个动能公式的差别.解 （1）]1)1[(212220202--=-=-cv c m c m mc K ，记22c v x -=，展开成泰勒级数，有]1)16583211[(66442220-+⋅+⋅+⋅+= cv c v c v c m K)1658321(66442220 +⋅+⋅+⋅=cv c v c v c m当cv 很小时，2022202121v m c v c m K =⋅⋅≈.(2) 由解(1)可见，泰勒公式中一阶余项为（22cv x -=）252240225202252021)-(83)1(83)1(83!2)()(v c cv m x x c m x x c m x x f x r =+≤+=''=θθ（10<<θ）.因为s m c /1038⨯=，s m v /100≤，则252240225201)(83)1(83)(v c cv m x x c m x r +=-≤010252283840)107.4(]100-103[8)103(1003m m -⨯<⨯⨯⨯⨯≤）（）（.可见，误差极小，说明两个公式极为接近.习题 11.51．利用函数的幂级数展开式求下列各函数的近似值： （1）ln 3（误差不超过0.0001）； （2）cos2︒（误差不超过0.0001）；2．利用函数的幂级数展开式求下列定积 分的近似值：（1）0.54011dx x +⎰（误差不超过0.0001）； （2）0.5arctan xdx x⎰（误差不超过0.001）； 11.6傅里叶级数实例1振动问题一根弹簧受力后产生振动，如不考虑各种阻尼，其振动方程为)sin(ϕω+=t A y ，其中A 为振幅，ω为频率，ϕ为初相，t 为时间，称为简谐振动.人们对它已有充分的认识.如果遇到复杂的振动，能否把它分解为一系列简谐振动的叠加，从而由简谐振动去认识复杂的振动呢?实例2正弦波问题在电子线路中，对一个周期性的脉冲)(t f ，能否把它分解为一系列正弦波的叠加，从而由正弦波去认识脉冲)(t f 呢?实际上科学技术中其他一些周期运动也有类似的问题，这些问题的解决都要用到一类重要的函数项级数―傅里叶级数.为了研究傅里叶级数，我们先来认识下面一个概念—三角级数.它在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数的一般形式是)sin cos (210nx b nx a a n n n ++∑∞=, 其中n n b a a ,,0 ( n = 1,2,…)都是常数，称为三角级数的系数．特别地，当a n = 0 ( n = 0,1,2,…)时，级数只含正弦项，称为正弦级数；当b n = 0 ( n = 1,2,…)时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数．对于三角级数，我们讨论它的收敛性以及如何把一个周期为2l 的周期函数展开为三角级数的问题．11.6.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 1三角函数系 函数列,sin cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos 1nx nx x x x x ，， (11.6.1)称作三角函数系．三角函数系(11.6.1)有下列重要性质．这个定理的证明很容易，只要通过积分的计算即可验证，请读者自己进行．设两个函数ϕ和φ在[,]a b 上可积，且满足⎰=bax x x 0d )()(φϕ，则称函数ϕ和φ在[,]a b 上正交．由定理11.6.1，三角函数系(11.6.1)在[,]ππ-上具有正交性，称为正交函数系．-π2 周期为2π的函数的傅里叶级数设函数f (x )是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数，即设)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n++=∑∞= (11.6.2)为了求出式(11.6.2)中的系数，假设式(11.6.2)可逐项积分，把它从-π到π逐项积分，得1()(cos sin ),2n n k a f x x x a nx x b nx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d 由三角函数系的正交性知，上式右端除第一项外均为0，所以0(),2a f x x x a πππππ--==⎰⎰d d 于是得01(),a f x x πππ-=⎰d 为求a n ( n = 1,2,…)，先用cos kx 乘以式(5.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()cos cos (cos cos sin cos )2n n k a f x kx x kx x a nx kx x b nx kx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d ．由三角函数系正交性知，上式右端除k = n 的一项外其余各项均为0，所以2()cos cos ,n n f x nx x a nx x a πππππ--==⎰⎰d d于是得1()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．类似地，为求b n ( n = 1,2,…)，用sin kx 乘以式(11.6.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()sin (1,2,3,). n b f x nx x n πππ-==⎰d显然，当f (x )为奇函数时，公式(5.3)中的a n = 0 (n = 0, 1, 2, 3,…)；当f (x )为偶函数时，公式(11.6.3)中的b n = 0 (n = 1, 2, 3,…)，所以有(1) 当f (x )是周期为2π的奇函数时，其傅里叶级数为正弦级数nx b n n sin 1∑∞=，其中2()sin (1,2,3,) n b f x nx x n πππ-==⎰d ；(2) 当)(x f 是周期为2π的偶函数时,其傅里叶级数为余弦级数nx a a n n cos 21∑∞=+，其中 2()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．3 傅里叶级数的收敛性对于给定的函数)(x f ，只要)(x f 能使公式(5.3)的积分可积，就可以计算出)(x f 的傅里叶系数，从而得到)(x f 的傅里叶级数．但是这个傅里叶级数却不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于)(x f ．为了确保得出的傅里叶级数收敛于)(x f ，还需给)(x f 附加一些条件．对此有下面的定理．2,3,)2,3,)例11.6.1 正弦交流电i (x ) = sin x 经二极管整流后变为(如图11.6.1)⎩⎨⎧+<≤<≤-=ππππ)12(2,sin 2)12(,0)(k x k x k x k x f ,其中k 为整数．把函数f (x )展开为傅里叶级数．解 函数)(x f 满足收敛定理的条件，且在整个数轴上连续，因此)(x f 的傅里叶级数处处收敛于)(x f ．函数f (x )的傅里叶系数为00112()sin a f x x x x ππππππ-===⎰⎰d d ，图11.6.120,11()cos d sin cos d 2,1)n n a f x nx x x nx x n n ππππππ-⎧⎪===⎨-⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数（， 00,111()sin d sin sin d 1, 12n n b f x nx x x nx x n πππππ-≠⎧⎪===⎨=⎪⎩⎰⎰．所以)(x f 的傅里叶展开式为)142cos 356cos 154cos 32cos (2sin 211)(2 +-++++-+=k kx x x x x x f ππ，)(+∞<<-∞x ． 例11.6.2 如图11.6.2所示，一矩形波的表达式为⎩⎨⎧+<≤<≤--=ππππ)12(2,12)12(,1)(k x k k x k x f ，k 为整数．求函数)(x f 的傅里叶级数展开式．图11.6.2解 函数)(x f 除点x = k π ( k 为整数)外处处连续，由收敛定理知，在连续点(x ≠ k π)处，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ．在不连续点(x = k π)处，级数收敛于02)1(1=-+．又因)(x f 是周期为2π的奇函数，因此，函数)(x f 的傅里叶系数为0 (0,1,2,3,)n a n ==，004,22()sin d 1sin d 0, n n n b f x nx x nx x n πππππ⎧⎪==⋅=⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数．所以)(x f 的傅里叶展开式为)( )12)12sin(55sin 33sin (sin 4)(为整数，k k x k xk x x x x f ππ≠+--++++= ．该例中)(x f 的展开式说明：如果把)(x f 理解为矩形波的波函数，则矩形波可看作是由一系列不同频率的正弦波叠加而成．4 [-,]ππ或[0,]π上的函数展开成傅里叶级数在实际应用中，经常会遇到函数)(x f 只在[-π, π]上有定义，或虽在[-π, π]外也有定义但不是周期函数，而且函数)(x f 在[-π, π]上满足收敛定理的条件，要求把其展开为傅里叶级数．由于求)(x f 的傅里叶系数只用到)(x f 在[-π, π]上的部分，所以我们仍可用公式(11.6.3)求()f x 的傅里叶系数，至少)(x f 在(-π，π)内的连续点处傅里叶级数是收敛于)(x f的，而在x =±π处，级数收敛于)]0()0([21+-+-ππf f ．类似地，如果)(x f 只在[0, π]上有定义且满足收敛定理条件，要得到)(x f 在[0, π]上的傅里叶级数展开式，可以任意补充)(x f 在[-π, 0]上的定义(只要公式(11.6.3)中的积分可积)，称为函数的延拓，常用的两种延拓办法是把)(x f 延拓成偶函数或奇函数(称为奇延拓或偶延拓)，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅里叶级数，再限制x 在[0, π]上，此时延拓后的函数F (x )≡f (x )，这个级数必定是正弦级数或余弦级数，这一展开式至少在(0, π)内的连续点处是收敛于)(x f 的．这样做的好处是可以把)(x f 展开成正弦级数或余弦级数．例11.6.3 将函数f (x ) = x, x ∈[0, π ]分别展开成正弦级数和余弦级数．解 为了把)(x f 展开成正弦级数，先把)(x f 延拓为奇函数F (x ) = x, x ∈[-π, π]，如图11.6.3所示，则1222()sin sin (1)n n b F x nx x x nx x nππππ+==⋅=-⎰⎰d d ． 由此得F (x )在(-π, π)上的展开式，也即)(x f 在[0, π)上的展开式为)0( )sin )1(33sin 22sin (sin 21π<≤+-+-+-=+x nnxx x x x n ． 在x = π处，上述正弦级数收敛于 图11.6.30)(21)]0()0([21=+-=-++-ππππf f ． 为了把)(x f 展开成余弦级数，把)(x f 延拓为偶函数||)(x x F =, x ∈[-π, π]，如图11.6.4所示，则0022()a F x x x x πππππ===⎰⎰d d ，222()cos d cos d 4, (1,2,)0,n a F x nx x x nx xn n n n πππππ==-⎧⎪==⎨⎪⎩⎰⎰为奇数时为偶数时 于是得到)(x f 在[0, π]上的余弦级数展开式为 图11.6.4。
高数11-3(幂级数的概念、性质与求和)
power series
函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算
1
第十一章 无穷级数
幂级数
一、函数项级数的概念
1.定义 定义1 设u1( x), u2( x), un( x)为定义在(a, b)内 的函数序列, 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
把函数项级数中的变量x视为参数, 通过常数 项级数的敛散性判别法, 来判定函数项级数对哪 些 x 值收敛,哪些 x 值发散, 这是确定函数项级数 收敛域的基本方法.
7
幂级数
二、幂级数及其收敛性
1.定义
定义 如下形式的函数项级数
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n
x
x
14
幂级数
(1)如果lim an1 ( 0)存在,
n an
比
值
当|
x
|
1
时,级数 |
n0
an xn
|
收敛,
审
敛
从而级数
an xn 绝对收敛.
法
n0
当|
x
|
1
时,
级数 |
n0
an xn
|
发散,
lim an1 | x |
n an
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
13
幂级数
定理2 如果幂级数 an xn的所有系数 an 0
n0
设
lim an1 n an
(或 lim n
n an
）
(1) 当
0时,
R
1
;
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数(一)1．解：∵()∑=∞→-+=+-+=nk n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数发散。
2．解：∵()∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=nk n k n n k k k k S 1141221212122121212221，(∞→n )，∴原级数收敛且和为41。
3．解：∵4121511511513113113151315131111+→-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑===n n nk k n k n k k k k n S43=，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。
4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n nn n ，∴由比值判别法知原级数发散。
5．解：∵()1111lim 1lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U en e n n en nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
6．解：∵02121limlim ≠=+=∞→∞→n n U n n n ，∴原级数发散。
7．解：∵()()2332lim 1lim=++=∞→∞→n n n n nU n n n ，而∑∞=11n n发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵()()0111lim !!11lim lim 4441=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n U U n n nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵13113lim 13lim lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→n n n n U n n nn n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵≤，而2121l i m 21l i m =-=+∞→∞→nn n n n n ，故121l i m <=∞→n n n U ，∴由根值判别法知，原级数收敛。
2014考研数学基础课件第11章无穷级数
(1)
n 1
u n1 n ((ii｛i)) ulnni｝m单u调n递减0.
(u n
0)
第7页，共50页。
(1) u n1 n收敛.
n 1
7
★正项级数审敛程序：
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 根值审敛法
lim un1
u n n
lim n
n
un
比较审敛法
1不确定
定义法
用其它法判别 性质法
n1
1
发散 ,
n1 n 1
故原级数发散 .
第9页，共50页。
9
请熟记：lim n n 1; lim n a 1(a 0)
n
n
解(2)
P323 题2(1)
1 发散 , 故原级数发散 .
n n1
(3)
n2 sin
n1
2n
解(3) lim un1
u n n
lim
n
(
n
1)2
sin
2n1
C.
u 收敛 n
u 收敛. n
若
un收敛
un1收敛.
n1
n1
n1
n1
性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性. 16
第16页，共50页。
16
3. [04数三、4分] 设有下列命题：
(1) 若 (u2n1 u2n ) 收敛，则 un收敛.
n1
n1
(2) 若 un收敛，则 un1000 收敛.
n1
n1
n1
n1
性质2. 设 两un，级v数n收收敛敛 s ( un vun )n收，敛且 ( unvn，vn ) ( un vn ).
第十一章-无穷级数(习题及解答)
2.若 ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
3.设级数(1) 与(2) ，则( )．
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛．答 .
4.设级数(1) 与(2) ,则( ).
； ；
； ．答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数， 傅里叶级数为 ．
答： 其中
2. 是以 为周期的偶函数， 傅里叶级数为 ．
答：
3. 是以 为周期的奇函数， 傅里叶级数为 ．
答：
4.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
5.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
6.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
在区间 上正交； 以上结论都不对．答 .
2.函数系
在区间 上正交； 在区间 上不正交；
不是周期函数； 以上结论都不对．答 .
3.下列结论不正确的是( )．
； ；
； ．答 .
4. 是以 为周期的函数，当 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．
； ；
； ．答 .
5. 是以 为周期的函数，当 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ,则( )．
若 收敛,则 发散； 若 发散,则 发散；
若 收敛,则 发散； 若 收敛,则 未必收敛．答 .
2.下列结论正确的是( )．
收敛，必条件收敛； 收敛，必绝对收敛；
发散，则 必条件收敛；
收敛，则 收敛．答 .
2.下列级数中，绝对收敛的是( )．
; ；
； ．答 .
高等数学第十一章 无穷级数
三 绝对收敛与条件收敛
定理1 如果级数（6）的个项的绝对值 所构成的级数（7）收敛，则级数（6）收敛。
例9
证明级数 sin n 绝对收敛。
n1 n4
第四节幂级数
一函数项级数的一般概念
如果给定一个定义在区间 I 上的函数列
x
2n
的收敛半径。
例5
求幂级数 ( x 1)n n1 2n n
的收敛区间。
三 、 幂级数的运算
1。幂级数（3）的和函数 s(x) 在收敛区间 (R, R) 内是连续的。如果幂级数（3）在收敛区间
的端点 x R(或x R)也收敛，则和函数 在 x R 处左连续（或 x R 在处右连续）。
n un 则当 1 时级数收敛； 1 时级数发散； 1 时级数可能收敛也可能发散。
例5 证明级数
1
1 1
1 1 2
1
1 2
3
1
2
1 3(n
1)
是收敛的，并估计以级数的部分和 sn 近似
代替和 s 所产生的误差。
例6 判别级数 的收敛性。
1 10
二幂级数及其收敛性
函数项级数中简单而常见的一类级数就是所谓 幂级数，它的形式是
a0 a1 x a2 x2 an xn ,
其中常数叫做幂级数的系数。
定理1（阿贝耳(Abel)定理）
如果级数（3）当时 x x0 ( x0 0) 收敛， 则适合不等式 | x || x0 | 的一切 x 使幂级数
第十一章无穷级数-文档资料
sn u1 u2 un ,
11 1
1
例如 sn 2 22 23 2n
2. 级数的收敛与发散:
定义
如果
un的部分和数列
sn
有极限
s,
即
lim
n
sn
n1
s，
则称无穷级数
un
n1
收敛,
这时极限 s叫做级数的和.并写成
s u1 u2 u3
如果sn 没有极限,则称无穷级数 un发散.
一、常数项级数的概念
引例：一个人向距他一米远的目标走去,
如果每次前进该距离的一半路程. 记录他
走过的路程之和, 问他在有生之年能够到
达目标吗？
所走路程之和
1 2n
1
第n步 不可能达到
1. 级数的定义
由数列 u1 , u2 ,un 构成的表达式
1
1
s2n sn n 1 n 2
1 n 1, 2n 2n 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是 lim( s2n sn ) s s 0,
n
便有
0 1 2
(n )
这是不可能的.
调和级数发散 .
级数收敛的必要条件的应用
级数
un
收敛
lim
n
un
0.
n1
级数
un
n1
发散
lim
n1
常数项级数收敛(发散)
lim n
sn存在(不存在)
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn存在(不存在)
引例中
11 1 sn 2 22 23
lim
n
sn
1,
1 2n
高等数学 课件 PPT 第十一章 无穷级数
第二节 正项级数及其审敛法
定 理3
（比较审敛法的极限形式）设有两个正项级数
(1)如果
级数
收敛.
，且级数 收敛，则
(2)如果
，且级数
发散，则级数
发散．
第二节 正项级数及其审敛法
证 因为 n>N时
对任给ε>0，存在正整数N，当
（1）当n>N时
因为 收敛，由比较审敛法的推论可知
也收敛．
第二节 正项级数及其审敛法
则 （1）当ρ<1时，级数 （2）当ρ>1时，级数 （3）当ρ=1时，级数
收敛. 发散（包括ρ=∞）. 可能收敛也可能发散．
第二节 正项级数及其审敛法
证 由极限的定义可知，对任给ε>0，存在正整数N， 当n>N时，不等式
成立． （1）当ρ<1时，取ε使得ρ+ε=q<1，于是当n>N时，
即
第二节 正项级数及其审敛法
二、收敛级数的基本性质
性质1
设k为非零常数，若级数 敛，且其和为ks.
收敛于和s，则级数
也收
证明
设级数
，
的部分和分别为sn，τn，则
二、收敛级数的基本性质
于是
因此，级数
也收敛，且其和为ks.
二、收敛级数的基本性质
性质2
若级数
与
分别收敛于s与τ，则级数
也收敛，其和为 s±τ.
二、收敛级数的基本性质
第二节 正项级数及其审敛法
容易看出，上式各项小于下面级数所对应的各项，即
因为后一个级数是公比为
的等比级数，并且由
得知r<1．所以该级数收敛．再根据比较审敛法推得前 一个级数也收敛．又因为收敛的正项级数去掉括号后仍收敛，所以 原级数收敛．
无穷级数
第十一章 无穷级数Chapter 11 Infinite Series11.1 常数项级数的概念和性质(The Concept and Properties of the Constant Series) 一、 常数项级数的概念(The Concept of the Constant Series)一般的，如果给定一个数列123,,,, n u u u u ，则由这个数列构成的表达式 123++++ nu u +u u(1)叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为1∞=∑n n u ，即1231∞==++++∑nnn uu u +uu其中第n 项n u 叫做劫数的一般项。
123+++ n n s =u u +u u 称为级数(1)的部分和。
Generally, for the given sequence 123,,,, n u u u u ,the formula 123++++ nu u +u uis called the infinite series of the constant term, denoted by1∞=∑nn u,that is1231∞==++++∑nnn uu u +uuWhere the nth term n u is said to be the general term of the series, moreover, the nth partical sum of the series is given by 123+++ n n s =u u +u u .定义 如果级数1∞=∑n n u 的部分和数列{}n s 有极限s ，即l i m→∞n n s =s ，则称无穷级数1∞=∑nn u收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123=++++ n s u u +u u ；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1∞=∑n n u 发散。
Definition The infinite series1∞=∑nn uconverges and has sum s if the sequence of partialsums {}n s converges to s ,that is lim →∞n n s =s .If {}n s diverges, then the series1∞=∑nn udiverges. A divergent series has no sum.等比级数(Geometric Series)无穷级数0∞==∑ n 2n n aq a +aq +aq ++aq +叫做等比级数(又称为几何级数)，其中0≠a ，q叫做级数的公比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∑
故此级数对一切 x ( −∞ < x < +∞ ) 绝对收敛
u n +1 α −n (3) lim = lim x =| x | n→∞ u n→ ∞ n + 1 n
敛； | 则当 x |< 1时， 级数收 ； | x |> 1时， 敛 当 级数发 ， 散 为何值. 而x = ±1时，级数是否收敛取决于 α 为何值.
第三节 任意项级数的绝对与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 思考题
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 负项相间的级数称为交错级数.
∑ ( −1) n =1
∞
n −1
un或∑ ( −1) un (其中un > 0)
n n =1
∞
定理1 如果交错级数满足条件: 定理 1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
∞
思考题2 思考题
判断级数 ∑
n= 2
∞
（ − 1）
n n
n + − 1） （ 绝对收敛？ 若收敛是条件收敛还是 绝对收敛？
是否收敛？ 是否收敛？
思考题2解答 思考题 解答
un =
∞ ∞ 1 1 > 而∑ 发散， 发散， n 2n n =1 2n n + − 1） （
1
∴ ∑ un 发散； 发散；
n =1
下面判断是否条件收敛 ，首先认定是交错级数 ， 但因不满足 un+1 ≤ un，所以莱布尼茨判定法 无效.
此处可用定义证明.
Q s2 n
或 s2 n
1 1 1 1 1 1 )+( ) + L+ ( ) =( − − − 3 2 5 4 2n + 1 2n
1 1 1 1 1 1 ) + L+ ( )+ =− +( − − 2 3 4 2n − 1 2n 2n + 1
三、小结
任意项级数
审 敛 法
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛 2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理 交错级数 莱布尼茨定理 莱布尼茨定理)
∞
思考题1 思考题 设级数 ∑ | un |收敛, 收敛,
n=1 n
∞
sin n 的收敛性. 例 3 判别级数 ∑ 的收敛性. 2 n =1 n
解
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
故由定理知原级数收敛. 故由定理知原级数收敛
∞
定理3 如果任意项级数 定理
n=1
un +1 1)un +1 − un < 0； 2） < 1； un 3）相应函数的单调性 . ）
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？ 问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
xn (1) ∑ ; n = 0 n!
(3)
∞
x 2n (2) ∑ ( −1)n ; ( 2n)! n =1
n! xn
∞
∑
∞
α (α − 1 ) L (α − n + 1 )
n=1
un+1 | x| | x |n (n − 1)! ⋅ = lim =0 解 (1) lim u = lim n −1 n→∞ n→∞ n n→∞ n ! | x| n
解
x − (1 + x ) )′ = Q( ( x ≥ 2) 2 < 0 x −1 2 x ( x − 1)
x 单调递减 , x−1 n = 0. 又 lim u n = lim n→ ∞ n→ ∞ n − 1 故函数
∴ un > un+1 ,
原级数收敛. 原级数收敛
注意 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件； 必要条件； 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立， 结果如何？ 结果如何？ 2.判定 2.判定 un+1 < un的方法
);(ⅱ (ⅰ)un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ)limun = 0,
n→∞
则级数收敛, 则级数收敛,且其和s ≤ u1,其余项 rn 的绝对值
rn ≤ un+1.
例 1 判别交错级数
1 1 1 1− + − +L 2 3 4
的敛散性 . 1 1 2 L = u n + 1 ( n = 1，， ） 解 Q un = > n n+1 又 lim u n = 0 级数收敛. 故级数收敛 n→ ∞ ∞ ( − 1) n n 例 2 判别级数 ∑ 的收敛性. n−1 n=2
2 n→ +∞
n =1 ∞
b 3n 证明: = 0. 三、证明: lim n n → ∞ n! a
练习题答案
绝对收敛； 2. 条件收敛； 一、1. 绝对收敛； 2. 条件收敛； 3. 条件收敛. 3. 条件收敛.
∴ s 2 n为单调减少有下界数列 ，
从而 lim s2 n = s； Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
n→ ∞
所以 lim sn = s ∴ 原级数收敛 . n→∞ n ∞ （ − 1） ∴ 级数 ∑ 条件收敛 . n n= 2 n + − 1） （
练 习 题
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的, 一、 判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收 敛还是条件收敛? 敛还是条件收敛? ∞ 1 1 1 1 n −1 n 1. ∑ ( −1) ；2. − + − + L； n −1 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 3 n =1 ∞ ( −1) n 3. ∑ . n = 2 n − ln n 存在,证明: 二、若 lim n un 存在,证明:级数 ∑ un 收敛 .
∑un = u1 + u2 + L+ un +L
∞
un+1 满足条件 lim = ρ （其中ρ 可以为+ ∞） n→∞ un
收敛，且绝对收敛； 则当ρ < 1时，级数 ∑un 收敛，且绝对收敛； 当ρ > 1时，级数 ∑un 发散
n=1 n=1 ∞ ∞
判别下列级数的收敛性: 例 4 判别下列级数的收敛性
n =1
收敛? 能否推得 ∑ un 收敛?反
n =1
∞
之是否成立? 之是否成立?
思考题1解答 思考题 解答
收敛， 收敛, 由级数 ∑ | un |收敛 ，可以推得 ∑ un 收敛
n =1 n =1 ∞ ∞
反之不成立. 反之不成立 例如： 例如：
n1 ∑ ( −1) 收敛 收敛, n n =1 ∞
1 ∑ 发散 发散. n =1 n
则此级数对一切 x ( −∞ < x < +∞ ) 绝对收敛
2n un+1 ∞ (2n)! 2 n x (2) lim = lim | x| ∑ ( −1) n →∞ u n →∞ (2n + 2)! ( 2n)! n ∞ n =1 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1 x 2 |x| =0 = lim n ! n=1 n →∞ (2n + 2)(2n + 1)
任意项级数的敛散性
1.∑un绝对收敛： un 收敛； 绝对收敛： 收敛； ∑
∞
∞
2.∑un条件收敛： un 发散， un收敛； 条件收敛： 发散， 收敛； ∑ ∑
n=1 ∞
n =1 ∞
∞
3.∑un发散 .
n=1
n=1 ∞
n =1
n =1
定理2 若 定理
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.