【高中】2016高中数学人教B版必修五数列求和双基达标练

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习题课数列求和

1．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋4)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)的前m项和为2 036，则m的值为( )．A．8 B．9

C．10 D．11

解析an＝2n－1，Sn＝2n＋1－n－2，代入选项检验即得m＝10.

答案 C

2．已知数列{an}的通项为an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是

( )．

A．n(n＋2) B.n(n＋4)

C.n(n＋5)

D.n(n＋7)

解析a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.

∴bn＝n＋2，

∴{bn}的前n项和Sn＝.

答案 C

3．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )．A．0 B．1

C．－1 D．2

解析S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，

S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，

S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，

所以S17＋S33＋S50＝1.

答案 B

4．数列1，，，…的前n项和Sn＝.

解析数列第k项ak＝＝

＝2(－)

∴Sn＝2(1－＋－＋…＋－)

＝2(1－)＝.

答案

5．设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈Z)，则f(n)＝.

解析f(n)为等比数列的和，即首项为2，公比为23的等比数列前n＋1项的和

∴f(n)＝＝(8n＋1－1)．

答案(8n＋1－1)

6．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足2Sn＝3an －3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，

前n 项和为Tn ，求证：对于任意的正数n ，总有Tn<1.

(1)解 由已知得(n ≥2)．

故2(Sn －Sn －1)＝2an ＝3an －3an －1，即an ＝3an －1(n ≥2)． 故数列{an}为等比数列，且q ＝3.

又当n ＝1时，1＝1－3，

∴a1＝3.

∴an ＝3n.

(2)证明 bn ＝＝－.

∴Tn ＝b1＋b2＋…＋bn

＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.

7．数列{an}的通项公式an ＝，若前n 项的和为10，则项数为( )．

A ．11

B ．99

C ．120

D ．121 解析 ∵an ＝＝－，

∴Sn ＝－1＝10，

∴n ＝120.

答案 C

8．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20，共有十项，且其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10的值为

( )． A ．31

B ．120

C ．130

D ．185

解析 a 1＋a 2＋…＋a 10＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20) ＝240－2＋20×102＝130. 答案 C 9．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝ .

解析 (1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋…＋2＋1

＝100×100＋12

＝5 050. 答案 5 050 10．数列{a n }的前n 项和为S n ；若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则T n ＝

1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 .

解析 由S n ＝2a n －1得，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，

∴a n ＝2a n －1，由a 1＝2a 1－1得a 1＝1，

∴a n ＝2n －1，则1

a n a n ＋1＝(12)n －1·(12

)n

＝(12)2n －1， ∴T n ＝12＋(12)3＋…＋(12)2n －1 ＝121－14n 1－14＝23(1－14n )． 答案 23(1－14

n ) 11．求和1＋322＋423＋…＋n 2n －1＋n ＋12

n . 解 设S n ＝22＋322＋423＋…＋n ＋12

n ，① 则12S n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12

n ＋1，② 由①－②，得

12S n ＝22＋(322－222)＋(423－323)＋…＋(n ＋12n －n 2n )－n ＋12

n ＋1 ＝22＋122＋123＋…＋12n －n ＋12

n ＋1 ＝12＋121－12n 1－12－n ＋12n ＋1

＝12＋1－12n －n ＋12

n ＋1 ＝32－n ＋32

n ＋1， ∴S n ＝3－n ＋3

2n .

12．(创新拓展)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ；

(2)求和：1S 1＋1S 2

＋…＋1S n . 解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， ∵a n >0(n ∈N *)，

∴d >0.

a n ＝3＋(n －1)d ，

b n ＝q n －1.

依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，S 2b 2＝6＋d q ＝64，①