卷积计算(图解法)
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卷积积分及零状态响应的卷积计算法.
t
e RC
RCT
T RC t
e RCT 0
RC T RC
(t 0)
u0T T RC
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。根据定积分的 几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积 函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面
§4-6 卷积积分及零状态响 应的卷积计算法
➢ 卷积积分的推导
激励函数的 近似表示
f (t) fa (t) f (0)ε(t) ε(t )
f ( )ε(t ) ε(t 2 )
f (2 )ε(t 2 ) ε(t 3 )
f (n 1) ε(t (n 1) ) ε(t n )
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
1 e t
0
(t 0)
(t 0)
1 1 e t ε(t)
例2 设图示RC串联电路中电压源的电压
t
u(t) u0e T ε(t)
求零状态响应电压uC(t)。
解： 用卷积积分公式求uC(t)，应先求冲激响应
如按
t
r(t) h( ) f (t ) d h(t) f (t)
0
当 0<t <1 时
计算。
r(t ) te ε( )d t e d 1 et
0
0
当 t >1时
r(t ) t e ε( )d t 1
t e d e(t1) et t 1 返回
注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分上、下限
卷积计算(图解法)
(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果， 可归纳如下： 综合以上结果，y(n)可归纳如下： 可归纳如下
04第四章：卷积的计算.ppt
当t > 0时, ∫ e
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
与冲激函数或阶跃函数的卷积
系统并联
3、结合律
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)]
f1(t)
f1(t)*f2(t)
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
y1(t) f1(t) h(t)= =
y1(t)
f2(t)*f3(t)
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
推广：任意两函数卷积
若：s(t) f1(t) * f2 (t)
则：f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 ) 证明：f1(t t1) * f2 (t t2 )
f1(t)* (t t1)* f2 (t)* (t t2 ) f1(t) * f2 (t) * (t t1) * (t t2 ) s(t) * (t t1 t2 )
t
f2 () * 1()d
类似地：对高阶导数和积分
f (t) f1(t) * f2(t)
则：
f
(i ) (t )
f1( j) (t) *
f
(i 2
j
)
(t)
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
f (t)
f1(1) (t) *
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)
kh(t t1)
A
e(t1)t1 (t t1)
A
e(t1)t1h(t t1)
LTI系统的性质
e(t)为激励系统的零状态响应
Z3.19 卷积和的图解法
i
(1) 换元
(2) f2(i)反转得f2(– i) (3) f2(–i)右移2得f2(2–i)
(4) f1(i)乘f2(2–i)
(5) 求和，得f(2) = 4.5
-2 -1
f2(–i )
0 1 2 3 ki
f2( ki )
1
f2(2–i)
-2 -1 0 1 2 3 ki
f1( i )f2( k- i )
3.3 卷积和
第三章 离散系统的时域分析
(2) f2(-i)向右移k得f2(k-i)，求 f1(i) f2(k-i)
2 f2(k i) 1
2 f1(i) f2 (k i) k=-1
1
k-1 k
0
i
-1 0 1 i
2 f1(i) f2 (k i) k=0
1
i
2 f1(i) f2 (k i) k=1
解：(1)换元 f1(i)， f2(i) ，反转得 f2(-i)
2 f1(i) 1 -2 -1 0 1 2 3 i
2 f2 (i) 1 -2 -1 0 1 2 3 i
2 f2 ( -i) 1 -2 -1 0 1 2 3 i
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1
-1 0 1 i
2 f1(i) f2 (k i) k=2
1
-1 0 1 i
5
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
3.3 卷积和
(3)求 f1(k) * f2 (k) :
f1(k) * f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
0,
卷积图解法可分解为五步：
计算卷积的方法.ppt
' t
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积法
故复合系统的冲激响应 为
h(t) f2 (t ) h2 (t ) [costu(t )] [u(t 1) u(t 2)]
[ cosu ( )d ] [ (t 1) (t 2)]
t
t
[ cosd ]u (t ) [ (t 1) (t 2)]时限
2.用函数式计算卷积 3.利用性质计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
方法一.用图解法计算卷积
y(t ) f (t ) h(t )
f ( )h(t )d
1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量; 2）把其中一个信号翻转、平移;
作业 p86 (1) (2) 2-21
2
e(t ) E (t )u (t ) de(t ) d [ E (t )u (t )] dE (t ) u (t ) E (t ) (t ) dt dt dt
由系统之因果性,当e(t ) u (t )时, 响应为 g (t )u (t ),
de r (t ) *g dt
h1 (t )
y1 (t )
f 2 (t )
h 2 (t )
y(t )
解: 1. 当输入 f(t) (t)时,子系统 h1 (t )的输出为
cost
y1 (t ) f (t ) h1 (t ) (t ) u(t ) u(t )
由图可知 ,子系统 h 2 (t )的输入为 f2 (t ) y1 (t ) cost costu(t )
计算f1 f 2
f1(t) a
f ( ) f
1
h(t) f2 (t ) h2 (t ) [costu(t )] [u(t 1) u(t 2)]
[ cosu ( )d ] [ (t 1) (t 2)]
t
t
[ cosd ]u (t ) [ (t 1) (t 2)]时限
2.用函数式计算卷积 3.利用性质计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
方法一.用图解法计算卷积
y(t ) f (t ) h(t )
f ( )h(t )d
1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量; 2）把其中一个信号翻转、平移;
作业 p86 (1) (2) 2-21
2
e(t ) E (t )u (t ) de(t ) d [ E (t )u (t )] dE (t ) u (t ) E (t ) (t ) dt dt dt
由系统之因果性,当e(t ) u (t )时, 响应为 g (t )u (t ),
de r (t ) *g dt
h1 (t )
y1 (t )
f 2 (t )
h 2 (t )
y(t )
解: 1. 当输入 f(t) (t)时,子系统 h1 (t )的输出为
cost
y1 (t ) f (t ) h1 (t ) (t ) u(t ) u(t )
由图可知 ,子系统 h 2 (t )的输入为 f2 (t ) y1 (t ) cost costu(t )
计算f1 f 2
f1(t) a
f ( ) f
1
卷积
g (t) * g (t)
=
o t o
=
t
o
t
第四节 卷积
4 常用信号的卷积公式
常 用 信 号 的 卷 积 公 式
第四节 卷积
1 F f x 2
f ( x )e i x d x,
5 卷积定理
则 证：
若
F [ f1 ( x )] F1 ( ) 和 F [ f 2 ( x )] F2 ( )
第四节 卷积
2、卷积的图解法(特别适用于求某时刻点上的卷积值)
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
卷积过程可分解为四步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
F [ f1 ( x ) f 2 ( x )] 2 F1 ( ) F2 ( )
0
0
f 2 (t ) f1 (t ) t t t
0
f 2 ( ) f1 (t t0 )d f1 (t t0 )* f 2 (t )
推论： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
( 1) t t g (t ) 2 2
0 ( 1) ( 1) g t g t t 2 2 t
卷积积分的步骤
卷积积分的步骤
卷积积分图解法的步骤依次为:1.换元；2.翻转；3.平移；4.相乘；5.积分。
卷积积分图示法的五个步骤：
1、公式如下：卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。
2、设f（x），g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞），上述积分是存在的。
3、这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。
4、容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
6、以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。
7、这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
8、由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。
9、特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。
10、利用这一性质，对于任意的可积函数，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。
11、卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积
1 1 2
1 (t ) d 2
t2 t 1 4 4 16
h(t ) 1
1 2
(c ) 1 t
3 2
1
0
t 1
3 2
(c ) 1 t
1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 3 3 t 4 16
X
第 12 页
第 14 页
X
。
• 练习
已知
1 f1 ( t ) 0 t 1 t 1 t f 2 (t ) 2 ( 0 t 3)
第 15 页
求卷积。
解：
t t 1 4 2 4 t g( t ) 2 t t 2 4 2 0
2
g (t )
1 2
1
0(a) t Nhomakorabeat
1 (a) t 2
1
e(t ) * h(t ) 0
X
第 11 页
h(t )
1 2
e( )
1
1 (b) t 1 2
e(t ) * h(t )
1t (b) t 1 2
e( )
0
1
t
§2.６卷积
•卷积
•利用卷积积分求系统的零状态响应
•卷积图解说明
•卷积积分的几点认识
第
一．卷积（Convolution）
设有两个 函数
2 页
f1 (t ) f 2 (t ) ，积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t ) d
称为
f1 (t ) f 2 (t ) 的卷积积分，简称卷积，记为
第二章卷积图解计算
卷积积分的图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反 得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反 得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1
卷积计算图解法ppt课件
m
4
y(n) x(m)h(n m) m0
04 h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
6
x(m)
(4)在6<n≤n) x(m)h(n m)
h(n-m)
mn6
n
4
1 anm an am
m 0 6 10 n-6 n
mn6
mn6
an
a (n6) a (41) 1 a1
an4 a7 1 a
7
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0,
n0
1 a1n , 1a
0n4
1
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
x(n)
1, 0,
0n4 其它
an , 0 n 6
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
4
x(m)
(2)在0≤n≤4区间上
m 04
h(n-m)
m
n-6 0 n 4
n
n
y(n) x(m)h(n m) 1 anm
m0
m0
an
n
a m a n 1 a (n1)
1 a1n
m0
1 a1
1 a 5
信号与系统计算卷积积分的图示解析法
h( t )
y( t ) t 3
t 1 2 t 1 2
t 1 2
y( t ) 2
t 1 2
y( t ) 3 t
t 1 2
t 1 2 t 1 2
y( t ) [u( t 2) u( t 2)] [u( t 1) u( t 1)]
y( t )
0
BC 2BC ( t )d (t 1) 3 3
t30 t3 2
x ( )
h( t )
t3
2
t
BC BC 2 y( t ) ( t )d ( t +4t +5) (3 t 5) 3 6 t 3
x ( )
假定参与卷积的两个函数都只有一个定 义段，即：
fl ( t ) ()u( t Ll ) u( t Rl )
f s ( t ) ()u( t Ls ) u( t Rs )
其中，l、s分别表示长短，L、R分别表 示左右，则时限长度分别为：
Tl Rl Ll，Ts Rs Ls
h( )
t0
x ( )
t3
t
y( t ) 0
(t 0)
h( t )
x ( )
t0 t2
t3
t
y( t )
0
t
BC BC 2 ( t )d t 3 6
(0 t 2)
h( t )
x ( )
t2 t30
t3
2
t
(2 t 3)
y( t )
例
x ( t ) C [u( t ) u( t 2)],
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卷积计算——图解法
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
计算步骤如下：
(1)翻褶：先在坐标轴m上画出x(m)和h(m)， 将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。
(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为 正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应序列值相乘。
n0 0n4 4n6 6 n 10 10 n
卷积结果y(n)如图所示
y(n)
n 0 4 6 10
m 0
1 a
m 0 n
4
nm
a
n
m 0 (1 4 )
a
n4
4
m
m
n-6 0
1 n
4 6 n
1 a a a a 1 1 a 1 a
x(m) m 0 4 h(n-m) m
m
(4)在6<n≤10区间上
y ( n)
m n 6
x ( m) h( n m)
y ( n ) x ( m) h ( n m) 1 a
m 0 n m 0
n
n
nm
a
n
m 0
a
m
1 a a 1 a 1
n
( n 1)
1 a 1 a
1 n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
m 0 4 h(n-m)
y ( n ) x ( m) h ( n m)
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。 例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x ( n) 其它 0,
和
a n , 0 n 6 h( n) 其它 0,
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
a
n m n 6 ( 4 1)
n
m n 6
1 a
n
n
nm
a
4
0 n-6
7
6
n
10
a
a
( n 6 )
a 1 1 a
a
n4
a 1 a
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0, 1 a1 n , 1 a n 4 1 n a a y ( n) , 1 a a n4 a 7 , 1 a 0,
解 参看图，分段考虑如下：
h(m)
x(m) 0 m 0 4 -6 h(n-m) 0 6 h(-m) m
m
m
n-6 n
(1) n<0
x(m) m
0
y ( n) x ( n) h ( n) 0
4
h(n-m) m
n-6
n0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)
计算步骤如下：
(1)翻褶：先在坐标轴m上画出x(m)和h(m)， 将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。
(2)移位：将h(-m)移位n，得h(n-m)。当n为 正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 (3)相乘：将h(n-m)和x(m)的对应序列值相乘。
n0 0n4 4n6 6 n 10 10 n
卷积结果y(n)如图所示
y(n)
n 0 4 6 10
m 0
1 a
m 0 n
4
nm
a
n
m 0 (1 4 )
a
n4
4
m
m
n-6 0
1 n
4 6 n
1 a a a a 1 1 a 1 a
x(m) m 0 4 h(n-m) m
m
(4)在6<n≤10区间上
y ( n)
m n 6
x ( m) h( n m)
y ( n ) x ( m) h ( n m) 1 a
m 0 n m 0
n
n
nm
a
n
m 0
a
m
1 a a 1 a 1
n
( n 1)
1 a 1 a
1 n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
4
m 0 4 h(n-m)
y ( n ) x ( m) h ( n m)
(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。 例 已知x(n)和h(n)分别为：
1, 0 n 4 x ( n) 其它 0,
和
a n , 0 n 6 h( n) 其它 0,
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
a
n m n 6 ( 4 1)
n
m n 6
1 a
n
n
nm
a
4
0 n-6
7
6
n
10
a
a
( n 6 )
a 1 1 a
a
n4
a 1 a
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0, 1 a1 n , 1 a n 4 1 n a a y ( n) , 1 a a n4 a 7 , 1 a 0,
解 参看图，分段考虑如下：
h(m)
x(m) 0 m 0 4 -6 h(n-m) 0 6 h(-m) m
m
m
n-6 n
(1) n<0
x(m) m
0
y ( n) x ( n) h ( n) 0
4
h(n-m) m
n-6
n0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4