趣味数学088:有趣的图形数.doc
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1
有趣的图形数
(一)
古希腊数学家毕达哥拉斯和他的学派,对数学的发展做出过巨大的贡献。
毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1表示点,2表示线,3表示面,4表示体(如图):
世间万物无一不是由点、线、面、体所组成,而1+2+3+4=10,因此,10就可以表示宇宙。
毕达哥拉斯把自然数看成是点的集合,尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形等图形的数,把它们称为“三角形数”“正方形数”“长方形数”等。
所谓三角形数,就是:
……
1 3 6 10
正方形数,就是:
……
1 4 9 16 长方形数,就要根据长和宽的不同情况来描绘。
下面我们就用这三种数推出一些重要而常用的公式。
公式一:两个三角形数可以组成一个长方形数:
所以,(1+2+3+4+5)×2=5×6,即,
1+2+3+4+5=265?
2
推而广之,如果三角形数有n层,长方形数就有n层,每层有n+1个点,于是得到求连续自然数之和的公式:
1+2+3+…+n=2)1(?nn
从图上还可以看出,三角形数也能用2)1(?nn表示。换句话说,从1开始到n的连续自然数的和,就等于第n个三角形数。
公式二:正方形数可以这样划分:
所以,1+3+5+7+9=52。推而广之,如果正方形数有n层,第n层就有2n-1个点,于是得到求连续奇数和的公式:1+3+5+…+(2n-1)=n2
公式三:长方形数可以这样划分:
所以,2+4+6+8+10=5×(5+1)。推而广之,如果长方形数有n层,第n层就有2n个点,于是得到求连续偶数和的公式:2+4+6+ (2)
=n(n+1)
公式四:正方形数还可以这样划分:
先按横行从1加到5,再按竖列从4加到1,即,1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。推而广之,如果正方形数有n层,于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式:1+2+3+…+n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=n2
图形数把抽象的数,与直观的图形巧妙地联系起来,这种数形结合的方
法,是一种常用的数学思想方法。下面我们用这种方法再推出两个重要的公
3
式。
公式五:把12、22、32、42、52这5个连续的正方形数稍加变形,排成左下方的“摩天楼形”:
如果在它的两侧各加上同样的5个连续的正方形数,就会得到一个像右上方的那样的长方形数。摩天楼形数等于
12+22+32+42+52
长方形数是它的3倍,等于
3×(12+22+32+42+52)
而这个长方数有
1+2+3+4+5=2)15(5??
层,每层有2×5+1个点,所以,
3×(12+22+32+42+52)=2)15(5??×(2×5+1)
即,
12+22+32+42+52=6)152()15(5?????
推而广之,就得到求连续平方数的和的公式:
12+22+32+…+n2=6)12)(1(??nnn
真是妙不可言!
公式六:下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。
4
观察发现,虽然有两处重叠,不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等,正好可以用重叠的那一层补上空白部分。于是可以说,这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的,它的面积等于
1×12+2×22+3×32+4×42+5×52=13+23+33+43+53
因为大正方形的边长等于1+2+3+4+5,所以
13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2
而
1+2+3+4+5=2)15(5??
于是
13+23+33+43+53= [2)15(5??]2
推而广之,就得到求连续立方数之和的公式:
13+23+33+…+n3= [2)1(?nn]2
于是,连续立方数的和,等于连续自然数之和的平方。因为连续自然数之和就等于相应的那个三角形数,换句话说,连续立方数的和等于相应的三角形数的平方,真是不可思议!
上面我们用数形结合与合情推理的方法,轻而易举地得到六个非常重要而常用的公式,使我们不能不又一次为数学内在的奥秘所陶醉,为她那无与伦比的美所倾倒。这,就是数学的魅力!
(二)
从前面的叙述可以知道:
5
三角形数,实际上就是从1开始的一些连续自然数的和:
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,…
正方形数,实际上就是从1开始的一些连续自然数的平方:
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,…
那么,有没有这样的自然数,既是三角形数又是正方形数呢?有,并且有无限多个。它们是:
1,36,1225,41616,1413721,48024900,…
这类数是两个自然数的平方的积,也就是说,是两个正方形数的积。
1=12×12;
36=32×22;
1225=72×52;
41616=172×122;
1413721=412×292;
48024900=992×702;
……
三角形数、正方形数,既然可以看成点的集合,那么,如果把三角形数:
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,…
“一层一层摞起来”,就可以形成“四面体数”:(四面体—底面是三角形的锥体。图略)
1,4,10,20,35,56,84,120,…
同样,如果把正方形数:
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,…
“一层一层摞起来”,就可以形成“金字塔数”:(金字塔—底面是正方形的锥体。图略)