第4章 空间力系

Sx=∑yi△Ai= ∑yi△Ai= ycA，Sx 称为图形对x轴的静矩
结论 ：
若某轴通过图形的形心,则图形 对该轴的静矩必为零；反之，若 图形对某轴的静矩为零，则该轴 必通过图形的形心。
➢对称法求重心 对于均质物体,若在几何体上具有对称面、对称轴或对称点,则物 体的重心或形心也必在此对称面、对称轴或对称点上。
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
力F对轴的矩等于分力Fx和FZ对同 一轴的矩的代数和
力对平行自身的轴的矩为零
M x F = M x Fx = Fx AB + CD = Fl + acosa M y F = M y Fz = Fz BC = Fl cosa M z F = M z Fx = Fx AB + CD = Fl + asina
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。
形心 物源自文库几何形状的中心点称为形心。
均质规则的刚体,其重心和形心在同一点上
重心和平面图形形心的确定
重心和形心可以利用相关计算公式确定。但多数情况下可以凭经验判定。
➢利用相关计算公式确定重心
如图所示,设物体重力作用点的坐标为G(zc，yc，zc), 得物体的重心坐标公式为
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
例4-3 起重绞车如图所示。已知α=20°, r=10cm, R=20cm,G=10kN。试求重物匀速上升时支座A和B的 反力及齿轮所受的力Q(力Q在垂直于轴的平面内与
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
水平方向的切线成α角，α＝20°)。
解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
MAP = 0
X =0
30G + 60Qsina 70P = 0 FAz + FBz Q sin a = 0
第四章 空 间 力 系
空间力系：物体所受各力的作用线不在同一平面内的力系 主要研究内容
力在空间直角坐标轴上的投影 力对轴之矩 空间任意力系的平衡方程 重心和形心
空间力系的三种形式：
空间汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系。 空间平行力系：各力的作用线彼此平行的力系。
作用于节点A上的力系
三轮起重机所受的力系
G
h = FB l G
组合图形的形心 有些平面图形可以看成是由几个简单形状的平面图形组成的组合图 形，计算时可将组合组合图形分割成几个简单形状图形,并确定每 个简单形状的平面图形的形心，就可确定整个平面图形的形心。
例4-5 试求图示平面图形的形心位置(单位：mm)。
解：该题可用两种方法求解
(1)分割法
空间任意力系：各力的作用线在空间任意分布的力系。
亦称空间一般力系
F Fr
轮轴所受的力系
§4－1 力在空间直角坐标轴上的投影
直线投影法
有一空间力F，取空间直角
坐标系如图 力F 在坐标轴上的投影
Fx = ±Fcosa Fy = ±Fcosb Fz =± Fcosg
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－4 重心和形心
重心和形心的概念
重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都 作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但 由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空 间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用 点C为物体的重心。
MAP = 0 Y = 0
60Q cosa 70 FBy = 0
Q cosa + FAy + FBy = 0
MoP = 0
QRcosa G = 0
FBz = 5.85kN FAz = 5.97 kN FBy = 4.29kN FAy = 0.71kN
空间平衡力系的平面解法
平面解法：在机械工程中，常把空间的 受力图投影到三个坐标平面上，画出三 个视图（主视、俯视、侧视图），这样， 就得到三个平面力系，分别列出他们的 平衡方程，同样可以解出所求的未知量。 这种将空间力系的平衡问题转化为三个 坐标平面内的平面力系的平衡问题的讨 论方法，就称为空间平衡力系。
空间力系若有合力FR，则合力对某轴的矩 等于各分力对该轴的矩的代数和。
例4-1手柄ABCE在平面Axy内的D处作用一个力F，如图 5—7所示，它在垂直于y轴的平面内偏离铅垂线的角度为 α。如果CD＝a，杆BC平行于x轴，杆CE平行y轴，AB和
BC的长度都等于l。试求力F 对x、y和z三轴的矩。
解：将F沿坐标轴分解为Fx和Fy
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Fi
zC =
ziVi = V
V
V
➢ 平面图形的形心
均质物体的重心就是其形心。
均质薄平板,若δ表示其厚度,△A表示
微体面积，得其形心的坐标公式为 （平
面图形的形心坐标的计算式 ）
xdA
xC =
xiAi = A
A
A
ydA
yC =
yiAi = A
A
A
记Sy=∑xi△Ai= xcA，则Sy称为图 形对y轴的静矩
xC =
Gi xi = Gi
Gi xi G
yC =
Gi yi = Gi
Gi yi G
zC =
Gi zi = Gi
Gi zi G
对于均质物体，若用ρ表示其密度，△V表示微体积， 则得物体的重心坐标公式为
xdV
xC =
xiVi = V
V
V
ydV
yC =
yiVi = V
V
V
zdV
如图所示将该图形分解成两个矩形I和II， 它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、
C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。得
x1=10mm ， y1=10mm ， A1=20 × 44=880mm2
x2=20mm ， y2=8mm ， A2=16 × 40=640mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 + A2x2 = 14.21mm
➢实验法 对于外形较复杂的物体确定重心可用实验法。
悬挂法 外形较复杂的均质薄平板常用此法求重心（或形心）。
先以板上一点A来悬挂此板，其重心必位于点A的铅垂线AB上；再 将板悬于另一点D，则重心又必位于点D的铅垂线DE上。交点C即为 此平板的重心（形心）。
称重法
称出物体的重量G 固定物体，一端支于固 定点A，另一端支于秤上 量出两支点间的水平距离l 读出磅秤上的读数FB