积分变换(下)带标准答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．若 f (t ) 的傅立叶积分公式存在，那么在 f (t ) 的间断点处，其傅氏积分等于 (A)
f (t 0) f (t 0) 2
( B )
(B)
f (t 0) f (t 0) (C). 2
f (t 0)
(D) f (t 0) ( A )
2． 傅氏积分定理要求 f (t ) 满足在任何有限区间上连续或者只有 (A).有限多个第一类间断点; (C). 有限多个间断点 ; (B).无限多个第一类间断点;
0
t
L [ f (t )dt ] L [ f (t ) u (t )]
0
t
L [ f (t )] L [u (t )] 1 F ( s) F ( s) . s s
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页）
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6． 单位脉冲函数 (t t0 ) 的拉氏变换为 e st0 。 7．单位阶越函数 u(t ) 的傅氏变换为 8． (t 3 ) cos tdt 1 。
1 ( ) 。 j
9．若 F ( ) F [ f (t )] ，则 F (tf (3t 12)) j
12．已知某函数的 Fourier 变换为 F () [ ( 0 ) ( 0 )] ，求该函数 f (t ). 解： 由 Fourier 逆变换
f (t ) F 1[ ( 0 ) ( 0 ) ] [F
1
( ( 0 )) F
试 题
_2013____年~__2014_年第 2 学期 课程名称： 考生学号： 试卷类型： A 卷 □ B 卷 √ 积分变换 专业年级： 考生姓名： 考试方式: 开卷 □ 闭卷√
……………………………………………………………………………………………………………………
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
(D). 有限多个第二类间断点 .
(t ) 为单位脉冲函数， 3． 设 f (t ) 是一个无穷次可微函数， 那么 (t t0 ) f (t )dt ( C
(A) 不确定； (B). f (t ) ; (C)
)
f (t0 ) ;
(D)
f (0) (t ) .
4．设 F1 () F [ f1(t)], F2( ) F [ f 2( t)] ，则 F ( f1 (t ) f 2 (t )) ( A ) F1 () F2 () ； ( B ) F1 () F2 () ； (C )
1
( ( 0 ))]
1 j0t (e e j0t ) 2 cos(0t )
13．计算积分
0
e3t e4t dt t
1 1 , L [e3t ] Re( s) 0 ，利用象函数的积分性质， s3 s4
解：因为 L [e2t ]
0
2
解： 因为 f (t ) cos 2t u (2t ) cos(2(t )) u (2(t )) ，所以 2 2
L [ f (t )] L [ [cos 2t u (2t )] L [ [cos(2(t )) u (2(t ))] 2 2 s s s s s 2 e 2 2 2 (1 e 2 ) s 4 s 4 s 4
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页）
15．求解微分积分方程 y '(t ) y( )d 1.
0
t
解：由题意 y '(0) 1. 设 L [ y(t )] Y (s), 对方程两边作拉氏变换得
sY ( s) y (0) Y ( s) 1 s s
化简可得
Y (s)
作逆变换可得
1 s y (0) . 2 1 s 1 s2
y(t ) sin t y(0) cos t
又 y '(t )
t
0
y( )d 1. 所以 y 0 c （ c 为任意常数）,故
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
11．设 f (t ) e t ( 0) ，求其傅立叶积分公式。 解：
f (t ) 1 f ( )e j d e jt d 2 1 2 e cos d cos td 2 0 2 cos td 0 2 2
L [ty] d 2 ( s Y ( s) s 2), L [ y] sY ( s) 1, L [ty] Y ( s) ds
对微分方程两边进行拉氏变换得：
2sY (s) s 2Y (s) 1 2sY (s) 2 Y (s) 0
化简得到
y(t ) sin t c cos t.
其中 c 为任意常数。
四、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
16．若 L [ f (t )] 解： 依题意得
F ( s) 1 1 1 1 2( 2 2 ) 2 3 (s a )s sa s s a2 1 1 1 1 1 s 2( 3 2 2 2 ) a s a s a s a2 1 1 1 1 1 s 2 3 4 4 2 a s a s a s a2
2
1 ，求 f (t ) . (s a 2 )s3
2
所以
f (t )
1 2 1 t 4 (1 cos at ) 2a 2 a
17．求变系数微分方程 ty 2 y ty 0, y(0) 1, y(0) 2 的解。 解：设 Y (s) L [ y(t )], 则有
1 F1 ( ) * F2 ( ) ； 2
Байду номын сангаас
( C
)
( D ) F1 () F2 () ． ( C )
5．设 L [ f (t )] F (s) ，则 L (tf (t )) (A)
sF (s) ;
(B)
F ( s ) ;
(C) F ( s ) ;
(D)
1 F (s) s
e 3t e 4t 1 1 dt ( )ds 0 t s3 s4 s 3 ln 0 ln 4 ln 3. s4
cos 2t 14. 设 f (t ) 0
t (0, ) 2 t
] ，求 L ( f (t ))
d 1 4 j ( e F ( )) 。 d 3 3
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 1 页）
10． L [e4t sin 3t ]
3 。 ( s 4)2 9
Y ( s )
1 1 s2
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 3 页）
解得：
Y ( s ) arctan
作拉氏逆变换得
1 s
1 sin t f (t ) L 1 [arctan [ ] s t
k 0 k 0
e sk F ( s) F ( s)
k 0
t
1 1 e s
F (s) . s
19． 设 L [ f (t )] F ( s), 利用卷积定理，证明 L [ f (t )dt ]
0
证：因为 f (t )dt f (t ) u(t ). 所以
五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）
18．已知 L [ f (t )] F (s) ，试证明对任何 0 ，有
L [ f (t k )] F (s)
k 0
1 1 e s
证： 由拉氏变换的定义和性质：
L [ f (t k )] L [ f (t k )]
f (t 0) f (t 0) 2
( B )
(B)
f (t 0) f (t 0) (C). 2
f (t 0)
(D) f (t 0) ( A )
2． 傅氏积分定理要求 f (t ) 满足在任何有限区间上连续或者只有 (A).有限多个第一类间断点; (C). 有限多个间断点 ; (B).无限多个第一类间断点;
0
t
L [ f (t )dt ] L [ f (t ) u (t )]
0
t
L [ f (t )] L [u (t )] 1 F ( s) F ( s) . s s
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页）
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
6． 单位脉冲函数 (t t0 ) 的拉氏变换为 e st0 。 7．单位阶越函数 u(t ) 的傅氏变换为 8． (t 3 ) cos tdt 1 。
1 ( ) 。 j
9．若 F ( ) F [ f (t )] ，则 F (tf (3t 12)) j
12．已知某函数的 Fourier 变换为 F () [ ( 0 ) ( 0 )] ，求该函数 f (t ). 解： 由 Fourier 逆变换
f (t ) F 1[ ( 0 ) ( 0 ) ] [F
1
( ( 0 )) F
试 题
_2013____年~__2014_年第 2 学期 课程名称： 考生学号： 试卷类型： A 卷 □ B 卷 √ 积分变换 专业年级： 考生姓名： 考试方式: 开卷 □ 闭卷√
……………………………………………………………………………………………………………………
一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）
(D). 有限多个第二类间断点 .
(t ) 为单位脉冲函数， 3． 设 f (t ) 是一个无穷次可微函数， 那么 (t t0 ) f (t )dt ( C
(A) 不确定； (B). f (t ) ; (C)
)
f (t0 ) ;
(D)
f (0) (t ) .
4．设 F1 () F [ f1(t)], F2( ) F [ f 2( t)] ，则 F ( f1 (t ) f 2 (t )) ( A ) F1 () F2 () ； ( B ) F1 () F2 () ； (C )
1
( ( 0 ))]
1 j0t (e e j0t ) 2 cos(0t )
13．计算积分
0
e3t e4t dt t
1 1 , L [e3t ] Re( s) 0 ，利用象函数的积分性质， s3 s4
解：因为 L [e2t ]
0
2
解： 因为 f (t ) cos 2t u (2t ) cos(2(t )) u (2(t )) ，所以 2 2
L [ f (t )] L [ [cos 2t u (2t )] L [ [cos(2(t )) u (2(t ))] 2 2 s s s s s 2 e 2 2 2 (1 e 2 ) s 4 s 4 s 4
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 2 页）
15．求解微分积分方程 y '(t ) y( )d 1.
0
t
解：由题意 y '(0) 1. 设 L [ y(t )] Y (s), 对方程两边作拉氏变换得
sY ( s) y (0) Y ( s) 1 s s
化简可得
Y (s)
作逆变换可得
1 s y (0) . 2 1 s 1 s2
y(t ) sin t y(0) cos t
又 y '(t )
t
0
y( )d 1. 所以 y 0 c （ c 为任意常数）,故
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
11．设 f (t ) e t ( 0) ，求其傅立叶积分公式。 解：
f (t ) 1 f ( )e j d e jt d 2 1 2 e cos d cos td 2 0 2 cos td 0 2 2
L [ty] d 2 ( s Y ( s) s 2), L [ y] sY ( s) 1, L [ty] Y ( s) ds
对微分方程两边进行拉氏变换得：
2sY (s) s 2Y (s) 1 2sY (s) 2 Y (s) 0
化简得到
y(t ) sin t c cos t.
其中 c 为任意常数。
四、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
16．若 L [ f (t )] 解： 依题意得
F ( s) 1 1 1 1 2( 2 2 ) 2 3 (s a )s sa s s a2 1 1 1 1 1 s 2( 3 2 2 2 ) a s a s a s a2 1 1 1 1 1 s 2 3 4 4 2 a s a s a s a2
2
1 ，求 f (t ) . (s a 2 )s3
2
所以
f (t )
1 2 1 t 4 (1 cos at ) 2a 2 a
17．求变系数微分方程 ty 2 y ty 0, y(0) 1, y(0) 2 的解。 解：设 Y (s) L [ y(t )], 则有
1 F1 ( ) * F2 ( ) ； 2
Байду номын сангаас
( C
)
( D ) F1 () F2 () ． ( C )
5．设 L [ f (t )] F (s) ，则 L (tf (t )) (A)
sF (s) ;
(B)
F ( s ) ;
(C) F ( s ) ;
(D)
1 F (s) s
e 3t e 4t 1 1 dt ( )ds 0 t s3 s4 s 3 ln 0 ln 4 ln 3. s4
cos 2t 14. 设 f (t ) 0
t (0, ) 2 t
] ，求 L ( f (t ))
d 1 4 j ( e F ( )) 。 d 3 3
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 1 页）
10． L [e4t sin 3t ]
3 。 ( s 4)2 9
Y ( s )
1 1 s2
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图 上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 3 页）
解得：
Y ( s ) arctan
作拉氏逆变换得
1 s
1 sin t f (t ) L 1 [arctan [ ] s t
k 0 k 0
e sk F ( s) F ( s)
k 0
t
1 1 e s
F (s) . s
19． 设 L [ f (t )] F ( s), 利用卷积定理，证明 L [ f (t )dt ]
0
证：因为 f (t )dt f (t ) u(t ). 所以
五、证明题（每小题 5 分，共 10 分）
18．已知 L [ f (t )] F (s) ，试证明对任何 0 ，有
L [ f (t k )] F (s)
k 0
1 1 e s
证： 由拉氏变换的定义和性质：
L [ f (t k )] L [ f (t k )]