人教版高中数学必修四 期末复习课导学案3

第一章 三角函数

学习目标 1.理解任意角的三角函数的概念.2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.3.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象.4.理解三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质.5.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换

.

1.任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y

x (x ≠0). 2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式

六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k

为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

类型一 三角函数的概念

例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25

5，则y ＝ .

答案 －8

解析 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－25

5

，

所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2

＝－25

5，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.

反思与感悟 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.

②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r ＞0).则sin α＝y r ，cos α＝x

r .已知α的

终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，

则x ＝4t ，y ＝－3t .

r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |. 当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－3

5，

cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3

4；

当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝3

5，

cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3

4.

综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3

4

或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3

4

.

类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用

例2 已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0，2π).求：

(1)cos 2⎝⎛⎭

⎫3π2－θcos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos (－π－θ)＋sin ⎝⎛⎭

⎫

π2＋θ1＋tan (π－θ)；

(2)m 的值；

(3)方程的两根及此时θ的值. 解 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝3＋1

2

， sin θcos θ＝m 2

.

(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ

1－tan θ

＝sin 2θsin θ－cos θ

＋cos θ1－

sin θcos θ

＝sin 2θsin θ－cos θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ＝

3＋1

2. (2)由sin θ＋cos θ＝3＋1

2， 两边平方可得

1＋2sin θcos θ＝4＋23

4，

1＋2×m 2＝1＋32，

m ＝

32

. (3)由m ＝

32可解方程2x 2－(3＋1)x ＋3

2

＝0， 得两根12和3

2

.

∴⎩⎨⎧

sin θ＝12

，

cos θ＝3

2

或 ⎩⎨⎧

sin θ＝

3

2

，cos θ＝1

2

.

∵θ∈(0，2π)，

∴θ＝π6或π3

.

反思与感悟 (1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及

sin α

cos α

＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.

(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符

号看象限.

跟踪训练2 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)

sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).

(1)化简f (α)；

(2)若f (α)＝18，且π4<α<π

2，求cos α－sin α的值；

(3)若α＝－47π

4

，求f (α)的值.

解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α

(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.

(2)由f (α)＝sin α·cos α＝1

8

可知，

(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34

.

又∵π4<α<π

2

，∴cos α