信号与系统4-取样定理

sin ct h t t

2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
12
信号的内插重建

零阶保持可看作是一种粗糙的内插
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
信号不连续
线性内插（一阶保持）


高阶保持

信号连续，导数不连续。
信号连续，一阶导数连续，二阶导数不连续。

二阶保持

x t xr t xp t * h t
X r j
信号信息与处理 取样定理
M M
7
欠采样效果：混叠


当 s 2 M ，低通滤波不能将单个频谱提取 出来，这一现象称为混叠 举例 x(t ) cos(0t )
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
8
欠采样效果：混叠


0 会被混叠成一个较低频 当发生混叠时， 率 s 0 。可从时域波形去理解。 注意：s 2 M ，不含等于。以正弦信号为 例： s x(t ) cos( t ) 2


思考：
离散时间信号进行抽样时，其频谱将 进行如何的变化？
信号信息与处理 取样定理 25
2014-8-23
离散时间信号的脉冲串取样

脉冲串取样前后的傅立叶变换关系
x n X e j
2 p n N
j
k
xp n x n p n

关键问题


一种解决思路


利用零阶保持电路替代冲激串，即在t=nT取 样后，该幅度一直保持到t=(n+1)T 必须解决零阶取样保持电路的恢复问题
信号信息与处理 取样定理 10
2014-8-23
零阶保持取样

傅立叶变换过程分析
x t
x t
零阶 保持
x0 t
x0 t
x t
c 2
sin t / T x t t
对输入信号和输出信号进 行取样，可以发现
/ T
/T
12 1 ,n 0 xd [ n] [ n], y d [ n] nT 2 T 0, n 0 12 ,n 0 hd [ n] nT 0, n 0
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信号信息与处理 取样定理
22
连续时间信号的离散时间处理
设计一个连续时间带限微分器的离散时间实现
d t h t 微分器单位冲激响应： dt j , c 微分器频率响应： H c j 0 , c
c
Hd e
xd n
yd n

需要解决的问题

xc t
连续时间到 离散时间转换
离散时间系统
离散时间到 yc t 连续时间转换
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
16
连续时间的离散时间处理

关键过程表达 xd n xc nT yd n hn xd n
M 0 M
1/T X c j

2
MT c 0 c MT
1/ T
Hc j
2
s
M 0 M
1/T
X d e j
s
s
M c 0 c M T T 1/ T c c 0 M T T
s
Hc j
sT 2 M T 0 M T sT 2
信号信息与处理 取样定理
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连续时间信号离散化的关键点

傅立叶变换提供了联系途径




连续时间信号及其取样得到的离散时间信号 具有形状不变性 连续时间信号频谱在离散时间信号频谱是线 性压扩关系，压扩比例因子为1/T~2π，或 者 T 离散时间信号的频谱是以2π为周期进行重复 上述分析同样适用于离散时间信号连续化
jT
j ,
c
c c
2
0
c
2
0 c
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Hd e j , T
j
信号信息与处理 取样定理 23
连续时间信号的离散时间处理
输入信号是sinc函数 求该信号在前述微分系统时的输出 sin t / T sin t / T y t 容易有: Tt t
p t
xp t
u t u t T
x0 t
X 0 j X p j H0 j
2sin
T
2
11
如何从x0(t)中恢复x(t)? H j e jT /2 0
2014-8-23 信号信息与处理 取样定理

信号的内插重建
c

X p j
X d e
j
x n e
n d
n


xc nT e jnT
jn
1 T
X p j
2 / T2
2 T1
2 / T2
1 T1
X d e j
2 T1
X d e
j
x nT e
信号信息与处理 取样定理 2

核心思想

2014-8-23
连续时间信号的样本表示方法-采样定理

样本表示方法的引入的问题

不同的连续时间信号经取样可以获得相同的样本


如果取样间隔无穷小，理论上不同的信号必然导致不 同的样本 如何根据连续时间信号的特点确定取样信号?

用信号样本表示连续时间信号

如果一信号是带限的，并且其样本取得足够密 （相对于信号的最高频率而言），那么这些样本 值就能唯一表征这一信号，并能把这些信号完全 恢复出来。

2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
4
取样定理—冲激串取样
x t
1
X j
原始信号频谱
p t
…… 0 T 2T
2s
M M
2 T 1 T
P j
冲激串频谱
2 P j T
……
k
k
s

xp t p t x t
c
p t
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
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连续时间信号的离散化处理频谱变换
1
X c j

xp t
n
x nT t nT
1 X p e 2
j
k ,
s

s
2 / N

2
X e

P e j d
1 j X P e N
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…… 冲激串取样 x(0) x(1)
s
s
M
s M
2s
s 2M 采样信号频谱
1 X p j …… X j ks T k
M
s S 2M 采样信号频谱
s M
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
5
关于冲激串取样的讨论
n c

jn
可观察得到 X d e
1 结合X p j T
j
j
1 得到X d e X c j 2 k / T T k
2014-8-23
k
X

X p j / T
c
2
2
2
2
( j jks )
2014-8-23
线性内插举例
线性内插的传递函数与理 想内插的比较
2014-8-23 信号信息与处理 取样定理 15
连续时间信号的离散时间处理

连续时间信号离散时间处理

输入信号 连续时间信号 处理工具 离散时间系统 转换工具 模拟数字变换器、数字模拟变换器
C/D，D/C的信号关系问题 离散时间系统与连续时间系统的映射关系

讨论

对于xp(t)可以看出，在 s 2M ，取样信号 的频谱以s 为周期，以1/T为比例进行重复

若利用低通滤波器仅仅保留最靠近0频附近的频 谱，该频谱对应的信号就是原信号

当S 2M 不同重复位置的频谱混叠，无法剥 离原信号
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
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取样定理

xc t
冲激串 到序列
xd n
yd n yc nT
p t
k
t kT


连续时间信号的离散化等效过程
周期脉冲串和输入模拟信号相乘 脉冲串转换为序列

2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
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连续时间信号离散化问题 x t
思考问题： 当滤波器不是理想低通滤波器时，恢复结果 和原信号有什么关系呢？
2014-8-23
p t
n
t nT
xp t

x t
H j
xr t
1 X j
M M
1/T X p j

s M M s
T H j
sin c t nT x t x nT t nT k
信号信息与处理 取样定理
sin ct h t t
2014-8-23
13
零阶保持内插举例
(a)0阶保持
(b)水平垂直抽样间隔 为前者的一半
信号信息与处理 取样定理 14
第四章 取样定理
赵明
采样主要教学内容

采样的物理意义

连接连续时间信号和离散时间信号的桥梁

离散时间信号可以由计算机进行处理 如果连续时间信号可以由离散时间信号所表征，则连续时 间信号可以由计算机进行处理

主要教学内容


采样概念和连续时间信号的重建 连续时间信号的采样后序列处理 离散时间信号的采样，即内插和抽取 频率变换
2014-8-23 信号信息与处理 取样定理 3
连续时间信号的取样方法-冲击串取样

冲激串取样
xp t
n
x t
xp t
x nT p t nT


取样函数p(t) 取样周期T 取样频率 s
p t
k
t kT
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
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离散时间信号的取样和内插

取样的物理过程
x n
p n

xp n
x n , n kN x p n 0 , n kN
2 P (e j ) N
k
n kN
( k s )
若x(t)是一个带限信号，满足| ω |>ωM时， X(jω)=0.则当ωs>2ωM，其中ωs=2π/T，则 x(t)可以唯一的用样本x(nT)所确定,n取遍 所有的整数。 2ωM称为奈奎斯特频率 构造方法： 产生一个周期脉冲串，冲激串幅度 为取样样本值；将冲激串序列通过一个 幅度为T,截止频率大于ωM，小于2ωM 低通滤波器，该滤波器输出就是x(t)
恢复的是
x(t ) cos cos(
相位不正确

s
2
t)
欠采样效果：频闪效应。
信号信息与处理 取样定理 9
2014-8-23
零阶保持采样

取样定理说明了：

一个带限信号可以其样本确定 核心思想利用样本序列对冲激串进行幅度调 制后利用低通滤波器得到原信号
如何利用实际电路模拟冲激串的产生
2014-8-23
信号信息与处理 取样定理
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连续时间信号的离散化处理过程
xc t
冲激串 ->序列
Hd e
j

p t
1
X c j
Yc j X c j H d e jT
1/ T
序列-> 冲激串
1/ T
s / 2
s / 2
H d j

何谓内插？

利用样本值重建某一函数的过程
线性内插 带限内插 冲激序列通过一个低通滤波器即可重建原信号

内插种类


冲激串取样的内插
x t xr t xp t * h t
sin c t nT x t x nT t nT k
2014-8-23
M
信号信息与处理 取样定理
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连续时间信号离散化处理（续）

整个系统可表达为：

Yc ( j) X c ( j) Hc ( j)
其中可看作传递函数
jT H d (e ), s 2 H c ( j ) 0, s 2