05切变模量的测量讲解

实验报告：切变模量的测量
张贺PB07210001
一、实验题目：
切变模量的测量
二、实验目的：
在这个实验中，用扭摆来测量金属丝的切变模量，同时要学习尽量设法避免测量那些较难测准的物理量，测量那些较难测准的物理量，从而提高实验精度的设计思想。

三、实验仪器:
扭摆、圆盘、钢丝、金属环、游标卡尺、螺旋测微器、米尺、秒表
四、实验原理：
实验对象是一根上下均匀而细长的钢丝，从几何上说就是一个如图 5.3.2-1所示的细长的圆柱体，其半径为R，长度为L。

将其上端固定，而使其下端面发生扭转。

扭转力矩使圆柱体各截面小体积元均发生切应变。

在弹性限度内，切应变γ正比于切应力τ：
γ
τG
=（1）这就是剪切胡克定律，比例系数G即为材料的切变模量。

钢丝下端面绕中心轴线OO ’转过φ角（即P 点转到了P ’的位置）。

相应的，钢丝各横截面都发生转动，其单位长度的转角L dl d //ϕϕ=。

分析这细圆柱中长为dl 的一小段，其上截面为A ，下截面为B （如图5.3.2-2所示）。

由于发生切变，其侧面上的线ab 的下端移至b ’，即ab 转动了一个角度γ，ϕγRd dl bb =='，即切应变
dl
d R
ϕ
γ= （2） 在钢丝内部半径为ρ的位置，其切应变为 dl
d ϕ
ρ
γρ= （3） 由剪切胡克定律dl
d G G ϕ
ργτρρ==可得横截面上距轴线OO ’为ρ处的切应
力。

这个切应力产生的恢复力矩为 ρϕ
ρπρπρρτρd dl
d G d ⋅=⋅⋅⋅3
22 截面A 、B 之间的圆柱体，其上下截面相对切变引起的恢复力矩M 为 ⎰=⋅
=R
dl
d GR dl d d G M 04322ϕπϕρρπ （4）
因钢丝总长为L ，总扭转角dl
d L ϕ
ϕ=，所以总恢复力矩
L
GR M ϕ
π
4
2
=
（5）
所以
ϕ
π4
2R ML
G =
（6） 于是，求切变模量G 的问题就转化成求钢丝的扭矩（即其恢复力矩）的问题。

为此，在钢丝下端悬挂一圆盘，它可绕中心线自由扭动，成为扭摆。

摆扭过的角度φ正比于所受的扭力矩，
ϕD M = （7）
D 为金属丝的扭转模量。

将式（7）代入式（6），有 4
2R
DL
G π=
（8） 由转动定律
220dt
d I M ϕ
= （9）
I 0为摆的转动惯量，再由式（7）和（9）可得
00
22=+ϕϕI D
dt d （10）
这是一个简谐运动微分方程，其角频率0
I D
=
ω，周期 D
I T 0
02π
= （11） 作为扭摆的圆盘上带有一个夹具，这给测量或计算I 0带来困难。

为此，可将一个金属环对称地置于圆盘上。

设环的质量为m ，内外半径分别为r 内和r 外，转动惯量为
)(2
1221外内r r m I +=
，这时扭摆的周期 D
I I T 1
012+=π
（12） 由式（11）、（12）可得
2
0212
010T T T I I -= （13）
2
212
22202112
0202)(244T T r r m T T I I T D -+=-==外内πππ （14）
)
()
(4202142
2T T R r r Lm G -+=
外内π （15）
五、实验内容：
本实验用扭摆法测量钢丝的切变模量，扭摆装置如图5.3.2-3所示。

1.装置扭摆，使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直，圆环应能方便地置于圆盘上。

2.用螺旋测微器测钢丝直径，用游标卡尺测环的内外径，用米尺测钢丝的有效长度。

3.写出相对误差公式，据此估算应测多少个周期较合适。

4.计算钢丝的切变模量G 和扭转模量D ，分析误差。

六、数据处理：
0.775
10
0.7710.7730.7740.7790.7750.7780.7780.7730.7720.775=+++++++++=d ()()()()()+
-+-+-+-+-=22222775.0779.0775.0778.0775.0778.0775.0773.0775.0772.0[d σ()()()()0028.0110/]775.0771.0775.0773.0775.0774.0222=--+-+-
00088.010
0028.010
==
=
d
A u σ
002.000088.026.2=⨯==A p u t u 95.0=p
2.测量金属环内径内d ： 测量次数：6=n 单位：mm
84.196
84.22
84.1884.2284.1884.1484.22=+++++=
内d
()()()()()()1
-684.19-84.2284.19-84.1884.19-84.2284.19-84.1884.19-84.1484.19-84.222
22222+++++=
内
d σ0329.0=
0134.06
0329.06
==
=
内
d
A u σ
0344.00134.057.2=⨯==A p u t u 95.0=p
3.测量金属环外径外d ： 测量次数：6=n 单位：mm
103.956
103.92
103.92103.98103.96103.96103.94=+++++=
外d
()()()()2222103.95-103.98103.95-103.96103.95-103.96103.95
-103.94[+++=外
d σ ()()()0.02451-6]/103.95-103.92103.95
-103.922
2
=++ 01.06
2450.06
==
=
外
d
A u σ
2570.010.057.2=⨯==A p u t u 95.0=p
4.测量钢丝有效长度L ： 测量次数：6=n 单位：cm
39.476
39.47
39.4539.4939.4839.4739.48=+++++=
L
()()()()0141.01
-639.47-39.4539.47-39.4939.47-39.4839.47-39.482
222=+++=L σ
0058.06
0141.06
==
=
L
A u σ
0149.00058.057.2=⨯==A p u t u 95.0=p
5.相对误差公式：
)
()
(4202142
2T T R r r Lm G -+=
外内π
两边取对数
())ln(ln 4)ln(ln ln 4ln ln 20212
2T T R r r m L G ---++++=外内π
求微分并系数取绝对值得
0202101202112222)
(2)(24)(2)(2T T T T T T T T R R
r r r r r r r r m m L L G G ∆-+∆-+∆+∆++∆++∆+∆=∆外外内外内外内内
要求%2≤∆G
G
由不确定度均分原理得
7%
2)(2120211≤∆-T T T T 即 7%2)(21120211≤∆⋅-n t T T T 7%2)(20
20210≤∆-T T T T 即 7%2)(20
020210≤∆⋅-n t T T T 估测 s T 39.31= s T 13.20= 及 s t t 2.001=∆=∆ 带入得 681=n 430=n 不妨取 70=n
应测70个周期比较合适
6.测量扭摆70个周期0t : 测量次数：6=n 单位：s
148.206
23
.14830.14821.14842.14816.14804.1480=+++++=
t
()()()()++++=2222148.20-148.21148.20-148.24148.20-148.16148.20
-148.04[0
t σ ()()()0892.016/]148.20-148.23148.20-148.3022=-+
0364.06
0892.06
==
=
t
A u σ
0935.00364.057.2=⨯==A p u t u 95.0=p
7.测量扭摆70个周期1t : 测量次数：6=n 单位：s
238.096
238.03
238.14238.03238.07238.15238.111=+++++=
t
()()()()2222238.09-238.03238.09-238.07238.09-238.15238.09
-238.11[1
+++=t σ ()()()5310.016/]238.09-238.03238.09-238.1422=-+
0217.06
0531.06
1
==
=
t
A u σ
5580.02170.057.2=⨯==A p u t u 95.0=p
8.金属环质量m ： 单位：g 5.0575±=m
9.计算扭转模量D 和切变模量G ： 由测量的数据得出：
m mm d R 410887.32
775.02-⨯===
m mm
d r 2104.210219.842-⨯==
=
内内 m mm
d r 2-105.1982
95.0312
⨯==
=
外外 m cm L 3947.047.93==
kg g m 575.0575==
s t T 117.270148.20s 7000===
s s t T 401.370
09.2387011===
带入公式算得 ()
2
22
22
222
0212
22117
.2401.3575.005198.04210.02)
(2-⋅⋅-⨯+⨯=-+=s m kg T T r r m D ππ外内
223107.16--⋅⋅⨯=s m kg
()()()
22
2
2
4
42
220
2
14
2
2117.2401
.310
887.305198.04210.0575.03947.04)
()
(4--⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯⨯=
-+=
s m
kg T T R r r Lm G ππ外内
2101107.88--⋅⋅⨯=s m kg
10.误差分析： 写成标准差公式得
2
20
2102
202112R 2
222
2222
20122422⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛T T u T T T u T R u r r u r r r u r m u L u G u T T r r m L G 外内外外内内外内带入各项算得
%04.10104.0==G
u G
210121011008.0107.88%04.1%04.1----⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==s m kg s m kg G u G 最大不确定度
%2%56.1%04.12
3
≤=⨯=∆G G 符合要求 同理有
2
20
2102
202112
222
2222
12222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛T T u T T T u T r r u r r r u r m u D u T T r r m D 外内外外内内外内
带入各项算得
%15.00015.0==D
u D
2232231001.0107.16%15.0%15.0----⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==s m kg s m kg D u D 最大不确定度
%225.0%15.02
3
=⨯=∆D D 11.结果的完整表达式： 2101100.08)7.88(--⋅⋅⨯±=s m kg G
223100.01)7.16(--⋅⋅⨯±=s m kg D
七、思考题：
1.本实验是否满足γ<<1的条件？
答：ϕϕϕϕ
γ344101085.93947.010887.3---≈⨯=⨯=
=m
m
L R 实验中实际转过的角度ϕ大概在
2
π
左右，故满足1<<γ的条件。

2.为提高测量精度，本实验在设计上作了哪些安排？在具体测量时又要注意什么问题？
答：为提高测量精度，本实验在设计上作了如下安排：
①在钢丝下端悬挂一圆盘，它可绕中心线自由扭动，成为扭摆。

这样就把较难测的转化成了求钢丝的扭矩的问题，测量更方便。

②作为扭摆的圆盘上带有一个夹具，这给测量或计算I 0带来困难。

为此，可将一个金属环对称地置于圆盘上，提高了测量精度。

③测量单个周期不方便测准，故根据测量精度测n个周期减小误差。

在具体测量时又要注意的问题：
①实验前钢丝要调直，圆盘要调平。

②钢丝长为两固定端间的距离。

③保持圆盘绕中心轴转动，尽量避免由非切向力使圆盘晃动。