高二数学排列、组合、二项式定理测试题 人教版
排列组合二项式定理概率单元测试卷 人教版
排列组合、二项式定理、概率单元测试卷一、选择题（每题5分，计60分）1．从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A 、5551057A A C 种 B 、5551057P C A 种 C 、57510C C 种 D 、51057A C2．某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合，由于男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样共有64种组合方式，则此队中男队员的人数有（ ）A 、10人B 、8人C 、6人D 、12人3．设34)1(6)1(4)1(234-+-+-+-=x x x x S ，则S 等于（ ）A 、x 4B 、x 4+1C 、(x-2)4D 、x 4+44．学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（ ）A 、6种B 、8种C 、10种D 、12种5．甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天。
如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有（ ）A 、36种B 、42种C 、50种D 、72种6．现有甲、乙两骰子，从1点到6点出现的概率都是1/6，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a 、b 时，则满足aa b a 10|2|2<-<的概率为（ ）A 、181B 、121C 、91D 、617．(1-2x)7展开式中系数最大的项为（ ）A 、第4项B 、第5项C 、第7项D 、第8项8．在一次足球赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。
积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数），赛完后，一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ）A 、22B 、23C 、24D 、259．若n xx )13(3+)(*∈N n 展开式中含有常数项，则n 的最小值是（ ）A 、4B 、3C 、12D 、1010．.n ∈N ，A ＝（7+2）2n+1，B 为A 的小数部分，则AB 的值应是( ) A.72n+1 B.22n+1 C.32n+1 D.52n+111．若一个m 、n 均为非负整数的有序数对（m ，n ），在做m+n 的加法时，各位均不进位则称（m ，n ）为“简单的有序实数对”，m+n 称为有序实数对（m ，n ）之值。
高二数学排列组合与二项式定理测试题
高二数学排列、组合与二项式定理 测试（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若425225+=x x C C ，则x 的值为（ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在 2．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ）A ．12种B ．24种C ．48种D ．60种3．从单词“ctbenjin ”中选取5个不同字母排成一排，含有“en ”（其中“en ”相连且顺序不变）的不同排列共有 （ ）A ．120个B ．480个C ．720个D ． 840个4．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有 （ ） A ．9个 B ．15个 C ．45个 D ．51个5．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种6．如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ） A ．160种 B ．240种 C ．260种 D ．360种 7．21(1)n x --展开式中，二项式系数最大的项 （ ）A ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项8．已知()nx 21+的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中3x 项的系数是( ) A ．56 B ．80 C ．160 D ．1809．由100)233(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( )A ．51项B ．17项C ．16项D ．15项10.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种 11.(1)nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n ===12.下面是高考第一批录取的一份志愿表：现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（ ）A ．3233)(4A ⋅ B ．3233)(4C ⋅ C ．32334)(C A ⋅ D ．32334)(A A ⋅二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设含有8个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，TS 的值为___________．14．3个人坐在一排8个座位上，若每个人的两边都需要有空位，则不同的坐法种数为 ．15．5522105)2(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，则=++++420531a a a a a a ．16. 在10(12)x - 的展开式中,下列说法正确的序号有___________ ①所有的二项式系数的和是1024； ②二项式系数最大的项是第5项；③展开式中奇数项系数和与偶数项系数和的差为103；④展开式中系数的绝对值最大的项是第7项.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17. (本小题满分12分)如果三位数abc 满足a ＞b ，c ＞b 这个三位数就称为“凹数”，如104、525都是凹数，试求所有三位数中凹数的个数. 18. （本小题满分12分）已知n xx x )1(3+展开式中前三项系数之和为37．（1）求x 的整数次幂的项；（2）求展开式中二项式系数最大的二项式系数． 19．（本小题满分12分）一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不小于7分的取法有多少种？ 20．（本小题满分12分） 在nx )21(+的展开式中，前三项的系数和为201（1） 求展开式中第几项的二项式系数最大？ （2） 求展开式中第几项的系数最大？ 21．（本小题满分12分）4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况各有多少种不同排法： （1） 3个女同学必须排在一起； （2） 同学甲和同学乙之间恰好有3人；（3） 女同学从左往右按从高到低排（3个女同学身高互不相等）． 22．（本小题满分14分）规定!)1()1(m m x x x C mx +--=Λ，其中x ∈R ，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数mn C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广． (1) 求315-C 的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(x xC C 取得最小值？(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.参考答案一. 选择题:CDBDB CDCAA DD 二. 填空题13.732 14. 120 15. 122121- 16. (1) (3) 三.解答题:17. 解: 分9类: b=0时, 有9×9=81个; b=1时, 有8×8=64个；b=2时，有7×7=49个；b=3时，有6×6=36个，b=4时，有25个……；故1+4+9+16+25+36+49+64+81=285个.18.解：由已知37210=++n n n C C C ，8=∴n 或9-=n （舍去）．（1）r r rrrr xC xx x C T 6111283881)1()(--+==，r ∴ 必为6的倍数，且0,80=∴≤≤r r 或6． x ∴ 的整数次幂的项为x T x T 28,7121==．（2）由8=n知展开式共9项，最大的项式系数为5658=C ．19． 解：设取x 个红球，y 个白球，于是：572{=+≥+y x y x ，其中6040{≤≤≤≤y x ， 14{23{32{======∴y x y x y x 或或 因此所求的取法种数是：164426343624C C C C C C ++=186（种）20．解：（1）由21421n n C C ++=201，得10=n …………………………………………（3分）∴展开式中第6项的二项式系数最大．……………………………………………………（4分）(2)⎩⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--++1110101110102222r r r r r r r r C C C C ……（8分） 解得322319≤≤r …………… （10分） ∴7=r ∴展开式中第8项的系数最大．………………………………………………………（12分） 21．解：（1）720 （2）720 （3）840 ……………………………………每小题4分22．解：(1)680!3)17)(16)(15(315-=---=-C . （4分） (2))32(616)2)(1()(2213-+=--=xx x x x x C C x x . （6分） ∵ x > 0 , 222≥+xx .当且仅当2=x 时，等号成立. ∴ 当2=x 时，213)(x xC C 取得最小值. （8分）（3）性质①不能推广，例如当2=x 时，12C 有定义，但122-C 无意义; （10分）性质②能推广，它的推广形式是m x m x m x C C C 11+-=+，x ∈R , m 是正整数. （12分）事实上，当m ＝１时，有11011+=+=+x x x C x C C . 当m ≥２时.)!1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m xm xΛΛ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+--=11)!1()2()1(mm x m m x x x Λ!)1)(2()1(m x m x x x ++--=Λmx C 1+=．（14分）。
高二数学 排列、组合与二项式定理测试卷
高二数学 排列、組合與二項式定理測試卷一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1．若從集合P 到集合Q={a,b,c}所有不同的映射共有81個，則從集合Q 到集合P 可作的不同的映射共有（ ） A ．32個B ．27個C ．81個D ．64個2．某班舉行聯歡會，原定的五個節目已排出節目單，演出前又增加了兩個節目，若將這兩個節目插入原節目單中，則不同的插法總數為（ ） A ．42B ．36C ．30D ．123．全班48名學生坐成6排，每排8人，排法總數為P ，排成前後兩排，每排24人，排法 總數為Q,則有（ ） A ．P>QB ．P=QC ．P<QD ．不能確定4．從正方體的六個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ）種 A ．8B ．12C ．16D ．205．12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配 方案共有（ ） A ．4448412CC CB ．44484123CC CC ．334448412AC C CD ．334448412A C C C 6．某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外牆，現有編號為1~6的六種不同花色的裝飾石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用於辦公室內，則不同的裝飾效果有（ ）種 A ．350B ．300C ．65D ．507．有8人已站成一排，現在要求其中4人不動，其餘4人重新站位，則有（ ）種 重新站位的方法A ．1680 B ．256 C ．360D ．2808．一排九個坐位有六個人坐，若每個空位兩邊都坐有人，共有（ ）種不同的坐法A ．7200 B ．3600C ．2400D ．12009．在(311xx )n 的展開式中，所有奇數項二項式係數之和等於1024，則中間項 的二項式係數是 （ ） A. 462 B. 330 C.682 D.79210.在(1+a x)7的展開式中,x 3項的係數是x 2項係數與x 5項係數的等比中項,則a 的值為( )A.510B.35C.925D.325二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．某公園現有A 、B 、C 三隻小船，A 船可乘3人，B 船可乘2人，C 船可乘1人，今有 三個成人和2個兒童分乘這些船隻（每船必須坐人），為安全起見，兒童必須由大人陪同方 可乘船，他們分乘這些船隻的方法有_____________種。
高二数学排列组合二项式定理单元测试题(带答案).doc
排列、组合、二项式定理与概率测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种 3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则 不同的选排方法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (modm )。
已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ） A.2015 B.2011 C.2008 D.20066、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种 C ．24种 D ．25种7、令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x项的系数，则数列}1{na 的前n 项和为 （ ）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）A ．32B ．1C ．-1D ．-329、二项式23nx ⎛⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （ ）A 5B 6C 7D 810、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种 11、两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合影留念，要求排成一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有 （ ） A ．1440 B ．960 C ．720 D ．480 12、若x ∈A 则x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4} 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A ．15B ．16C ．28D ．25二、填空题(每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种． 14、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．15、已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ，则01n C a +12n C a +Λ+33n C a +nn n C a 1+=16、对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．三、解答题(本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后1小题14分，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？18、设m，n∈Z＋，m、n≥1，f(x)=(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中，x的系数为19．（1）求f(x)展开式中x2的系数的最值；（2）对于使f(x)中x2的系数取最小值时的m、n的值，求x7的系数．19、7位同学站成一排．问：(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?20、已知()2nxx的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．21、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
高二数学排列组合及二项式定理检测题
排列组合及二项式定理检测题一、选择题：本大题共10小题，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A.82 B. 83 C. 1或83 D.1或822.1003)23(+x 展开所得关于x 的多项式中，系数为有理数的共有（ ）项A.50B.17C.16D. 153.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为( )A.1B.-1C.0D.24.对于二项式)()1(3+∈+N n x xn ，四位同学作了四种判断，其中正确的是( ) （1）存在+∈N n ，展开式中有常数项； （2）对任意+∈N n ,展开式中没有常数项； （3）对任意+∈N n ,展开式中没有x 的一次项； （4）存在+∈N n ,展开式中有x 的一次项。
A. (1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4) 5已知naa )12(3+的展开式的常数项是第七项，则正整数n 的值为 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D . 106.5555除以8，所得余数是( )A.7B. 1C.0D. 1-7.设n 为自然数，则nn n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110-++-++--- 等于 ( )A.n2 B.0 C.-1 D. 18.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图。
公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件。
在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。
那么要完成上述调整，最少的调动件数（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件数为n ）为（ ）A.18B.17C.16D. 159.某市为改善生态环境，计划对城市外围A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域（如图）进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个，根据要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方案共有（ ）A.6B.10C.16D.1510.甲、乙、丙、丁与小强一起比赛围棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁只赛了1盘，则小强已经赛了（ ） A .4盘 B .3盘 C .2盘 D .1盘本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高二数学单元测试(排列、组合二项式定理)
高 二 数 学 单 元 测 试( 排列、组合二项式定理 )班级 学号 姓名一、选择题：（每小题4分，共48分）1． N n ∈，则)100()21)(20(n n n -⋅⋅⋅--等于 （ ）A 、n n A --20100B 、80100n A -C 、81100n A -D 、8120n A -2． 某班上午要上语文、数学、体育、外语4门课，又体育老师因故不能上第1节和第4节，则不同排方案的种数有 （ ）A 、10B 、12C 、20D 、243． 若集合}3,2,1{=A ，}6,5,4,1{=B ，从这两个集合中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，能确定的不同点的个数是 （ ）A 、11B 、12C 、23D 、244． 在83)12(xx - 的展开式中常数项是 （ ） A 、28- B 、 7- C 、 7 D 、285． 用5种不同的颜色给如右图标有D C B A ,,,的各部分涂色， 每部分只涂一种颜色，且相邻两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有A 、160种B 、240种C 、260种D 、360种 （ ）6． E D C B A ,,,,五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（B A ,可不相邻），那么不的排法共有 （ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种7． 若n xx )2(2+的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比是3:56，则展开式中的常数项是 （ ）A 、0B 、45C 、90D 、1808． 2100242322A A A A +⋅⋅⋅+++ 的值为 （ ）A 、31012CB 、31002C C 、3101AD 、3100A9． 设50503322105043)1()1()1(x a x a x a x a a x x x +⋅⋅⋅++++=++⋅⋅⋅++++，则3a 等于 （ ）A 、351CB 、451C C 、350CD 、450C10．若直线方程0=+By Ax 的系数A 和B 可以从7,6,3,2,1,0这6个数字中取两个不同的值，则这些方程表示的不同直线条数是 （ ）A 、225+AB 、826-AC 、1226-AD 、1026-A11．)1()13)(12)(1(+⋅⋅⋅+++nx x x x 展开式中x 的一次项系数为 （ ）A 、 1-n n CB 、2nC C 、21+n CD 、2121+n C 12．有5张卡片的正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任3张并排组3位数，可组成不重复的3位数的个数为 （ ）A 、 480B 、432C 、48D 、192二、填空题：（每小题4分，共16分）13．关于x 的方程5516162--=x x x C C 的解为 14．3名驾驶员和6名空中小姐分别上3架不同型号的旅游直升机，每机1名驾驶员及2名空中小姐，则上机方法共有 种（用数字作答）。
高二数学排列组合二项式定理测试题.doc
排列组合、二项式定理、概率单元测试卷 （时间：100分钟）一、选择题（每小题有四个选项，只有一个是正确的，共40分）1．某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的有10人，A 型血的有5人，B 型血的有8人，AB 型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为( D )A 、26B 、300C 、600D 、1200 2．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ C ）A ．80100n A -B ．nn A --20100C ．81100n A - D ．8120n A -3、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应 （D ） A 、从东边上山 B 、从西边上山 C 、从南西上山 D 、从北边上山4、在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 ( C ) A 、－5 B 、 5 C 、10 D 、－105、有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ A ） A 、2880B 、3080C 、3200D 、36006．若()4234012341+=++++x a a x a x a x a x ，则1234+++a a a a 的值为 ( B )A ．0B ．15C ．16D ．177．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有 ( A ) A ．9种B ．10种C ．12种D ．20种8．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为 ( B) A ． 36 B ．40C ．44D ．489、12展开式中含x 的正整数次幂的项共有 （ C ）（A ）1项 （B ）2项 （C ）3项 （D ）4项10、从6人中选4人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，但甲，乙两人都不去北京，则不同的选择方案有 （ B ） A 、300种 B 、240种 C 、144种 D 、96种二、填空题（每小题4分，共20分）11、在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a = -0.5 ；12、310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是 207 ；（用数字作答）13、3名老师带领6名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有1名老师和2名学生组成，不同的分配方法有 540 种。
人教B版高中数学选择性必修第二册课后习题 第三章 排列、组合与二项式定理 第三章末测评卷
第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( ) A.10种B.25种C.52种D.24种解析:每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步. 由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法. 答案:D2.用数字1,2,3,4,5排成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8B.24C.48D.120解析:分两步:第一步,个位数字是2或4,共有2种排法;第二步,其他位置排法有A 43种.依据分步乘法计数原理,共有2A 43=48种.答案:C3.不等式A 8x <6A 8x -2的解集为( )A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}解析:由不等式A 8x <6A 8x -2,得8!(8-x )!<6×8!(10-x )!,化简得x 2-19x+84<0,解得7<x<12.又{0≤x ≤8,0≤x -2≤8,得2≤x≤8,x∈N +,故x=8. 答案:D4.如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9解析:分两步来完成:第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理知,共有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B. 答案:B5.已知(x -1x )7的展开式的第5项等于5,则x 等于( )A.17B.-17C.7D.-7解析:由T 5=C 74x 3(-1x)4=5,得x=7.答案:C6.从6本不同的书中选出4本,分别发给4名同学,已知其中3本书不能发给甲同学,则不同分配方法有( )A.180种B.220种C.240种D.260种解析:分两步来完成:第一步,因为其中3本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的3本中分1本,有A31种方法;第二步,再选3本分给3名同学,有A53种方法.依据分步乘法计数原理共有A31A53=180种.答案:A7.从4名男同学和3名女同学中选出3名同学参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A.18B.24C.30D.36解析:(方法一)分两类:第一类,选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C42C31种;第二类,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C41C32种.依据分类加法计数原理,3名同学中男女生都有的选法有C42C31+ C41C32=30种.(方法二)从7名同学中任选3名同学的方法数是C73,所选3名同学全是男生的方法数是C43,全是女生的方法数是C33.因此男女生都有的选法种数是C73−C43−C33=30.答案:C8.已知(1-3x)5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|=( ) A.1 024B.243C.32D.24解析:令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5.由(1-3x)5的通项T k+1=C 5k(-3)k ·x k 知a 1,a 3,a 5为负值,因此|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=[1-(-3)]5=45=1024. 答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于m,n ∈N +,下列排列组合数结论正确的是( )A.C n m =C n n -mB.C n+1m =C n m -1+C n mC.A n m =C n m A m mD.A n+1m+1=(m+1)A n m解析:根据组合数的性质与组合数的计算公式C n m =n !(n -m )!m !,C n n -m=n ![n -(n -m )]!(n -m )!=n !(n -m )!m !,故A 正确;因为C n+1m=(n+1)!(n+1-m )!m !,C n m -1+C n m =n ![n -(m -1)]!(m -1)!+n !(n -m )!m !=(n+1)!(n+1-m )!m !,所以C n+1m =C n m -1+C n m,故B 正确;因为A n m =n !(n -m )!,C n m A m m=n !(n -m )!m !·m!=n !(n -m )!,所以A n m =C n m A m m,故C 正确;因为A n+1m+1=(n+1)!(n -m )!,(m+1)A n m =(m+1)·n !(n -m )!≠(n+1)!(n -m )!,故D 不正确. 答案:ABC10.下列关于(√x +1x 2)5的说法正确的是( )A.常数项为5B.通项公式为C 5k x 52-52kC.所有项的系数和为32D.所有项的系数和为16解析:展开式的通项公式为T k+1=(√x )5-k(x 12)k =C 5k x52-5k2,故B 选项正确;令52−5k 2=0,解得k=1,故展开式中的常数项为T 2=C 51=5,A 选项正确;令x=1,得到所有项的系数和为25=32,C 选项正确,D 选项错误. 综上所述,ABC 说法正确. 答案:ABC11.下列关于求(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5)展开式中a 3的系数的说法错误的是( )A.在1,2,3,4,5中所有任取两个不同的数的乘积之和B.在1,2,3,4,5中所有任取三个不同的数的乘积之和C.在1,2,3,4,5中所有任取四个不同的数的乘积之和D.以上结论都不对解析:展开(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5),则展开式中a 3的系数可以看成一个因式取a,其余的两个因式是从5个因式中任意取.故A 说法正确,BCD 说法错误. 答案:BCD12.下列说法中正确的是( )A.4封信投入到3个不同的信箱共有43种不同的投法B.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,得到不同的结果是排列问题C.若(2-x)5=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5,则a 0+a 2+a 4=122D.连接正三棱柱的6个顶点,可以组成15个四面体解析:A 中,由分步乘法计数原理每封信均有3种不同的投法,共有3×3×3×3=34种,故A 错误;B 中,排列问题,正确;C 中,令x=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 5=1,令x=-1,则a 0-a 1+a 2+…-a 5=35,∴a 0+a 2+a 4=1+352=122,正确;D 中,共有C 63-3=12个四面体,错误.答案:BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某运动队有5对老搭档运动员,现抽派4名运动员参加比赛,则这4人都不是老搭档的抽派方法数为 .解析:先抽派4对老搭档运动员,再从每对老搭档运动员中各抽派1人,故有C 54C 21C 21C 21C 21=80种抽派方法.答案:8014.已知C n 0+2C n 1+22C n 2+23C n 3+…+2n C n n =729,则C n 1+C n 2+C n 3+…+C n n 等于 .解析:逆用二项式定理得C n 0+2C n 1+22C n 2+23C n 3+…+2n C n n =(1+2)n =3n =729,即3n =36,得n=6.因此C n 1+C n 2+C n 3+…+C n n =26-C n 0=64-1=63.答案:6315.男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有 人.解析:设女生有x 人,则男生有(8-x)人,因此C 8-x 2C x 1=30,即(8-x )(7-x )2·x=30,解得x=2或3. 答案:2或316.高三(3)班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,3个音乐节目恰有2个节目连排,则不同排法的种数是 .解析:先从3个音乐节目中选取2个排好后作为1个节目,有A32种排法,这样共有5个节目,其中2个音乐节目不连排,2个舞蹈节目不连排.如图,若曲艺节目排在5号(或1号)位置,则有4A22A22=16种排法;若曲艺节目排在2号(或4号)位置,则有4A22A22=16种排法;若曲艺节目排在3号位置,则有2×2A22A22=16种排法.故共有不同排法A32×(16×3)=288种.1 2 3 4 5答案:288四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知A={x∈N+|1<log2x<3},B={x∈N+||x-6|<3}.试问:(1)从集合A和B中各取一个元素作平面直角坐标系中的点的坐标,共可得到多少个不同的点?(2)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数,从左到右的数字要逐渐增大,这样的三位数有多少个?解:由1<log2x<3,x∈N+,得2<x<8,x∈N+.由|x-6|<3,x∈N+,得3<x<9,x∈N+,则A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8}.(1)分三类:第一类,从A中取一个数作为横坐标,从B中取一个数作为纵坐标,有5×5=25个;第二类,8作为横坐标的情况有5种;第三类,3作为纵坐标的情况有4种.根据分类加法计数原理共有5×5+5+4=34个不同的点.(2)A∪B={3,4,5,6,7,8},则这样的三位数共有C63=20个.18.(12分)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,共有多少种不同排法?解:∵前排中间3个座位不能坐,∴实际可坐的位置前排8个,后排12个.(1)两人一个前排,一个后排,方法数为C81C121A22种;(2)两人均在后排左右不相邻,方法数为A122−A22A111=A112种;(3)两人均在前排,又分两类:①两人一左一右,方法数为C41C41A22种;②两人同左或同右,方法数为2(A42−A31A22)种.综上所述,不同排法种数为C81C121A22+A112+C41C41A22+2(A42−A31A22)=346.19.(12分)已知甲、乙、丙、丁、戊、己6人.(以下问题用数字作答) (1)邀请这6人去参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不同的安排方法?(2)将这6人作为辅导员全部安排到3项不同的活动中,求每项活动至少安排1名辅导员的方法总数.解:(1)C 61+C 62+…+C 66=26-1=63,故共有63种不同的去法.(2)该问题共分为三类:第一类,6人中恰有4人分配到其中一项活动中,另外两项活动各分一人,共有C 64A 33种;第二类,6人中恰有3人分配到其中一项活动中,共有C 63C 32A 33种; 第三类,6人平均分配到三项活动中,共有C 62C 42C 22种.依据分类加法计数原理,每项活动至少安排1名辅导员的方法总数为C 64A 33+C 63C 32A 33+C 62C 42C 22=90+360+90=540种.20.(12分)已知(√a-√a 3)n的展开式的各项系数之和等于(4√b 3-√5b)5的展开式中的常数项,求: (1)展开式的二项式系数和; (2)展开式中含a -1项的二项式系数. 解:依题意,令a=1,得(√a√a 3)n展开式中各项系数和为(3-1)n=2n,(4√b 3-√5b)5展开式中的通项为T k+1=C 5k(4√b 3)5-k (-√5b)k =(-1)k C 5k 45-k 5-k 2b 10-5k6.若T k+1为常数项,则10-5k6=0,即k=2,故常数项为T3=(-1)2C52435-1=27,于是有2n=27,得n=7.(1)(√a √a3)n展开式的二项式系数和为2n=27=128.(2)(√a √a3)7的通项为Tk+1=C7k(√a)7-k·(-√a3)k=C7k(-1)k37-k a5k-216,令5k-216=-1,得k=3,即所求a-1项的二项式系数为C73=35.21.(12分)从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以排成多少个没有重复数字的五位偶数?解:分两类来完成即五位数中不含数字0和五位数中含有数字0.第一类,五位数中不含数字0.可以分两步来完成:第一步,选出5个数字,共有C53C42种选法.第二步,排成偶数,先排个位数,有A21种排法,再排其他四位数字,有A44种排法.依据分步乘法计数原理,共有C53C42A21A44.第二类,五位数中含有数字0.可以分两步来完成:第一步,选出5个数字,共有C53C41种选法.第二步,排顺序又可分为两小类:a.个位排0,有A11A44种排列方法.b.个位不排0.这时个位数有1种选法,而因为0不能排在首位,所以首位有A 31种排法,其余3个数字则有A 33种排法.共有C 53C 41(A 11A 44+A 31A 33)种排法.依据分类加法计数原理,符合条件的偶数个数为C 53C 42A 21A 44+C 53C 41(A 11A 44+A 31A 33)=4560.22.(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做“最大再生数”,最小的数叫做“最小再生数”.(1)求1,2,3,4的“再生数”的个数,以及其中的“最大再生数”和“最小再生数”;(2)试求任意5个正整数(可相同)的“再生数”的个数.解:(1)1,2,3,4的“再生数”的个数为A 44=24,其中“最大再生数”为4321,“最小再生数”为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数.若5个数各不相同,有A 55=120个“再生数”;若有2个数相同,则有A 55A 22=60个“再生数”;若有3个数相同,则有A 55A 33=20个“再生数”;若有4个数相同,则有A 55A 44=5个“再生数”;若5个数全相同,则有1个“再生数”.。
人教B版高中数学选择性必修第二册第三章排列、组合与二项式定理综合测试卷
第三章综合测试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有()A.3种B．6种C．7种D．9种2n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A.160B．60C．－160D．－603．现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是()A.20B．90C．120D．2404．要将4个不同的礼物分给3位同学，每人至少1个，不同的分法种数是()A.36B．48C．64D．725．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等．两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是()A.40B．30C．20D．106．一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种()A.5B．25C．55D．757．《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等级：一级医院、二级医院、三级医院．某地有9个医院，其中3个一级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进行药品抽检，则抽出医院中至少有2个一级医院的抽法有()A.81种B．80种C．51种D．41种8．已知(2－x)2021＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2021(x＋1)2021，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|＝()A.24042B．1C．22021D．0二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列问题属于排列问题的是()A.从10个人中选2人分别去种树和扫地B.从10个人中选2人去扫地C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D.从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为log a b中的底数与真数10．已知(x2＋1x)n的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式的各项系数之和为1024C.展开式中常数项为45D．展开式中含x15项的系数为4511．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是()A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D.课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法12．已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021，下列命题中正确的是()A.展开式中所有项的二项式系数的和为22021B．展开式中所有奇次项系数的和为－32021＋12C.展开式中所有偶次项系数的和为1－320212D．a12＋a222＋a323＋…＋a202122021＝－1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在(2x－1x )8的展开式中，1x的系数是________．14．若C3n＝C7n，则n的值是________．15．(1－ax)(1＋x)6的展开式中，x3项的系数为－10，则实数a＝________.16．一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间(也可以不相邻)，则有________种不同的插入方法．(用数字作答)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)计算：(1)将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？(2)将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？18．(12分)已知二项式(2x＋1)n的展开式中共有6项．(1)求展开式中所有二项式系数的和；(2)求展开式中含x2的项．19．(12分)3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．20．(12分)已知二项式(2x＋1x)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为512.(1)求n的值；(2)求展开式中的常数项．21．(12分)将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：(1)要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1人分到丙组，共有多少种不同的分法？(2)要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？22．(12分)n的展开式中，________．给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式的常数项．参考答案与解析1．答案：C解析：分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).故选C.2．答案：B解析：∵二项式n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n ＝6，则展开式中的通项公式为T k ＋1＝C k 6(x )6－k ＝C k 6·(－2)k ·x 6－3k 2，令6－3k 2＝0，解得k ＝2，故展开式中的常数项为C 26·(－2)2＝60.故选B.3．答案：C解析：共有A 36＝120种不同的选派方案．故选C.4．答案：A解析：由题可知，有1位同学分得两个礼物，其他2位同学各得一个，可以先从4个礼物中挑出2个，将礼物分为3份，与3位同学进行全排列，故不同分法的种数是C 24A 33＝36.故选A.5．答案：A解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末(首)位可能为2，4，6，8.如果末(首)位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末(首)位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有4×10＝40个．故选A.6．答案：D解析：根据题意，分4种情况讨论：①小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，有C 15＝5种飞行方式，②小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，有C 15C 14＝20种飞行方式，③小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个单位，有C 25C 13＝30种飞行方式，④小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，有C 35A 22＝20种飞行方式，则一共有5＋20＋30＋20＝75种飞行方式．故选D.7．答案：C 解析：恰有2个一级医院，有C 23C 26＝45种抽法；恰有3个一级医院，有C 33C 16＝6种抽法．所以抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法有45＋6＝51(种).故选C.8．答案：A解析：令t ＝x ＋1，可得x ＝t －1，则[2－(t －1)]2021＝(3－t )2021＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 2021t 2021，二项式(3－t )2021的展开式通项为T k ＋1＝C k 2021·32021－k ·(－t )k ，则a k ＝C k 2021·32021－k ·(－1)k .当k 为奇数时，a k <0，当k 为偶数时，a k >0，因此，|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2021|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2021＝(3＋1)2021＝24042.故选A.9．答案：AD解析：排列的概念：从n 个元素中取m (m ≤n )个元素，按照一定顺序排成一列，由题可知：A ，D 中元素的选取有顺序，B ，C 中元素的选取无顺序，由此可判断出：A ，D 是排列问题．故选AD.解析：2n的展开式中二项式系数之和为1024，所以2n ＝1024，得n ＝10，所以二项式展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10(x 2)10－k ＝C k 10·x 20－52k ，对于A ，展开式中奇数项的二项式系数和为12×1024＝512，所以A 错误，对于B ，2n的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1024，所以B 正确，对于C ，令20－52k ＝0，解得k ＝8，所以展开式中常数项为C 810＝45，所以C 正确，对于D ，令20－52k ＝15，解得k ＝2，所以展开式中含x 15项的系数为C 210＝45，所以D 正确．故选BCD.11．答案：ACD解析：A ：6门中选2门共有C 26＝15种选法，故A 正确；B ：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有A 22种排法，然后全排列有A 55＝120种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有A 22A 55＝240种，没有限制条件时共有A 66＝720种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有A 66－A 22A 55＝480种排法，故B 错误；C ：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有A 33＝6种排法，然后全排列有A 44＝24种排法，根据分步乘法计数原理得共有A 33A 44＝144种排法，故C 正确；D ：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有C 14＝4种排法，再把剩下4个全排列，有A 44＝24种排法，根据分步乘法计数原理，得共有C 14A 44＝96种排法，故D 正确．故选ACD.12．答案：ABD 解析：A ：由二项式知：C 02021＋C 12021＋…＋C 20212021＝(1＋1)2021＝22021，正确；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2021＝－1，当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2020－a 2021＝32021，B ：由上，可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝－1＋320212，正确；C ：由上，可得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32021－12，错误；D ：由二项式通项知：T k ＋1＝C k 2021(－2x )k ＝(－2)k C k 2021x k ，则a 1＝(－2)·C 12021，a 2＝(－2)2·C 22021，…，a 2021＝(－2)2021·C 20212021，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202122021＝－C 12021＋C 22021－C 32021＋…＋C 20202021－C 20212021＝(1－1)2021－C 02021＝－1，正确．13．答案：112解析：x 8的展开式的通项为T k ＋1＝C k 8(2x )8－k ＝C k 828－k (－1)k x 8－32k ，令8－32k ＝－1得k ＝6，故T 7＝112x.解析：根据组合数的性质C m n ＝C n －m n ，且C 3n ＝C 7n ，所以n ＝3＋7＝10.15．答案：2解析：∵(1－ax )(1＋x )6＝(1＋x )6－ax (1＋x )6，(1＋x )6的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·x k ，所以ax (1＋x )6的展开式通项为A r ＋1＝ax C r 6·x r ＝a C r 6·x r ＋1，＝3＋1＝3＝3＝2，由题意可得C 36－a C 6＝20－15a ＝－10，解得a ＝2.16．答案：330解析：方法一第一步，从11个位置中选3个位置，共有C 311种方法；第二步，三个位置中确定节目B 位置，节目A ，C 的顺序为A 22，由分步乘法计数原理可得共有C 311·A 22＝330种方法．方法二先插入节目A ，再插入节目B ，最后插入节目C ，共有：9×10×11＝990种，其中节目B 与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为9903＝330.17．解析：(1)将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，第一封信有4种选择，第二封有3种选择，答案为4×3＝12(种).(2)将2封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有4×4＝16(种).18．解析：(1)由于二项展开式有6项，故n ＝5.所有二项式的系数和为25＝32.(2)二项式(2x ＋1)5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ，令5－k ＝2得k ＝3.故展开式中含x 2的项为40x 2.19．解析：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A 57＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A 77＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A 33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A 22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A 33·A 44·A 22＝288(种).(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生有A 44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排有A 35种排法，故共有A 43＝1440(种).20．解析：(1)x n 的展开式中所有项的二项式系数之和为512，所以C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ＝512，解得n ＝9.(2)由通项公式T k ＋1＝C k 9·(2x )9－k k ＝C k 9·29－k ·x 9－3k 2，令9－3k 2＝0，可得k ＝6，所以展开式中的常数项为T 6＋1＝C 69·29－6·x 0＝C 39·23＝672.21．解析：(1)根据题意，分3步进行：①在6人中选出3人，将其分到甲组，有C 36种分法；②在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有C 23种分法；③将剩下的1人分到丙组，有C 11种分法；所以共有C 36C 23C 11＝60种不同的分法．(2)根据题意，分2步进行：①将6人分成3组，人数依次为3，2，1，有C 36C 23C 11＝60种分法；②将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有A 33＝6种分法；所以共有C 36C 23C 11A 33＝360种不同的分法．22．解析：选择①.C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝46，即1＋n ＋n (n －1)2＝46，即n 2＋n －90＝0，即(n ＋10)(n －9)＝0，解得n ＝9或n ＝－10(舍去).选择②.C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝256，即2n －1＝256，解得n ＝9.(1)5项和第6项，T 5＝C 495x －5x 2＝6316x －3，T 6＝C 594x －4x 52＝638x －32.(2)展开式的通项为T k ＋1＝C k 99－k x －(9－k )x k 2＝C k 92k －9x 3k －182，令3k －182＝0，得k ＝6，所以展开式中常数项为第7项，常数项为T 7＝C 69×2－3＝212.。
高二数学排列组合与二项式定理试题
高二数学排列组合与二项式定理试题1.的二项展开式中，项的系数是（）A．45B．90C．135D．270【答案】C【解析】的二项展开式中，，令r=4得，项的系数是=135，选C。
【考点】二项展开式的通项公式点评：简单题，二项式展开式的通项公式是，。
2.在的展开式中，常数项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于展开式中，由于当，故可知常数项为7，故答案为C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。
3.已知：（1）当时，求的值。
（2）设，求证：。
【答案】（1）（2）利用不等式的放缩法来得到证明。
【解析】（1）根据题意，由于（1），那么当时，表示的为的值，且为80.故可知（2）由于，令x=1,则可知，那么可知当n=1时，可以知道不等式左边为成立，假设当n=k，时，，那么当n=k+1时，则可知，则可知即可，那么结合假设推理论证并分析可知成立。
【考点】不等式的证明，以及二项式定理点评：主要是考查了二项式定理以及不等式证明的运用，属于难度题。
4.…除以88的余数是（）A．－1B．－87C．1D．87【答案】C【解析】根据题意，由于…=（1-90）10=8910=（88+1）10，展开式可知展开式的最后一项不能被88整除，可知答案为C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的逆用，属于基础题。
5.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有A．96种B．48种C．34种D．144种【答案】A【解析】首先确定了程序A只能出现在第一或最后一步，由两种办法，然后将B,C捆绑起来有2种，这样将捆绑后的作为整体与剩余的3个程序排列有，根据分步乘法计数原理可知共有96种，选A.【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合与相邻问题的运用，属于基础题。
6.已知，且展开式的各式系数和为243.（I）求a的值。
高二数学排列组合与二项式定理试题答案及解析
高二数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.的二项展开式中，项的系数是（）A．45B．90C．135D．270【答案】C【解析】的二项展开式中，，令r=4得，项的系数是=135，选C。
【考点】二项展开式的通项公式点评：简单题，二项式展开式的通项公式是，。
2.设，则的值为【答案】-2.【解析】根据题意，由于，则令x=-1,则可知等式左边为-2，故可知=-2，因此答案为-2.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的运用，属于基础题。
3.已知二项式的展开式中第四项为常数项，则等于A．9B．6C．5D．3【答案】C【解析】根据题意，由于二项式的展开式中第四项为常数项，那么其通项公式为，故答案为5，选C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理中展开式的通项公式的运用，属于基础题。
4.已知，则 .【答案】66【解析】根据题意，由于，故可知，故可知答案为66.【考点】组合数公式点评：主要是考查了组合数性质的运用，属于基础题。
5.已知离散型随机变量的分布列如下表．若，，则，．【答案】【解析】由分布列性质可得，【考点】分布列期望方差点评：在分布列中各概率之和为1，借助于分布列结合期望方差公式可计算这两个量6.已知（）能被整除，则实数的值为【答案】【解析】根据题意，由于，根据二项式定理展开式可知，那么由于（）能被整除，且被11除的余数为2，那么可知2+a能被11整除，可知a==9，故答案为9.【考点】二项式定理的运用点评：主要是考查了二项式定理来解决整除问题的运用，属于基础题。
7. ( -)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)【答案】-160【解析】由二项式定理得通项得，，取得常数项。
故选D。
【考点】二项式定理点评：在两项式定理中，通项是最重要的知识点，解决此类题目，必然用到它。
8. 4名同学到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个同学中的任何1人游览的情况有A．36种B．72种C．81种D．144种【答案】D【解析】由题意可知4人选择了4条线路中的3条，不同的游览情况共有种【考点】排列组合点评：求解本题按照先分组后分配的思路求解9.已知，则二项式展开式中的系数为_________.【答案】10【解析】，展开的通项为，令，系数为【考点】定积分与二项式定理点评：定积分，其中，二项式的展开式第项是10.若N，且则（）A．81B．16C． 8D．1【答案】A【解析】根据题意，由于，可知n=4,那么当x=-1时可知等式左边为 ,那么右边表示的为81，故答案为81，选A 【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理以及系数和的求解，属于基础题。
高二数学排列组合和二项式定理考试卷(含答案)
高二数学排列组合和二项式定理考试卷班级 学号 姓名一、选择题（每小题5分，共40分）．1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为（ ）A 80B 84C 85D 862．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 （ ） A ．18 B ．72 C ．36 D ．144 3．展开式的第7项是 （ ） A628a B —628a C 656a D —656a 4．用二项式定理计算59.98，精确到1的近似值为（ ）A ．99000B ．99002C ．99004D ．990055．若2)nx的项是第8项，则展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 6．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A 140种B 34种C 35种D 120种7．已知8()ax x-展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或288．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．311C 种B ．38A 种C ．39C 种D ．38C 种二、填空题（每小题5分，共30分）9．设34550500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++++=+++L L ，则3a 的值是10．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有__________．11．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为__________．（用数字作答）若1531-++++n n n n n C C C C ΛΛ=32，则n = 。
人教B版高二寒假作业3：排列、组合与二项式定理
人教B 版高二寒假作业3：排列、组合与二项式定理【基础巩固】1.(2023·浙江省·单元测试)252()x x+的展开式中4x 的系数为()A.10B.20C.40D.802.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3:0战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()A.18种B.24种C.30种D.36种3.(2023·江苏省常州市·月考试卷)根据组合数的性质可知，222223410C C C C +++⋅⋅⋅+=()A.310C B.211C C.311C D.411C 4.(2023·云南省·模拟题)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有种()A.420B.1020C.1180D.15605.(多选)(2023·重庆市市辖区·期中考试)下列各式的运算结果中，等于n !的有()A.1n nA- B.m !m nAC.1111n n A n +++ D.()!!mn n m A m -6.(多选)(2023·山西省朔州市·期末考试)2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作(简称“三支一扶”)，此省某师范院校某毕业班的6名毕业生(其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长)被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是()A.甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有113323C C A 种分配方法B.6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有223643C C A 种分配方法C.男班长必须到甲地，则共有180种分配方法D.班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法7.(2022·福建省福州市·期末考试)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在南宋时期数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现这一规律，而欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．如下图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第11行中从左至右第5与第6个数的比值为__________.8.(2023·江苏省南京市·同步练习)若()()20nax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则n 的值为__________，a 的取值范围为__________.9.(2023·浙江省绍兴市·月考试卷)用0，1，2，3，4，5可组成多少个：(1)没有重复数字的四位数？(2)没有重复数字的能被5整除的四位数？(3)比2000大且没有重复数字的自然数？10.(2023·江苏省淮安市·期中考试)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题.已知1230123(21)()n n n x a a x a x a x a x n N *-=++++⋅⋅⋅+∈，若(21)n x -的展开式中，______.(1)求n 的值；(2)求123||||||||n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【拓展提升】11.(多选)(2023·贵州省遵义市·月考试卷)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的三位数，则()A.组成的三位数的个数为30B.在组成的三位数中，奇数的个数为36C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为2012.(多选)(2023·安徽省·月考试卷)如图，在某城市中，A 、B 两地有整齐的正方形道路网，则()A.从A 地到B 地共有70种最近的不同的走法B.从A 经过C 到B 地共有30种最近的不同的走法C.图中矩形有100个D.图中正方形有20个13.(2023·山东省·期末考试)对于各数互不相等的正数数组12(,,i i …，)(n i n 是不小于2的正整数)，如果在p q <时有p q i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4.若各数互不相等的正数数组123456(,,,,,)a a a a a a 的“逆序数”是2，则654321(,,,,,)a a a a a a 的“逆序数”是__________.14.规定mx C =(1)(1)!x x x m m --+ ，其中x R ∈，m 是正整数，且0x C 1=，这是组合数(,m n C n m 是正整数，且)m n 的一种推广.(1)求515C -的值;(2)组合数的两个性质：①;m n mn n C C -=②11m m m n n n C C C -++=是否都能推广到(,m x C x R m ∈是正整数)的情形;若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由.15.已知2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++ ，*N .n ∈(1)当7n =时，①求1357a a a a +++的值；②求2x =时2012n n a a x a x a x ++++ 被4除的余数；(2)求01235(21).n a a a n a +++++1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查利用二项展开式的通项公式求指定项的系数，属于基础题．由252()x x +的展开式的通项公式：251031552()(2r r r r r r r T C x C x x --+==解得2r =，由此能求出252(x x+的展开式中4x 的系数．【解答】解：由二项式定理得252()x x+的展开式的通项为：251031552()()2r r r r r r r T C x C x x--+==，由1034r -=，解得2r =，252()x x∴+的展开式中4x 的系数为225240.C =故选：.C 2.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查相邻的排列问题，分类加法计数原理，属于中档题.分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.【解答】解：当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有336A =种站法；当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，有12322324C A A =种站法，所以一共有62430+=种不同的站法．故选.C 3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查组合数的公式，属于基础题.根据性质1121r r r r r r r r n n C C C C C +++++++⋅⋅⋅+=直接求解可得.解：由性质1121r r r r r r r r n n C C C C C +++++++⋅⋅⋅+=，可得222232341011C C C C C +++⋅⋅⋅+=.故选.C 4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，属于基础题.根据分步乘法原理计数，先涂中间小正方形，然后四个直角三角形按顺序涂色，注意相对的直角三角形颜色是否相同分类即可.【解答】解：第一步中间小正方形涂色，有6种方法，剩下5种颜色涂在四个直角三角形中，就按图中所示1234的顺序，1有5种方法，2有4种方法，进行分类：3与1相同和3与1不相同，然后确定4的方法数，若3与1相同，则4有4种方法，若3与1不同，则3有3种方法，4有3种方法，所以所求方法数为654(1433)1560.⨯⨯⨯⨯+⨯=故选.D 5.【答案】AC 【解析】【分析】本题考查排列数公式，属于基础题.根据排列数公式对各个选项运算即可.解：1(1)...32(1)...321n nA n n n n n -=⋅-⋅=⋅-⋅⋅=!，故A 正确；m !mnA m =!!()!n n m -不一定等于n !，1111(1)11n n A n n n ++=+++!n =!，故C 正确；()!()!!!!!()!!m n n m A n m n n m m n m m --=⨯=-不一定等于n !.故选.AC 6.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查排列组合的综合应用，属于较难题.根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【解答】解：A 选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，3个男生中选1个到甲地，方法有13C 种；在剩下的2个男生中选1个到乙地，方法有12C 种；最后1个男生放在丙地；再安排女生，方法有33A 种.所以共有113323C C A 种分配方法，A 选项正确；B 选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有2223222642364233C C C A C C C A ⋅=种分配方法，B 选项错误；C 选项，男班长必须到甲地，方法数有：1423324112254535251542C C C C C C C C C C C ++++1131312122213254354153253152C C C C C C C C C C C C C A +++++510105302020303020180=+++++++++=种分配方法，C 选项正确；D 选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有：004013103022202112444443433442422432C C C C C C C C C C C C C C C C C C +++++031301121211441411431421C C C C C C C C C C C C ++++144661244121265=+++++++++=种分配方法，D 选项正确.故选：.ACD 7.【答案】57【解析】【分析】本题考查了杨辉三角和组合数的计算，是基础题.先求得第11行中从左至右第5与第6个数，再求其比值即可.【解答】解：第11行中从左至右第5与第6个数分别为411C 、511C 411511111098543211110987754321C C⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则第11行中从左至右第5与第6个数的比值为5.7故答案为：578.【答案】9；[]2,3【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质的应用，属于基础题.先根据二项式系数的性质求得n ，再应用通项解题.【解答】解：2512n =，9n =，通项公式为919C 2()rr r r T ax -+=⋅，54569C 2()T ax =⋅，45459C 2()T ax =⋅，63679C 2()T ax =⋅，第6项的系数最大，5454549954563699C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧⋅⋅⎪∴⎨⋅⋅⎪⎩，则2 3.a 故答案为：9;[]2,3.9.【答案】解：用0，1，2，3，4，5可组成(1)没有重复数字的四位数，首位从1，2，3，4，5中任选一个，有5种，后面的三位从剩下的5个数中任意选共有35A 种，共有355300A =个；(2)没有重复数字的能被5整除的四位数，能被5整除，分两种情况；当个位为0时，有35A 种；当个位为5时，0不能在首位，共有3254A A -种，共有32542108A A -=，故没有重复数字的能被5整除的四位数有108个；(3)比2000大且没有重复数字的自然数，当四位数时，首位从2，3，4，5中选一个有4种选法，再从剩下的5个数中任选3个，有35A 种选法，共有354240A =种，当五位数时，共有5465600A A -=种选法，当六位数时，共有6565600A A -=种选法，故共有24012001440+=种，所以比2000大且没有重复数字的自然数有1440个．【解析】本题考查简单的计数原理，还考查了排列数的应用，考查了分类讨论法求元素个数等，属基础题．(1)直接写出即可；(2)没有重复数字的能被5整除的四位数，能被5整除，分两种情况，最后利用加法原理求出即可；(3)比2000大且没有重复数字的自然数，可把这个数分成四位数、五位数、六位数三种情况，分别算出对应的每种情况，根据分类加法原理求出即可．10.【答案】解：(1)选择条件①，若(21)n x -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=，10n ∴=；选择条件②，若(21)n x -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件③，若(21)n x -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n =，10n ∴=；(2)由(1)知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101231031a a a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【解析】本题考查二项展开式系数问题，属于中档题.(1)分别选择不同条件，根据展开式系数关系即可求出；(2)令0x =和1x =-可求出.11.【答案】BD 【解析】【分析】本题考查排列及简单计数问题的求解，属于中档题.根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.【解答】解：A ：5个数组成无重复的三位数的个数为3560A =，A 错误；B ：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为24336A =，B 正确；C ：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有2412A =个；②十位数为4，则有236A =个；③十位数为3，则有222A =个，所以共有20个，C 错误；D ：由选项C 的分析可知，D 正确.故选.BD 12.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，属于中档题.根据两个计数原理的综合应用，依次分析即可.【解答】解：对于A 、B ，从A 到B 的最近走法会经过四步向上，四步向右，共需8步，所以共有4870C =种不同走法，故A 正确；同理可得：从A 经过C 到B 共有315330C C =种不同走法，故B 正确；对于C ，图中有五条横线，五条竖线，任选两条横线和两条竖线即可围成矩形，共有2255100C C =个矩形，故C 正确；对于D ，最小的正方形有4416⨯=个，由4个小正方形组成的正方形有339⨯=个，由9个小正方形组成的正方形有224⨯=个，还有1个最大的正方形，正方形一共有1694130+++=个，故D 错误.故选.ABC 13.【答案】13【解析】【分析】本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题是一个考查学生理解能力的题目．根据题意，各数互不相等的正数数组123456(,,,,,)a a a a a a 的“逆序数”是2，根据从6个数字中选出2个的所有组合数减去2得到所有可能的结果数．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组123456(,,,,,)a a a a a a 的“逆序数”是2，从6个数字中任选2个共有15种组合，123456(,,,,,)a a a a a a 的“逆序数”是2，654321(,,,,,)a a a a a a ∴的“逆序数”是所有组合数减去2，共有15213-=种结果，故答案为：1314.【答案】解：(1)由题意55151915(16)(17)(18)(19)1162854321C C --⨯-⨯-⨯-⨯-==-=-⨯⨯⨯⨯；(2)性质①不能推广，例如当x =时，1无意义;性质②能推广，它的推广形式是11m m mxx x C C C -++=，x R ∈，m 为正整数.证明：当1m =时，有10111;x x x C C x C ++=+=当2m 时，1(1)(1)(1)(2)(2)!(1)!m m x x x x x m x x x x m C C m m ---+--⋅⋅⋅-++=+- (1)(2)1(1)(1)!x x x m x m m m --+-+=+- (1)(1)(2)(2)!x x x x x m m +---+= 1.mx C +=综上，性质②的推广得证.【解析】本题主要考查组合数公式，组合数的性质，属于较难题.(1)根据所给的组合数公式，写出515C -的值；(2)性质①不能推广，举出反例即可；性质②能推广，可以利用组合数的公式证明即可.15.【答案】解：(1)①当7n =时，7270127(1)x a a x a x a x +=++++ ，令1x =，有7012345672a a a a a a a a =+++++++，①令1x =-，有012345670a a a a a a a a =-+-+-+-，②.①-②得：7135722()a a a a =+++，所以61357264a a a a +++==②当7n =且2x =时，27770127(12)(41).a a x a x a x ++++=+=- 07166706157777774444(44C C C C C C =-++-=-+ …671)3C +-+所以2012n n a a x a x a x ++++ 被4除的余数为3.(2)由题意，记01235(21)(21)i n S a a a i a n a =++++++++ ，0i =，1，2，3，…，n ，③即210(21)[2()1]53n n i S n a n i a a a a -=+++-+++++ ，由题可知，i i n a C =，则n i n i n a C --=，而i n i n n C C -=，可得i n i a a -=，0i =，1，2，3，…，n ，则012(21)(21)(23)[2()1]i n S n a n a n a n i a a =++-+-++-+++ ，④所以③+④得：0122(22)()n S n a a a a =+++++ ，又2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++ ，令1x =得，0122n n a a a a ++++= ，所以2(22)2n S n =+⋅，即(1)2n S n =+⋅，所以01235(21)(21)(1)2.n i n a a a i a n a S n ++++++++==+⋅ 【解析】本题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数以及二项式定理的应用，考查了学生的分析以及计算能力，属较难题(1)由题意令1x =和1x =-代入得相应值，再相减即可得1357a a a a +++的值，当7n =且2x =时，27770127(12)(41)a a x a x a x ++++=+=- ，运用二项式定理展开，从而得到2012n n a a x a x a x ++++ 被4除的余数；(2)由题意，记01235(21)(21)i n S a a a i a n a =++++++++ ，即210(21)[2()1]53n n i S n a n i a a a a -=+++-+++++ ，又i n i a a -=，0i =，1，2，3，…，n ，得：0122(22)()n S n a a a a =+++++ ，又0122n n a a a a ++++= ，进而求出(1)2.n S n =+⋅。
排列、组合、二项式定理试卷 人教版
高二数学单元测试试卷（排列、组合和二项式定理）一选择题1.甲班有四个小组，每组成部分10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为（ ）A 80B 84C 85D 862．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 （ ） A ．18 B ．72 C ．36 D ．1443．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种4．若2)n x8项，则展开式中含1x的项是（ ）A ．第8项B ．第9项C ．第10项D ．第11项5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A 140种 B 34种 C 35种 D 120种 6．已知8()a x x-展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A ．28 B ．38 C ．1或38D ．1或287．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ） A ．311C 种 B ．38A 种 C ．39C 种 D ．38C 种8设34550500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++++=+++ ，则3a 的值是（ ）A ．450C B ．451C C ．351C D ．3502C9．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )A ．484121214C C C B ．484121214A A C C33484121214A C C C D33484121214A C C C10（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种二、填空题11．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有__________． 12．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为__________．（用数字作答）13若1531-++++n nn n nC C C C =32，则n= 14．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第_________个数。
高二数学下学期期末考试分类汇编排列组合与二项式定理新人教A版
专题10 排列组合与二项式定理一、单选题 1．（2022·浙江宁波·高二期中）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，则四名同学所选项目各不相同且只有乙同学选篮球发生的概率（ ） A ．364B ．3128C ．29D ．38【答案】B【解析】四名同学从四种球类项目中选择一项，每人有4种选择，由分步乘法计数原理可得总的选法有44256=种，由于乙同学选篮球，且四名同学所选项目各不相同，所以问题相当于将足球、排球、羽毛球三种球类项目分别分配给甲、丙、丁3位同学，共336A =种，所以所求概率63256128P ==.故选：B2．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）01223320222022202220222022202220222222C C C C C -+-+⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1D ．20222【答案】B2022001122332022202220222022202220222022(12)2+(2)(2)(2)(2)C C C C C -=-+-+-+⋅⋅⋅+-012233202220222022202220222022202222221C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+=.故选：B.3．（2022·重庆·高二阶段练习）在61x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．30-B ．30C ．60-D ．60【答案】C【解析】6611x y x y x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎡⎤=⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭的展开式通项为661C rr r x y x -⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭，61rx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()662661C1C kk kr kk r krrxx x ------⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 由6222r k r --=⎧⎨=⎩，解得1,2k r ==，所以22x y 的系数为()21641C C 60⋅-⋅=-.故选：C.4．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）()51(2)x x y -+的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．80- B ．40- C ．40 D ．80【答案】C【解析】解：()5551(2)(2)(2)x x y x x y x y -+=+-+，由5(2)x y +展开式的通项公式515C (2)r rr r T x y -+=，当3r =时，32345C (2)T x y =，5(2)x y -+不含有33x y 项. 所以5(2)x x y +展开式中33x y 的系数为325C 240⨯=；故选：C .5．（2022·北京八十中高二期中）今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ） A ．44种 B ．48种 C ．60种 D ．50种【答案】A【解析】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有321631C C C 60=种方案；若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有121431C C C 12=种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有3141C C 4=种方案.所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有3211213163143141C C C C C C C C 6012444--=--=不同的安排方案.故选：A.6．（2022·浙江·高二阶段练习）25某高中举办2022年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”､“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参加，则报名的不同方案有（ ） A ．420种 B ．630种 C ．1260种 D ．1890种【答案】B【解析】由题7名同学分成3个组，每组分别有2，2，3人，共有22375322C C C 105A =种分组方式. 再排列有2233753322C C C A 630A ⋅=种方案. 故选：B.7．（2022·河北保定·高二期中）4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A ，B ，C 三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（ ） A ．90 B ．150C ．180D ．300【答案】B【解析】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有3510C =种2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有22532215C C A =种再分配:3个组到三栋居民楼有336A =种所以总的分派方法数有(1015)6150+⨯=种 故选：B8．（2022·全国·高二课时练习）设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a = A ．0 B ．1 C ．11 D ．12【答案】D 【解析】由于2012201202012120112011120122012201251(521)5252521a a C C C a ⨯+=-+=-+⨯⨯-++,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a <13,所以a =12. 故选：D .9．（2022·湖北·高二阶段练习）若52345012345(23)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则024a a a ++=（ ） A ．244 B ．1 C ．120- D ．121-【答案】D【解析】根据52345012345(23)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-， 令0x =时，整理得：012345243-=-+-+-a a a a a a ① 令x = 2时，整理得:0123451=+++++a a a a a a ②由①+②得，024222422+-=+a a a ，所以024121a a a ++=-. 故选：D.10．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二阶段练习）52121x xx ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝展开式中常数项为（ ） A ．15- B ．0 C ．15 D ．80【答案】B【解析】51⎛ ⎝的通项为12121552(2)r rr r r r T C x C x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1202r -=时，4r =；当1102r -=时，2r =则52121x xx ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝展开式中常数项为244222155(2)220()x C x x C x --⋅--=- 故选：B11．（2022·全国·高二课时练习）设n 为正奇数，则112215555n n n n n n n C C C ---++++被7整除的余数为（ ）． A ．2-B ．0C ．3D ．5【答案】D 112215555n n n n n n n C C C ---++++()01122115555n n n n nn n n n n n n C C C C C C ---=+++++-()()51161711n nn =+-=-=--()()()()210112211771717111n nn n n n nn n n n n C C C C C ----=+-+-++-+--()()()210112231777171115n n n n n n n n n C C C C -----⎡⎤=+-+-++--+⎣⎦．∵()()()2101122317717111n n n n n nn n n C C C C -----+-+-++⋅--为整数，故112215555n n n n n n n C C C ---++++被7整除的余数为5；故选：D ．12．（2022·全国·高二课时练习）在()()13N*nx n -∈的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为（ ） A ．44536x - B ．45670x - C ．45670x D ．44536x【答案】C 【解析】【分析】解：因为二项展开式中，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数相等， 所以，偶数项的二项式系数的和为1721282n -==，即8n =，所以，展开式的中间项为()44458C 35670T x x =⨯-=． 故选：C13．（2022·山西临汾·高二期中）若()()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x n *++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（ ）A ．12n =B ．136a =C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】D【解析】令0x =，可得0a n =．又06a =，所以6n =，A 错误；()12nx +展开式的通项公式为()1C 22C rr r r rr n n T x x +=⋅=因为()()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x n *++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，所以()121242a n =++⋅⋅⋅+=，B 错误；令1x =，可得62603331092i i a ==++⋅⋅⋅+=∑，C 错误；对()()()26260126121212x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+两边同时求导，得()()()2551262121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦， 令1x =-，可得()()()66-1111121234566ii i i i i ia ia ==-=--=--+-+-=∑∑，D 正确．故选：D.14．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）设()72345670123456721x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，则1234567234567a a a a a a a ++++++=（ ）A ．10206B ．5103C ．729D ．728【答案】A【解析】解：因为()72345670123456721x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++， 两边同时取导数得()26236165454371421234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，其中()621x -展开式的通项为()()()666166C 21C 21rrrr rr r r T x x ---+=-=⋅⋅-⋅，所以当r 为奇数时系数为负数，r 为偶数时系数为正数， 即10a >，30a >，50a >，70a >，20a <，40a <，60a <， 令1x =-，则()12345676234567142110206a a a a a a a ==-+-+-+--， 所以123456723456710206a a a a a a a ++++++=； 故选：A一、单选题1．（2022·河南新乡·高二期中（理））8221x y展开式中的常数项为（ ）A ．－70B ．－56C ．56D ．70【答案】D【解析】8的通项公式为(()84221881r r rrrr r r T CC xy --+==-，当4r =时，得到8221x y展开式的常数项为()448170C -=，故选：D2．（2022·全国·高二课时练习）化简多项式()()()()()543221521102110215211x x x x x +-+++-+++-的结果是（ ）A ．()521x + B ．52xC ．()521x -D ．532x【答案】D【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作()()55211rrr C x -+⋅-，故该多项式为()5211x +-⎡⎤⎣⎦的展开式，化简()()555211232x x x +-==⎡⎤⎣⎦．故选：D.3．（2022·天津·南开大学附属中学高二期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种A ．120B ．260C ．340D ．420【答案】D 由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=故选D4．（2022·全国·高二课时练习）我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，则事件A 发生的概率为（ ） A ．124B ．112 C ．16D ．512【答案】B【解析】由题意知，五种不同属性的物质任意排成一列有55A 120=种排法，事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，∴总的排列方法种数为5211110⨯⨯⨯⨯=，∴事件A 发生的概率为()10112012P A ==. 故选：B ．5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．8种B ．14种C ．20种D ．116种【答案】B【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6C A ⋅⨯种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=24=8C C ⋅⨯种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能. 故选：B.6．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【解析】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有22A 2=种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有23C 3=，然后分配到参与两个吉祥物的安装， 有2232C A 326=⨯=， 则共有2612⨯=种，故选：C ．二、多选题7．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ） A ．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案 B ．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案C ．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法D ．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ABD 【解析】【详解】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有2353C A 60=种，A 正确：若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有2454C A 240=种，B 正确：若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有44A 种排法，甲、乙两人相邻有22A 种排法，所以共有4242A A 48=种站法，C 错误；前排有25A 种站法，后排3人中最高的站中间有22A 种站法，所以共有2252A A 40=种站法，D正确. 故选：ABD8．（2022·全国·高二课时练习）（多选）某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X ）、体艺特长（T ）、实践创新（S ）、生涯规划（C ）、国际视野（I ）、公民素养（G ）、大学先修（D ）、PBL 项目课程（P ），假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ） A ．某学生从中选两类，共有28A 种选法B ．课程“X ”“T ”排在不相邻两天，共有6267A A 种排法C ．课程中“S ”“C ”“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，共有720种排法D ．课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，共有()71167666A A A A +种排法【答案】BD【解析】对于A ，某学生从中选两类，如选“X ”“T ”与选“T ”“X ”是一种选法，没有顺序之分，所以28A 种选法计算重复，故A 错误；对于B ，课程“X ”“T ”排在不相邻两天，先将剩余六类课程全排列，产生7个空隙，再将课程“X ”“T ”插空，共有6267A A 种排法，故B 正确；对于C ，课程“S ”，“C ”，“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，采用捆绑法，共有6262A A 1440=种排法，故C 错误；对于D ，课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，则分两类情况：①课程“G ”排在第一天，②课程“G ”排在除第一天和最后一天之外的某一天，则共有()71167666A A A A +种排法，故D 正确． 故选：BD ．9．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）已知2nax⎛ ⎝(0)a >的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A ．展开式中有理项有6项B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中奇数项的二项式系数和为256D ．展开式中含15x 项的系数为45【答案】ABD【解析】依题意可得46C C n n =，得!!4!(4)!6!(6)!n n n n =⋅-⋅-，得(4)(5)30n n --=，得(10)(1)0n n -+=，得10n =.在102ax⎛⎝展开式中，令1x =，得10(1)1024a +=，因为0a >，所以12a +=，所以1a =. 120x⎛ ⎝展开式的通项为520210211010C ()C k k k k k k T x x--+=⋅=⋅，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10k =, 对于A ，由5202k -为整数，得0,2,4,6,8,10k =，所以展开式中有理项有6项，故A 正确；对于B ，因为120x⎛⎝展开式中各项的系数等于各项的二项式系数，且10n =为奇数，所以展开式中第6项的二项式系数最大，所以展开式中第6项的系数最大，故B 正确； 对于C ，根据二项式系数的性质可得，展开式中奇数项的二项式系数和为92512=，故C 不正确；对于D ，令520152k -=，得2k =，所以展开式中含15x 项的系数为210C 45=，故D 正确.故选：ABD.10．（2022·江苏·连云港高中高二期中）下列结论正确的是（ ）A ．*023()nk k n n k C n N ==∈∑B ．多项式621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为40C ．若1021001210(21),x a a x a x a x x R -=++++∈，则展开式中各项的二项式系数的和为1D ．83被5除所得的余数是1 【答案】ABD【解析】解：因为001122022222(12)3nk k n n n nn n n n n k C C C C C ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=+=∑，故A 项正确;多项式621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式通项为：62rr C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，要求3x 的系数，则3r ≥，当3r =时，有3362C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，3x 的系数为3303632(1)20C C ⋅⨯-=-,当4r =时，有4462C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，不存在3x ，当=5r 时，有5562C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，3x 的系数为5414652(1)60C C ⋅⨯-=,当6r =时，有6662C x x ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，不存在3x ， 故展开式中3x 的系数为206040-+=,故B 项正确；1021001210(21),x a a x a x a x x R -=++++∈,其展开式中各项的二项式系数之和为1021024=，故C 项错误；因为()88352=-，其展开式的通项公式为：8185(2)r r r r T C -+=⨯⨯-，只有当8r =时，即808985(2)256T C =⨯⨯-=，不能被5整除，且256被5整除的余数为1，故D 项正确. 故选：ABD.11．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）已知8280128(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．802a =B ．1281a a a +++= C ．812383a a a a ++++= D ．12382388a a a a ++++=-【答案】AD 【解析】解：因为8280128(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，令0x =，则802a =，故A 正确；令1x =，则()80128121a a a a ⋅=+++⋅+-=⋅，所以812812a a a ⋅=+⋅+-+⋅，故B 错误； 令1x =-，则8012383a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=，所以88123823a a a a +++=-+，故C 错误；对8280128(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+两边对x 取导得27721388(2)238x a a x a x a x --=+++⋅⋅⋅+，再令1x =得12382388a a a a +++⋅⋅+=-⋅，故D 正确； 故选：AD三、解答题12．（2022·安徽·高二期中）已知()82801282x a a x a x a x -=++++．(1)求128a a a +++； (2)求1238238a a a a ++++．【答案】(1)255-(2)8-令x ＝1，得()8012811a a a a ++++=-=， 令x ＝0，得()802256a =-=，所以128255a a a +++=-． (2)()82801282x a a x a x a x -=++++两边同时求导得：()771288228x a a x a x -=+++，令x ＝1，得12382388a a a a ++++=-．。
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高二数学排列、组合、二项式定理测试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ）A ．80100nA -B ．nnA --20100C ．81100n A - D ．8120nA - 2．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定 也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 cz b y a x p ++=．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3 3．（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是（ ）A ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A 、D 1C 、A 1C 1是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量5．书架上有不同的数学书与不同的外文书共7本，现取2本数学书，1本外文书借给3位同学，每人一本，共有72种不同的借法，则数学书与外文书的本数分别为 （ ）A ．4，3B ．3，4C ．5，2D ．2，5 6．1003)32(+的展开式中，无理数项的个数是（ ）A ．84B ．85C ．86D ．877．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于 （ ）A ．627B ．637C ．647D ．6578．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若cCC b CB a CA ===1,,， 则1A B =（ ）A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c9．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ ）A ．2880B ．3080C ．3200D ．360010．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><b a ,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对11．已知OA=(1,2,3)，OB=(2,1,2)，OP=(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ） A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)33312．从1，2，3，4，5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面（不一定相邻），这样的三位数有 （ ）A ．9个B ．15个C ．42个D ．51个二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）13．已知=++++++++=-||||||||,)31(72107722107a a a a x a x a x a a x 则.14．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ． 15．把13个乒乓球运动员分成3组，一组5人，另两组各4人，但3个种子选手每组要选派1人，则不同的分法有 种. 16．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线， G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ， 以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则CE ＝ ．三、解答题（本大题共6题，共76分）17．已知)0,()1()(*212≠∈+++m N n mx m x n n 与的展开式中含x n 项的系数相等，求实数m 的取值范围.(12分)18．（12分））如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．19．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？（12分）20．（14分）如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是正方形，侧棱⊥PD底面ABCD，DCPD=，E是PC的中点，作PBEF⊥交PB于点F.（1）证明∥PA平面EDB；（2）证明⊥PB平面EFD；（3）求二面角D-PB-C的大小．21．某市A有四个郊县B、C、D、E。
（如图）现有5种颜色，若要使每相邻的两块涂不同颜色，且每块只涂一种颜色，问有多少种不同的涂色方法？（14分）22．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离.[参考答案]一、选择题1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．A 10．D 二、填空题11．47 12．12600种 提示：种126002363641033=÷⋅⋅C C C A13．714．2081C三、解答题 15．解：]32,21(3221,32,1,21,),1211(21121:1,12,)(21112111212121112的取值范围是故时又当的减函数为由题意知项的系数为故此展开式中得令则的展开式通项公式为设m m m n m N n n m n n n m m C mC mCx n r n r n mxC T T m x nnn n n n n n n nrrn r n r r n ≤<∴==>∴∈++=++=∴=+==-+⋅=+*++++++-+++++16．解（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有44C 种 2）取3个红球1个白球，有1634C C 种；3）取2个红球2个白球，有,2624C C种符合题意的取法种数有或或则个白球个红球设取种186142332)60(72)40(5,,)2(1151644263436242624163444=++∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧≤≤≥+≤≤=+=++∴C C C C C C y x y x y x y y x x y x y x C C C C C17．解：分三步1）将6名学生平均分成三组有种33222426A C C C . 2）将3名老师分到三组之中有33A 种3）将3个不同的组分配到三个不同的工厂，有33A 种 由分步计数原理得：540333333222426=⋅⋅A A AC C C 种.18．解243)3(,1)4(16221)3(322)2(;11)12()1(5543210555351555515055105522105-=-=-+-+--==⨯=++==++=+++=++++=-a a a a a a x C C C C C C a a a x x a x a x a a x 则令和偶数项的二项式系数之各项的二项式系数之和得各项系数之和令设122224312)()()5(5210510531=+=-++--+++=++a a a a a a a a a a19．解：符合题意的涂色至少要3种颜色，分类如下种共有不同的涂色方法由分类计数原理种有种颜色涂有种有种颜色涂用种有种颜色涂用42060240120,60,3)3(240,4)2(120,5)1(3335222312144555=++=⋅=⋅⋅⋅⋅=A C A C C C C A20．证明nnnnnnn n n n n nn nnn nnb a b a b a b a C b a b a C b a b a C b a C b a b a b a b a b a b a b a b a N n n R b a )2(2)2(2])2()2()2()2(,)2()2([2)22()22(0)2(,02,0,1,,4442220+≥+∴+≥-++-⋅++-+++=--++-++=+≥-≥->≥∈>∈--*+故则不妨设。