不等式与不等关系复习专题教案.doc

不等式与不等关系复习专题

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则

a c

b d ->-）

，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减。 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除。

若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b

c d

>）；

若0ab >，a b >，则11a b <； 若0ab <，a b >，则11

a b

>。

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；

注意：比较大小，最常用的方法——作差；对于选择题或判断题用赋值法比较好。 如：对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22.

③22,0b ab a b a >><<则若. ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0.

⑦b c b a c a b a c ->

->>>则若,0. ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><. 其中正确的命题是______

4. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2

(0)y ax bx c a =++>、相应的

方程2

0(0)ax bx c a ++=>之间的关系：

判别式

ac b 42-=∆

0>∆

0=∆ 0<∆

二次函数

c

bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根

a

b x x 221-

== 无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

∅

∅

5.一元二次不等式恒成立情况小结：

20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔0

0a >⎧⎨

∆<⎩． 2

0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00a <⎧⎨∆<⎩

． 6. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：

y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+

说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；

y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．

（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 7.基本不等式：

(1).如果R b a ∈,，那么ab b a 22

2

≥+．

(2). ≤

2

a b

+(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”。“和”一定时，“积”最大；“积”一定时，“和”最小） 注意:取最值的条件，一“正”、二“定”、三“相等” 二.例题与练习

例１． 解下列不等式：

(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2

210x x -+<；

练习1. （1）解不等式307x x -≤+ （2）解不等式23

17

x x -<+；

例2.已知关于x 的不等式2

0x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．

练习2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式2

0cx bx a -+>的解集．

例3．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，求z 的最大值和最小值．

练习3．设y x 106z -=，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，求z 的最大值和最小值．

例4．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2

22

练习4．若,0x y >,且21x y +=，求11

x y

+的最小值。

三.课后作业

1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）

（A ）.

11

a b < （B

<（C ）22a b < （D ）||||a b > 2.不等式11

2

x <的解集是（ ）

A ．(,2)-∞

B ．(2,)+∞

C ．(0,2)

D (,0)-∞⋃(2,)+∞

3. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）

b a 11<. （B ）22b a >. （C ）.1

12

2+>+c b

c a . （D ）||||c b c a >. 4. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为( )

（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 .

5. 不等式1201

x

x -≥+的解集是_________ . 6.已知实数,x y 满足3025000

x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是_________.

7.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数1

2

1)(--

=x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．

8. 若1->x ，则x 为何值时1

1

++x x 有最小值，最小值为多少？