欧氏几何的公理化方法 PPT
合集下载
欧氏几何的原理和应用
欧氏几何的原理和应用1. 欧氏几何的概述欧氏几何，是指由希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中所提出的一套基本原理和公理，被广泛应用于平面和空间的几何学中。
它以点、直线和平面为基础，通过定义距离、角度等几何概念，建立了一套完整的几何理论体系。
2. 欧氏几何的基本原理和公理欧氏几何的基本原理和公理包括以下几个方面：•公理1：点线度量公理。
欧氏几何中，可以用长度表示的线段具有可加性，即两个线段的长度之和等于这两个线段连在一起的线段的长度。
•公理2：等距传递性公理。
如果两个线段等距，且一个线段和另一个线段等距，则这两个线段之间的所有线段都等距。
•公理3：等角传递性公理。
如果两个角等对顶角，且一个角和另一个角等对顶角，则这两个角之间的所有角都等对顶角。
•公理4：一致性公理。
如果点A在线段BC上，点B在线段CD上，则点A、B、C、D四个点在同一条直线上。
3. 欧氏几何的应用欧氏几何的原理和公理在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：3.1 建筑设计在建筑设计中，欧氏几何的原理和公理被用于确定建筑物的尺寸和布局。
设计师根据欧氏几何的原理进行空间规划，确保建筑物的各个部分符合几何比例和美学原则。
例如，在设计一座居住建筑时，设计师可以利用欧氏几何的原理来确定房间的大小、窗户的位置等，让整个空间更加协调和谐。
3.2 测量和地理学欧氏几何的原理被广泛应用于测量和地理学领域。
地理学家和测量工程师使用欧氏几何的原理来确定地球表面上的距离、角度和面积。
他们通过测量线段长度、角度大小等来绘制地图，并计算出地图上不同地点之间的距离和位置关系。
3.3 计算机图形学欧氏几何在计算机图形学中也扮演着重要的角色。
计算机图形学是一门研究如何利用计算机来生成、处理和显示图像的学科。
在三维计算机图形学中，欧氏几何的原理被用来计算和描述三维空间中的物体和场景。
例如，在计算机游戏开发中，设计师可以利用欧氏几何的原理来实现物体的运动、相机的视角变换等效果。
欧氏几何的公理化方法A
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn 公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn 公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
第七章欧氏几何的公理体系简介
第七章欧氏几何的公理体系简介§7.1欧氏几何的公理体系简介一、希尔伯特的公理体系简介1、原始概念点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。
2、欧氏公理公理Ⅰ结合公理（共八条）Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；1Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；2这两条公理的二个直接推论是：推论1o：两个不同的点确定唯一直线；推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。
由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。
Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；3Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。
每个平面上至少4有一个点；5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。
公理4Ⅰ和公理5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。
这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。
6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上所有点都在这个平面上；7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共点；8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。
在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。
公理Ⅱ 顺序公理（共四条）1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。
2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；4Ⅱ：（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；顺序公理用来规定直线上点的相互关系。
公理Ⅲ 合同公理（共五条）1Ⅲ：设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。
欧氏几何的公理体系与中国平面几何的历史PPT(35张)
在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。
公设适用于几何部分：
由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角
傅先生曾亲自编写了平面几何教科书，于二，三十年代在北京师
大附中讲授，使听他讲课的学生受益匪浅。其中钱学森，段学复， 闵嗣鹤，熊全淹等人在新中国成立后成为数学界，物理学界的栋 梁。
1958年，江泽涵教授的中译本《几何基础》由科学出版社出 版，这是根据第七版的俄译本和1956年第八版的一些补充译成 的。 文革后，征得了江泽涵教授的同意，朱鼎勋教授根据德文 第十二版， 对1958年的中译本进行增补， 修订， 于1987年出 了《几何基础》中译本第二版。 下述引文均出自该版。《几何
第三类是合同公理，（或全等公理）。 1. 设A和B是一直线a 上的两点, A’是这直线或另一直线 a’上的一点， 而且给定了 直线a’上A’的一侧。则在a’ 上点A’的这一侧， 恒有一点 B’, 使得线段AB和线段A’B’合同或相等. 记作AB=A’B’. 2. 若 A’ B’ = AB, 且A’’B’’=AB, 则A’B’=A’’B’’. 3. 关于两条线段的相加。 4. 关于角的合同，（或相等）。 5. 若 两个三角形△ABC 和△A’ B’C’ 有下列合同式：AB=A’B’， AC=A’C’，∠BAC=∠B’A’C’，则也恒有合同式 ∠ABC=∠A’B’C’，且∠ACB=∠A’C’B’. （此处没有提 BC=B'C'，故有别于三角形全等的判定边角边）。
《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头 给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了 465个数学命题，（按照目前通行的希思英译本《Euclid’s Elements》13卷计算, 该书的中译本于1990年出版），其系统之 严谨，推理之严密，令人叹为观止。
几何学：第五公设——公理化方法
再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法 建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》， 《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》， 《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如： 《原本》第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他 公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。 引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于 ． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)， 且存在一个内角 (1/2)B.
《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
欧拉公式PPT课件
信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
20欧氏几何的公理体系
第二十讲 欧式几何的公理体系与非欧几何 20.1 欧氏几何的公理体系 20.2 非欧几何简介
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
初 等 数 学 专 题 研 究
20.1 欧氏几何的公理体系 一、欧氏公理体系中的原始概念 1、不加定义的基本元素：点，直线，平面 2、不加定义的基本关系：“在之上”（同义语为 属于、通过）；“在之间”；“合同”； 二、欧氏公理体系中的结合公理Ⅰ（一共8条） Ⅰ1：过两点恒有一线 Ⅰ2：过两点至多有一线 Ⅰ3：一线上至少含两点；至少有三点不共线。 Ⅰ4：过不共线三点恒有一平面；每个平面至少含一点。 Ⅰ5：过不共线三点至多有一平面。 Ⅰ6：有一线有两点在一个平面上，整条直线都在平面上。 Ⅰ7：两平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点。 Ⅰ8：至少有四点不共面。
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理III（五条，合同记作≡）
α O Y X O1 X1
初 等
β
Y1
III5：A,B,C是不共线三点,A1,B1,C1也不共线,若AB =A1B1且 AC = A1C1,并且∠BAC = ∠B1A1C1,那么∠ABC = ∠A1B1C1.
A A1
a A
初 等 数 学 专 题 研 究
这条公理又 叫巴士公理
C
B
四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III1：A,B是直线a上两点，C是直线b上点，给定b上C的一侧， 那么在b上的这一侧，恒有一点D，使得AB≡CD,因线段端点 未分先后，所以也有AB≡DC.
a A B C D b
20.1 欧氏几何的公理体系 四、欧氏公理体系中的合同公理Ⅱ（五条，合同记作≡） III2：若AB≡CD且EF≡CD，那么AB≡EF（传递性）
初 等 数 学 专 题 研 究
几何的发展及公理化体系PPT
详细描述
笛卡尔在17世纪初提出了坐标系的概念，将几何图形与代数方程联系起来。通过 坐标系，几何图形可以用代数方程来表示，反之亦然。这一创新使得几何学的研 究更加深入和广泛，为微积分和现代数学的发展奠定了基础。
坐标系与几何图形的表示
总结词
坐标系是解析几何的核心工具，它使得几何图形能够用代数 方程来表示，从而使得几何问题可以通过代数方法来解决。
详细描述
微积分的研究需要用到大量的几何概念和工具，如极限、导数、积分等都与几何图形有关。同时，解析几何的应 用也深化了微积分的研究，如曲线面积、曲面体积等问题的解决需要用到解析几何的知识。因此，微积分与几何 是相互促进、共同发展的。
03
非欧几何的发现
非欧几何的背景与起源
欧几里得几何的局限性
非欧几何的诞生
几何拓扑的研究领域
几何拓扑是研究几何对象在拓扑变换下的性质和不变量的学科，是现代几何学的 重要组成部分。
几何拓扑的研究领域包括拓扑空间、流形、几何群论等，这些领域的研究对于数 学其他分支的发展以及物理学、工程学等领域的应用都有着重要的意义。
几何机器学习的新兴领域
几何机器学习是近年来新兴的一个领域，主要是利用机器学 习的方法对几何对象进行分析和建模，以实现自动化和智能 化的处理和应用。
物理学
相对论中的广义相对论使用非欧几何来描述时空 的弯曲。
数学与其他领域
非欧几何的发展对数学和其他领域产生了深远的 影响，推动了数学和科学的发展。
04
几何公理化体系的建立
欧几里得几何公理化体系
01
欧几里得几何公理化体系是几何学的基础，它以五个基本公理为基础，推导出 了一系列几何定理和性质。
02
这五个基本公理包括：两点确定一条直线、直线可以无限延长、通过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行、所有直角都相等、以及所有相似图形都 可以通过连续变换相互重合。
笛卡尔在17世纪初提出了坐标系的概念，将几何图形与代数方程联系起来。通过 坐标系，几何图形可以用代数方程来表示，反之亦然。这一创新使得几何学的研 究更加深入和广泛，为微积分和现代数学的发展奠定了基础。
坐标系与几何图形的表示
总结词
坐标系是解析几何的核心工具，它使得几何图形能够用代数 方程来表示，从而使得几何问题可以通过代数方法来解决。
详细描述
微积分的研究需要用到大量的几何概念和工具，如极限、导数、积分等都与几何图形有关。同时，解析几何的应 用也深化了微积分的研究，如曲线面积、曲面体积等问题的解决需要用到解析几何的知识。因此，微积分与几何 是相互促进、共同发展的。
03
非欧几何的发现
非欧几何的背景与起源
欧几里得几何的局限性
非欧几何的诞生
几何拓扑的研究领域
几何拓扑是研究几何对象在拓扑变换下的性质和不变量的学科，是现代几何学的 重要组成部分。
几何拓扑的研究领域包括拓扑空间、流形、几何群论等，这些领域的研究对于数 学其他分支的发展以及物理学、工程学等领域的应用都有着重要的意义。
几何机器学习的新兴领域
几何机器学习是近年来新兴的一个领域，主要是利用机器学 习的方法对几何对象进行分析和建模，以实现自动化和智能 化的处理和应用。
物理学
相对论中的广义相对论使用非欧几何来描述时空 的弯曲。
数学与其他领域
非欧几何的发展对数学和其他领域产生了深远的 影响，推动了数学和科学的发展。
04
几何公理化体系的建立
欧几里得几何公理化体系
01
欧几里得几何公理化体系是几何学的基础，它以五个基本公理为基础，推导出 了一系列几何定理和性质。
02
这五个基本公理包括：两点确定一条直线、直线可以无限延长、通过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行、所有直角都相等、以及所有相似图形都 可以通过连续变换相互重合。
《欧几里得证法》课件
《欧几里得证法》PPT课件
目录
• 欧几里得简介 • 欧几里得证法概述 • 欧几里得证法的证明过程 • 欧几里得证法的应用实例 • 欧几里得证法的局限性与发展 • 总结与思考
01
欧几里得简介
生平简介
欧几里得出生于公元前330年左 右，成长于雅典。
他的教育背景不详，但据推测他 可能受到了当时著名学者亚里士
其他领域应用
物理学中的应用
欧几里得证法在物理学中有广泛的应 用，例如在力学和电磁学中，可以通 过欧几里得证法证明一些重要的定理 和定律。
工程领域的应用
在工程领域中，欧几里得证法也被广 泛应用，例如在结构设计、机械零件 的强度分析和流体动力学中，可以通 过欧几里得证法证明一些重要的定理 和公式。
05
06
总结与思考
欧几里得证法的意义与价值
欧几里得证法在数学史上具有重要意 义，它为几何学提供了一种系统化的 证明方法，使得几何学的推理变得更 加严谨和有逻辑。
欧几里得证法对于培养人们的逻辑思 维和推理能力也有很大的帮助，它使 得人们在学习和工作中更加注重逻辑 和推理的重要性。
通过欧几里得证法，我们可以更好地 理解几何学的本质和原理，从而更好 地应用几何知识解决实际问题。
毕达哥拉斯定理证明
通过应用欧几里得证法，可以证明毕达哥拉斯定理，即在一 个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
代数定理证明
二项式定理证明
利用欧几里得证法，可以证明二项式定理，这是代数中一个重要的定理，用于展 开二项式的幂。
代数基本定理证明
通过应用欧几里得证法，可以证明代数基本定理，即一个多项式方程有解当且仅 当它的根的最高次数是偶数。
Байду номын сангаас
目录
• 欧几里得简介 • 欧几里得证法概述 • 欧几里得证法的证明过程 • 欧几里得证法的应用实例 • 欧几里得证法的局限性与发展 • 总结与思考
01
欧几里得简介
生平简介
欧几里得出生于公元前330年左 右，成长于雅典。
他的教育背景不详，但据推测他 可能受到了当时著名学者亚里士
其他领域应用
物理学中的应用
欧几里得证法在物理学中有广泛的应 用，例如在力学和电磁学中，可以通 过欧几里得证法证明一些重要的定理 和定律。
工程领域的应用
在工程领域中，欧几里得证法也被广 泛应用，例如在结构设计、机械零件 的强度分析和流体动力学中，可以通 过欧几里得证法证明一些重要的定理 和公式。
05
06
总结与思考
欧几里得证法的意义与价值
欧几里得证法在数学史上具有重要意 义，它为几何学提供了一种系统化的 证明方法，使得几何学的推理变得更 加严谨和有逻辑。
欧几里得证法对于培养人们的逻辑思 维和推理能力也有很大的帮助，它使 得人们在学习和工作中更加注重逻辑 和推理的重要性。
通过欧几里得证法，我们可以更好地 理解几何学的本质和原理，从而更好 地应用几何知识解决实际问题。
毕达哥拉斯定理证明
通过应用欧几里得证法，可以证明毕达哥拉斯定理，即在一 个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
代数定理证明
二项式定理证明
利用欧几里得证法，可以证明二项式定理，这是代数中一个重要的定理，用于展 开二项式的幂。
代数基本定理证明
通过应用欧几里得证法，可以证明代数基本定理，即一个多项式方程有解当且仅 当它的根的最高次数是偶数。
Байду номын сангаас
欧氏几何.
底边长乘高线长的一半
，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）
合同性（全等条件）
SSS，SAS，ASA
SSS，SAS，ASA，AAA
相似性
存在不全等的相似三角形
同球或等球上没有相似三角形
平行性
过直线外一点有且只有一条直线与之平行
过直线外一点没有直线与之平行
勾股定理
余弦定理
正弦定理
欧氏几何
欧氏几何
球面几何
直线
过两点间有唯一一条直线
过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）
直线可以无限延伸
大圆是封闭的、有限的
角的含义
两直线的交角
两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）
两点间距离含义
连结它们的直线段长度
过两点的大圆中的劣弧弧长
三角形内角和
等于180°
大于°
三角形面积
球面几何
直线
都是两点间距离最短的道路
三角形全等的条件
SSS，SAS，ASA
三角形边的关系
大边对大角，大角对大边；
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
，其中A、B、C为单位球面上三角形的三个内角（弧度制）
合同性（全等条件）
SSS，SAS，ASA
SSS，SAS，ASA，AAA
相似性
存在不全等的相似三角形
同球或等球上没有相似三角形
平行性
过直线外一点有且只有一条直线与之平行
过直线外一点没有直线与之平行
勾股定理
余弦定理
正弦定理
欧氏几何
欧氏几何
球面几何
直线
过两点间有唯一一条直线
过两个非对径点有唯一一条直线（大圆）
直线可以无限延伸
大圆是封闭的、有限的
角的含义
两直线的交角
两个大圆在交点处切线的交角（即两个大圆所在平面的二面角的平面角）
两点间距离含义
连结它们的直线段长度
过两点的大圆中的劣弧弧长
三角形内角和
等于180°
大于°
三角形面积
球面几何
直线
都是两点间距离最短的道路
三角形全等的条件
SSS，SAS，ASA
三角形边的关系
大边对大角，大角对大边；
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
欧氏几何公理
(III)为了安置 柏拉图 的五种正多面体，正多面体是柏拉图的 宇宙论 之基石。 《 几何原本 》的最后一册 (即第13册)就是以建构这五种正多面体、研究它们的性质为主。欧氏以它们作为总结。
谢谢观看
建立过程
总之，欧氏吸取毕氏学派失败的经验，重新「分析」与「整理」既有的几何知识，另辟路径，改几何本身来 建立几何（不用毕式经验式的原子论，即使优多诸斯已补全了毕氏学派的漏洞）并且采用公理化的手法，逐本探 源，最后终於找到五条几何公理与五条一般公理是欧氏的创造与发现过程。接着是「综合」，利用10条公理配合 优多诸斯检定法则、反证法（归谬法）与 尺规作图 ，推导出所有的 几何定理 ，这是逻辑的证明过程。
欧氏几何公理
数学术语
01 历史影响
03 建立过程 05 建立动机
目录
02 公理内容 04 欧氏生平
欧氏几何公理是欧几里得建立的几个几何公理，也称欧式几何，它的建立，采用了分析与综合的方法，不止 是单独一个命题的前提与结论之间的连结，而是所有几何命题的连结成逻辑路。
历史影响
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《 几何原本 》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整 而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动 人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的 方法，用这些定义和公理来研究各种 几何 图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得 几何学 论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
只有欧氏见过赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。
谢谢观看
建立过程
总之，欧氏吸取毕氏学派失败的经验，重新「分析」与「整理」既有的几何知识，另辟路径，改几何本身来 建立几何（不用毕式经验式的原子论，即使优多诸斯已补全了毕氏学派的漏洞）并且采用公理化的手法，逐本探 源，最后终於找到五条几何公理与五条一般公理是欧氏的创造与发现过程。接着是「综合」，利用10条公理配合 优多诸斯检定法则、反证法（归谬法）与 尺规作图 ，推导出所有的 几何定理 ，这是逻辑的证明过程。
欧氏几何公理
数学术语
01 历史影响
03 建立过程 05 建立动机
目录
02 公理内容 04 欧氏生平
欧氏几何公理是欧几里得建立的几个几何公理，也称欧式几何，它的建立，采用了分析与综合的方法，不止 是单独一个命题的前提与结论之间的连结，而是所有几何命题的连结成逻辑路。
历史影响
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《 几何原本 》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整 而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动 人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的 方法，用这些定义和公理来研究各种 几何 图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得 几何学 论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
只有欧氏见过赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。
欧氏几何的公理化方法A
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学 《几何原本》中的命题有两种类型 一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
异同。
(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。
(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
xn + yn = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
xn + yn = zn
x n + y n = zn
x n + y n = zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
公设
xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn
xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn 一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实 践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。 什么是“公理化方法”？
欧氏几何公理体系
第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义P1三、欧几里得《几何原本》简介P2四、完备化的希尔伯特公理体系P5五、中学几何公理系统P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1．什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个演绎系统的方法。
”一般由4部分组成：(1)原始概念的列举(2)定义的表达(3)公理的列举(4)定理的表达和证明4个部分不是独立地表达和展开，而是相互交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎和展开的。
原始概念和公理决定几何体系的基础，不同的基础决定不同的几何体系。
如欧氏几何、罗氏几何等。
原始概念包含原始元素(图形)和原始关系两类．原始元素如点、直线和平面等，原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。
原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理中，如平面的属性，中学给出三个公理：◆一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有点都在平面内；◆两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公共点的直线；◆过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
公理是“在一个系统中已为反复实践所证实而被认为不需要证明的真理，具有自明性.”。
一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。
因此，人们选用某些命题作为一种演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行，实质在于符合经验。
2．公理系统的三个基本问题(1) 相容性 (无矛盾性)假设由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则称该公理系统是相容的。
靠演绎推理的方法证明系统(∑)的无矛盾性是不可能的，因为无论推出多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推下去保证永远不会发生矛盾。
要证明无矛盾性，数学上用解释(即作模型)的方法。
先找一个模型M，使M的事物与∑的命题形成一一对应关系，我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在的，后一情况，我们只证明了公理系统在M存在的条件下是无矛盾的，即∑相容是有条件的，如欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺公理的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合的无矛盾性至今也没有解决。
[工学]第七章-欧氏空间PPT课件
![[工学]第七章-欧氏空间PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/363871f04b73f242326c5f18.png)
是正交变换 | ( ) || （| V）（保持长度不变）
, ( ), () .( , V )
（保持内积不变）
把 V的标准正交基仍旧变成标
准正交基。
关于 V 的标准正交基的矩阵
是正交矩阵。
说明：正交变换保持夹角不变
7.4 对称变换和对称矩阵
定义1 设 是欧氏空间 V的一个线性变换。
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2 正交基
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。
说明：① 正交组是线性无关的向量组。
② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个.
i1 j 1
定义2 设 V，则的长度 为： 〈，〉
说明：① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数
② a a
③ 长度是1的向量，称为单位向量。即
1则 为单位向量
④ 任一非零向量 ，都可以化为单位向量
事实上： 0,则 即为单位向量
定理1 在欧氏空间中，， V ，有： ， 2 , , (1) 当且仅当 与 线性相关，等式成立。
w { / , 0 v, v} 则w
v w 是 的子空间，称为 的正交补，且
v w w.
定义6. 设 U是
n阶复矩阵，如果UU
'
'
UU I
则称为一个
酉矩阵。
①（其中 U (U ij ),U ij是U ij的共轭）
2
补充定义: 零向量与任意向量均正交.
推广：在欧氏空间中，与向量 n
中每个向量正交.则 与1 的任意线性组
, ( ), () .( , V )
（保持内积不变）
把 V的标准正交基仍旧变成标
准正交基。
关于 V 的标准正交基的矩阵
是正交矩阵。
说明：正交变换保持夹角不变
7.4 对称变换和对称矩阵
定义1 设 是欧氏空间 V的一个线性变换。
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2 正交基
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。
说明：① 正交组是线性无关的向量组。
② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个.
i1 j 1
定义2 设 V，则的长度 为： 〈，〉
说明：① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数
② a a
③ 长度是1的向量，称为单位向量。即
1则 为单位向量
④ 任一非零向量 ，都可以化为单位向量
事实上： 0,则 即为单位向量
定理1 在欧氏空间中，， V ，有： ， 2 , , (1) 当且仅当 与 线性相关，等式成立。
w { / , 0 v, v} 则w
v w 是 的子空间，称为 的正交补，且
v w w.
定义6. 设 U是
n阶复矩阵，如果UU
'
'
UU I
则称为一个
酉矩阵。
①（其中 U (U ij ),U ij是U ij的共轭）
2
补充定义: 零向量与任意向量均正交.
推广：在欧氏空间中，与向量 n
中每个向量正交.则 与1 的任意线性组
欧几里得几何学ppt课件
情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，
欧几里得的几何学可以给出非常近似于现实世界的结论。
•
不论怎样，人类知识的这些最新进展都不会水减弱欧
向里得学术成就的光辉。也不会因此贬低他在数学开展和
建立现代科学生长必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。
3.4 缺陷
• 欧几里得的<几何本来>，虽然在教育和科学意义上，在历史上遭到很高的评价，但用 如今的科学程度衡量，它的几何逻辑构造在严谨性上还存在很多缺陷。首先，欧几里 得的定义并不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象点、线、面的一种直观描画， 有的含混不清，这些定义在后面的论证中，实践上是无用的。其次，欧几里得的公设 和公理，是远不够用的，因此在<几何本来>的许多命题的论证中，不得不借助直观， 或者或明或暗地援用了用他的公设和公理无法证明的现实。特别要指出的是研讨<几何 本来>的许多学者都留意到欧几里得的第五公设比较复杂，看来很象定理。欧几里得之 后的两千年很多学者都试图用其他公设和公理加以证明,但都失败。直到19世纪,C.F.高 斯、H.И.罗巴切夫斯基、J.波尔约、〔G.F.〕B.黎曼等发现了非欧几何，才了解到欧几 里得第五公设不是其他公设和公理的推论，不能用那些公设和公理来证明，而是一个 独立的命题。
欧几里得几何学
毕文骞 六〔2〕 指点教师：陈博涛
1 简介
• 欧几里得几何学简称欧氏几何，是以欧几 里得平行公理为根底的几何学．它的开创 人是古代希腊的伟大数学家欧几里得．他 把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑 推理的思想方法加以系统化，初步奠定了 几何学的逻辑构造的根底．
1.2 最早提出的著作
就其缘由而言，一方面是将阅历同实验进展结合；另一方
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的意义PPT
在球面上欧氏平行公理不成立的原因， 是我们把大圆当作“直线”，因此任意两 条“直线”都相交。但是大圆是弯曲的， 并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是 有限的，而直线的长度是可以无限增大的。
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的 一些最基本的性质。例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备。所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型。
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型。
A
l
x
图8-1
A l
x
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （ 图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部 的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”。
欧几里得
庞加莱
旧知回顾
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同的。
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
球面上的大圆可视为“直线”。在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的 一些最基本的性质。例如，过两点有且只有 一条直线；两点之间的连线中直线最短，等 等，这些性质球面上的大圆都具备。所以大 圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说 明或解释，这种解释可以视为一种模型。
下面，我们给出法国数学家庞加莱建立 的满足非欧平行公理的一种几何模型。
A
l
x
图8-1
A l
x
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘 的上半平面（不包含x 上的点）记为 （ 图81），现在考虑 内部的点，我们规定 内部 的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直 于x的射线称为“非欧直线”。
欧几里得
庞加莱
旧知回顾
通过前面的学习，我们知道球面 几何与平面几何中的许多定理是“相 同”的，但也有一些定理是不相同的。
导入新课
在本讲，我们首先通过平面几何与 球面几何的比较，追溯某些定理不相同 的根源，给出欧氏几何与非欧几何的定 义；然后通过欧氏平行公理的分析，给 出非欧几何的一种模型——庞加莱模型。
人教高中数学欧氏几何与非欧几何的 意义PPT
球面上的大圆可视为“直线”。在球 面上有这样一个结论：任意两条“直线” （大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。
几何的发展及公理化体系_PPT幻灯片
牛顿的故事
▪ 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一 本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有 超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对 笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后 来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试 的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说： “因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功 也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于 是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复 进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实 的数学基础。
▪ 作业：
▪
▪ 初中平面几何所包含的内容（知识点、问 题、解题方法）
第一章绪论：几何学——时间与空间 的数学
▪ 一、几何学的进步概说
▪ 二、欧氏几何与非欧几何
▪ 三、欧氏空间和坐标几何
▪ 四、微分几何与黎曼几—点、线、面 ▪ 2、解析几何——坐标、有序数对 ▪ 3、非欧几何——第五公设 ▪ 4、射影几何——形状是否改变 ▪ 5、微分几何——度量曲线的长短 ▪ 6、分形几何——现实空间的为数
黎曼几何
▪ 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年 所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中 明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学 的一片新的广阔领域。
▪ 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任 何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中 不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线 可以无限演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
1、微分几何的产生
▪ 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连 的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧 拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这 一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点 的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
欧氏几何的公理化方法
欧氏几何的公理化方法
一、公理化思想方法的内涵与价值 二、直观公理化时期——《几何原本》 三、思辨性的公理化时期——非欧几何 四 、 形 式 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 希 尔 伯 特 的
《几何基础》 五 、 结 构 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 布 尔 巴 基 的
《原本》的不足： 《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的
1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理
《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、 线、面等进行定义，这是不可能的。
《原本》中的公理体系作为几何学的 逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样 修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
公理的自明性 公理化体系所依赖的“演绎推理”规则
公理化方法的目标：形成一个演绎的科 学体系
公理的选取必须符合：
相容性 独立性 完备性
公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截 线的这一侧。
公理
Ⅰ.等于同一量的量彼此相等； Ⅱ.等量加等量，其和仍相等； Ⅲ.等量减等量，其差仍相等； IV.互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学
《几何原本》中的命题有两种类型
5）四个量形成第一个量与第二个量 之比以及第三个量与第四个量之比，我 们说这两个比是相同的：如果取第一、 第三两个量的任何相同的倍数，取第二、 第四两个量的任何相同的倍数后，从头 两个量的倍数之间大于、等于、或小于 可以推出后两个量的倍数之间的相应关 系。
命 题 1 任 意 多 个 量 ， 分 别 是 同 样 多 个 量 的 相 同 倍 数 ， 那 么 不 管 那 些 个 量 的 倍 数 是 多 少 ， 它 们 的 总 起 来 也 有 那 么 倍 数 。
第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及 正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论
欧道克斯的比例论 18个定义。
如 定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为 大的量的部分。
2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的 量的倍数。
3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于 另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了 比。
一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
第二卷：14个命题
包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。
第三卷：37个命题
包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论 及圆幂定理等。
命题16
在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆 外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间， 而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐 角。
放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线； 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；… …
公设
Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线 Ⅱ. 一条直线可以无限延长 Ⅲ.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等 V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两
第十一～十三卷：立体几何，分别由 40、18、19个命题组成。包含直线与平面 的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积 之比及正多面体等
三、思辨性的公理化时期—— 非欧几何
《原本》的成就：
集古代数学之大成，论证严密，影响深远， 是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作 了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。
两方面的研究
一方面增加或改换公理
另一方面是试证第五公设
第V公设的试证
萨开里四边形
如图四边形ABCD中∠ A、 ∠B均为直角， AD＝BC。AB、CD分别叫它的上底边和下底 边，∠ A 、∠ B叫下底角， ∠ C 、∠ D叫上 底角。
D
N
C
M
B
有1） ∠ C ＝∠ D 2）上底边中点和下底边中点连线
垂直于上下底边。
即
m (abc )m am bm c。
第 六 卷 ： 33个 命 题 包 含 平 行 截 定 理 论 、 三 角 形 的 平 分 角 线 定 理 、 相 似 三 角 形 定 理 、 比 例 线 段 的 作 图 等 。
第七～九卷：数论初步
第十卷：讨论不可公度量的分类，包 括与整数的开方有关的几何运算。
《数学原本》 六、张景中公理几何体系 五、中学数学教材中的公理系统
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样
欧氏几何的公理化方法
一、公理化思想方法的内涵与价值 二、直观公理化时期——《几何原本》 三、思辨性的公理化时期——非欧几何 四 、 形 式 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 希 尔 伯 特 的
《几何基础》 五 、 结 构 主 义 的 公 理 化 时 期 —— 布 尔 巴 基 的
《原本》的不足： 《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的
1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理
《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、 线、面等进行定义，这是不可能的。
《原本》中的公理体系作为几何学的 逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样 修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
公理的自明性 公理化体系所依赖的“演绎推理”规则
公理化方法的目标：形成一个演绎的科 学体系
公理的选取必须符合：
相容性 独立性 完备性
公理化思想方法的作用
(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。 (2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性
异同。 (3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 (4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性
内角之和小于两直角，则此两直线必相交于截 线的这一侧。
公理
Ⅰ.等于同一量的量彼此相等； Ⅱ.等量加等量，其和仍相等； Ⅲ.等量减等量，其差仍相等； IV.互相合同的就是相等的； V. 全量大于部分。
欧几里得证明方法思路清晰，整个证明 建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为 了真正的科学
《几何原本》中的命题有两种类型
5）四个量形成第一个量与第二个量 之比以及第三个量与第四个量之比，我 们说这两个比是相同的：如果取第一、 第三两个量的任何相同的倍数，取第二、 第四两个量的任何相同的倍数后，从头 两个量的倍数之间大于、等于、或小于 可以推出后两个量的倍数之间的相应关 系。
命 题 1 任 意 多 个 量 ， 分 别 是 同 样 多 个 量 的 相 同 倍 数 ， 那 么 不 管 那 些 个 量 的 倍 数 是 多 少 ， 它 们 的 总 起 来 也 有 那 么 倍 数 。
第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及 正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论
欧道克斯的比例论 18个定义。
如 定义 1）小的量能量尽大的量时，小的量为 大的量的部分。
2）大的量能被小的量尽时，大的量为小的 量的倍数。
3）比是两个同类量的大小之间的一种关系。 4）可比的两个量，如果一个量的倍数大于 另一个量，那么说，这两个量彼此之间构成了 比。
一种是根据假设、公设、公理和定义利 用逻辑推理得出结论
另一类是作图题，由已知的对象找出或 作出所求对象。
第二卷：14个命题
包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。
第三卷：37个命题
包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论 及圆幂定理等。
命题16
在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆 外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间， 而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐 角。
放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线； 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；… …
公设
Ⅰ.从任意点到另一点可以作直线 Ⅱ. 一条直线可以无限延长 Ⅲ.以任意点为中心，任意长为半径可以作圆周 IV.凡直角都相等 V. 平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两
第十一～十三卷：立体几何，分别由 40、18、19个命题组成。包含直线与平面 的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积 之比及正多面体等
三、思辨性的公理化时期—— 非欧几何
《原本》的成就：
集古代数学之大成，论证严密，影响深远， 是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作 了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。
两方面的研究
一方面增加或改换公理
另一方面是试证第五公设
第V公设的试证
萨开里四边形
如图四边形ABCD中∠ A、 ∠B均为直角， AD＝BC。AB、CD分别叫它的上底边和下底 边，∠ A 、∠ B叫下底角， ∠ C 、∠ D叫上 底角。
D
N
C
M
B
有1） ∠ C ＝∠ D 2）上底边中点和下底边中点连线
垂直于上下底边。
即
m (abc )m am bm c。
第 六 卷 ： 33个 命 题 包 含 平 行 截 定 理 论 、 三 角 形 的 平 分 角 线 定 理 、 相 似 三 角 形 定 理 、 比 例 线 段 的 作 图 等 。
第七～九卷：数论初步
第十卷：讨论不可公度量的分类，包 括与整数的开方有关的几何运算。
《数学原本》 六、张景中公理几何体系 五、中学数学教材中的公理系统
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样