实验报告-卡尔曼滤波解剖

数字信号处理实验报告

姓名：任伟平 专业: 通信与信息系统 学号: 2015111806 日期：2015.11

实验内容

任务一：

一连续平稳的随机信号()t x ，自相关函数()t

x e

r -=τ，信号()t x 为加性噪声所干扰，噪

声是白噪声，测量值的离散值()k z 为已知，s T s 02.0=，-3.2，-0.8，-14，-16，-17，-18，-3.3，-2.4，-18，-0.3，-0.4，-0.8，-19，-2.0，-1.2，-11，-14，-0.9，-0.8，10，0.2，0.5，-0.5，2.4，-0.5，0.5，-13，0.5，10，-12，0.5，-0.6，-15，-0.7，15，0.5，-0.7，-2.0，-19，-17，-11，-14，自编卡尔曼滤波递推程序，估计信号()t x 的波形。

任务二：

设计一维纳滤波器。

（1）产生三组观测数据：首先根据()()()n w n as n s +-=1产生信号()n s ，将其加噪（信噪比分别为20dB ，10dB ，6dB ），得到观测数据() n x 1，() n x 2，() n x 3。

（2）估计() n x i ， 1=i ，2，3的AR 模型参数。假设信号长度为L ，AR 模型阶数为N ，分析实验结果，并讨论改变L ，N 对实验结果的影响。

实验任务一 1. 卡尔曼滤波原理

1.1 卡尔曼滤波简介

早在20世纪40年代，开始有人用状态变量模型来研究随机过程，到60年代初，由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，卡尔曼提出了递推最优估计理论。它用状态空间法描述系统，由状态方程和量测方程所组成，即知道前一个状态的估计值和最近一个观测数据，采用递推的算法估计当前的状态值。由于卡尔曼滤波采用递推法，适合于计算机处理，并且可以用来处理多维和非平稳随机信号，现已广泛应用于很多领域，并取得了很好的结果。卡尔曼滤波一经出现，就受到人们的很大重视，并 在实践中不断丰富和完善，其中一个成功的应用是设计运载体的高精度组合导航系统。卡尔曼滤波具有以下的特点:

（1）算法是递推的，且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。

（2）用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的，即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。

（3）卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。

1.2 卡尔曼滤波的状态方程和测量方程

假设某系统k 时刻的状态变量为k x ，状态方程和量测方程（输出方程）表示为

k

k k k k k k k v x C y w x A x +=+=---111

其中，k x 是状态变量；1-k w 表示输入信号是白噪声；k v 是观测噪声；k y 是观测数据。

为了推导简单，假设状态变量的增益矩阵A 不随时间发生变化，k w ，k v 都是均值为零的正态白噪声，方差分别是k Q 和k R ，并且初始状态与k w ，k v 都不相关，γ表示相关系数。即：

[][]kj

k v v k v

k k kj

k w w k w k k R R v E v Q Q w E w j k j k δγσδγσ======,2

,2

,,0:,,0:

其中

⎩⎨

⎧≠==j

k j

k kj 01 δ

1.3 卡尔曼滤波的递推算法

卡尔曼滤波采用递推算法来实现，其基本思想是先不考虑输入信号k w 和观测噪声k v 的影响，得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。因此，卡尔曼滤波器的关键是计算出加权矩阵的最佳值。

当不考虑观测噪声和输入信号时，状态方程和量测方程为

1

'

1

'

-∧

∧

∧-∧

∧===k k k k k k k k k x A C x C y x A x

显然，由于不考虑观测噪声的影响，输出信号的估计值与实际值是有误差的，用k y ~

表示

'

~

k k k y y y ∧-=

为了提高状态估计的质量，用输出信号的估计误差k y ~

来校正状态变量

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∧-∧∧-∧

∧

11'1C k k k k k k k k k

k k k k x A y H x A y y H x A x 其中，k H 为增益矩阵，即加权矩阵。经过校正后的状态变量的估计误差及其均方值分别用k x ~

和k P 表示，把未经校正的状态变量的估计误差的均方值用'

k P 表示

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∧∧∧∧∧

T

k k k k k T k k k k k k

k k x x x x E P x x x x E P x x x ''~

卡尔曼滤波要求状态变量的估计误差的均方值k P 为最小，因此卡尔曼滤波的关键即为通过选择合适的k H ，使得k P 取得最小值。首先推导状态变量的估计值k x ∧

和状态变量的的估计误差k x ~

，然后计算~

x 的均方值k P ，通过化简k P ，得到一组卡尔曼滤波的递推公式：