解与复数相关的不等式赛题

，
ｚ
．
；
ｅ Ｃ Ｊ

＝ 1
，
2
… ，
，
／ Ｉ．
常数Ａ
？ ？ ？
（
使得 对 任 意
个非 零 复 数
七
，
七
，

＾
ａ ｙ Ｓ
（
，
、
，
有
2
Ｉ
］
） （
Ｓ
2
＇
ｚ
ｙ
ｌ
＋
Ｅ
Ｚ
Ｊ

．
，

丨

ｌ
ｚ
－
ｔ ＋ ｉ
Ｚｉ
｜
！
（
ｚｎ
＝ ＋
1

2
．
！
）
）
并说 明 不 等 式等 号成 立 的 充 分 必 要 条 件
Ｉ
Ｉ
＼
Ｉ
Ｉ
Ｒ

，
—
、
2 ）
，
ｘ
ｚ ｚ
ｉ
记 复 数
，
ｅ
、
ｅ
＊
在 复平 面上 对 应 的 点 分 在单位 圆 上
＝ 1
，
Ｉ
Ｔ （
ｌｍ ｌ
＼
Ｚ Ｚ〗
ｉ
＼

，
＼
ｌ
ｒ ／
ｉｎ
一
ｌ
）
丨
＾。
ｚ
、 2
）
＼
ｉ
别 为
ｍ
？ ｎ ｔ ｒ Ｋ 丄
？
则点
面
匕
／ Ｉ
4 名 七 ④
ｉ
＝
，
丁 ⑦
．
＋
1
分
ｓ
ｉ
ｎ
＾
注意到
＝ 1
，
，
因为］ 1
4
ｉ ＝
ｚ ｋ ｚ
￥ ￥
＝
所以
，
丁
2 ｎ
，
⑧

ｉ
2
ｉ
＝
ｉ
＝

ａｉ ｇ
ｉ

＊
Ｊ ＼
＿
＝ ｉ
2 ｍＫ 2 ｍＫ 0 ｚ ｋ 2 ｎ ｎ ＋
＜
ｐ
．
＝
－
ａｒ ｇ

Ｘ
！
ａ ｚ
ｊ
ｒｉ
－
ｊ
：
（
／
．
＇
Ｖ
．
1
）
，
令《
则
Ｉ
！
＝
ｚ ｅ
；
ｐ ＜
＾
0
，
0
＇
ａ ｚ
彡
“ ｚ 0 且 则 原 不 等式 显然成 立
￣
．
丨
么
＝
1
ｋ
Ｉ
，
？
以 下 不 妨设

＾
ｉ

ａ ｚ
ｊ
“
Ｊ

Ｘ
ｚ
ｌ

ａ ｚ
ｉ ｊ
2
，
ｊ
）
右 存在 ｙ （
ｌ
ａ ＜矣 ｒ
）
，
使巧
茫
，
）
① 知 则记
Ｋ
＝
ｌ
｜
Ｚ
￣
ｃ ｆ
Ｚ
ｋ ＋
ｉ


2
－ ｌ
■
， ＝
」 Ｂ ＾
ｊ
（
2
ｙ ｔ
＇
）


＝
ｚｔ
ｌ
＋
2
ｌ
ｚ
ｉ
＋
2
「 ［
ｌ
ｚ
1
Ｊ
＋
ｌ
ｚ
ｉ
＋
ｌ
1
ｃ。 8

） ］
？
，
ｌ
｜ Ｉ

＋
2

、
ｌ
Ｉ
｜
2
丨
、 ）
ｉ
／
－
。 ｎ ＼ 1
？
，
＝
－
，
难 度 较 大 本 文 主要 立 足 代 数 与 几 何方 法 探
．
ｒ
＝
ｋ
＼
＞ 0
ｂ
，
ｐ
＝
＼
ｂ
＼
＞ 0
．
索其 解 题 策 略 以 期 抛砖 引 玉
，
则 常 用 到 的 复 数性 质 不 等 式 ａ
．
ｌ
ａ
－
＼

＿
ｒ
ｉ
ｃ
＋
ｒHale Waihona Puke Baidu
ｅ

｜
ｐ
＋


＝
｜
证明
注 意 到 可 在 假设
，
2

0
丛
， ＇
啊
＞
的
条件 下 证题 其 中
，
“
，
2 表示 轮 换 对 称 和
”
．
＿
艇
4
？ 为 偶数
； ’
八
7
＾ ｎ、
；
＝


7＾
4 ｃ ｏ ｓ 2

＇
＂
为 奇数
？
—
事 实上 设
，
，
，
Ｘ
（

ａ ｚ
ｉ
ｉ ）
则 下 面证 明 ％ 0 为 所 求 最 大 常 数 值 ＞ 0 ｅ 若存 在 正整 数 Ｋ ＾ ｋ ＾ ｎ 使 得
ｚ
，
ｌ
＋
ｌ
6
1
（
）
：
Ｐ
＇
Ｐ
ｐ
．
ｒ
（
1
）
＾
1
1

彡 Ｒ ｅ （
Ｉ
ｚ
）
Ｉ
Ｉ
，
ｚ
ｌ

＾ ｌ ｍ （ ｚ ）
Ｉ
；
其 中
；
，
七
＝
－
＾ｅ
ｅ
9

＋
（
2
3
）

Ｉ
ｚ
ｌ
＾
（
ｌ
Ｒｅ （
ｚ
）
Ｉ
＋
，
ｌ
ｌ
ｍ
（
ｚ
／ （
）
Ｉ
（
）
ｍ ａｘ
1
｛
Ｄ （ 、 Ｄ Ｒ ｅ ｛ ｚ ｚ 2 ） ， ｅ
ｓｍ
2
现 分两 种 情形 故 ｜ ＞ 彡 矣ｎ 若对 所 有 的 Ｇ Ｖ 有
．
4
（
1
）
／ｃ
（
ｌ
Ａ
：
）
，
．
（
ｆ
，
ｆ
ｋ
，
由 式 ③得
2
ｉ
Ｈ
＝
2 ） （
1
§
）
Ｓ、
＝ ｉ
ｉ左
4
2
Ｓ 、ｍ
＝
．

＿
4
－
ｍ
，
督 Ｘ
（
ｌ
ｚ
／
？
2
｜
）
／＋ ？
｜
2
｜
）
1
（
“ ｍ
）
．
！
一 ＂
＊
“
（
1
，
，
，
）
…
，
，
丨
，
ｚ
ｊ
＝
1
，
Ｃ 0Ｓ
Ｉｎ
＜
0
ａｒｇ
（
一
些 局 部 元 素是 数 方法
、 、
．
可 以 有 大 小 关 系 的 如 复 数 的 模 实 部 虚例
1
若
为 复数
｜
，
ａ
＃
0
，
6
＃
0
，
证明

’
：
部 幅角 等
、
）
，
它 沟 通 了 代数 三 角 几 何等 知
、
、
识 间 的 联 系 也 为 解 题 者 应 用 复 数 知 识解 决
2
＿
中

等 数 学
．
教 摩 活劫镩 超讲 廣
解 与 复 数 相 关 的 不 等 式 赛 题
黄 志 军
（
南 京 外 国 语 学校
：
，
2 2 2 0 0 8
）
中 图 分类号
：
0
1
2 2
．
3
文献 标 识 码
Ａ 文 章 编 号
：
1
0 0 5
－


6 4
1
6
（
2 0
？
＼
＾
（
ｌ
（
＾
ｌ
＾
－
2
ｌ
ｚ，
！
）
；
因 为六 二
＋
ｌ

4
）

ｌ
ｌ
ｚ
ｌ

ｚ
ｌ
ｌ

ｌ
，
2
＾
ｌ
ｚ ＋ 2
，
2
＾
ｌ
ｚ
ｌ
，
＋
＝
＼
ｚ
2
＼
，
丄

＞ 0
丄
，

＞ 0
，
时 等 号 成立 当 且 仅 当
，
ｚ
ｉ
Ａ ＂
2
＇
所 以 ？ 与 复 数 ： 对应 的 点 ａ 在 弦 仙 上
＝
．
ｍａｘ ａｃ ＋ ｂ
ｊ
，
＼
＼
Ｓ
＋ ｏ
ｌ

＂ 2
ｙ ／
1
Ｉ
6
ｌ
ｌ
ａｃ ＋ ｆ ｅ ＋
ｌ
1
ｌ
ａ
ａ
ｌ
ｌ
6ｃ
一

＇
6
1
＋
ｌ
ｌ
又 1 ＞ 6
＋ａ
）
＇

丨

（
Ｓ
＝
ｌ ｆ

；
）
［
Ｓ

＾
＋


Ｓ

＾ｅ （ ｚ
］
］
，
《）
叫
．
1
；
岑
卜 Ｓ《
｜
，
②
｜
ｃ ｆ
＾
（
ａＣ ＋
，
已知
＼
腿
＃
0
？
证明
：

（
““
ｍ ａｘ ａｘ ＋ ｂ
＼
｛
：
，
＼
ａ ＋ ｂｃ
＼

＼
＾ ＾
“ 1＋
Ｓ
2
丨

ａ
ｙ
ｊ （
Ｓ ①
？
ｊ
证明
＼
注意到
＼
’

ａ ＋ ｂ ｃ
＼
而
今
丨

＋
Ｒｅ （
0
（
＝

％
1
2
ｉ

＋
义
＋
￣
4
ｙ＾
＝
2ｘ
ｉ
，
故
）
？
ｌ
（
2
—
由 式② 知 对 〔 彳 Ｗ、
，
．
Ｊ


Ａ
；
有
／，
七
丨
＋
Ｉ
1
2
＝
（
Ｉ
ｚＪ
＋
＾
ｔ ＋
ｉ

ｌ
）
2 ｓｉ ｎ
2
夸
．
而 由 式 ③ 知 对 ）
，
．
茫
有
？
因此 吣
，
2
Ｉ


＋ ｂ
2 ｉ
＋
ｉ
1
＾
—
Ｖ
2
③
2
ｓ ｉｎ
｜

2
丨

2
＋
1
？
1
2
Ｋ 令 ，⑴ ｆ ｉｆ 因 此 5 ＞ Ｊ 的 最小 值 为 ？⑷ ｎｊ 粉 ｆ ： “ 4 丄 易 见 ／ ＊ 为 下 凸 函 数 ｎ 再 考 虑 为 奇 数 的 情形 由 式 ④及 琴 生 不 等 式 并 结 合 式 ⑤ ⑥得
？
ｔ
＝
成立
．
＝
2
忐
）
，
（
［
＝
．
，
＇

2
1
—
4
ｓ
ｉ
ｎ
2
ｌ
（
4
｜ ｜
；
－
ｓ
ｉ
ｎ
2
〒
）
ｚ＊
‘
＋
ｚ
－
丨
2
“
1
1
＞
■
—

1
Ｌ
（
）
2
＝
＼
ｋ
ｚ
ｋ ＋
ｌ

ｉ
＋
。 、
＋
｜
1

Ｃ 0 Ｓ ｅｋ
＾
＼
ｚ
－
ｋ
ｚ
2
ｋ ＋
＼
ｌ
＾ ｈ②

（
ｌｎ
若
，
£
（
＂
＂
，
1
＾
1
，
则由
ｃ ｏｓ ｅ ＜ ｋ
0
及 式
2
Ｚ
．
；
式 即 能获 得 所 需 的 条 件 Ｈ ＞ 0 且 不 改由
，
．
；
变原 不 等 式 的 形 式

｜
＞
Ｚｊ
4
＿
2
＝
，
士￥
＂
＝
，
￣
（
Ｉ
ｚ
Ｊ
＋
、
2
＋
1

1
）
令巧
则由
＇
＝
Ｘ
ｊ
＋
ｉ
》
（；
＝
1
，
2 广
． ，
／1
，
？ ”
、
6 Ｒ ＾
）
．
－
ｉ
ｚ
＾
ｋ ＋
ｉ

ｈ
2
，
的 几 何 意 义得
1
代数 方 法
＂
充分 利 用 复 数 的 代 数 和 指 数 等 形式 将 含 ｆ ｆ 复 数 的 模 实 部 虚部 的 不等 式 转 化为 实 数 不 ｐ ｚ 当 且仅 当 七 即 ＋ 也
？
｜
｜
｜
｜
、
、
ｍ Ｂ ？
＝
2

2
ｚ
ｘ
）
ａ ＋ 1 ｒ
故 式 ⑨也 成 立 2 Ｘ 从 而 ｆ 切 奇数 ＞ 3 有 式 ⑧成 立
．

（
ｌ 1
．
－
（
2
ｚ
）
＋
ｚ2
） ｛
－
ｚ， 3
－
ｚ‘ 2
）

—
／
ｔ
，
，
Ｊ
2
＿

2
）
结 合式 ⑦ 知
Ｓ
4
1
2
ｌ
ｚＪ
、
2
（
？）
，
这是
一
个 关于
（
Ｃ
ｍ
｜
＾
5
ｉ
ｉ
因 此
，
原不 等式得 证
6
－
ａ
Ｍ
－
＋ａ
ａ
ｌ
从 上 述 推 导知
－
＝
－

Ｖ2
2
Ｉ
（
6
｜
＋
2
原 不 等 式 等 号成 立
2
Ｉ
｜
） 2
又
＝
ｍ
＋ ｎ
ａ
2
ｌ
＝
＼
ａ ＋ ｂ
2
＼
＋
？
公
＼
ａ
－
ｂ
式① 及 ② 均 成 为 等式
Ａ
＼
2
（
ｌ
＋
｜
6
｜
）
，
ｉＳＣ ｍ ａｘ ａｃ ＋ ｂ
＼
＼
）
，
＼
对所有 的 人 存在 Ｓ ＾ ＾
ｍｎ

使得 ａ
＝
Ａ
；
Ｒｅ （ ｚ
，
）
，
Ｊ
．
ｚ？
0
．
ａ ＋ ｂ ｃ
—
＼

＼
．
例 例 证明
：
4
ｎ）
设
，
0
1
为 给定 的 整 数 求 最 大 的
．
3
设
Ｒ ？ ｅ

ｉ
，
（
．
？
，
、
令
＝
ａｉ ｇ

Ｚ
ｋ
［
0
，
2 冗）
（
4＝
ｌ
，
2
”
．
，
，
／ｉ
．
）


￣
Ａ
＝
1
＾ ｋ

＝
ｌ
2 ＾ｋ
．
ｓ ｍ
—
对 每个
Ａ
：
（
ｃ ＝ 1 ｆ
，
2
… ，
，
7
ｉ
）
，
若
久 各
或 ｊ 1 ｗ
＃

1
1 ｎ
＂
Ｐ 罕 则 由 式① 得
1
5
）
0 3
－

0 0 0 2
－

0 6
本 讲 适 合 高 中 等式 来求 解 或直 接 运 用 复 数 形 式 的 不 等 式 众所周 知 复数 是 没 有 大小 关 系 的 但 与来 求 解 与 复数有 关 的 不 等式 的 方法统 称 为 代
（
）
， ， ，
复 数 的 几 种 表示形 式 有 关 的
（
5
丨
）
々 ＋
丨
ｚ 2 ＋
…
＋
2
1
？
而
？
丨

6
2
，
＝
ｌ
ｚ
」
，
其中
，
彡
丨
Ｚ
1
＋
丨
七
丨
＋
…
＋
丨
，
ｇ
ａ ｒｇ
ｉ

9
ｉ
＋ ｅ

ｐ
当 且仅 当
ａｒｇ ｚ ， ＝ ａｒｇ ｚ
＝ 2
…
＝
、时
，
上 式
ｚ
＝
2
＾
为 弦 Ａ Ｂ 的 中 点 于 是 由 复数 模
ｍｎ
ｉ
＾
ｚｉ
ｌ
￣
｜

＋

1

ｚ
＼
ｋ
｝

＝
1
．
①
2
｜
2
2
ｚ
；
ｉ
＝

2

｜
；
ｉ
在 此条 件 下
2
．
，
只需证 明
力、
“
2
ｉ
的最小
值 为 ⑷ 于是 将 原 不 等 式 改 为 关 于 的 不 等先考 虑 ｎ 为 偶 数 的 情形
｜
Ｓ《
，
＝

ｌ＞
；
；ｉ
ｏ
．

2
丨
｜
，
ｒ
ｉ
＝

ｐ
ｌ

＋ ｒ
ｐ
？


＋

ｒ
2
收稿
日
期
：
2 0
1
4
－
1
2
－
2 6
即
ａ ＝
ｌ
1
6
丨
时 上 式 等号 成 立
，
2 0
1
5
年第
3
3 期
例
＝
2
＿
设ａ
6
Ｉ
、
6
、
ｃ
为给 定的 复 数 记
，
ｌ
ａ ＋ 6
1

2

＿

．
2
ｍ
ｌ
，
ａ
＝ ｎ
Ｉ
Ｚ
的 复 系 数 二 次多 项 式
）
．
Ｃ 0 ｓ
，
＾
ｉ
Ｍ 知
＝
…
，
／“
（
）

＝
／（ 么2

＝
／（ Ｚ
3
）
＝
1
－
因此 ／ 和 Ｌ 方面 当 即 可证 得式 ② ＾ 再 由 ／ ⑵ Ａ “ 6 2 Ｖ 例 6 设复数 力 七 Ｖ 、满足
另
一
，
丨
＝
1
1
ｚ
3
）
（
2
ｌ
－
ｚ
3
）

② ⑷
＾
当 当

ｅ ＝ 3 ｒ

7
＾5
ＪＬ
2 ｎ

时 式 ⑨ 成 立 为 证 式② 令 时 Ｚ
， ， ，
2
￣
｛
Ｚ
Ｘ
）
＿
2 2


ｓｉ ｎ



＜
／
ＪＬ
｜
＼
2 ｎ）

Ｉｎ ｎ ＋ ｌ
＇

＋
（
ｚ 3
－
Ｚ
ｌ
）
（
ｚ
2
－
Ａ
＾
－
＋
＝
⑤
ｌ
其中
，
ｍ
为 某个 正整 数 且
，
ｍ ＜ ｎ
．

．
2
7 Ｃ
2
＝ ｌ
－
ｊｒ
－
注意到
3
为 奇数
．

？
ｓ
ｉ
ｎ
－
ｃ ｏｓ
2 0
1
5
年第
3
5 期
各
＾

1
ｎ ＋ 1 7 1 ＋ 1

Ｔ
＝
」
Ｔ
－
2

；
⑨
（

2
￣
2
＾ ）

（
ｚ
2
－
，
．

丨
｜
＋
｜ ＇
°
ｉ
，
ｎ ＾
＿
＾
＿
＿
｜
，
｜
ａ
ｒ
Ｌ
6
｜
｜
相 关 问 题 指 明 了 方 向 在 近 几 年 国 内 外 数学 当 且仅 当 竞 赛 中 与 复数有 关 的 不等式 赛 题 特 点 鲜 明 证 明
， ，
ａ ＝
｜
Ｉ
Ｍ
＝
设《
ｌ

时 上 式 等 号成立 一。 ｐｅ 、 其 中
＾
1
彡ｏ
＆
ａ
ｅ Ｒ
；
，
等式 得
，

并 利 用 柯 西 不 ？

2
ｎ
＝
！
＇
4
4
中 等 数 学
其中 当
， ，
（
ｚ！
ｚ
，
－
．
？
2
，
，
ｚｎ
）
＝
（
－
士
，
士，
？ ？
，
士
，

了
士
）
故
0 ＜ ｓｉ ｎ

〒各
ｓｉ ｎ
＾
＾
2 ｒ ｅ
3
＝
Ｃ 0Ｓ

盖
‘
⑥
时 上式 等
，