非线性泛函分析试题与答案

一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，,0

()k p

W Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2

C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G-微分

212

1222

1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩

四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p

p n T

u W

u u u L T R ⋅

∈=∈，有

1,p T

W u

C u ∞

≤

五. 设n R Ω⊂是有界闭集，(,,)k x y u 是2R Ω⨯上的连续函数，证明积分算子

:()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ϕϕΩ

Ω→Ω=⎰

是全连续算子。

六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞⨯→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解

(,)

(0)dx

f t x dt

x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足

()()()(), t

a

w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤⎰

则

()()exp(())exp(())

t t t

a

a

s

dv

w t v a u s ds u d ds ds

ττ≤+⎰⎰⎰ 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。

九. 设:n n f R R R ⨯→连续，关于x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n

r B R ⊂使得

(0),[0,]r x B t T ∈∂∈时，1

(,),(,)0n

i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解

(,)

dx

f t x dt

⎧=⎪⎨

十. 设n R Ω⊂是有界闭集，(,,)k x y u 是2R Ω⨯上的连续函数，并且满足下面的不等式

2|(,,)|||, (,,)k x y u a b u x y u R ≤+∀∈Ω⨯

其中,0,()1a b b mes >⋅Ω<，证明下列积分方程有连续解

()(,,())x k x y y dy ϕϕΩ

=⎰

十一. 设22

:f R R →定义为

3223(,)(3,3)f x y x xy x y y =--

证明2deg(,(0),)3f B p =，其中(1,0)p =.

一. 名词解释弱收敛:

弱*收敛:

, 0()

k p

W :

强制: Gateaux可微:

Frechet可微:

紧映射:

正则点:临界点，正则值，临界值: 2

C映射的Brouwer度

全连续场

全连续场的Leray-Schauder度

二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。（5页）

三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G-微分

212

1222

12

12,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩

四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p

p n T

u W

u u u L T R ⋅

∈=∈，有

1,p

T

W u

C u ∞

≤

五. 设n R Ω⊂是有界闭集，(,,)k x y u 是2R Ω⨯上的连续函数，证明积分算子

:()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ϕϕΩ

Ω→Ω=⎰

是全连续算子。(44页)

六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞⨯→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解

0(,)(0)dx

f t x dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩（59页）

七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足（61页）

()()()(), t

a w t v t u s w s ds a t

b ≤+≤≤⎰ 则

()()exp(())exp(())t t t a a s dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+⎰⎰⎰