新人教a版高中数学必修一《函数的表示法》 (课堂PPT)

给
A
B
求平方
出
1
的
－1 2
1
对
－2
4
应
3 －3
9
关
系
(3)多对一
A 求正弦 B
300
1
2
450
2
2
600
3
2
900
1
(2)一对一
A
B
乘以2
1
1
2
3
2
4
5
3
6
(4)一对一
一、映射：一般地，设A、B是两个非空 集合，如果按照某种对应法则f，对于集
合A中的任何一个元素，在集合B中都有 唯一的一个元素和它对应，那么这样的对
应(包括集合A、B以及A到B的对应法则）
叫做集合A到集合B的映射，记作f ：: AB
A中的元素x称为原像,
B中的对应元素y称为x的像.
xx
说明：（1）这两个集合A、B，它们可以 是数集，也可以是点集或其它集合，这两 个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A 的映射是截然不同的。其中f表示具体的对 应法则，可以用文字叙述；
E(5,25)组成.
. 25
. 20
. 点评：
15
. 1、作图时一定要注意 10 函数的定义域。
. 2、函数图像可以是一 5
.E D C B A
些孤立的点。
01 2 3 4 5
比较函数的三种表示方法，它们各自 的优点是什么？所有的函数都能用解析法 表示吗？
解析法有两个优点： 1、简明；2、给自变量可求函数值
初中数学中也学过一些对应.
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的 点P和它对应.
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一 的有序实数对(x,y)和它对应；
(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面 积和它对应；
2.3 映射
:
请
A 开平方
B
思
9
考
4
3 －3
2
并
－2
分
1
1 －1
析
右 边
(1)一对多
图象法的优点：直观形象，反映变化趋势。
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。
并不是所有的函数都能用解析法表示。
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一
学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩
测试
序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
姓名
王伟
98 87 91 92 88 95
解： 3 不是。B中有两个元素与A中一个元素对应 4 不是。A中元素0在B中无元素与之对应
（2）函数与映射有什么区别与联系？
函数是一种特殊的映射，是从非空数集 到非空数集的映射。
函数概念又可以叙述为：设A，B是两个 非空数集，f是A到B的一个映射，那么映 射f：A→B就叫做A到B的函数。
在函数中，原像的集合称为定义域，像 的集合称为值域。
（2）集合A中的任何一个元素都有像，并且 象是唯一的;
（3）不要求集合B中每一个元素都有原像，
即B中可能有些元素不是集合A中的元素的
像；
xx
例一、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
1.2.2 函数的表示方法
1.试画出函数 y=x-1的图像.
你能进一步画出 y=x-1(0≤x≤2)的图像吗?
y
3 2 1
-1 0 1 2 3 x -1
y
2.已知一次函数的图像如图所示,
4
y=x+2
你能求出它的解析式吗?试试看.
3
2
点评:
1 -1 0 1 2 3 x
求函数的解析式常用待定系数法.
3.你知道函数的表示方法通常有几种吗?
t∈[20,30].
5
0 5 10 15 20 25 30 t/s
思考:某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图
像如图,用解析法表示出这个函数,并求出9s时质点的
速度.
v/(cm/s)
10 t , t∈[0,5)
v(t)
3 t ,
30
,
t∈[5,10) 30 t∈[10,20) 25
解：这个函数的定义域是集合{1,2,3,4,5}， 函数解析式为: y=5x, (x∈{1,2,3,4,5}),
用列表法可将函数表示为:
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
它的图像如图所示,由五个孤立的点
A (1, 5),B (2,10),C(3,15),D(4,20),
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可 以是直线、折线、离散的点等等。
练习 国内跨省市之间邮寄信函,每封信 函的质量和对应的邮资如表.
信函质 0<m≤ 20<m≤4 40<m≤6 60<m≤8 80<m≤1
量(m)/g 20
0
0
0
00
邮资 (M)/分
80
160
240
320
400
画出图像,并写出函数的解析式.
(2) 映射不需要B中的元素都有原像，而一 一映射则要求B中的每一个元素都必须有 原像。
小结
映射是特殊的对应：多对一或一对一； 一一映射是特殊的映射； 函数是特殊的映射；
思考 ：P26 T2
作业:
P26 练习T1、T3； P28 B组 T1、T3。
例3 国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和 对应的邮资如表.
函数的表示方法通常有三种,它
们是列表法、图像法 和解析法。
函数的三种表示方法
1.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一 个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，
简称解析式.
解析法的优点：
（1）函数关系清楚;
（2）容易从自变量的值求出其对应的
函数值；
（3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要 表示方法;用解析法表示函数时,必须注明函数 的定义域.
张成
90 76 88 75 86 80
赵磊
68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情 况做一个分析。
y
100
王伟
90 班
80
的 平
均
70 分
60 赵磊
张城
12 3 4 5 6x
例3 请画出函数 y | x | 的图像:
( 3 , 1 ) 点（1，2）在f下的原像是____2____2___.
例二 求像与原像： (3)已知(x,y)在映射f的作用下的象是： （x+y,xy）,则点（3，4）在f下的像是 _（_7_，__1_2_）__, 点（1，-6）在f下的原像是 （__-2_，__3_)_或_(_3_,-_2_)____.
一映射。
有时，我们把集合A，B之间的一一映射 也叫做一一对应。
例三、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
1
f3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A 中没有原像
（1）映射与一一映射有何区别？ 答：主要有两点区别：
(1) 映射只要求A中的元素在B中有唯一的 像，而一一映射不仅要求A中的元素在B中 有唯一的像，还要求A中不同的元素在B中 有不同的像；
如果某线路的总里程为5公里,请根据题 意写出票价与里程之间的函数解析式,并画 出函数的图象.
例4: 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列 规则制定:(1)在5公里以内(含5公里),票价2元;
(2) 5公里以上,每增加5公里,票价增加1元 (不足5公里的按5公里计算).
如果某线路的总里程为20公里,请根据题意,写出 票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.
解: 设票价为y元,里程为x,由题意可得x∈(0,20
由已知可得函数解析式为: 2 , 0 < x 5 ,
y
3 ,
4
,
5 < x 10, 10 < x 15,
5 , 1 5 < x 2 0 ,
2, 0 < x 5, y
y
3, 4,
5 < x 10, 5 4
10 < x 15,3
3 t 90 , t∈[20,30]. 20 15
∵9 ∈[5,10),
10
∴当t=9s时,质点的速度5 0 5 10 15 20 25 30 t/s
v(9)=3×9=27(cm/s).
例二 求像与原像： (1)从R到R*的映射f：x→|x|+1，则R中的元素-1 在R*中的像是__2__,R*中的元素4中R中的原像是 ___±_3___. (2)在给定的映射f：（x，y）→（x+y，x-y）下, 则点（1，2）在f下的像是_（__3_，__-_1_）_,
解 : 由 绝 对 值 的 意 义 , 有
y=
x -x
x≥0 x<0
所以,函数图像为第一和第二象限的角平
分线
y
4
3
2
1
-1 0 1 2 3 x
当堂检测
课本P23第3题
例4: 某地区出租车收费按下列规则制定:(1) 在1公里以内(含5公里),票价3元;
(2) 1公里以上,每增加0.5公里,票价增加1 元(不足0.5公里的按0.5公里计算).
信函质量 (m)/g
0<m≤20
20<m≤40
40<m≤60
60<m≤80
80<m≤100
邮资(M)/分 80
160
240
320
400
画出图源自文库,并写出函数的解析式. 函数的解析式为:
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是 直线、折线、离散的点等等。
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个式子表示的 函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它称为分段函数.
分析比较下列三个从A到B的映射：
A
B
a
fm
b
n
p
c
q
d
A
B
求平方
1
－1
1
2
－2
4
3
－3
9
A
B
乘以2 1
1
2
3
2
4
3
5
6
二、一一映射：一般地，设A，B是两个集 合，f : AB是集合A到集合B的映射， 如果在这个映射下，对于A中的不同元素，
在集合B中有不同的像，而且B中每一个元 素都有原像，那么这个映射叫做A到B的一
(1)理解函数的三种表示方法， 在具体的实际问题中能够选用恰 当的表示法来表示函数;
(2)注意分段函数的表示方法 及其图像的画法．
日常生活中存在着丰富的对应关系.
(1)对于高一八班的每一位同学,都有一个学号 与之对应. (2)我国各省会，都有一个区号与之对应.
(3)我国各大中小城市,都有一个邮政编码 与之对应. (4)顺德区的各种机动车辆,都有一个车牌号 与之对应.
温度/(OC) -2 -5 4
9
8.5 3.5 -1
数学用表中的三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表
等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的
对应值。
3.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应 关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
2.列表法：列出表格来表示两个变量的
的对应关系。
例如：
国内生产总值 ：
单位：亿元
年份 1990
1991
1992
生产总值 18598.4 21662.5 26651.9
再如，某天一昼夜温度变化情况如下表
1993 34560.5
时刻 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 20：00 24：00
思考:某质点在30s内运动速度v是时间t的 函数,它的图像如图,用解析法表示出这个 函数,并求出9s时质点的速度.
解:速度是时间的 函数,解析式为:
v/(cm/s)
10 t , t∈[0,5) 30
v(t)
3t ,
30
,
25
t∈[5,10) 20
t∈[10,20) 15
3t 90 ,
10
想一想:下列图形中可作为函数y=f(x)的图像的有哪些?
__(_A_)_,(_D_)。
y
y
y
y
o x
o
1
o x -1
xox
(A)
(B)
o
o
(C)
(D)
点评：判断一个图形是否是一个函数图像 的依据就是函数的定义。
例1 某种笔记本每个5元,买x(x∈{1,2,3,4,5} 个笔记本需要y(元).试用三种表示方法表示 函数y=f(x).
5 , 1 5 < x 2 0 , 2
1
图公交车票价.gsp
0 5 10 15 20
X
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个， 对于分几个式子表示的函数，不是几个函数， 而是一个函数,我们把它称为分段函数.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
• 函数的图像从“形”的方面揭示了函数的 变化规律，是数学的图形语言，图像法是 解决函数问题的常用方法，利用函数的图 像既有利于掌握各类函数的性质，又能运 用“数形结合”的方法去解决某些问题。 函数的三种表示法之间具有内在联系，它 们之间可以相互转化。