2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第5课时 函数的图象课时训练

第二章 函数与导数第5课时 函数的图象

1. 函数f(x)＝2x ＋1

x －1

图象的对称中心的坐标是________．

答案：(1，2)

解析：f(x)＝2＋3

x －1

.

2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0，1]上恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是________．

答案：(0，2)

解析：由题意，只需⎩

⎪⎨⎪⎧f （0）>0，

f （1）>0，即可．

3. 设函数y ＝f(x)是定义在R 上，则函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线________对称．

答案：x ＝1

解析：由y ＝f(1－x)＝f[－(x －1)]，知y ＝f(1－x)的图象是由y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得，而函数y ＝f(x －1)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移1个单位而得，函数y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，所以函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称．

4. 函数f(x)＝|x 2－ax ＋a|(a>0)的单调递增区间是________．

答案：⎣⎡⎦⎤－a 2，0和⎣⎡⎭

⎫a

2，＋∞ 5. 不等式lg(－x)

6. 任取x 1、x 2∈(a ，b)，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>1

2[f(x 1)＋f(x 2)]，则称f(x)是(a ，b)上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的是________．(填序号)

答案：④

7. 已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1，1]时 f(x)＝x 2，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有________个．

答案：10

解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：

可验证当x ＝10时，y ＝|lg10|＝1；当010时，|lgx|>1.

因此结合图象及数据特点y ＝f(x)与y ＝|lgx|的图象交点共有10个．

8. 已知a ＞0，且a ≠1，f(x)＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f(x)＜1

2

，则实数a 的取

值范围是________．

答案：⎣⎡⎭⎫

12，1∪(1，2]

解析：由题知，当x ∈(－1，1)时，f(x)＝x 2－a x ＜12，即x 2－1

2

＜a x .在同一坐标系中分别

作出二次函数y ＝x 2－1

2

，指数函数y ＝a x 的图象，如图，当x ∈(－1，1)时，要使指数函数

的图象均在二次函数图象的上方，只需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是1

2

≤a ＜1或1

＜a ≤2.

9. 作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间． (1) y ＝|3x －1|；

(2) y ＝|x －2|(x ＋1)．

解：(1) y ＝|3x －1|＝⎩

⎪⎨⎪

⎧3x －1，x ≥0，1－3x

，x<0，图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．

(2) 由y ＝|x －2|(x ＋1)＝

⎩⎪⎨

⎪⎧－⎝⎛⎭⎫x －122

＋94

，x<2，⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，

图象如下，其单调增区间是⎝

⎛⎭⎫－∞，1

2和(2，＋∞)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫

12，2.

10. 已知定理：“若a 、b 为常数，g(x)满足g(a ＋x)＋g(a －x)＝2b ，则函数y ＝g(x)的图

象关于点(a ，b)中心对称”．已知函数f(x)＝－1＋1

a －x

.

(1) 试证明函数f(x)的图象关于点(a ，－1)中心对称；

(2) 当x ∈[a －2，a －1]时，求证：f(x)∈⎣⎡⎦

⎤－1

2，0.

证明：(1) ∵ f(a ＋x)＋f(a －x)＝⎣⎡⎦⎤－1＋1a －（a ＋x ）＋⎣⎡⎦

⎤－1＋1

a －（a －x ）＝－2，

∴ 函数f(x)的图象关于点(a ，－1)中心对称．

(2) 由f(x)＝－1＋1a －x ＝－1－1

x －a

，知f(x)在(－∞，a)和(a ，＋∞)上均为增函数，∴ f(x)

在[a －2，a －1]上单调递增，从而f(x)∈[f(a －2)，f(a －1)]，即f(x)∈⎣⎡⎦

⎤－1

2，0. 11. 已知a 、b 是实数，函数f(x)＝ax ＋b|x －1|(x ∈R )．

(1) 若a 、b ∈(－2，2)，且函数f(x)在(0，＋∞)内存在最大值，试在平面直角坐标系xOy 内，求出动点(a ，b)运动区域的面积；

(2) 若b>0，且关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有2个，试求a

b

的取值范围．

解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧（a －b ）x ＋b ，x ≤1，（a ＋b ）x －b ，x>1，结合f(x)的图象知，f(x)在(0，＋∞)内存在最大值

的充要条件是⎩

⎪⎨⎪⎧a －b ≥0，

a ＋

b ≤0，且两个等号不同时成立．当a 、b ∈(－2，2)时，点(a ，b)运动区域

的面积为4.

(2) f(x)<0b|x －1|<－ax ，即|x －1|<－a

b

x.在同一坐标系内作出函数p(x)＝|x －1|和q(x)

＝－a b x 的图象，由图可知，－23≤a b <－12

.