2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第5课时 函数的图象课时训练
2015高考数学一轮配套课件：专题讲练一 函数图象与性质的综合应用 课件(共31张PPT)
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针对训练
4．(2014·山西运城二模)设奇函数 f(x)在[－1,1]上是增函数，且 f(－
1)＝－1，若 f(x)≤t2－2at＋1 对所有的 x∈[－1,1]都成立，当 a
∈[－1,1]时，则 t 的取值范围是
()
A．－2≤t≤2
B．－12≤t≤12
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【解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，不等式可化为 －fxx－fx≥0，即－fxx≥0. 当 x>0 时，则有 f(x)≤0＝f(2)，由 f(x)在(0，＋∞)上单调递增可得 x≤2；当 x＜0 时，则有 f(x)≥0＝－f(2)＝f(－2)，由函数 f(x)为奇 函数可得 f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以 x≥－2.所以不等式的 解集为[－2,0)∪(0,2]． 【答案】 D
针对训练
2．设函数 f(x)在(0,2)上是增函数，函数 f(x＋2)是偶函数，则 f(1)，
f 52，f 72的大小关系是________． 解析：因为函数 f(x＋2)是偶函数，
所以 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称．
所以 f
52＝f
32，f
72＝f
1 2.
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题型五 高考中的函数零点问题 已 知 函 数 f(x) ＝ logax ＋ x － b(a>0 ， 且 a≠1) ． 当
2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则 n＝________. 【解析】 ∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单 调递增函数．f(2)＝loga3＋3－b. f(3)＝loga3＋3－b.
高考数学一轮复习 第二章 函数与导数课时训练-人教版高三全册数学试题
第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示一、 填空题1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1； ② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x ＋1；⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．答案：0解析：根据题设条件，∵π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.3. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________． 答案：－14解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，所以m ＝x 2－1＝12×32－1＝－14.4. 如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________．答案：1x －1解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，∴ f(x)＝1x －1.5. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：答案：6E6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x 2x 2(x≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________．答案：15解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝14.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________．答案：－2 解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），－x ＋1（0<x≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为______________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x≤1，此时f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－12.②当0<x≤1时，－1≤－x<0，此时，f(x)＝－x ＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<32，则0<x≤1.故所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1]． 9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时间t 的关系如图所示，则该汽车在前3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式为____________________．答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t∈[1，2)解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时间t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、 解答题10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．解：设AB ＝2x ，CD ︵＝πx ，于是AD ＝1－2x －πx2，则y ＝2x·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，1－2x －πx 2＞0，得0＜x ＜1π＋2，∴函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.12. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1) 当t ＝4时，求s 的值；(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2) 当0≤t≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10＜t≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t－20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].13. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，x －3，x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞），若f(f(x))＝1成立，求x 的取值X 围．解：因为f(f(x))＝1，所以0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.①由0≤f(x)≤1，可得0≤x≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x－3≤1，x<0或x>1，所以0≤x≤1或3≤x≤4；②由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，所以x －3＝4，∴ x ＝7. 综合①②知，x 的取值X 围是[0，1]∪[3，4]∪{7}．点评：由于f(x)是分段函数，所以在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要根据分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．第2课时 函数的定义域和值域一、 填空题1. 函数f(x)＝－x 2＋x ＋6x －1的定义域是______________．答案：[－2，1)∪(1，3]解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x ≠1，所以定义域为[－2，1)∪(1，3]．2. 已知f(x)＝1x ＋1，则函数f(f(x))的定义域是________．答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)解析：f(f(x))＝1f （x ）＋1＝11x ＋1＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x ≠－2.所以定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103解析：令t ＝f(x)，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1t 知，F (x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103，所以函数F(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.4. 函数y ＝4－3＋2x －x 2的值域是__________________．答案：[2，4]解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2＋4≤4，∴ 0≤－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－－（x －1）2＋4≤4， ∴所给函数的值域为[2，4]．5. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________． 答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.因为x ≥1，所以y≤0. 6. 函数y ＝|x|x＋x 的值域是____________________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，x －1，x<0可得值域．7. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2)＝2，所以f(2b)＝2b ，结合b>1，得b＝2.8. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，x ，|x|<1，g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是________．答案：[0，＋∞)解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，所以g(x)的值域只能为[0，＋∞)．二、 解答题9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1； (2) y ＝x ＋1－x －1.解：(1) 令x －1＝t ，则t≥0，且x ＝t 2＋1≥1，所以y ＝2x －x －1＝2t 2－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t≥0，所以y≥158，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.(2) y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减函数，所以其值域为(0，2]．点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值X 围．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域；(2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，14]．令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，则f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13，613]，即函数f(x)的值域为[13，613]． 11. 函数f(x)＝2x －ax的定义域为(0，1](a∈R )．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值X 围．解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1x ≥22x ·1x＝22，当且仅当x ＝22时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[22，＋∞)． (2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝2x 2－5x ，∵ g(x)＝2x 2－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258，∴当x∈(0，1]时，g (x)∈[－3，0)．而g(x)＝2x 2－5x>a ，∴只要a<－3即可，∴ a 的取值X 围是(－∞，－3)．12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a ，b 是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，ax 2＋（b －1）x ＝0有等根.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，（b －1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，∴ f(x)＝－12x 2＋x. (2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ，由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，∴ 2n ≤12，即n≤14.而函数f(x)＝－12x 2＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，∴函数f(x)＝－12x 2＋x 在[m ，n]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a2.当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤a 2；当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·MN＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2； 当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2＝－12x 2＋2ax －5a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a≤x≤2a . 综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2，12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x<3a 2，－12x 2＋2ax －54a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2≤x ≤2a .其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34a 2.第3课时 函数的单调性一、 填空题1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号)① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2－3x ；③ f(x)＝－1x ＋1；④ f (x)＝－|x|.答案：③解析：分别画出四个函数的图象易知y ＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上递增．2. 若函数f(x)＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值X 围为____________．答案：(1，2)解析：由题意得k 2－3k ＋2<0，∴ 1<k<2.3. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为________． 答案：[3，＋∞)解析：∵ t＝x 2－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x ≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值X 围是____________．答案：0＜m ＜32解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，解得0＜m ＜32.5. 已知y ＝x 2＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值X 围是____________．答案：a≥－2解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a≤4，a ≥－2.6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，x ＋3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，3x －1，x ∈[2，＋∞）.画出函数的图象容易得出其在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上为单调减函数．7. 已知函数f(x)＝ax 2－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值X 围是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，12a≥2，解得0<a≤14.综上，a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 8. 已知f(x)＝xx －a(x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案：(0，1]解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝－a （x 1－x 2）（x 1－a ）（x 2－a ），因为x 1<x 2，且a>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立．又x∈(1，＋∞)，所以a≤1.综上，实数a 的取值X 围是0<a≤1.9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f(2－a 2)＞f(a)，则实数a 的取值X 围是____________．答案：(－2，1)解析：由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2－4，x ≥0，－（x －2）2＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.二、 解答题10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0，y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1），∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0，∴x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2. ∴ y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是递减函数．11. 讨论函数f(x)＝axx 2－1(a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．解：设－1<x 1<x 2<1，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 22－1）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴函数f(x)在(－1，1)上为减函数．12. 已知函数f(x)＝1a －1x(a>0，x>0)．(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴ f(x 2)>f(x 1)，∴ f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f(2)＝2，解得a ＝25.13. 已知函数f(x)对任意的m ，n∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2＋a －5)<2.(1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．(2) 解：∵ m，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴ f(1)＝2，∴ f(a 2＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，∴ a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时 函数的奇偶性及周期性一、 填空题1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________． 答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＞0，－2a ＜0.得a ＝3.2. 若函数f(x)＝x ＋ax 2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．答案：f(x)＝xx 2＋1解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0，∴a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x 2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b，∴ b ＝0.∴ f(x)＝xx 2＋1.3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．答案：x(|x|－2)解析：设x≤0，则－x≥0，∵当x≥0时，f(x)＝x 2－2x ，∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)＝－(x 2＋2x)，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥0），－x 2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x∈R )． 4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________． 答案：27解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，根据g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，所以f(7)＝22＋5＝27.5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．答案：1解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上都是减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值X 围是____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a －1)，∴原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜12①.又f(x)的定义域为(－1，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，解得0＜a ＜23 ②.由①和②得实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 7. 已知f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．答案：1解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1. 8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：① f(x)是周期函数；② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤解析：∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确．∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：{x|x ＞4}解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0， 即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1.所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1， 解得x ＞4.10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．答案：g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点，∴ y ＝x 3＋2x 2①，P 关于点(2，1)的对称点为Q(x′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x′2＝2，y ＋y′2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－x′，y ＝2－y′，代入①得2－y′＝(4－x′)3＋2(4－x′)2，化简得y′＝(x′)3－14(x′)2＋64x′－94，即g(x)＝x 3－14x 2＋64x －94. 二、 解答题11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴函数y ＝f(x)是R 上的减函数．(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x∈[3，6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2＋3＝2，解得a ＝－1，∴当x∈[3，6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴当x∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴当x∈[0，3]时，f(x)＝－13x ，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x ，x ∈[0，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2－3，x ∈[－6，－3），－13x ，x ∈[－3，3]，－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1) 求f(1)的值；(2) 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3) 如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围．解：(1) ∵ 对于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.(2) f(x)为偶函数．令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴ f(－1)＝12f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴ x 的取值X 围是{x ⎪⎪⎪－73≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时 指数、对数运算一、 填空题1. 设a≥0，计算(36a 9)2·(63a 9)2的结果是________．答案：a 2解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数可以直接约分．2. 化简32－6227＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3232－3－（102）2－42的结果是________． 答案：9解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝3－827＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1132－3－216＝－23＋113＋6＝9.点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ：若a>0，则3a>0；若a<0，则3a<0.但对根指数为偶数的根式，如a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．3. log 29×log 34＝__________． 答案：4解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.4. 方程1＋3－x1＋3x ＝3的解是________．答案：x ＝－1解析：3－x ·3x ＋3－x 1＋3x＝3－x＝3，x ＝－1. 5. 若f(10x)＝x ，则f(5)＝________． 答案：lg 5解析：由题意得10x＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.6. 设f(x)＝4x 4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011的值为________． 答案：5解析：∵ f(x)＝4x 4x ＋2＝1－24x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－24x ＋2＋1－241－x ＋2＝2－24x＋2－241－x ＋2＝2－24x ＋2－4x2＋4x ＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值X 围是____________． 答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5，∴ 2<a<5且a≠3. 8. 已知a 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232(a ＞0)，则log 23a ＝________． 答案：3解析：由a 23＝49得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4932＝[(23)2]32＝(23)3，所以log 23a ＝3.9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.答案：c<a<b解析：a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则55＝1052，2＝1025，∴55< 2.又2＝68，33＝69，∴33> 2.故c ＜a ＜b.二、 解答题10. 已知a ＝27，b ＝52，求a 32b2－9b 43a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43·b3a 34＋3b 53的值．解：由于a 32b －2－6a 34b －13＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1<3b 23，∴原式＝a 32－9b 103（3b 23－a 34b －1）2·ba 34＋3b 53＝（a 34＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1）（a 34＋3b 53）＝（a 34－3b 53）b 3b 23－a 34b－1＝－b 2＝－50.11. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3) （a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）a 4－a －4. 解：(1) (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3) （a 12－a －12） （a 2＋a －2－4）a 4－a－4＝（a 12－a －12）（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）5×3×7＝535. 12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以原式可化为2t －2t＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x－2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值，最小值为－4.13. 设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ×log b C ＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ×1log Cb ＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log Ca ×log Cb ＝1.所以(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32－4＝5，所以 log C a －log C b＝± 5.又log a b C ＝1log C a b＝1log C a －log C b ＝±55，所以log a b C 的值为±55.点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系是解决本题的关键．第6课时 指数函数一、 填空题1. 函数f(x)＝2x－4的定义域为__________． 答案：[2，＋∞)解析：由2x－4≥0，得x≥2.2. 函数y ＝3－|x －2|的单调递增区间是__________． 答案：(－∞，2]解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]就是所给函数的单调增区间． 3. 函数y ＝e x－1e x ＋1的值域是________．答案：(－1，1)解析：y ＝e x－1e x ＋1，则e x＝1＋y 1－y>0，则－1<y<1.4. 若指数函数y ＝a x在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________．答案：5±12解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)；若a ＞1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．综上，a ＝5±12. 5. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值X 围是_________． 答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x的图象关于__________对称． 答案：原点解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x，(x ，y )→(－x ，－y)，即关于原点对称．7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，则实数a 的取值X 围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫34，5 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，所以应有3a ＋25－a >1，解得34<a<5.8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a ＞0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．答案：3或13解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.当0＜a ＜1时，∵－1≤x≤1，∴ a ≤t≤1a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a 2＋2a －1＝14，即1a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－15(舍去)； 当a ＞1时，∵－1≤x≤1，∴1a≤t ≤a ，此时，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a2＋2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，∴a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)时a 的取值X 围是____________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：由f(f(a))＝2f(a)可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1，解得a≥23.二、 解答题10. 求函数y ＝4x －2·2x＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．解：令t ＝2x ，则t∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t∈[1，4]．∵ y＝t 2－2t ＋5在区间t∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.11. 已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)．(1) 判断f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1， f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x＋12x －1＝f(x)，∴ f(x)为偶函数．(2) 证明：f(x)＝x 2·2x＋12x －1，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x－1<0，即f(x)>0，∴ f(x)>0.12. 已知9x －10·3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1，当t ＝12时，y min ＝1，此时，x ＝1；当t ＝1时，y max ＝2，此时，x ＝0.13. 已知函数f(x)＝2x(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x， 得⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x，－g （x ）＋h （x ）＝2－x， 解得g(x)＝12(2x －2－x)，h(x)＝12(2x ＋2－x )．(2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，得a(2x －2－x)＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为单调减函数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a≥－1712. 第7课时 对数函数一、 填空题1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)答案：①解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)首先改为y ＝log 1ax(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域首先排除②，当a>1时，0<1a<1，函数y ＝a x单调递增，y ＝log 1ax 单调递减，①中图象正确，③中图象错误，当0<a<1时，1a>1，函数y ＝a x单调递减，y ＝log 1ax 单调递增，④中图象错误．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1.3. 函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32解析：由－x 2＋22≤22，得f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.4. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为__________．答案：(0，6]解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤12，即0＜x≤6，故所求的定义域为(0，6]．5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)答案：③解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.6.已知函数y ＝log 12(x 2－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值X 围是____________．答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要想满足题意，则t ＝x 2－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交点，所以Δ＝4k 2－4k≥0，解得k ≥1或k≤0.7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．答案：{x|x ＞－1}解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1.可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，2x ＋3＞0，1＋x ＜2x ＋3，解得x ＞－1.则不等式的解集为{x|x ＞－1}．8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值X围是________．答案：(－1，0)解析：∵ f(x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x1－x<1，∴ x ∈(－1，0)．9. 若函数y ＝log 2(x 2－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．答案：[2－23，2]解析：令u ＝g(x)＝x 2－ax －a ，∵函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函数，∴ u ＝g(x)＝x 2－ax －a 在区间(－∞，1－3)上是单调减函数，且满足u>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥1－3，g （1－3）≥0，解得2－23≤a ≤2. 二、 解答题10. 已知函数f(x)＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，某某数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，某某数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.(2) 因为f(x)的定义域为R ，所以y ＝x 2－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3＜a ＜3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，即1≤a<2. 所以实数a 的取值X 围是[1，2)．11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1)．如果对于任意的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值X 围．解：因为f(x)＝log a x ，所以y ＝|f(x)|的图象如图．由图知，要使x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f(x)|≤1， 只需⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a.当a>1时，得a －1≤13≤a ，即a≥3；当0<a<1时，得a －1≥13≥a ，即0<a≤13.综上所述，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，∴y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵函数f(x)的定义域为[1，9]，∴要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9， ∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1，∴ 6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2)取最大值13.13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0，即x ＋11－x>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时 二次函数与幂函数一、 填空题1. 函数y ＝x 2＋bx ＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值X 围是____________． 答案：[0，＋∞)解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b2≤0，故b≥0.2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________． 答案：13解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α2α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.3. 已知n∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n 的值为________． 答案：－1或2解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1，解得0＜a≤1，所以0≤a≤1.5. 已知a ＝x α，b ＝x α2，c ＝x 1α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．答案：c<a<b解析：∵ α∈(0，1)，∴1α>α>α2.又∵ x∈(0，1)，∴ x 1α<x α<x α2，即c<a<b.6. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值X 围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：因为函数y ＝x 2－3x －4即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32，其最小值为－254，并且当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则32≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －2(m∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．答案：1解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2－2m －2<0，又m∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3为奇函数，故m ＝1.8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0.9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC⊥BC，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC⊥BC，利用斜率关系得2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12.二、 解答题10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域． 解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数， ∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 令1－2x ＝t ，则t∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋12，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点． (1) 求m 的取值X 围；(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值．解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，即m≠－6时，有Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m≤－59，即当m ≤－59且m≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点． 综上可知，当m≤－59时，此函数的图象与x 轴总有交点．(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴－2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x)≥18，某某数a 的值．解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤16，得－1≤a≤1，函数f(x)的对称轴是直线x ＝a 3.当－1≤a<34时，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上单调递减，而f(x)≥18，即f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a≥1，与－1≤a<34矛盾，即不存在；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13，且13<14＋122＝38，即f(x)min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，即a≥1，又34≤a ≤1，故a ＝1.综上，a ＝1.13. 设f(x)＝－14x 2＋x ＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫k∈R ，k ≤32，是否存在实数m ，n(m<n)，使得当x∈[m，n]时，f(x)的值域恰好为[2m ，2n]？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由．解：f(x)＝－14(x －2)2＋2k ＋1，当x∈R 时，f(x)max ＝2k ＋1，从而2n≤2k＋1≤4，故n≤2.f(x)在[m ，n]上单调递增，从而⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －8k ＝0，n 2＋4n －8k ＝0.显然m ，n 是关于t的方程t 2＋4t －8k ＝0的两个根．Δ＝16＋32k ，(1) 当Δ<0，即k<－12时，方程无实根；(2) 当Δ＝0，即k ＝－12时，方程有两个相等实根，即m ＝n 与m<n 矛盾；(3) 当Δ>0，即32≥k>－12时，方程有两个不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.综上，当k≤－12时，不存在这样的m ，n ；当32≥k>－12时，方程有两不等实根，且⎩⎨⎧m ＝－2－21＋2k ，n ＝－2＋21＋2k.第9课时 函数的图象 一、 填空题。
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的图象
§2.7 函数的图象考纲展示► 1.理解点的坐标与函数图象的关系．2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象．3．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．考点1 作函数的图象1。
描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，具体为:（1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)．（2)列表(注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的交点）．（3）描点，连线．2．图象变换（1）平移变换：①y＝f（x）的图象错误!y＝________的图象；②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．（2）对称变换：①y＝f(x)的图象错误!y＝________的图象；②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象；③y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象;④y＝a x（a>0且a≠1)的图象错误!y＝log a x（a〉0且a≠1）的图象．（3)伸缩变换：①y＝f(x）的图象y＝________的图象;②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．（4)翻转变换：①y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象;②y＝f(x）的图象错误!y＝________的图象．答案:（1）①f(x－a) ②f（x)＋b(2）①－f(x）②f（－x) ③－f（－x)（3）①f(ax) ②af(x)（4)①|f(x)｜②f（｜x｜)（1)[教材习题改编］对于函数f(x)＝错误!有下列三个说法：①图象是一个点和一条直线（去掉点（0,0)）；②图象是两条直线；③图象是一个点和两条射线．其中正确的说法是________．（填序号)答案：①解析：当x≠0时，图象是一条直线去掉点(0，0)，当x＝0时,图象是一个点．(2)[教材习题改编]为了得到函数y＝log3(x＋3)－2的图象，只需把函数y＝log3x的图象上所有的点向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度．答案:左 3 下2图象变换中的误区：平移的方向;平移的大小．(1)将函数y＝f(－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．答案：y＝f(－x＋1）解析：将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－（x－1))＝f（－x＋1)的图象(注意平移方向）．(2)把函数y＝f（2x)的图象向右平移________个单位长度得到函数y＝f(2x－3）的图象．答案:错误!解析：本题易理解为向右平移3个单位长度，事实上把函数y ＝f(2x）的图象向右平移3个单位长度后得到的是函数y＝f(2（x－3）)＝f（2x－6）的图象。
2015届高考数学总复习第2章函数与导数第8课时指数函数、对数函数及幂函数(2)课时训练(含解析)
第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．答案：m<n 解析：∵ a＝5－12∈(0，1)，∴ 函数f(x)＝a x 在R 上递减． 由f(m)>f(n)，得m<n.2. 函数y ＝xa x |x|(0<a<1)的值域为________． 答案：(－∞，－1)∪(0，1)解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x>0，－a x ，x<0，由0<a<1画图可知． 3. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值范围为_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.4. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－2x －27的定义域是________． 答案：[2，＋∞) 解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫131－2x －27≥0，得32x －1≥27，即2x －1≥3. 5. 已知函数f(x)＝2x －2－x ，有下列结论：① f(x)的图象关于原点对称；② f(x)在R 上是增函数；③ f(0)＝0；④ f(|x|)的最小值为0.其中正确的是__________．(填序号)答案：①②③④解析：f(x)为R 上的奇函数，故①③正确．又2x 与－2－x 均为增函数，故②④正确．6. 若函数f(x)＝a x (a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：14解析：若a>1，有a 2＝4，a －1＝m ，所以a ＝2，m ＝12，此时g ()x ＝－x 是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1，有a －1＝4，a 2＝m ，所以a ＝14，m ＝116，此时g(x)＝3x 4，符合．7. 已知过原点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC∥x 轴时，点A 的横坐标是________．答案：log 32解析：设A(x 0，3x 0)，则C(x 0，9x 0)，所以B(2x 0，9x 0)．因为O 、A 、B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，即3x 0＝2，x 0＝log 32.8. 函数f(x)＝2x 1＋2x －12，[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3，则函数y ＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为________．答案：{－1，0}解析：f(x)＝2x 1＋2x －12＝1＋2x －11＋2x －12＝12－11＋2x ，则f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.又f(x)＝2x －12（2x ＋1），f(－x)＝2－x －12（2－x ＋1）＝2x （2－x －1）2·2x （2－x ＋1）＝1－2x 2（1＋2x ）＝－f(x)，且定义域为R ，所以函数f(x)为奇函数，当f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，f(－x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，y ＝[f(x)]＋[f(－x)]＝－1＋0＝－1；当f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f(－x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，y ＝[f(x)]＋[f(－x)]＝0－1＝－1； 当f(x)＝0时，y ＝[f(x)]＋[f(－x)]＝0，则y ＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1，0}．9. (1) 解关于x 的方程3x ＋2－2×3－x ＋3＝0；(2) 求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5，x ∈[0，2]的最值． 解：(1) 方程可化为9×3x －23x ＋3＝0，即9×(3x )2＋3×3x －2＝0，所以3x ＝13，x ＝－1. (2) 函数y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12·4x －3·2x ＋5，设t ＝2x ，则12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.因为x∈[0，2]，所以t ＝2x ∈[1，4]，所以函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为52，最小值为12. 10. 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a 、b 满足ab≠0.(1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．解：(1) 当a>0，b>0时，任意x 1、x 2∈R ，x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)，∵ 2x 1<2x 2，a>0a(2x 1－2x 2)<0，3x 1<3x 2，b>0b(3x 1－3x 2)<0，∴ f(x 1)－f(x 2)<0，函数f(x)在R 上是增函数．当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x >0，当a<0，b>0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x>log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ； 当a>0，b<0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x<log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 11. 已知函数f(x)＝2x (x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x ，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x ，－g （x ）＋h （x ）＝2－x ， 解得g(x)＝12(2x －2－x )，h(x)＝12(2x ＋2－x )． (2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，即a(2x －2－x )＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154. 因为22x ＋2－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154， 由φ′(t)＝－12⎝⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0， 知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为减函数， 所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a≥－1712.。
(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理
课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.7 函数的图象学案 文
2.7 函数的图象[知识梳理]1．利用描点法作函数图象的流程2．变换法作图(1)平移变换提醒：对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减．(2)对称变换①y ＝f (x )――――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )――――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――――――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|；②y ＝f (x )――――――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )y ＝f (ax )；②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．3．有关对称性的常用结论 (1)函数图象自身的轴对称①f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；③若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(2)函数图象自身的中心对称①f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；②函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；③函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )；④若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足条件f (a ＋x )＋f (b －x )＝c (a ，b ，c 为常数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称；②函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (x )的图象关于直线y ＝b 对称； ③函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． [诊断自测] 1．概念思辨(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )(4)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A1P 75T 10)函数y ＝lg |x －1|的图象大致为( )答案 B解析 y ＝lg |x －1|关于直线x ＝1对称，排除A ，D ；因函数值可以为负值，故选B. (2)(必修A1P 113B 组T 2)如图，不规则图形ABCD 中：AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )答案 D解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选D.3．小题热身(1)若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1答案 D解析与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D.(2)(2017·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )答案 C解析 由函数的图象可知，－1<b <0，a >1，则g (x )＝a x＋b 为增函数，当x ＝0时，y ＝1＋b >0，且过定点(0，1＋b )．故选C.题型1 函数图象的画法 典例1 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.运用对称变换、翻折变换、平移变换等图象变换法．解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图a 实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图b.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图c.(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图d.典例2 (2017·建邺区校级期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4.(1)画出函数f (x )的图象；(2)若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．翻折法作图象，再结合图象解决问题．解 (1)作函数f (x )的图象如下：(2)根据a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，令a <b <c ，由f (x )的解析式可知|log 4a |＝|log 4b |，可得log 4a ＋log 4b ＝0，即为ab ＝1，abc ＝c ，由图象可得c 的范围是(4,6)．故abc 的范围是(4,6)． 方法技巧作函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换．3．描点法．当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出．冲关针对训练 作出下列函数的图象： (1)y ＝10|lg x |；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解 (1)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x＝x ；当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝10lg 1x ＝1x.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).题型2 识图与辨图角度1 已知图象确定函数解析式典例 (2018·贵州联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x根据函数的奇偶性、单调性判断．答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ；若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.故选A.角度2 已知解析式确定函数的图象典例 (2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]上的图象大致为( )根据函数的单调性，某点处的函数值正负等判断．答案 D解析 令f (x )＝y ＝2x 2－e |x |，则f (2)＝8－e 2>0，A 错误；f (2)＝8－e 2<1，B 错误；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递减，C 错误．故选D. 角度3 由实际问题中的变化过程探究函数图象典例 (2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图象大致为( )用特殊值法，排除法．答案 C解析 如图所示，过点M 作OP 的垂线，垂足为D .当x ＝π2时，MD ＝0，排除A ，D ；当x ＝π4或x ＝3π4时，MD 取得最大值为12，排除B.故选C.方法技巧辨识函数图象的常见类型及求解策略1．由图象确定解析式或解析式中参数满足的数量关系．求解关键是将从图象中得到的以下信息点转化为其参数满足的数量关系．①图象与x 轴、y 轴的交点位置；②某一区间内函数值的正负；③定义域；④函数的单调性；⑤函数的极值、最值；⑥函数图象的变化趋势．2．由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)由函数的周期性，判断图象的循环往复．3．由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．冲关针对训练1．(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图象不可能的是( )答案 B解析 当a ＝0时，y ＝－x 与y ＝x 图象为D.当a >0时，y ＝ax 2－x ＋a2为开口向上抛物线，而对y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1，令y ′＝0，得x ＝13a 或x ＝1a ，即y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 有2个极值点且为正，A ，C 都有可能．当a <0时，抛物线开口向下，第二个函数的极值点为负，对称轴x ＝12a 在两极值点中间，B 不符合．故选B.2．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x 4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x答案 C解析 A 中，∵y ＝2x －x 2－1＝2x －(x 2＋1)，当x 趋向于－∞时，2x 的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x 趋向于－∞时，函数y ＝2x－x 2－1的值趋向于－∞，∴A 中的函数不符合；B 中，当x >0时，y ＝2xsin x 4x ＋1有无数个零点，与图象不符合；D 中，y ＝xln x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，∴D 中函数不符合．故选C.题型3 函数图象的应用角度1 利用函数图象求解不等式(多维探究)典例 (2015·北京高考)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示．其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．故选C.[条件探究] 若本典例中条件变为：关于x 的不等式f (x )≥log 2(x ＋a )在x ∈(－1,2]时恒成立，试求实数a 的取值范围．解 在同一坐标系中分别作出f (x )和y ＝log 2(x ＋a )的图象，若要使f (x )≥log 2(x ＋a )在(－1,2]上恒成立，只需y ＝f (x )的图象在x ∈(－1,2]时恒在y ＝log 2(x ＋a )的图象上方即可．则需－a ≥1，即a ≤－1.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1]． 角度2 利用函数图象研究方程根的个数典例 (2017·安阳月考)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8函数的零点转化为两函数的交点，再利用数形结合求解．答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点．故选B.方法技巧函数图象应用的常见题型及求解策略1．利用函数图象研究参数的取值范围时，将构造的函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合思想，动态地思考问题，求解参数的取值范围．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．3．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．冲关针对训练1．(2018·长春检测)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )A．3 B．2C．1 D．0答案 B解析在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.故选B.2．已知直线y ＝kx (k ∈R )与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x(x ≤0)，12x 2＋2(x >0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 由图可知，当y ＝kx 在第一象限与f (x )相切时，有两个交点，即当x >0时，y ＝kx 与y ＝12x 2＋2有一个交点，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝12x 2＋2⇒12x 2－kx ＋2＝0，x >0时，Δ＝0，∴k ＝2.要使y ＝kx 与函数f (x )的图象有三个交点，所以k 的取值范围为(2，＋∞)．故选D.1.(2017·浙江高考)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，所以对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.2．(2017·湖北百所重点学校联考)函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．故选D. 3．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C ，D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 两项错误；又当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A.故选B.4．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的大致图象如图所示，要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且图象关于x ＝1对称，排除B ，C ；取特殊值，当x ＝12时，f (x )＝2ln 12<0.故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意，得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D.故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2，根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12，解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.再由|φ|<π2，可得φ＝π6，故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (π)＝4.故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]．故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x >0时，其函数值y ≥0；④y ＝x ·2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x >0时，其函数值y >0，且当x <0时，其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π，0)∪(0，π]，显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x是奇函数，y ＝cos x 为偶函数，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数，所以排除A ，B ；取x ＝π，则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0，故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0，故排除B.故选D.8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，同一坐标系中，f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由f (x )＝x cos x ，得f ′(x )＝cos x －x sin x ，当x ＝0时，f (0)＝0，f ′(0)＝1，排除B ，D ；当f ′(x )>0时，f (x )是增函数，曲线是上升的，f ′(x )<0时，f (x )是减函数，曲线是下降的，判断出C 是正确的，排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝11－x与y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象，y ＝－1x －1的对称中心是(1,0)，也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心，当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点，则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2.故选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．12．设函数f (x )，g (x )的定义域分别为F ，G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象，再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是________．答案 (5－26，1)∪{－3＋22}解析 因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1，l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋22，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章 函数、导数及其应用 第5节
[课堂练通考点]1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析：选C 函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k 8≥20，即k ≤40或k ≥160，故选C.3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝45．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·济南模拟)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.2．已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图像得：a <0，b <0，c >0.选C.3．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.5．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：选A 由题意知⎩⎨⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m－1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A.6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件． 解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2014·中山一模)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案：18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案：{x |－7<x <3} 9．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋(m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋ .∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *， ∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1.2．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。
高考数学一轮复习 第2章《函数与导数》函数的图象精品课件
四、有关结论
1.若f(a+x)+f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于
x=
a
b 2
成轴对称图形.
2.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=
1 2
(b-a)对称.
3.若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)
都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.
时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是
.
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（3）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，
我国农村人均居住面积如图2-9-8所示，其中从
年
到
年的五年间增长最快.
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【分析】 (1)可从图象的增减性，所过三个特殊点 (0,0),(1,0),(2,0)入手分析或构造方程来解.
4.若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)成中
心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.
5.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心
对称,关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-
4a是它的一个周期.
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题型分析 考点一 作出函数图象
当0＜x＜1时，lgx＜0,y=10|lgx|
=10-lgx=
10
lg
1 x
1
.
x
x,x≥1,
∴y= 1 x ,0＜x＜1.
这是分段函数，
每段函数可根据正
比例函数或反比例
函数作出（如图2-9-4）.
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【评析】作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数 再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意 x, y的 变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如 : 一次函数、 反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数及三角函数 的图象 . 在变换函数解析式中要运用转化变换和分类讨论 的思想.作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第5课时 指数与指数函数精品课件 理 北师大
• 3．指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
图象特征
在x轴 上方，过定点 (0,1)
当x逐渐增大时， 图象逐渐下降
当x逐渐增大时， 图象逐渐上升
函数
定义域
值域
性 单调性 质
函数 值变 化规律
y＝ax(a＞0，且a≠1)
D．f(－2)＞f(2)
解析： 由a－2＝4，a＞0，得a＝12， ∴f(x)＝21－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f(－2)＞f(－1)． 答案： A
4．方程3x－1＝19的解是________． • 答案： －1
5．函数y＝121－x的值域是________． 解析： 函数的定义域为R，令u＝1－x∈R， ∴y＝21u＞0. 答案： (0，＋∞)
• (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函 数．
• 1．与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
• (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； • (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定y＝
af(x)的值域． • 2．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 • (1)求复合函数的定义域； • (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； • (3)分层逐一求解函数的单调性； • (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．
【变式训练】 1.计算下列各式：
• 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象．
【配套K12】高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.7函数的图象课时提升作业理
课时提升作业十函数的图象(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016·攀枝花模拟)下列四个图中,函数y=的图象可能是( )【解析】选C.函数y=的图象可以看作是由函数y=的图象向左移动1个单位长度得到的,而函数y=是奇函数,所以排除选项A和选项D;又因为当x>0时,x+1>1,所以>0,所以选C. 【加固训练】函数y=-x2(x∈R)的图象大致为( )【解析】选A.首先注意到函数y=2|x|-x2(x∈R)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,因此排除B和D,再当x=0时,y=1>0,故排除C.2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y轴对称,则f(x)= ( )A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1【解析】选D.依题意,y=e x关于y轴对称的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,所以f(x)=e-x-1.3.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lo f(x)的定义域是( )A.(0,+∞)B.(0,8]C.(0,2)D.(2,8]【解析】选D.当f(x)>0时,函数g(x)=log f(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8].4.为了得到函数y=lg的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点( )A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【解析】选C.y=lg=lg(x+3)-1,将y=lgx的图象向左平移3个单位长度得到y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得到y=lg(x+3)-1的图象.5.(2016·汕头模拟)定义:若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同.则称变换T是f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中T不属于f(x)的同值变换的是( )A.f(x)=(x-1)2,T:将函数f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)=2x-1-1,T:将函数f(x)的图象关于x轴对称C.f(x)=2x+3,T:将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称D.f(x)=sin,T:将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称【解析】选B.对于A:T是将函数f(x)的图象关于y轴对称,此变换不改变函数的值域,故T属于f(x)的同值变换;对于B:f(x)=2x-1-1,其值域为(-1,+∞),将函数f(x)的图象关于x轴对称,得到的函数解析式是y=-2x-1+1,值域为(-∞,1),T不属于f(x)的同值变换;对于C:f(x)=2x+3,T将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称,得到的函数解析式是2-y=2(-2-x)+3,即y=2x+3,它们是同一个函数,故T属于f(x)的同值变换;对于D:f(x)=sin,T将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,得到的函数解析式是0-y=sin,它们的值域都为[-1,1],故T属于f(x)的同值变换.6.已知函数f(x)=则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( )A.f(x1)+f(x2)<0B.f(x1)+f(x2)>0C.f(x1)-f(x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0【解析】选D.函数f(x)的图象如图所示:且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|,所以f(x2)>f(x1),即f(x1)-f(x2)<0.【加固训练】设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图象可能是( )【解析】选 B.由于f(-x)=f(x),所以函数y=f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以A,C错误;由于f(x+2)=f(x),所以T=2是函数y=f(x)的一个周期,D错误.二、填空题(每小题5分,共15分)7.已知图(1)中的图象对应的函数为y=f(x),则图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中,可能是(填序号).①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=-f(|x|);④y=f(-|x|).【解析】由图(1)和图(2)的关系可知,图(2)是由图(1)在y轴左侧的部分及其关于y轴的对称图形构成的,故选④.答案:④8.函数y=f(x)在x∈[-2,2]上的图象如图所示,则当x∈[-2,2]时,f(x)+f(-x)= .【解析】由题图可知,函数f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0.答案:09.(2016·长沙模拟)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是.【解析】当x≤0时,0<2x≤1,画出f(x)的图象,由图象可知要使方程f(x)-a=0有两个实根,即函数y=f(x)与y=a的图象有两个交点,此时0<a≤1.答案:(0,1](15分钟30分)1.(5分)(2016·广州模拟)函数f(x)=sin2x+e ln|x|的图象的大致形状是( )【解析】选 B.函数f(x)=sin2x+|x|是非奇非偶函数,排除选项A,C.当x=-时,f=sin+=-1+<0.故排除D,选B.2.(5分)(2016·九江模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(2+x)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x2+1,则方程f(x)=k,k∈[0,1)在[-1,5]上的所有实根之和为( )A.0B.2C.4D.8【解题提示】先得出函数的周期,再利用函数的周期性和奇偶性得出对称性.【解析】选D.画出函数f(x)的图象如图所示,由图象知,所有实根之和为(x1+x2)+(x3+x4)=8.3.(5分)(2016·福州模拟)函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.如图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个函数图象在[-2,4]上共有8个公共点,每两个对应交点横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8.4.(15分)已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性.(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.【解析】f(x)=作出函数图象如图.(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3].(2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图).由图知0<m<1, 所以M={m|0<m<1}.【加固训练】已知函数f(x)=2x,x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)-2|=m有一个解?两个解?(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示:由图象看出,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个解;当0<m<2时,函数F(x)与G(x)的图象有两个交点,原方程有两个解.(2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,因为H(t)=-在区间(0,+∞)上是增函数,所以H(t)>H(0)=0.因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(-∞,0].。
(教师用书)高考数学一轮总复习 第二章 函数与导数课时训练 理-人教版高三全册数学试题
第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个． ① A ＝N ，B ＝N *，f ：x→y＝|x －2|；② A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ③ A ＝[－1，1]，B ＝{0}，f ：x→y＝0. 答案：22. 下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ① y ＝x －1与y ＝（x －1）2； ② y ＝x －1与y ＝x －1x －1； ③ y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2； ④ y ＝lgx －2与y ＝lg x100.答案：④解析：①中y ＝（x －1）2的表达式为y ＝|x －1|，与y ＝x －1表达式不一致；②中y ＝x －1的定义域为{x|x≥1}，y ＝x －1x －1的定义域为{x|x>1}；③中y ＝4lgx 的定义域为{x|x>0}，y ＝2lgx 2的定义域为{x|x≠0}；④中两个函数定义域和表达式都一致．3. 若f(x ＋1)＝x ＋1，则f(x)＝___________． 答案：x 2－2x ＋2(x≥1)解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2＋1.4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________． 答案：3x ＋5x(x≠0)解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b x ，代入φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5. 5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝__________．答案：2解析：∵ f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a ＝4a ，∴ a ＝2.6. 现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是____________．(填序号)答案：③解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快，故③正确．7. 设函数f(x)＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a ＝__________．答案：±1解析：∵ f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴ f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a ＝1，a ＝1；当a<0时，f(a)＝－a ＝1，a ＝－1.∴ a＝±1.8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f(f(1))＞3a 2，则a 的取值X 围是________．答案：(－1，3)解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a ＝9＋6a ，若f(f(1))>3a 2，则9＋6a>3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a<3.9. 已知函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0.(1) 求f(0)的值；(2) 试确定函数f(x)的解析式．解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2＋x －2.10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x<0，g(x)＝x ＋2.(1) 若f(g(a))＝g(f(－1))，求a 的值； (2) 解不等式f(1－x 2)>f(2x)．解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a ＋2， 所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a ＋2)＝3.当a ＋2≥0，即a≥－2时，(a ＋2)2＋1＝3，所以a ＝－2＋2； 当a ＋2<0，即a<－2时，显然不成立． 所以a ＝－2＋ 2.(2) 由f(1－x 2)>f(2x)，知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 解得－1<x<2－1.所以不等式的解集为(－1，2－1)．11. 是否存在正整数a 、b ，使f(x)＝x 2ax －2，且满足f(b)＝b 及f(－b)<－1b ？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在正整数a 、b 满足题意．∵ f(x)＝x 2ax －2，f(b)＝b ，∴b2ab －2＝b ，即(a －1)b ＝2.∵ a 、b∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 当a ＝3，b ＝1时，f(x)＝x 23x －2，此时－b ＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－15>－1＝－1b ，因此a ＝3，b ＝1不符合题意，舍去；当a ＝2，b ＝2时，f(x)＝x 22x －2，此时－b ＝－2，∴f(－b)＝f(－2)＝－23<－12＝－1b ，符合题意．∴存在a ＝2，b ＝2满足条件使f(x)＝x 22x －2.第2课时 函数的定义域和值域1. 函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是__________．答案：(23，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞23，故函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.2. (2014·苏锡常镇二模)函数y ＝1lnx (x≥e)的值域是______．答案：(0，1]解析：y ＝1lnx 为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1]．3. 若集合M ＝{y|y ＝2－x}，N ＝{y|y ＝x －1}，则M∩N＝_______________． 答案：{y|y>0}解析：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝{y|y>0}，N ＝{y|y≥0}， ∴ M ∩N ＝{y|y>0}∩{y|y ≥0}＝{y|y>0}． 4. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________． 答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14，因为x≥1，所以y≤0.5. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________．答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2.6. 已知f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域为________．答案：[－32，－12)∪(12，32]解析：∵ f(x)＝a －12x－1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则满足f(－1)＋f(1)＝0，可得a ＝－12，则f(x)＝－12－12x －1.由x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，得0<2x≤12或2x≥2，可得12<－12－12x －1≤32或－32≤－12－12x －1<－12.7. 函数f(x)的定义域为D ，若满足：① f(x)在D 内是单调函数，②存在[a ，b]D ，使f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，那么y ＝f(x)叫做对称函数．现有f(x)＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值X 围是____________．答案：[2，94]解析：由于f(x)＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，故满足①.又f(x)在[a ，b]上的值域为[－b ，－a]，∴⎩⎨⎧2－a －k ＝－a ，2－b －k ＝－b ，∴ a 和b 是关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上的两个不同实根．令t ＝2－x ，则x ＝2－t 2，t ≥0，∴ k ＝－t 2＋t ＋2＝－(t －12)2＋94，∴ k 的取值X 围是k∈[2，94]．8. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x<0，－2－x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))的值域是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：x ＜0时，f(x)＝2x∈(0，1)，12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122x＜1，f(f(x))＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12；同理可得x ＞0时，f(f(x))∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.综上所述，函数y ＝f(f(x))的值域是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 9. 若函数f(x)＝（a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，某某数a 的取值X围．解：由函数的定义域为R ，可知对x∈R ，f(x)恒有意义，即对x∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立．①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x∈R 恒成立，故a ＝1符合题意； ②当a 2－1≠0，即a≠±1时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0， 解得1<a≤9.综上，可得实数a 的取值X 围是[1，9]．10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1x ＋3(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1) 求函数f(x)的表达式，并求其定义域； (2) 当a ＝14时，求函数f(x)的值域．解：(1) f(x)＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a](a>0)． (2) 函数f(x)的定义域为[0，14]，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，f(x)＝F(t)＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2[1，32]，又t∈[1，32]时，t＋4t 单调递减，F(t)单调递增，F (t)∈[13，613]．即函数f(x)的值域为[13，613]． 11. 设函数f(x)＝1－x 2＋1＋x ＋1－x.(1) 设t ＝1＋x ＋1－x ，求t 的取值X 围，并把f(x)表示为t 的函数h(t)； (2) 求函数f(x)的最值．解：(1) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x≥0，1－x≥0，∴－1≤x≤1，∴ t 2＝(1＋x ＋1－x)2＝2＋21－x 2∈[2，4]，∴ t ∈[2，2]．由1－x 2＝12t 2－1，∴ h(t)＝12t 2＋t －1，t ∈[2，2]．(2) 由h(t)＝12t 2＋t －1＝12(t ＋1)2－32∈[2，3]，∴ f(x)的最大值为3，最小值为 2.第3课时 函数的单调性1. (2014·)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是________．(填序号) ① y ＝e －x；② y＝x 3；③ y＝lnx ；④ y＝|x|. 答案：②解析：由定义域为R ，排除选项③，由函数单调递增，排除选项①④.2. 函数y ＝x －1x 的单调增区间为__________．答案：(－∞，0)，(0，＋∞)3. 已知f(x)＝x 2＋x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2________f(2)．(填“≤”或“≥”)答案：≥解析：∵ f(x)的对称轴方程为x ＝－12，∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数．又a 2＋1a 2≥2，∴ f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥f(2)．4. 函数f(x)＝2x＋log 2x ，x ∈[1，2]的值域是________． 答案：[2，5]解析：因为f(x)＝2x ＋log 2x 在区间[1，2]上为增函数，所以f(x)∈[2，5]． 5. 若函数f(x)＝x 2＋ax 与g(x)＝ax －1在区间(1，2)上都是增函数，则实数a 的取值X 围是________．答案：[－2，0)解析：若f(x)在(1，2)上是增函数，则a≥－2；若g(x)在(1，2)上是增函数，则a<0. 6. 设函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ，则下列命题正确的是______．(填序号) ①当b>0时，函数f(x)在R 上是单调增函数； ②当b<0时，函数f(x)在R 上有最小值； ③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称； ④方程f(x)＝0可能有三个实数根． 答案：①③④解析：当b>0时，f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x ＜0知函数f(x)在R 上是单调增函数，故①正确；当b<0时，f(x)＝|x|x ＋bx ＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥0，－x 2＋bx ＋c ，x ＜0，值域是R ，故函数f(x)在R 上没有最小值，故②不正确；若f(x)＝|x|x ＋bx ，那么函数f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x))，也就是说函数f(x)的图象关于(0，0)对称．而函数f(x)＝|x|x ＋bx ＋c 的图象是由函数f(x)＝|x|x ＋bx 的图象沿y 轴移动，故图象一定是关于(0，c)对称，故③正确；令b ＝－2，c ＝0，则f(x)＝|x|x －2x ＝0，解得x ＝0，2，－2.故④正确．7. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数．若f(1)<f(lnx)，则x 的取值X 围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞) 解析：|lnx|>1，所以lnx<－1或lnx>1，所以0<x<1e或x>e.8. 设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13、f(2)、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的大小关系为________________________．(从小到大排列) 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2) 解析：由f(2－x)＝f(x)可知，f(x)的图象关于直线x ＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝lnx ，可知当x≥1时，f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数．因为|12－1|＜|13－1|＜|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f(2)．9. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a 、b∈R )．(1) 若f(－1)＝0，且对任意实数x 均有f(x)≥0，某某数a 、b 的值；(2) 在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx 是单调函数，某某数k 的取值X 围．解：(1) a ＝1，b ＝2.(2) 由(1)知，f(x)＝x 2＋2x ＋1，所以g(x)＝x 2＋(2－k)x ＋1，因为g(x)在[－2，2]上是单调函数，所以[－2，2]⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，k －22或[－2，2]⎣⎢⎡⎭⎪⎫k －22，＋∞，解得k≤－2或k≥6.10. 已知f(x)＝xx －a(x≠a)．(1) 若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2) 若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围． (1) 证明：设x 1<x 2<－2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴ f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2) 解：设1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.∵ a>0，x 2－x 1>0，∴要使f(x 1)－f(x 2)>0， 只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立， ∴ a ≤1.综上所述，a 的取值X 围为(0，1]．11. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m 、n ，总有f(m ＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.(1) 试求f(0)的值；(2) 判断f(x)的单调性，并证明你的结论；(3) 设A ＝{(x ，y)|f(x 2)·f(y 2)>f(1)}，B ＝{(x ，y)|f(ax －y ＋2)＝1，a ∈R }，若A∩B ＝，试确定a 的取值X 围．解：(1) 在f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，令m ＝1，n ＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)． 因为f(1)≠0，所以f(0)＝1. (2) 任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2.在已知条件f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为f(x 2)＝f(x 1)·f(x 2－x 1)．由于x 2－x 1>0，所以0<f(x 2－x 1)<1.为比较f(x 2)，f(x 1)的大小，只需考虑f(x 1)的正负即可．在f(m ＋n)＝f(m)·f(n)中，令m ＝x ，n ＝－x ，则得f(x)·f(－x)＝1. 因为当x>0时，0<f(x)<1，所以当x<0时，f(x)＝1f （－x ）>1>0.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x 1∈R ，均有f(x 1)>0. 所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1)[f(x 2－x 1)－1]<0. 所以函数f(x)在R 上单调递减． (3) f(x 2)·f(y 2)>f(1)，即x 2＋y 2<1. f(ax －y ＋2)＝1＝f(0)，即ax －y ＋2＝0.由A∩B＝，得直线ax －y ＋2＝0与圆面x 2＋y 2<1无公共点，所以2a 2＋1≥1，解得－1≤a ≤1.故a 的取值X 围为[－1，1]第4课时 函数的奇偶性及周期性1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2－3)，则a ＝________． 答案：3解析：(－2a)＋(a 2－3)＝0，且－2a ＜0.2. 已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝_________．答案：－lg2 解析：因为f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f(－2)＝－f(2)＝－lg2.3. 若函数f(x)＝x（2x ＋1）（x －a ）是奇函数，则实数a ＝________．答案：12解析：由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a ＝12.4. (2014某某)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝____________．答案：1解析：由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 5. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a 、b∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b ＝________． 答案：－10解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，函数f(x)的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.根据f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，得3a ＋2b ＝－2.又f(1)＝f(－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0.结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.6. (2014·某某期末)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________．答案：(－1，2)解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f(3)＝12.从而x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.7. (2014·某某二模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．答案：(4，＋∞)解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x ＞0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1＞0， 即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x ＞1，所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1， 解得x ＞4.8. (2014·新课标)已知偶函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________．答案：3解析：因为函数图象关于直线x ＝2对称，所以f(3)＝f(1)．又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1) 求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2) 若f(x)＝x (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． (1) 证明：由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，得f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)． 从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2) 解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0，当x ∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－－x.又f(0)＝0，x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x －4.10. 设函数f(x)＝a x－(k －1)a －x(a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1) 求k 的值；(2) 若f(1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0对任意实数x 恒成立的t 的取值X 围．解：(1) ∵ f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴ f(0)＝0，∴ 1－(k －1)＝0，∴ k ＝2. (2) f(x)＝a x－a －x(a>0且a≠1)， 由于f(1)<0，∴ a －1a<0，∴ 0<a<1.∴ f(x)在R 上是减函数．不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0等价于f(x 2＋tx)<f(x －4)． ∴ x 2＋tx>x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立． ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t<5.11. 设y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数， 且当x≥0时， f(x)＝2x －x 2. (1) 求当x<0时，f(x)的解析式；(2) 请问是否存在这样的正数a 、b ，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ？ 若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1) 当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x －x 2. 因为y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2，即f(x)＝2x ＋x 2(x<0)．(2) 假设存在，则由题意知g(x)＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，x ∈[a ，b]，a>0, 所以1a ≤1，a ≥1, 从而函数g(x)在[a ，b]上单调递减．于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －a 2＝1a ，2b －b 2＝1b，所以a 、b 是方程2x －x 2＝1x 的两个不等正根，方程变形为x 3－2x 2＋1＝0，即(x －1)(x 2－x －1)＝0，方程的根为x ＝1或x＝1±52.因为0<a<b, 所以a ＝1，b ＝1＋52.第5课时 函数的图象1. 函数f(x)＝2x ＋1x －1图象的对称中心的坐标是________．答案：(1，2) 解析：f(x)＝2＋3x －1.2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0，1]上恒在x 轴上方，则实数a 的取值X 围是________．答案：(0，2)解析：由题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）>0即可．3. 设f(x)表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是__________． 答案：6解析：在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f(x)取得最大值6.4. 函数f(x)＝|x 2－ax －a|(a>0)的单调递增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －a 2＋4a 2，a 2和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，＋∞5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________．答案：(－1，0)6. 设D ＝{(x ，y)|(x －y)(x ＋y)≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t(t∈[－1，1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f(t)的图象的大致形状为__________．(填序号)答案：③解析：如图平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除④；当t ＝－12时，S>14S max ，排除①②.7. 对于函数y ＝f(x)(x∈R )，给出下列命题：①在同一直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称； ②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确的是______________．(填序号) 答案：③④解析：∵ f(x)与y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0对称，函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象可以分别由f(x)与y ＝f(－x)的图象向右平移了一个单位而得到，从而可得函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称，故①错误；若f(1－x)＝f(x －1)，令t ＝1－x ，有f(t)＝f(－t)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，故②错误；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x)，函数y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，故③正确；若f(1－x)＝－f(x －1)，则可得f(－t)＝－f(t)，即函数f(x)为奇函数，从而可得函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，故④正确．8. (2014·苏北四市期末)已知函数f(x)＝x|x －2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为____________．答案：[－1，＋∞)解析：f(x)示意图如下：f(1)＝1，令x(x －2)＝1，x ＞2，解得x ＝2＋1，从而f(2－x)≤f(1)，即2－x≤2＋1，解得x≥－1.9. 作出下列函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间． (1) y ＝|3x－1|； (2) y ＝|x －2|(x ＋1)．解：(1) y ＝|3x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x－1，x ≥0，1－3x，x<0，图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．(2) 由y ＝|x －2|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x<2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，图象如下，其单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12和(2，＋∞)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.10. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值X 围．解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x－1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.当a ＞1时，y ＝|a x－1|的图象如图2所示，由已知可得0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，但a ＞1，故a∈．综上可知，a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f(2＋x)＝f(2－x)． (1) 证明：函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称；(2) 若f(x)是偶函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝2x －1，求x ∈[－4，0]时的f(x)的表达式．(1) 证明：设P(x 0，y 0)是函数y ＝f(x)图象上任一点，则y 0＝f(x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P′(4－x 0，y 0)．因为f(4－x 0)＝f(2＋(2－x 0))＝f(2－(2－x 0))＝f(x 0)＝y 0，所以P′也在y ＝f(x)的图象上，所以函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称．(2) 解：因为当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 所以f(－x)＝－2x －1. 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x －1，x ∈[－2，0]． 当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，2]， 所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x ＋7. 而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].第6课时 二次函数1. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________．答案：[－6，12]解析：y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12. 2. 设f(x)＝ x 2＋ax ＋3，不等式f(x)≥a 对x∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案：－6≤a≤2解析：依题意，x 2＋ax ＋3－a≥0对x∈R 恒成立，故函数的图象恒在x 轴的上方或与x 轴最多只有一个公共点，从而Δ＝a 2－4(3－a)≤0.3. 二次函数f(x)＝2x 2＋5，若实数p≠q，使f(p)＝f(q)，则f(p ＋q)＝________． 答案：5解析：由f(p)＝f(q)，知二次函数图象的对称轴为x ＝p ＋q2，则f(p ＋q)＝f(0)＝5.4. 已知函数f(x)＝ax 2＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上递增，则实数a 的取值X 围是________．答案：[0，1]解析：若a ＝0，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a2a≤1.5. 已知二次函数f(x)＝ax 2－4x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是____________．答案：3解析：由二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的值域为[0，＋∞)，知a>0，且b 2＝4ac ，从而ac ＝4，则1a ＋9c ＝1a ＋9a4≥21a ×94a ＝3. 6. 若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为__________． 答案：6解析：由f(－1)＝f(3)知，对称轴x ＝－b2a ＝1，则b ＝－2a ，所以f(2)＝4a ＋2b ＋6＝6.7. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A 、B 两点，若AC⊥BC，则a ＝________．答案：－12解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由条件，a(t －x 1)(t －x 2)＝2，又AC⊥BC，利用斜率关系得，2t －x 1·2t －x 2＝－1，所以a ＝－12. 8. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为____________．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0. 9. 已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R )．(1) 若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2) 若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值X 围． 解：(1) 由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f(x)＝(x ＋1)2.则F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2) 由题意得f(x)＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b≤0.10. 已知f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，且f(x)在闭区间[－2，2]上恒为非负数，某某数a 的取值X 围．解：f(x)＝x 2＋ax ＋3－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a －a 24.由题意，f(x)≥0在x∈[－2，2]上恒成立，即[f(x)]min ≥0.当－a 2<－2，即a>4时，[f(x)]min ＝f(－2)＝7－3a ，由7－3a≥0，得a≤73，这与a>4矛盾，此时a 不存在．当－2≤－a 2≤2，即－4≤a≤4时，[f(x)]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24，由3－a －a 24≥0，得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.当－a2>2，即a<－4时，[f(x)]min ＝f(2)＝7＋a ，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上所述，实数a 的取值X 围是[－7，2]． 11. 已知a∈R ，函数f(x)＝x|x －a|.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2) 当a>2时，求函数y ＝f(x)在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a≠0，函数y ＝f(x)在(m ，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m 、n 的取值X 围(用a 表示)．解：(1) 当a ＝2时，f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ），x<2，由图象可知，y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．(2) 因为a>2，x ∈[1，2]，所以f(x)＝x(a －x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24.当1<a 2≤32，即2<a≤3时，f(x)min ＝f(2)＝2a －4；当a 2>32，即a>3时，f(x)min ＝f(1)＝a －1. 所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －4，2＜a≤3，a －1，a>3.(3) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x<a ，①当a>0时，图象如图1所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ）得x ＝（2＋1）a 2.∴ 0≤m ＜a 2，a<n ≤2＋12a.②当a<0时，图象如图2所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），得x ＝1＋22a.∴2＋12a ≤m ＜a ，a2＜n≤0第7课时 指数函数、对数函数及幂函数(1)1. 化简3b a ·3a 23b (a>0，b>0)＝________． 答案：63ab2. 已知3a ＝2，3b ＝15，则32a －b＝________．答案：20 解析：32a －b＝32a3b ＝415＝20. 3. (log 29)·(log 34)＝__________． 答案：4解析：(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.4. (2014·某某)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．答案：278解析：原式＝[(23)4]－34＋log 3(54×45)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.5. 设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512用a 、b 可表示为________． 答案：2a ＋b1－a解析：log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2.6. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值X 围是____________． 答案：(2，3)∪(3，5)解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≠3，a ＜5∴ 2<a<5且a≠3.7. 对任意的非零实数a 、b ，若ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ，a ＜b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝____________．答案：54解析：∵ lg10 000＝lg104＝4，(12)－2＝4，∴ lg10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4＋14＝54.8. 方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．答案：x ＝log 34解析：原方程整理后变为32x－2·3x－8＝03x＝4x ＝log 34.9. 化简：log 34273·log 5⎣⎢⎡⎦⎥⎤412log 210－（33）23－7log 72.解：原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72]＝(34log 33－log 33)·log 5(10－3－2) ＝(34－1)·log 55＝－14. 10. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值． (1) a 12－a －12；(2) a －a －1；(3)⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）a 4－a－4.解：(1) ⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －122＝a ＋a －1－2＝1.∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1.(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7， ∴(a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5. ∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5.(3)⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）a 4－a－4＝⎝⎛⎭⎪⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）7×3×5＝535.11. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以2t －2t ＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值是－4.第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．答案：m<n 解析：∵a＝5－12∈(0，1)，∴函数f(x)＝a x在R 上递减．由f(m)>f(n)，得m<n. 2. (2014·某某、某某二模)函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为________． 答案：(0，1]解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x≥0，解得0＜x≤1.3. 要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，则实数t 的取值X 围为_________．答案：t≤－3解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不经过第二象限，只要g(0)＝31＋t≤0，即t≤－3.4. (2014·某某一模)若log a 12a －1＜1，则a 的取值X 围是__________． 答案：a ＞4 解析：log a12a －1＜log a a ，由12a －1＞0，且a ＞0且a≠1，得a ＞1，∴12a －1＜a ，即a 2－a －12＞0，∴ a ＞4.5. 已知函数f(x)＝2x－2－x，有下列结论：① f(x)的图象关于原点对称；② f(x)在R 上是增函数；③ f(0)＝0；④ f(|x|)的最小值为0.其中正确的是__________．(填序号) 答案：①②③④解析：f(x)为R 上的奇函数，故①③正确．又2x与－2－x均为增函数，故②④正确． 6. 若函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：14解析：若a>1，有a 2＝4，a －1＝m ，所以a ＝2，m ＝12，此时g ()x ＝－x 是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1时，有a －1＝4，a 2＝m ，所以a ＝14，m ＝116，此时g(x)＝3x 4，符合．7. 若不等式4x－2x ＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，则实数a 的取值X 围为__________．答案：(－∞，－1]解析：原不等式可化为a≤4x－2×2x，当x∈[－1，1]时，该不等式恒成立，令2x＝t ，则t∈[12，2]，t 2－2t ＝(t －1)2－1，故t 2－2t 最小值为－1，∴ a ≤－1.8. 对于函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x ·x 13和实数m 、n ，下列结论正确的是________．(填序号)①若m<n ，则f(m)<f(n)；② 若f(m)<f(n)，则m 2<n 2；③ 若f(m)<f(n)，则m 3<n 3；④ 上述命题都不正确．答案：②解析：由题意可知，函数f(x)＝(2x－12x )·x 13是定义在R 上的偶函数，当x>0时，函数y ＝2x－12x >0且单调递增，函数y ＝x 13>0且单调递增，∴函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．∴ 由f(m)<f(n)，可得|m|<|n|，故m 2<n 2.9. (1) 解关于x 的方程3x ＋2－2×3－x＋3＝0；(2) 求函数y ＝4x －12－3·2x＋5，x ∈[0，2]的最值．解：(1) 方程可化为9×3x －23x ＋3＝0，即9×(3x )2＋3×3x －2＝0，所以3x＝13，x ＝－1.(2) 函数y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12·4x －3·2x ＋5，设t ＝2x ，则12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.因为x∈[0，2]，所以t ＝2x ∈[1，4]，所以函数y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为52，最小值为12.10. 求函数y ＝a 2x－2a x－1(a ＞0，a ≠1)的单调区间和值域． 解：y ＝(a x－1)2－2(a>0，a ≠1)，设u ＝a x.∵ y ＝(u －1)2－2在u∈[1，＋∞)时是关于u 的增函数，在u ∈(－∞，1)时是关于u 的减函数，∴当a x ≥1时，原函数的单调性与u ＝a x 的单调性相同；当a x<1时，原函数的单调性与u ＝a x的单调性相反．若a>1，a x≥1x ≥0；a x<1x<0，∴在[0，＋∞)上，函数y ＝a 2x－2a x－1是增函数； 在(－∞，0)上，函数y ＝a 2x－2a x－1是减函数． 若0<a<1，a x≥1x ≤0；a x<1x>0，∴在(－∞，0]上，函数y ＝a 2x－2a x－1是增函数； 在(0，＋∞)上，函数y ＝a 2x－2a x－1是减函数． ∵ a x>0，∴函数值域是[－2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝2x(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．(1) 求g(x)，h(x)的解析式；(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x∈[1，2]恒成立，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x，f （－x ）＝g （－x ）＋h （－x ）＝2－x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x，－g （x ）＋h （x ）＝2－x，解得g(x)＝12(2x －2－x)， h(x)＝12(2x ＋2－x)．(2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，即a(2x －2－x)＋12(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，所以t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154.因为22x＋2－2x＝(2x－2－x )2＋2＝t 2＋2，所以a≥－t 2＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154上为减函数，所以[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1712，所以a ≥－1712.第9课时 指数函数、对数函数及幂函数(3)1. 已知函数f(x)＝log a x(a>0，a ≠1)，若f(2)<f(3)，则实数a 的取值X 围是________． 答案：a>12. (2014·苏北四市期末)函数f(x)＝lg(2x－3x)的定义域为__________． 答案：(－∞，0)解析：由题知2x－3x>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23x >⎝ ⎛⎭⎪⎫230，从而x<0，本题考查对数函数的定义域以及指数不等式的解法．3. 函数y ＝log a (x －1)＋2(a>0，a ≠1)的图象恒过定点________． 答案：(2，2)4. 幂函数y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18， 则满足f(x)＝27的x 的值是________． 答案：13解析：设f(x)＝x α，则(－2)α＝－18，∴α＝－3，∴ f(x)＝x －3.由f(x)＝x －3＝27，得x ＝13.5. 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________． 答案：a>b>c 解析：a ＝1＋1log 23，b ＝1＋1log 25，c ＝1＋1log 27，考查函数y ＝log 2x ，有0<log 23<log 25<log 27，所以a>b>c.6. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，log 2（－x ），x ＜0，若f(m)＜f(－m)，则实数m 的取值X 围是____________．答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 解析：当m>0时，f(m)<f(－m)log 12m<log 2mm>1；当m<0时，f(m)<f(－m)log 2(－m)<log 12(－m)－1<m<0.所以，m 的取值X 围是(－1，0)∪(1，＋∞)．7. 设f(x)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值X围是____________．答案：(－1，0)解析：∵ f(x)为奇函数，∴ f(0)＝0.解得a ＝－1.∴ f(x)＝lg 1＋x1－x .令f(x)<0，则0<1＋x 1－x<1，∴ x ∈(－1，0)． 8. 若不等式(x －1)2＜log a x 在x∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案：(1，2]解析：设f 1(x)＝(x －1)2，f 2(x)＝log a x ，要使当x∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x)＝(x －1)2在(1，2)上的图象在f 2(x)＝log a x 图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1，2)时f 1(x)＝(x －1)2的图象在f 2(x)＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，所以1<a≤2，即实数a 的取值X 围是(1，2]．9. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )在[0，＋∞)上是单调递增函数，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解：由条件知，1－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.由于n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n＝0，2时，f(x)＝x 13，所以f(x)在R 上为单调递增函数，由f(x 2－x)>f(x ＋3)，得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以不等式的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 3x 27(log 33x)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，19，求函数f(x)的最大值和最小值． 解： f(x)＝(log 3x －3)(log 3x ＋1)＝(log 3x)2－2log 3x －3.令log 3x ＝t ，∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，19，∴ t ∈[－3，－2]，∴ g(t)＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4在t∈[－3，－2]上是减函数，∴ f max (x)＝g(－3)＝12，f min (x)＝g(－2)＝5.11. 已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x.(1) 当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2) 如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x 2)·f(x)>k ·g(x)恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1) h(x)＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]． 故函数h(x)的值域为[0，2]． (2) 由f(x 2)·f(x )>k·g(x)，得 (3－4log 2x)(3－log 2x )>k·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k ·t 对一切t∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t∈(0，2]时，k<（3－4t ）（3－t ）t 恒成立，即k<4t ＋9t－15恒成立，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3，即k 的取值X 围为(－∞，－3)．第10课时 函数与方程1. 函数f(x)＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a ＝_________． 答案：－12解析：f(1)＝231＋1＋a ＝0a ＝－12.2. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x 、f(x)的对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 f(x)136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064①区间[1，2]；② 区间[2，3]；③ 区间[3，4]；④ 区间[4，5]；⑤ 区间[5，6]． 答案：②③④解析：因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内有零点．3. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋x 2－2的零点个数是________．答案：2解析：在同一坐标系内作出函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 与g(x)＝2－x 2的图象，两图象有两个交点．4. 关于x 的方程 x 2－(2m －8)x ＋m 2－16＝0的两个实数根 x 1、x 2满足 x 1<32<x 2，则实数m 的取值X 围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，72 解析：令f(x)＝x 2－(2m －8)x ＋m 2－16，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0.5. 已知函数f(x)＝13x 3＋x 2＋(2a －1)x ＋a 2－a ＋1，若f′(x )＝0在(1，3]上有解，则实数a 的取值X 围为___________．答案：[－7，－1)解析：由题意得f′(x)＝x 2＋2x ＋2a －1＝0，所以a ＝12(－x 2－2x ＋1)＝－12(x ＋1)2＋1，当1<x≤3时，－7≤a<－1.6. 已知关于x 的方程x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为__________．答案：1解析：∵ x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0，∴ log 2(x 2＋2)＝－12a x 2＋3－a 22a .∵方程有唯一解，∴ y ＝log 2(x 2＋2)与y ＝－12ax 2＋3－a 22a 图象只有一个交点．画图可知：当a>0，且3－a22a ＝1时，图象只有一个交点，解得a ＝1.7. 已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．答案：2解析：因为函数f(x)＝log a x ＋x －b(2<a<3)在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝log a 2＋2－b<log a a ＋2－b ＝3－b<0，f(3)＝log a 3＋3－b>log a a ＋3－b ＝4－b>0，所以x 0∈(2，3)，即n ＝2.8. (2014·某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋k ，x ≤0，lnx ，x ＞0(其中k≥0)，若函数y ＝f[f(x)]＋1有4个零点，则实数k 的取值X 围是________．答案：k≥1e解析：令t ＝f (x)，则f (t)＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝－1，t ＝f （x ）.关于x 有4个解，又t ＝f (x)示意图如图．f(t)＝－1有两解：t 2＜－1，t 1＝1e，而f(x)＝t(k≥0)，当t 2＜－1时，由图象可知方程f(x)＝t 肯定有两解；当t 1＝1e 时，由题意知，方程f(x)＝1e 在x∈R 上必须有两解，由图象知k≥1e.9. 关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，某某数m 的取值X 围． 解：设f(x)＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，∵ f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，即22＋(m －1)×2＋1＜0， ∴ m<－32.②若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋（m －1）×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m≥3或m≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32，∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值X 围为(－∞，－1]． 10. 当m 为何值时，f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4 (1) 有且仅有一个零点； (2) 有两个零点且均比－1大．解：(1) 若函数f(x)＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2) 设两零点分别为x 1、x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2，则 x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4， 故只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4（3m ＋4）＞0，（x 1＋1）＋（x 2＋1）＞0，（x 1＋1）（x 2＋1）＞0⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，－2m ＋2＞0，3m ＋4＋（－2m ）＋1＞0⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1或m ＞4，m ＜1，m ＞－5－5<m<－1. 故m 的取值X 围是(－5，－1)．11. 已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋(b －a)x(b≠2a 且ab≠0)．(1) 求证：函数f(x)的导函数f′(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13内有唯一零点；(2) 试就a 、b 的不同取值情况，讨论函数f(x)的零点个数．。
2015届高考数学总复习 第二章 第一节函数及其表示课时精练试题 文(含解析)
第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1.函数f (x )＝log 3x的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f (f (－1))＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：B3．(2012·柳州检测) 已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1答案：B4．(2013·济宁模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a等于( )A.12B.45 C ．2 D ． 9解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.故选C.答案：C5. (2013·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ＞3，2x －3＋1，x ≤3，满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D.32或1解析：当a ＞3时，log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，于是f (a －5)＝f (2)＝2－1＋1＝32.当a ≤3时，2a －3＋1＝3，得a ＝4，不符合条件．故选C.答案：C6．(2013·南京盐城三模)记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：因为函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，所以A ＝{x |x ≤3}；因为函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，所以B ＝{x |x ＞1}．所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤3}． 答案：(1,3]7则f (f (2))＝．答案：1 1或38．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝__________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－tan π4＝f (－1)＝2(－1)3＝－2.答案：－29．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解析：(1)由流程图可知，当x ≥1时，y ＝y 21＝(x ＋2)2；当x ＜1时，y ＝y 2＋2＝x 2＋2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11，f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)．若x <1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍去)或x ＝－14.综上所述，x ＝2或x ＝－14.10．(2013·珠海模拟)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2.∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].。
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.7 函数的图像课时作业 理(含解析)新人教A版
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.7 函数的图像课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．函数y＝的图象大致是( )解析：当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.答案：B2．(2013·北京卷)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝( )A．e x＋1 B．e x－1 C．e－x＋1 D．e－x－1解析：与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.答案：D3．(2013·山东泰安高三期中)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，则“同形”函数是( )A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)解析：因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”的定义可知选A.答案：A4．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)函数y＝的图象大致是( )解析：y＝的图象可以看作是由函数y＝的图象向左平移1个单位而得到的，函数y＝的图象关于原点对称，所以y＝的图象关于点(－1,0)对称，排除A、B，而当x＝9时，y＝>0，排除C，选择D.答案：D5．已知函数f(x)＝e|ln x|－|x－|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为( )解析：当x>1时，f(x)＝x－x＋＝；若x∈(0，＋∞)，x＋1∈(1，＋∞)，f(x＋1)＝.结合函数图象可知选A.答案：A6．(2014·四川成都石室中学一诊)设函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，若直线y＝k(x＋1)(k>0)与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则k的取值范围是( )A. B. C. D.解析：作出x≥0时f(x)的图象，当x<0时f(x)的周期为1.如图所示，而y＝k(x＋1)恒过点(－1,0)．由图象可以看出过点A(2,1)，B(3,1)时为k的界点值，而过点A时，不适合k＝，过点B时，适合k＝，选D.答案：D二、填空题7．函数f(x)＝图象的对称中心为________．解析：f(x)＝＝1＋，把函数y＝的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图象．由y＝的对称中心为(0,0)，可得平移后的f(x)图象的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)8．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，则得∴y＝x＋1.当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.答案：f(x)＝9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，现将y＝g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得图象是由两条线段组成的折线如图，则函数f(x)的表达式为________________________．解析：设所得图象对应函数为h(x)，则h(x)＝∴g(x)＝∴f(x)＝答案：f(x)＝三、解答题10．利用函数图象讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．解：设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．11．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，∵H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，∴H(t)>H(0)＝0，因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．12．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上，∴2－y＝－x＋＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.(2)由题意g(x)＝x＋，且g(x)＝x＋≥6，x∈(0,2]．∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1.令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，故a的取值范围为[7，＋∞)．[热点预测]13．(1)(2013·泉州高中质检)函数f(x)＝sin 2x＋e ln|x|的图象的大致形状是( )(2)(2013·重庆市高三九校联合诊断考试)规定记号“□”表示一种运算，即：a□b＝a2＋2ab－b2，设函数f(x)＝x□2.且关于x的方程为f(x)＝lg|x＋2|(x≠－2)恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值是( )A．－4 B．4 C．8 D．－8解析：(1)函数f(x)＝sin 2x＋e ln|x|＝sin 2x＋|x|是非奇非偶函数，所以排除A、C，当x∈时sin 2x>0，x>0，∴f(x)>0，所以选B，不选D.(2)由题意可得f(x)＝x2＋4x－4为二次函数，其图象关于x＝－2对称，令g(x)＝lg|x＋2|此图象也关于x＝－2对称，方程f(x)＝lg|x＋2|的四个互不相等的根，分别为函数f(x)与函数g(x)图象的四个交点的横坐标，不妨设x1<x2<x3<x4则x2＋x3＝－4，x1＋x4＝－4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8，故选D.答案：(1)B (2)D 。
全国高考数学备考二轮专题二 函数与导数 第5讲 函数的综合应用(八省新高考)解析版
第5讲 函数的综合应用考点1 函数与方程例 1.(1)已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(1,)-+∞ C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】设00x >，则00x -<，()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称， 则0020xa x -+=在()0,∞+上有解，即002xa x =+在()0,∞+上有解，由002xy x =+在()0,∞+上的值域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围是(1,)+∞．故选:D ．(2)已知函数()()22log ,2log 4,2x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()y f x k =-有两个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞ C ．()2,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由函数2log y x =与()2log 4y x =-的图象关于直线2x =对称， 可得()f x 的图象如图所示，所以当1k >时，直线y k =与函数()y f x =的图象有两个交点．故选:D ． 【点睛】解决函数零点(方程有根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 【跟踪演练】1.(1)对于函数()y f x =与()y g x =，若存在0x ，使()()00f x g x =-，则称()()00,M x f x ，0(,N x -()0)g x -是函数()f x 与()g x 图象的一对“隐对称点”．已知函数()()1f x m x =+，()ln xg x x=，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．(),1-∞- C ．()()0,11,+∞D ．()(),11,0-∞--【答案】A【解析】由题意函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点， 令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当()0,x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减； 又()1y m x =--恒过点()1,0，当1x >时，()0h x >， 在同一坐标系中作出函数()1y m x =--、()ln xh x x=的图象，如图，由图象可知，若函数()1y m x =--与ln xy x=的图象有两个交点，则0m >， 当直线()1y m x =--为函数ln xy x=图象的切线时，由()11h '=可得1m -=， ∴01m <-<即()1,0m ∈-．故选:A ．(2)已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ） A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞【答案】B【解析】若要使方程()0f x x a +-=即()f x x a =-+有且只有一个实数根， 则函数()y f x =的图象与直线y x a =-+有且仅有一个交点， 在同一坐标系中作出函数()y f x =及y x a =-+的图象，如图，数形结合可得，若函数()y f x =的图象与直线y x a =-+有且仅有一个交点， 则1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞．故选:B ．考点2 函数性质的综合例2.(1)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f x f x +=-，且()2,0x ∈-时，()()2log 31f x x =-+，则()2021f =（ ）A ．4B ．2log 7C ．2D ．-2【答案】D【解析】因为()()22f x f x +=-，所以函数()f x 是周期为4的周期函数， 则(2021)(50541)f f f =⨯+=（1）22(1)log (31)log 42f =--=-+=-=-，故选:D ．(2)已知函数()13xbf x a a=--（0a >且1a ≠）是奇函数，且(1)2f =． ①求,a b 的值及()f x 的定义域；②设函数()()2g x kf x =-有零点，求常数k 的取值范围； ③若2(2)(3)0f t f t ++->，求t 的取值范围． 【答案】①3a =，6b =-， ()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞；②(2,0)(0,2)-；③(2,1)(1,2)--⋃.【解析】①由(1)2f = 得12ba =-又()f x 是奇函数， (1)(1)2f f ∴-=-=- 即233aba=-,注意到0a > 解得3a =，6b =- 2()131x f x =+- ,由310x -≠ 得0x ≠∴()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞②3,6a b ==-，∴31()()2231x x g x kf x k +=-=--()g x ∴有零点，即关于x 的方程312031x x k +-=-有实数解 ∴2(31)31x x k -=+ (0)x ≠有实数解 2(31)423131x x x-=-++ ， 311x +>且312x +≠ ∴2(31)2231x x --<<+且2(31)031xx -≠+ ∴k 的取值范围是(2,0)(0,2)-③先证明函数2()131x f x =+-在(0,)+∞上单调递减 设0m n >>，则331m n >>31310m n ∴->->223131m n ∴<--，22113131m n+<+--即()()f m f n <∴函数2()131xf x =+-在(0,)+∞上单调递减 由2(2)(3||)0f t f t ++->得2(2)(3||)f t f t +>-- 又()f x 是奇函数2(2)(3||)f t f t ∴+> 223||t t ∴+< ∴1||2t <<所以t 的取值范围是(2,1)(1,2)--⋃【点睛】本题考查了奇函数的性质和单调性的应用以及函数的零点，考查了利用函数的单调性解不等式. 【跟踪演练】2.(1)设()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，已知当02x <<时，1()21x f x -=+，则(2022)(2023)f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】根据题意，()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，则()()f x f x -=-，且(0)0f =；又由(1)(1)f x f x -=+即有(2)()f x f x +=-，则(2)()f x f x +=-，进而得到(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 为周期为4的函数， 则(2022)(24505)(2)f f f =+⨯=(0)0f =-=，(2023)(12024)(1)(1)f f f f =-+=-=-，当02x <<时，1()21x f x -=+，则f （1）11212-=+=，则(2023)(1)f f =-2=-，故(2022)(2023)0(2)2f f +=+-=-，故选:B ．(2)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()00f =，当0x <时，()f x 单调递增．若实数a 满足()13a f f -+⎛> ⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．31,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．42,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．42,,33⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由题意可知()f x 为偶函数，且在(),0-∞上单调递增，所以()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()f x 的图象越靠近y 轴对应的函数值越大，因为()13a f f -+⎛> ⎝⎭，所以13a -+<，所以11233a -+-<， 所以112a -+<-，所以112a +>，所以31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选:B ． 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式的解集,常见利用函数性质求解抽象不等式的方法：（1）根据奇偶性分析出函数在对称区间上的单调性；（2）将关于函数值的不等式中的自变量通过奇偶性转变到同一单调区间内； （3）通过单调性得到自变量的大小关系，由此求解出不等式的解集．考点3 函数的极值与极值点个数例3.(1)已知函数()f x 的导函数()()()1f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．()2,+∞C ．()0,1D ．(),3-∞-【答案】A【解析】由()f x 在x a =处取得极大值可知，当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<，其等价于①存在(),,b x b a ∀∈，使得(1)()0a x x a +->， 且②存在(),,c x a c ∀∈，使得(1)()0a x x a +-<；若0a >时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，不满足②即不存在(,)x a c ∈，使得(1)()0a x x a +-<，故0a >时()f x 在x a =不是极大值；若10a -<<时，(1)()0a x x a +->的解集为(1,)a -，(1)()0a x x a +-<的解集为(,1)(,)a -∞-⋃+∞，满足①②，故10a -<<时，()f x 在x a =处取得极大值；若1a =-，(1)()a x x a +-恒小于等于0，不满足①，故1a =-时，()f x 在x a =取不到极大值；若1a <-时，(1)()0a x x a +->的解集为(,1)a -，不满足②，故1a <-时，()f x 在x a =处取不到极大值.综上，a 的取值范围是()1,0-.故选：A.【点睛】本题考查了利用导数极值求参数取值范围,其中求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数 指数函数、对数函数及幂函数(1)(含答案)
第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数(1)1. 化简 3b a ·3a 23b (a>0，b>0)＝________． 答案：63ab2. 已知3a ＝2，3b ＝15，则32a －b ＝________． 答案：20 解析：32a －b ＝32a 3b ＝415＝20. 3. 比较log 25与log 58的大小为________．答案：log 25>log 58 解析：log 25>log 24＝2，log 58<log 525＝2.4. ⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫338－23＋15＋2－9－45＝________． 答案：19185. 设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512用a 、b 可表示为________．答案：2a ＋b 1－a解析：log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2. 6. 已知函数f(x)＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，则f(2 014)＝________．答案：0解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12 014＝－alog 22 014－blog 32 014＋2，f(2 014)＝alog 22 014＋blog 32 014＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f(2 014)＝4.由于f ⎝⎛⎭⎫12 014＝4，所以f(2 014)＝0.7. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤2，f （x －1），x>2，则f(2＋log 32)＝________． 答案：6解析：因为2<2＋log 32<3，所以f(2＋log 32)＝f(1＋log 32)＝31＋log 32＝3·3log 32＝3×2＝6.8. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，则x y＝________． 答案：1＋ 2解析：由已知得 lg ⎝⎛⎭⎫x －y 22＝lg(xy)，故⎝⎛⎭⎫x －y 22＝xy ，即 x 2－6xy ＋y 2＝0，所以⎝⎛⎭⎫x y 2－6x y＋1＝0，所以x y ＝3±2 2.因x －y 2>0及x 、y ＞0，故x ＞y ＞0，即x y ＞1，从而x y ＝3＋22，x y＝1＋ 2.9. 计算：(1) lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2) (log 23＋log 89)(log 34＋log 38＋log 272)．解：(1) 原式＝2lg5＋lg2·(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2(1＋lg5＋lg2)＝2lg5＋2lg2＝2.(2) 原式＝⎝⎛⎭⎫log 23＋23log 23(2log 32＋3log 32＋13log 32)＝⎝⎛⎭⎫53log 23·⎝⎛⎭⎫163log 23＝809. 10. 已知a ＞1，且a ＋a －1＝3，求下列各式的值．(1) a 12－a －12； (2) a －a －1；(3) ⎝⎛⎭⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）a 4－a －4. 解：(1) ⎝⎛⎭⎫a 12－a －122＝a ＋a －1－2＝1. ∵ a ＞1，∴ a 12－a －12＝1. (2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2＝7，∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2－2＝5.∵ a ＞1，∴ a －a －1＝ 5. (3) ⎝⎛⎭⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）a 4－a －4＝⎝⎛⎭⎫a 12－a －12（a 2＋a －2－4）（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2）＝1×（7－4）7×3×5＝535. 11. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2的最小值．解：因为x>1，y>1，所以log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .所以2t －1t＋3＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，所以y ＝x.所以T ＝x 2－4y 2＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，由于x>1，所以当x ＝2，y ＝2时，T 的最小值是－4.。
高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.7函数的图象习题课件文
解析 因f(x)＝－f(x＋1)，故f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x) 是周期为2的周期函数，画出函数y＝f(x)，x∈[0,1]的图 象，再借助函数满足的条件f(x)＝－f(x＋1)及周期性，画出 函数y＝f(x)的图象如图，易知仅当直线y＝kx位于l1与l2之间
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们的图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交 点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4， x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2.故选 D.
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10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点
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9．(2018·郑州模拟)函数y＝
1 1－x
的图象与函数y＝
2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
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解析 图象法求解．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝1－1 x与y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象，y＝x－－11的对称中心 是(1,0)，也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，当－2≤x≤4它
C.0，12
D．(0，＋∞)
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解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x) 的图象上，且关于坐标原点对称．
可作出函数y＝－ln (－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ ln x(x>0)的图象，
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使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可． 当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为 (m，ln m)， 又y＝ln x的导数为y′＝1x， 则km－1＝ln m，k＝m1 ，解得m＝1，k＝1， 可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜 率为1，结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交 点．故选B.
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第二章 函数与导数第5课时 函数的图象
1. 函数f(x)＝2x ＋1
x －1
图象的对称中心的坐标是________．
答案：(1，2)
解析：f(x)＝2＋3
x －1
.
2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0，1]上恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是________．
答案：(0，2)
解析：由题意，只需⎩
⎪⎨⎪⎧f （0）>0，
f （1）>0，即可．
3. 设函数y ＝f(x)是定义在R 上，则函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线________对称．
答案：x ＝1
解析：由y ＝f(1－x)＝f[－(x －1)]，知y ＝f(1－x)的图象是由y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得，而函数y ＝f(x －1)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移1个单位而得，函数y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，所以函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称．
4. 函数f(x)＝|x 2－ax ＋a|(a>0)的单调递增区间是________．
答案：⎣⎡⎦⎤－a 2，0和⎣⎡⎭
⎫a
2，＋∞ 5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________． 答案：(－1，0)
6. 任取x 1、x 2∈(a ，b)，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>1
2[f(x 1)＋f(x 2)]，则称f(x)是(a ，b)上的凸函数．在下列图象中，是凸函数图象的是________．(填序号)
答案：④
7. 已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1，1]时 f(x)＝x 2，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有________个．
答案：10
解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：
可验证当x ＝10时，y ＝|lg10|＝1；当0<x<10时，|lgx|<1；x>10时，|lgx|>1.
因此结合图象及数据特点y ＝f(x)与y ＝|lgx|的图象交点共有10个．
8. 已知a ＞0，且a ≠1，f(x)＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f(x)＜1
2
，则实数a 的取
值范围是________．
答案：⎣⎡⎭⎫
12，1∪(1，2]
解析：由题知，当x ∈(－1，1)时，f(x)＝x 2－a x ＜12，即x 2－1
2
＜a x .在同一坐标系中分别
作出二次函数y ＝x 2－1
2
，指数函数y ＝a x 的图象，如图，当x ∈(－1，1)时，要使指数函数
的图象均在二次函数图象的上方，只需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是1
2
≤a ＜1或1
＜a ≤2.
9. 作出下列函数的图象，并根据图象说出函数的单调区间． (1) y ＝|3x －1|；
(2) y ＝|x －2|(x ＋1)．
解：(1) y ＝|3x －1|＝⎩
⎪⎨⎪
⎧3x －1，x ≥0，1－3x
，x<0，图象如下，其单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)．
(2) 由y ＝|x －2|(x ＋1)＝
⎩⎪⎨
⎪⎧－⎝⎛⎭⎫x －122
＋94
，x<2，⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，
图象如下，其单调增区间是⎝
⎛⎭⎫－∞，1
2和(2，＋∞)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫
12，2.
10. 已知定理：“若a 、b 为常数，g(x)满足g(a ＋x)＋g(a －x)＝2b ，则函数y ＝g(x)的图
象关于点(a ，b)中心对称”．已知函数f(x)＝－1＋1
a －x
.
(1) 试证明函数f(x)的图象关于点(a ，－1)中心对称；
(2) 当x ∈[a －2，a －1]时，求证：f(x)∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，0.
证明：(1) ∵ f(a ＋x)＋f(a －x)＝⎣⎡⎦⎤－1＋1a －（a ＋x ）＋⎣⎡⎦
⎤－1＋1
a －（a －x ）＝－2，
∴ 函数f(x)的图象关于点(a ，－1)中心对称．
(2) 由f(x)＝－1＋1a －x ＝－1－1
x －a
，知f(x)在(－∞，a)和(a ，＋∞)上均为增函数，∴ f(x)
在[a －2，a －1]上单调递增，从而f(x)∈[f(a －2)，f(a －1)]，即f(x)∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，0. 11. 已知a 、b 是实数，函数f(x)＝ax ＋b|x －1|(x ∈R )．
(1) 若a 、b ∈(－2，2)，且函数f(x)在(0，＋∞)内存在最大值，试在平面直角坐标系xOy 内，求出动点(a ，b)运动区域的面积；
(2) 若b>0，且关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有2个，试求a
b
的取值范围．
解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －b ）x ＋b ，x ≤1，（a ＋b ）x －b ，x>1，结合f(x)的图象知，f(x)在(0，＋∞)内存在最大值
的充要条件是⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ≥0，
a ＋
b ≤0，且两个等号不同时成立．当a 、b ∈(－2，2)时，点(a ，b)运动区域
的面积为4.
(2) f(x)<0b|x －1|<－ax ，即|x －1|<－a
b
x.在同一坐标系内作出函数p(x)＝|x －1|和q(x)
＝－a b x 的图象，由图可知，－23≤a b <－12
.。