通信原理作业解

通信原理作业解20110331第1章 绪论1-1 设英文字母E 出现的概率E P =0.105，X 出现的概率为X P ＝0.002，试求E 和X 的信息量各为多少？解： 0.105E P =22log log 0.105 3.25bit E E I P =-=-= 0.002X P =22log log 0.0028.97bit X X I P =-=-=1-2 某信源的符号集由A 、B 、C 、D 、E 、F 组成，设每个符号独立出现，其概率分别为1/4、1/4、1/16、1/8、1/16、1/4，试求该信息源输出符号的平均信息量I 。

解： 1/4,1/4,1/16,1/8,1/16,1/4;A B C D E F P P P P P P ======222222log 1log 1/log 1/log 1/log 1/log 1/111111log 4log 4log16log8log16log 44416816432bit /8A AB BC CD DE EF F I P P P P P P P P P P P P =+++++=+++++=符号1-3 设一数字传输系统传送二进制信号，码元速率R B2=2400B ，试求该系统的信息速率R b2=？若该系统改为传送十六进制信号，码元速率不变，则此时的系统信息速率为多少？ 解：由题 B22400B R =（1）二进制时 b2B2=2400bps R R =（2）16进制时 b16B16=424009600bps R kR =⨯=l-8 在强干扰环境下，某电台在5分钟内共接收到正确信息量为355Mb ，假定系统信息速率为1200kb/s 。

（l ）试问系统误信率eb P =？（2）若具体指出系统所传数字信号为四进制信号，eb P 值是否改变？为什么？（3）若假定信号为四进制信号，系统传输速率为1200kB ，5分钟内共接收到正确信息量为710 Mb ，则eb P ＝？ 解：1200kbps b R =⑴()362312001056035510 1.3910120010560ebP -⨯⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯⨯⑵ 因为eb P 仅由信息量决定，所以当系统所传输的数字信号为四进制时，eb P 值不变。

⑶41200kB B R =424log 42400Kbps b B R R =⋅=则：()3688238240010560710107.2107.110 1.39102400105607.210ebP -⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯===⨯⨯⨯⨯⨯第2章 随机信号与噪声2-1 已知随机变量 x 的概率密度函数为1,()20,a x af x a⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他 试求其均值和方差。

解： 11()[]()d d d 022aaaa a t E x xf x x xx x x a a∞-∞--=====⎰⎰⎰ 222232()[][()]()d 01111d 2233aa t D x E x a t x f x x a x x x a a a a σ∞-∞-==-=-==⋅=-⎰⎰2-3 某随机过程0()()cos X t t ηεω=+，其中η和ε是具有均值为0、方差为222ηεσσ==的互不相关的随机变量，试求：（1）()X t 的均值()X a t 。

（2）()X t 的自相关函数12(,)X R t t 。

（3）()X t 是否平稳？解：（1）00()[()][()cos ][()]cos 0X a t E X t E t E t ηεωηεω==+=+=（2）1212010220102220120122201201201200(,)[()()][()cos ()cos ][()]cos cos 1[2][cos ()cos ()]21[0][cos ()cos ()]21[220][cos ()cos ]2cos (2X R t t E X t X t E t t E t t E t t t t t t t t t t ηεηεωηεωηεωωηεηεωωσσωωωωτω==++=+=++⋅++-=++⋅++-=++⋅++=120)2cos ]t t ωτ++（3）()X t 非平稳2-4已知()X t 和()Y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为X a 和Y a ，自相关函数分别为()X R τ和()Y R τ。

试求：（1） ()()()Z t X t Y t =•的自相关函数。

（2）()()()Z t X t Y t =+的自相关函数。

解：（1）之积,[()()][()()()()][()()][()()]()()Z X Y R t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R ττττττττ=+=•++=+•+=（）（2）之和,[()()]{[()()][()()]}{()()()()()()()()},()()()2()Z X Y X X Y Y X X Y Y R t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t X t Y t Y t X t Y t Y t R a a a a R R a a R ττττττττττττ=+=+•+++=+++++++=+++=++平稳、独）立（2-8 已知随机过程011()cos()X t A A t ωθ=++，式中，01A A 、是常数；θ是在（0，2π）上均匀分布的随机变量。

（1）求()X t 的自相关函数。

（2）求()X t 的平均功率、直流功率、交流功率、功率谱密度。

解：（1）121201110112200121111221112011220201211221112(,)[()()]{[cos()][cos()]}[cos c (os()cos(){cos ()2]cos ()}2cos ,2)cos()]00X R t t E X t X t E A A t A A t E A A A A t t A E t t t t t A A t A A A t t ωθωωθωθωθωθωθωττωθ==++++=+++++=+++=+=+++--++ （2）平均功率 2210(0)2X A R A =+直流功率 直接由X (t )的直流分量A 0获得20A =。

或1212121212011101122000()lim (,)lim [()()][()][()][cos()][cos()]}X t t t t R R t t E X t X t E X t E X t E A A t E A A t A A A ωθωθ-→∞-→∞∞====++•++=•=交流功率 21(0)()2X A R R -∞=。

或直接由X (t )的交分量11cos()A t ωθ+获得。

功率谱222110111()cos ()2()[()()]22X A A R A P τωτωπδωπδωωδωω=+⇔=+++-2-9 设随机过程1020()cos -sin Y t X t X t ωω=，若1X 与2X 是彼此独立且均值为0、方差为2σ的高斯随机变量，试求：（1）[()]E Y t 、2[()]E Y t 。

（2）()Y t 的一维概率密度函数()f y 。

解：（1）10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E Y t E X t X t t E X t E X ωωωω=-=•-•=22222102012002222010********00111212[()][cos sin 2cos sin ]cos []sin []2cos sin cos sin 0[][]0[][]E Y t E X t X t X X t t t E X t E X t t t t E E X X E X X E X X ωωωωωωωωωσωσσ=+-=•+•-•=•+•-=其中： ＝＝（2）由：高斯变量的线性组合仍为高斯变量。

得：22())2yf yσ=-2-13 已知线性系统的输出为()()()Y t X t a X t a=+--，这里输入()X t是平稳过程，a为常数。

试求：（1）Y(t)的自相关函数。

（2）Y(t)的功率谱密度。

解：（1）1212112212121212 (,)[()()]{[()()][()()]}{()()()()()()()()}()(2)(2)()2()(2)(2)YX X X XX X XR t t E Y t Y t E X t a X t a X t a X t aE X t a X t a X t a X t a X t a X t a X t a X t aR R a R a RR R a R aτττττττ==+--+--=++-+---++--=-+--+=-+--（2）22222()[2()(2)(2)]2()()()()[2]()[22cos2]4()sinY X X Xj a j aX X Xj a j aX XXP F R R a R aP P e P eP e e P aP aωωωωωτττωωωωωωωω----=-+--=--=--=-=第3章信道与噪声3-2 设某恒参信道的传递函数d t jeKHωω-=)(，K和dt都是常数。

试确定信号)(t s通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论信号有无失真。

解：0()d j tH k eωω-=()()dh t k t tδ∴=-输出信号为：00()()()()()()o d ds t s t h t s t k t t k s t tδ=*=*-=-可见，该恒参信道满足无失真条件，对信号的任何频率分量的衰减倍数及延迟相同，故信号在传输过程中无失真。

幅--频，相--频（群时延）？3-3 某恒参信道的传输函数为[]()1cos d j tH T eωωω-=+其中，T和dt为常数，试确定信号)(t s通过该信道后的输出信号表示式，并讨论有无失真。

解：此系统的传输函数为[]0001()1cos 2d d dj t j t j T j T j t H T e e e e e ωωωωωωω----⎡⎤=+⋅=++⎣⎦ 幅频特性为：0()1cos H T ωω=+， 相频特性为：()d t ϕωω=-冲激响应为：00()()0.5()0.5()d d d h t t t t t T t t T δδδ=-+-++--输出信号为：00()()()()0.5()0.5()d d d y t s t h t s t t s t t T s t t T =*=-+-++-- 可见，该信道幅频特性随ω发生变化，产生幅频失真；而信道相频特性是ω的线性函数，所以不会发生相频失真。