高等量子力学-第一章__希尔伯特空间

第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，
可以把它们写成一个一列矩阵：
l1
l
l2
l3 l4
加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1
l
m
l2
l3 l4
m2 m3 m4
l1
l
l2
l3 l4
(l, m)
l1* m1
l
* 2
m2
l
* 3
m3
l
* 4
m4
这是一个复数域上的内积空间。
如果 多 少，即 m n ，那么把全部 顶掉后，还有一些 没
有用到，这就是说，中的一部分就是完全集，也与 是完全集
相矛盾。所以 m n 也是不可能的。 于是我们证明了只有一个可能，即m=n.
因此，每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所含矢量的 数目是相同的，这个数目称为矢量空间的维数。
在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。
加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢
量 和 ，总有一个确定的矢量 与之对应，记成
加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：
条件（1）
（交换律）
条件（2） ( ) ( )
iai
i
的形式，其中ai 是一组复数。
如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1, 2 ,...n ，
但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量
命名为 n1 ，加入这个矢量集。这时 1, 2 ,...n , n1，肯定是
线性无关的，如仍不完全，还可以用同样的方法使这矢量集扩 大，直到成为完全集为止。如果能做到这一点，这个矢量空间 称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。
下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 （1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。
证明： 设在空间中有1 和2 ，对所有矢量 都满足 1 , 2
取第一式的 为2 ，第二式中的 为1 ，分别得 2 1 2 ,1 2 1
于是，根据条件（1），
2 2 1 1 2 1 即1 2 ，只有唯一的零矢量。
n ，集合
1，1, 2 ,...i1, i1,..., n （1.4）
仍将是线性无关的。
1，1, 2 ,...i1, i1,..., n
（1.4）
这个集合必然是完全的。因为空间中任意矢量既然可以
表为{1,..., i ,...n} 的线性叠加，而 i 又能表为 1，1,...i1
的叠加。这矢量就一定能表为集合（1.4）式的线性叠加。
矢量 i 是线性无关的。
对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在 无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的， 则整个集合就是线性无关的。
完全集 一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性
无关的矢量集合 i ，这个空间中的每个矢量都能表为完
全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成
1，1, 2 ,...n ，这个集合必然是线性相关的。这是因为 是
完全集， 1 肯定能表为 i 的线性叠加。
现在依次考虑{1},{1, 1},{1, 1, 2},…，每次增加一个 。
开始它们是线性无关的，必然有一个数 i(1 i n )，在加入 i 之 后集合开始成为线性相关。
这时把 i 去掉，加入 i1 使集合成为
至此我们证明了在完全集中加入一个 1 ，必能顶掉某一
个 而仍保持为完全集。而且只能顶掉一个，不能再多。现在我 们在这个完全集（1.4）式中加入一个 2 又顶掉某一个 。
如果 少 多，即 m n ，则把全部 用完后，仍有 未
被顶掉。这就是说，要加上一些 才是完全集 ，与是
完全集相矛盾。所以 m n 是不可能的。
们说这两个矢量正交。 矢量同它自己的内积（，）是一个大于零的实数，
称为矢量 的模方，记作 （，） 2
模方的正平方根称为模，记作 ，又可称为矢量 的长度。
模等于 1 的矢量称为归一化的矢量。
下面我们证明两个与模有关的基本关系。
Schwartz不等式：对于任意矢量 和 有
（，）
（1.1）
证明： 给定 和 后，构造一个矢量 ，
下面，讨论几个矢量空间的例子。
第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零，规 定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所 有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积 为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢 量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数， 这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。
如果内积定义为：
(l,
m)
l1*
m12
l2*
m
23l
* 3
m34
l 4*
m4
空间是否仍然是一个内积空间？
第四个例子 数学对象为在 a x b 区间定义的实变
量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可
积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法
第一章 希尔伯特空间
本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。
主要内容： §1 矢量空间
§2 算符
§3 本征矢量和本征值 §4 表象理论
§5 矢量空间的直和与直积
§1 矢量空间
主要内容： §1-1 定义 §1-2 正交性和模 §1-3 基矢 §1-4 子空间 §1-5 右矢和左矢
) 2 2 Re( ,) 2 2 2 ( ,) 2 2 2 2
2 2
于是得
§1-3 基矢
1. 线性无关
矢量空间中有限个（n 个）矢量的集合 i ，若下式
n
i ai 0
i 1
(1.3)
只有当全部复数 ai (i 1,2,3,..., n) 都为零时才成立，则这 n 个
2、基矢
正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组，或一组 基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。
n 维空间的一组基矢{1, 2 ,..., n} 的正交归一性质可以写为
i , j ij ， i, j = 1,2,…,n （1.5）
Schmidt 正交化方法： 一个矢量空间，只要知道它的一个 完全集总可以找到一组基矢。
空间的完全性的意义为空间中任何在 Cauchy 意义下 收敛的序 列 {1, 2, 3,...} 的极限也 必须在本 空间中。 Cauchy 意义下收敛的意思是：
对给定任意小的实数 0 ，有数 N 存在，当 m,n>N 时，有 （ m n , m n）
在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。
值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间
之外。例如取以下序列：
s0
1, s1
1
1 1!
,
s2
1 1 1!
1 ,..., 2!
sn
n i0
1 si !
这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当n 的极限是
e=2.7182818…,这是一个无理数，不在有理数空间中。
第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引 出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中 位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘 中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘 以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的 内积空间。
（6）如果 ，那么 0 或者 证明： 0 时上式显然成立；当 0 时，必有 1 1/ 存 在。我们计算 ( ) 1 ，一方面根据（5），
( ) 1 1
另一方面根据条件（6）和（5），有
( ) 1 ( 1)Байду номын сангаас1
二式结合，证明了当 0 时，
（7） ( ,) *( ,) （8） ( , ) ( , ) (, ) （9） ( ,) 0
定理： 在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是 相同的。
证明：
设 一 矢 量 空 间 中 有 两 组 不 同 的 完 全 集 1, 2 ,...n 和
1，2，..., m ，前者有 n 个，后者有 m 个。
如 果 把 1 加 入 到 完 全 集 {} 中 去 ， 成 为 一 个 集 合
内积 两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规则，
按一定次序任取两个矢量 与 ，总有一个数 c 与之相对应，记作
( ,) c
在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是
实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足 下列四个条件：
条件（9）： ( ,) (, )*
（ c* 表示 c 的复共轭）
1，1, 2 ,...i1, i1
这个集合必然是线性无关的。否则，i1 必能表为 1 , 2 ,..., i1
和 1 的线性叠加，而 1 又能表为 1, 2 ,..., i 线性叠加的，这
就等于说 i1 与 1, 2 ,..., i 线性相关，与 是完全集相矛盾。
根据同样理由，在集合中进一步加入 i2 , i3 …，一直加到
设 n 维空间有一组不满足正交归一条件的完全集
1, 2 ,..., n ，现在由此去求这个空间的一组基矢{1, 2 ,..., n} 。
(1) 首先取 1 为归一化的 1 ：
1
1 1
（2）
取
' 2
2
（2）每个矢量的逆元是唯一的。
证明： 若 1,2 都是 的逆元，即
1 , 2
于是
1 1 1 ( 2 ) (1 ) 2 ( 1) 2 2 2
证明了1 2 ，即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据
条件（3），第三步根据条件（1）。
（3） 0
（4） (1) （5）
条件（10）：（ , ）=（ , ）+ ( , ) （分配律）
条件（11）： , ,
( ,) * ( ,)
条件（12）： ( , ) 0 对任意 成立；若 ( , ) 0，则必有
具有加法与数乘两种运算并满足条件（1）~（8）的集 合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运 算的空间称为内积空间，而完全的内积空间称为希尔伯特空 间。在本章中，矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。
§1-1 矢量空间的定义
我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。
同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。
我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合 ,, ,...，
和一个数 a，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
a a
称为 与 的乘积。数乘要满足下列四个条件：
条件（5）：1
条件（6）： ( a)b (ab) （结合律）
条件（7）： (a b) a b （第一分配律）
条件（8）： ( )a a a
（第二分配律）
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
（，） 2
作 的模方，它一定大于或等于零： ( ,) * ( ,)
0 （，）(2 （(，,)）（,，(）,（ ) ，)）*（，）（，）（* ，
2
2 2 2
2 2
0 （，）0（ 2 2 ，（12（），，）（2）（，22，）（）（，，22））*（（，，）2 ）（*（，，）2（*）（2，，）（）2（，*2，））（
和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数 f (x) 和 g(x)
的内积为
f (x), g(x) b f * (x)g(x)dx a
这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是
b f * (x) f (x)dx a
§1-2 正交性和模 如果两个矢量 和 的内积为零，即（，） 0 ，我
（结合律）
条件（3）集合中有零矢量 存在，对任意矢量 满足
（加法单位元存在）
条件（4）对集合中任意矢量 ，都有矢量 存在，满足
（加法逆元存在）
我们把满足条件（4）的 记为
同时把 ( ) 记为
数乘 集合内任意一矢量可以与数（实数或复数）相乘，
得出集合内另一矢量。即规定一种数乘规则，使任意矢量
2
1 （ 2
，2 ）12 2（，）2
由于 2 0 ，所以有 （，）2 2 2
即 （，）
三角形不等式：对于任意 和 ，有
（1.2）
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取 的模方，利
用此关系和 Schwartz 不等式，有 ( , ) 2 22R(e(,,) ) (,2 ) 2 2 2 ( ,) 2 2 2