2012年中考数学复习方案(苏科版)第7课时 一元二次方程及其应用

│ 一元二次方程及其应用
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考点1 一元二次方程的概念及一般形式
一 个未知数，并且未知数最高 1．一元二次方程：只含有 ____ 2 次数是 ________ 的整式方程． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2．一般形式：______________________.
3． 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边的值相等 的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根． [注意 ] 在一元二次方程的一般形式中要注意强调 a≠0.
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例 4 [2011· 南京] 解方程：x2－4x＋1＝0.
解：方法一：移项，得 x2－4x＝－1. 配方，得 x2－4x＋4＝－1＋4， 即(x－2)2＝3， 由此可得 x－2＝± 3， 所以 x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3. 方法二：a＝1，b＝－4，c＝1. 因为 b2－4ac＝(－4)2－4×1× 1＝12>0， 4± 12 所以 x＝ ＝2± 3. 2 x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
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例 6 [2011· 江津] 已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－ 2x ＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 ( C ) A． a<2 B．a>2 C． a<2 且 a≠ 1 D．a<－2
[解析] 一元二次方程有两个不相等实数根的条件是 2 Δ＝－ 2 － 4 a－ 1× 1>0， 解得 a<2 且 a≠1，故选择 C. a － 1 ≠ 0.
[解析] 方法一 公式法： ∵a＝ 1， b＝－4， c＝－7， － b± b2－4ac 4± 42＋28 ∴a＝ ＝ ＝2± 11. 2a 2 即 a1＝2＋ 11，a2＝2－ 11. 方法二 配方法： 移项，得：a2－4a＝7， 方程两边同时加上 4，得 a2－4a＋4＝11， 即(a－2)2＝11， ∴a－2＝± 11， 即 a1＝2＋ 11，a2＝2－ 11.
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► 类型之三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况 2．求一元二次方程字母系数的取值范围
例 5 [2011· 娄底] 如果方程 x2＋2x＋a＝0 有两个相等的实数 1 根，则实数 a 的值为________ ．
[解析] Δ＝b2－4ac＝0，即 4－4a＝0，a＝1.
答案是 x1＝0，x2＝1.
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例 2 [2011· 济宁 ] 已知关于 x 的方程 x2＋bx＋a＝0 有一个根是 － a(a≠ 0)，则 a－ b 的值为 A．－ 1 B． 0 C． 1 D． 2 ( A )
[解析] 把 x＝－a 代入 x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋ a＝0，得 a2－ab＋a＝0，即 a－b＋1＝0，即 a－b＝－1，故选择 A.
考点3 一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的根的判别式 为 b2－ 4ac.也把它记作 Δ＝ b2－ 4ac. (1)b2－ 4ac>0⇔ 方程有 ____________ 两个不相等 的实数根； 两个相等 的实数根； (2)b2－ 4ac＝ 0⇔方程有 ____________ 没有 实数根； (3)b2－ 4ac<0⇔ 方程 ________ (4)b2－ 4ac≥ 0⇔方程有实数根．
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[注意 ] 列一元二次方程解应用题时应注意： (1)认真审题，看应用题是涉及什么问题，基本数量关系是 什么． (2)善于从不同的类型问题中找出各量之间的等量关系，列 出方程． (3)注意抓住题中的一些表达相等关系的语句来列方程． (4)必须对方程的解加以检验，看看它是否有实际意义．
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考点2 一元二次方程的四种解法
1． 直接开平方法： 它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx ＋d)2 形式的方程． 2．因式分解法：它是最常用的方法．主要运用提公因式法、 平方差公式、完全平方公式进行因式分解． 3．公式法： 它是一种“万能”的公式，一定要先把方程整 理成一般形式．方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且 b2－4ac≥0 在因 式 分解 不能 奏效 时 ， 往往 用公 式法 ，使 用公式 法时 ， x1,2 ＝ －b± b2－4ac . 2a
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考点4 列一元二次方程解应用题
1．增长率中的等量关系 (1)增长率＝增量÷ 基础量． (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长 后的量，则 a(1＋m)n＝b，当 m 为平均下降率时 a(1－m)n＝b. 2．利率中的等量关系 (1)本息和＝本金＋利息． (2)利息＝本金×利率×期数． 3．利润中的等量关系 (1)毛利润＝售出价－进货价． (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用． (3)利润率＝利润÷ 进货价．
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► 类型之二
一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法 2．因式分解法 3．公式法 4．配方法
例 3 [2011· 绥化 ] 一元二次方程 a2 － 4a － 7＝ 0 的解为 a1＝2＋ 11，a2＝2－ 11 ． ____________________________
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► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念 2．一元二次方程的一般式 3．一元二次方程的解的概念
例 1 [2011· 嘉兴] 一元二次方程的 x(x－1)＝0 的解是( C ) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0 或 x＝1 D．x＝0 或 x＝－1 [解析] 原方程 x(x－1)＝0，∴x＝0 或 x－1＝0，故本题的
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4．配方法：这是一种重要的数学方法，也是一种“万 能”的方法，若没有特别的规定一般不用来解方程． 配方法解方程的步骤：化二次项系数为 1→把常数项 移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半 的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b 的形式→运用直接开平 方法解方程．
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