第七章 时变电磁场

D
反之亦然
② Maxwell 方程组
我们采用高斯定律，而将电流连续方程略去。 D H J t B E t D
B 0
B B 0 E 其中 可以由 导出 t
D H J t B E t J t
动电生磁
动磁生电
电流与电荷关系
★高斯定律与电流连续方程的等价性 ( D) 0 证明： 因为 ( H ) J t
所以对比 可知
J
0 t
离散
连续
F Q(E v B) f (E v B) E J B
②机械力问题
③微观领域问题
牛顿定律
量子力学
§7.3 正弦电磁场
时变电磁场随时间的变化规律可以有多种形式： 正弦波、方波、锯齿波、脉冲…… 按照付里叶理论 周期的函数可以展开为付里叶级数
微分形式
l
D H dl ( J ) ds s t
积分形式
3、位移电流密度 J d ①来源
D E P Jd 0 t t t
a. 电场随时间的变化率 b. 极化电介质的极化强度随时间的变化率 ②全电流密度
J
D t
对应的瞬时分量表达式为
H y ( x, y, z, t ) 120 cos{8 10 t [ ( x 2 y z ) ]} 3 4
8


二.
麦克斯韦方程的复数形式
D(t ) H (t ) J (t ) t
考察瞬时安培回路定律
利用复数表达式 得
解法1: 将电场表达式代入瞬时麦克斯韦方程组第2式，得 H (r , t ) 2 8 ˆ ˆ 0 [(2 x 3 y ) cos(2 10 t z )] t 3 2 4 2 ˆ 2 sin(2 108 t ˆ x z) y sin(2 108 t z)
第七章 时变电磁场
§7.1
位移电流和推广的安培回路定律
1、问题的提出
前面各章的总结：
D H J B E t J t
①高斯定理(库仑定律）
②安培回路定律（安培磁力定律） ③法拉第定律（电磁感应定律） ④电流连续方程（电荷守恒原理） ★考察①②在时变场中的适用性：
s


s
B ds 0
3、媒质本构方程（辅助方程） 仅由麦克斯韦方程组的四个基来自百度文库方程还无法求解出电磁场的
具体分布需要补充如下3个方程
D E
B μ H
J σ E
通过对上述方程的分析，麦克斯韦预言了时变的电磁场将以波 的形式按光速传播 1/ 0 0 c 。并在1888年，由物理学家赫 兹首次用实验验证了上述预言的正确性。
例7.1 试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明：①导线上的传导电流是 I Q t 假设电容器极板面积为S，电荷在极板 上均匀分布，则 Q s S
s 所以传导电流为 I S t ②由导体的边界条件知 D s D s J 则位移电流为 d t t s ③因此 Id Jd S S I t
H J Jd
为了得到 J d 的表达式，进一步假设 D 对时变场成立 D D Jd 由此可得 t t D 比较两边，得 Jd t
因此得到推广的安培回路定律： D H J t
它的各分量就是每个瞬时分量的复振幅。
★特别强调指出：
①复振幅和复矢量都只是场点坐标的函数或常量，因此在它们 的表达式中不应出现时间变量 t ； ②而瞬时场矢量或分量都是实数域内的函数，在它们的表达式 中不能出现复数的标记 j 。
例7.2 已知一电场的瞬时矢量为
ˆ120 cos[2 106 t (2 x 3 y z ) ] E ( x, y , z , t ) x 3 4 ˆ 240 sin[2 106 t z
f (t ) B0 [ An sin(n t ) Bn cos(n t )]
n 1
非周期函数可以展开为付里叶变换
1 f (t ) 2


F ( )e j t d
因此，不论对周期性或非周期性的时变电磁场，都可以通
过对正弦电磁场的数学变换来进行分析和求解。
一.
K
D
S2
I
S
S1
d
I
图7－1 接有电容器的电路
★位移电流作为传导电流的继续，从电极1 流到电极2
若作一闭合曲面S包围电极1，则：传导电流 I 流入闭合面为负值
位移电流 Id 流出闭合面为正值
闭合面S上总电流满足全电流连续性方程
§7.2 麦克斯韦方程组
1、微分形式 ①描述宏观电磁现象的基本方程组
正弦电磁场的复数表示法
基础：正弦电磁场的时间变量和空间坐标变量可以进行分离 约定：用余弦函数表示正弦点磁场 1、振幅
ˆE x ( r , t ) y ˆ E y (r , t ) z ˆE z (r , t ) E (r , t ) x ˆE0 x (r ) cos[ t x (r )] y ˆE0 y (r ) cos[ t y (r )] z ˆE0 z (r ) cos[ t z (r )] x
3、复矢量
利用复数的基本运算法则，电场表示为
ˆ Re( E x e j t ) y ˆ Re( E y e j t ) z ˆ Re( E z e j t ) E (r , t ) x
ˆE x y ˆE y z ˆE z )e j t ] Re[( x j t Re[ Ee ] 上式称为电场矢量 E(r , t ) 的复数表示法 ˆEx y ˆE y z ˆEz Ex 称为电场强度的复矢量
j x j t E E e E ( r , t ) Re[ E e ] 令 x ，则表达式更为简洁 0x x x
Ex 称为复振幅，一般是坐标变量的复函数，包含着振幅和初相信息
★为避免混淆
E ( r 复振幅写成 x ) 或 E x ( x, y, z) ，也可简写成 Ex 瞬时值写成 E x (r , t ) ，也可以简记为 E x (t ) 振幅写成 E 0 x (r ) ，也可简记为 E0 x


8 频率为 f 4 10 Hz ，写成对应的瞬时表达式。
解： 利用公式 j e
j

2
将所给表达式写成模值和辐角的形式

j[ ( x 2 y z ) ] 3 4
H y 120 e 2 e
j


120 e
j[ ( x 2 y z ) ] 3 4


j t j t j t H (t ) Re[ He ] J (t ) Re[ J e ] D(t ) Re[ De ] j t j t j t Re[ He ] Re[ Je ] ( Re[ De ] ) t
因为取实和微分可互换顺，则
因此，不要这个方程也不会影响基本方程组的正确性和完
备性，但增加该方程使基本方程组具有了对称性，为方程组 的求解提供了方便。
2、积分形式
D l H dl s (J t ) ds B l E dl s t ds D ds d

3
(2 x 3 y z )

6
]
写出它的复矢量。
解： 首先利用三角关系将电场顺势矢量的 z 分量写成余弦函数
ˆ120 cos[2 106 t (2x 3 y z) ] E( x, y, z, t ) x 3 4 6 ˆ z 240 cos[2 10 t (2x 3 y z) ] 3 3
对 H J 两边取散度，有
静态场结论 时变场结论
J 0
静态场成立
时变场不成立
0 t J t
2、推广的安培回路定律 麦克斯韦提出安培回路定律的修正 于是
J Jd H 0 J d J 即 若要满足 J ，必须 J d t t
所以复矢量表达式为
j[ ( 2 x ˆ120 e 3 E ( x, y, z ) x
3 y z ) ] 4

ˆ 240 e z
j[ ( 2 x 3 y z ) ] 3 3


例7.3 已知一磁场分量的复振幅为
H y j120 e
j[ ( x 2 y z ) ] 3 4
Re[( H )e j t ] Re[ Je ] [Re( De j t ) ] t j t Re[( J j D)e ] j t
因此可以得到安培回路定律的复数表示
H J j D
利用同样的方法，还可以得到
E jω B D B 0 D ε E B μ H J E
这组复矢量的方程组称为麦克斯韦方程组的复数形式， 或复麦克斯韦方程组。
★时域方法、频域方法 频域方法：首先求解复麦克斯韦方程组，得到所求的复矢后，
再利用瞬时矢量与复矢量的关系式得到瞬时场量。 时域方法：直接求解瞬时麦克斯韦方程组获得瞬时场量。
例7.4 假设真空中有一电场矢量为
2 ˆ 3y ˆ ) cos(2 108 t E (r , t ) (2 x z) 3 求磁场矢量 H (r , t )
③全电流连续性方程 D 对 H J 两边取散度，得 t D (J )0 t
积分形式为
D ( J ) d s =0 s t
全电流的无散性和连续性
4、推广的安培回路定律的物理意义 ①分布电流和时变的电场都是磁场的源 ②定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时 变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。 ③位移电流 D / t 与分布电流 J 有着本质的区别， D / t 的 存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。
jx
cosx j sinx ，则有
考虑 x 分量
E x (r , t ) Re[ E0 x e j ( t x ) ] E y (r , t ) Re[ E0 y e j ( t x ) ] E z (r , t ) Re[ E0 z e j ( t x ) ]
4、麦克斯韦方程组的限定形式 将本构方程各式代入麦克斯韦方程组的微分形式中，得 ( E ) H E t ( H ) E t ( E) ( H ) 0 5、麦克斯韦方程组的局限性 ①带电体的受力问题
、
例：将 P r 点的正弦电场写作
其中 E0 x (r ), E0 z (r ), E0 y (r )
振幅 初位相
x (r ), y ( r ), z ( r )
2 f
f
只与位置有关 单位：rad / s 单位：Hz 或 s-1
角频率 频率
2、复振幅 先求解空间变化，然后再考虑其时间因素，降低求解难度。 利用欧拉公式 e