大学物理3-3机械能守恒定律 能量守恒定律

E
弹 p1
1 2
kx02
如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且
以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统
初时的重力势能为
E
重 p1
mgh
守恒定律
系统在这初始位置的总机械能为
E1＝Ek
1＋E
弹 p1＋E
重 p1
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
mgh
在物体下降到最低位置时，物体的动能 Ek，2 系0统
T
x0
G
h
v0
守恒定律
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。
T
x0
G
h
0
v0
守恒定律
现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停止
的那个瞬时位置，物体的动能为
Ek1
1 2
mv
2 0
设这时钢丝绳的伸长量为x0，系统的弹性势能为
Tm
k ( x0
h)
k( mg k
m k
v0
)
mg
kmv0
由此式可见，如果v0较大，Tm 也较大。所 以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度 v0不得超过某一限值。
守恒定律
例题 3-6 用一弹簧将质量分别为m1和m2的上下两水 平木板连接如图所示，下板放在地面上。（1）如以 上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能 的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势 能。（2）对上板加多大的向下压力 F ，才能因突然 撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？
初态 末态
Ek1 0 Ek 2 0
x
E p1
1 2
kx12
Ep2
1 2
kx22
x0 x
F
x2
O
x1
守恒定律
根据能量守恒定律，应有
1 2
kx12
1 2
kx22
x1 x2
当 k (x2 x0 ) m2 g 时， 可提起 m2
由于 kx2=kx1=F, kx0=m1g
即 F k x2 k x0 m2g m1 m2 g
1 2
mv
2 0
0
由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长x0量满足
x0=G/k=mg/k，代入上式后得
1 2
kh2
1 2
mv02
即
m h k v0
也可以设起重机突然 停止的那个瞬时平衡 位置系统的总势能为 零！直接得左式。
守恒定律
物体在起重机突然刹车后因惯性而下降， 在最低位置时相应的伸长量x=x0+h是钢丝绳的 最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力
F
x2
O
x1
守恒定律
所以总势能为
E p＝E pe＋E pg
1 kx2 2
kx0 x
m1 gx
考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得kx0=m1g，代
入上式得
Ep
1 2
kx 2
可见，如选上板在弹簧上的平衡位置为原点和势
能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单一形式
出现。
守恒定律
（2）参看图(b)，以加力F 时为初态，撤去力F 而 弹簧伸长最大时为末态，则
定律 EKa EPa EKb EPb
或 E EK EP 常量
能量守恒定律
2. 能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统的 所有能量的总和是不变的，能量只能从一种 形式变化为另外一种形式，或从系统内一个 物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守 恒定律。
守恒定律
例题3-5 起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以 速度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时， 物体因惯性进行下降，问钢丝绳再有多少微小的伸长？ (设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计)。 这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？
也就是说 F （m1+m2)g 时，下板能被拉起 。
的弹性势能应为
E
弹 p2
1 2
k( x0
h)2
此时的重力势能
E
重 p2
0
所以在最低位置时，系统的总机械能为
E2＝Ek
2＋E
弹 p2＋E
重 p2
1 2
k( x0
h)2
守恒定律
按机械能守恒定律，应有E1＝E2，于是
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
mgh
1 2
k( x0
h)2
1 2
kh2
(kx0
mg )h
§3-3 机械能守恒定律 能量守恒定律
1. 机械能守恒定律
机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力 做功（常见），或者非保守内力与外力的总功为零， 则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械 能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
条件 Ae 0，Aid 0；或 Ae Aid 0
x
x0 x
F
x2
O
x1
守恒定律
解（1）参看图(a)，取上板的平衡位置为x 轴的原点，
并取为弹性势能、重力势能的参考点，设弹簧为原
长时上板处在x0位置。上板处在任意位置x处时，系
统的弹性势能
E pe
1 2
Leabharlann Baiduk( x
x0 )2
1 2
kx02
1 2
kx 2
kxx0
系统的重力势能
x E pg m1 gx
x0 x