2019重庆中考数学第25题专题训练二(含答案)

2019重庆中考数学第25题专题训练二

25．已知，我们把任意形如：t abcba =的五位自然数（其中c a b =+，19a ≤≤，08b ≤≤）称之为喜马

拉雅数，例如：在自然数32523中，325+=，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然

数n 整除的最大的喜马拉雅数记为()F n ，能被自然数n 整除的最小的喜马拉雅数记为()I n ． （1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除； （2）求()3+(8)F I 的值．

解析：（1）各数位数字之和2222()3()a b c b a a b c a b a b a b ++++=++=+++=+ ∵a b 、是整数 ∴a b +是整数 ∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除 （2）(3)90909F =,

()101011110321263139888

ab a b ba a b a b

a b +++==+-

∵喜马拉雅数能被8整除∴32a b +能被8整除

19,08,1933227a b a b a b ≤≤≤≤≤+≤∴≤+≤ ，，328,1624a b ∴+=或

可得：(8)21312I = ∴(3)(8)9090921312112221F I +=+=

25．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为()F k ．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记

(722)4F =．

(1)计算：(304)(2052)F F +；

(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(09,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，a 、

b 、

c 是整数)，规定：(,)a c

G m n b

-=

．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值．

.解：（1）1899

6280

8062)8062(=-=

F ……（1分）

设abcd n = ∴99

)

10101000(101001000)(b a d c d c b a n F +++-+++=d c b a --+=1010

∵d c b a 、、、是整数, ∴d c b a --+1010也为整数,即：结论成立.……（4分）

（2）设“平衡数”mnpq N = 由题可得：12,-=+=+n p q p n m

∴q p n m N +++=101001000 p n m 91011001++= 91191001-+=n m （5分）

∵N 能被11整除 ∴

119

910911191191001-+

+=-+n n m n m ∴11

9

9-n 为整数

又∵90≤≤n 且n 为整数 ∴1=n

∴112=-=n p ……（7分） ∴1101001+=m N ∵N 能被3整除 ∴

32

23633331101001++

+=+a m m ∴3

2

2+a 为整数

又∵91≤≤a ∴852或或=a

∴N=2112或5115或8118……（9分） ∵63)8118(,36)5115(,9)2112(===F F F ∴9)(的最小值为N F ……（10分）

阅读下列材料，解决问题：

一个能被17整除的自然数我们称“灵动数”，“灵动数”的特征是；若把一个整数的个位数字截去，在从余下的数中，减去个位数的倍，如果差是的整数倍（包括），则原数能被整除，如果差517017太大或心算不易看出是否是的倍数，就继续上述的17“截尾，倍大，相减，验差”的过程，直到能清楚判断为止．

例如：判断是不是1675282“灵动数”，判断过程：16752825167518-⨯=，167518516711-⨯=，

1671151666-⨯=，16665136-⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…65=30⨯，现在个位5=30>⨯剩下的13，就用大数减去小数，301317-=，是的倍，所以能被整除17171167528217，所以是1675282“灵动数”．

（）1请用上述方法判断和是否是72422098754“灵动数”，并说明理由；

（）已知一个四位整数可表示为227mn ，其中个位上的数字为n ，十位上的数字为m ，且m 、n 为整数，若这个数能被整除，请求出这个数51．

解：（1）5154-71,

71452-724=⨯=⨯ 51是17的3倍，7242∴是“灵动数”；

18

27-5927956-209,

209650-209620960

55-20985,20985554-209875=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯

18不能被17整除，2098754∴不是“灵动数”. （2）由题可知：2700+10m+n=5153+10m+n-3能被51整除

10m+n-3能被51整除

96

310390,90≤-+≤-∴≤≤≤≤n m n m

10m+n-3=0或51，即10m+n=3或54

⎩⎨⎧==⎩

⎨⎧==∴45

30n m n m 或 ∴这个数为2703或2754

25、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得

的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．

（1）判断266357 （能/不能）被13整除，证明任意一个多位自然数都满足上述规律； （2）一个自然数t 可以表示为2

2

q p t -=的形式，

（其中q p >且为正整数），这样的数叫做“佛 系数”，在t 的所有表示结果中，当q p -最小时，称2

2

q p -是t 的“佛系分解”，并规定

q p q p t F -+=

2)(．例如：2

2227-92-632==，267-9-<，则79729)32(-⨯+=F 223=．

已知一个五位自然数，末三位数4210800++=y m ，末三位以前的数为y x n ++=）（110

（其中81≤≤x ，91≤≤y 且为整数），n 为“佛系数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得

的新数能被13整除，求)(n F 的最大值． 解析：（1）能；…………………………………（1分）

设末三位数为B ，末三位以前的数为A ，则这个数为1000A+B.

)

1377(13131001)131000100013,13+=+=++=+∴+=∴=-A k A k A A B A k

A B k k A B （是整数

是整数

是整数1377,+∴A k A

所以：任意一个多位自然数都满足上述规律…………………………………（4分）

（2）当51≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、8、（4+y ）、2；

13

4

5336813

472991013)1(10824100+-+

++-=++-=

-+-++∴

y x y x y x y x y ）

（

13

4

53+-∴

y x 是整数

93

,85,32,243,5,2,48,7,2,113,0,1345323

4531851,81=∴⎩⎨

⎧==∴-=+-∴≤+-≤-∴≤≤≤≤n y x y x y x y x …………………………………（6分） 当96≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、9、（6-y ）、2；