高考文科数学一轮复习：正弦定理和余弦定理

.
2
答案 13
解析 在△ABC中,由2cos2 A B -cos 2C=1,
2
可得2cos2 A B -1-cos 2C=0,
2
则有cos 2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,
解得cos C= 12或cos C=-1(舍),
由正弦定理及4sin B=3sin A,得4b=3a,
解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B
=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),所以cos B= 1,又0°<B<180°,所以B=60°.
2
解法二:由余弦定理得2b· a2 c2 b2 =a· a2 b2 c2 +c·b2 c2 a2 ,即b·
C.无解 D.有解但解的个数不确定
答案 C 由正弦定理得 b = c ,
sin B sin C
∴sin B= bsicn C
=
40 3
2 20
= 3 >1.
∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
5 在△ABC中,cos C2 = 55 ,BC=1,AC=5,则AB=
(A)
A.4 2 B. 30
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. ( ✕ ) (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B. ( √ ) (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.( ✕ ) (4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC 为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,三角形ABC为钝角三角形. ( ✕ ) (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积. ( √ ) 答案 (1)✕ (2)√ (3)✕ (4)✕ (5)√
a
(3)已知两边及其夹角或已知三边可利用余弦定理求解.
(4)灵活利用式子的特点转化.如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式
两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
1-1 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,
则B=
.
答案 60°
2sin A.
①当cos A=0时,A= ;
2
②当sin B=2sin A时,根据正弦定理得b=2a,
由c2=b2+a2-2abcos C,结合c=2,C= ,得a2+b2-ab=4,
3
∴a= 2 3 ,b=4 3 ,∴b2=a2+c2,∴B= ,∴A= .
3
3
2
6
综上可得,A= 2或 6.
方法技巧
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:利用公式a= bssininBA,b= assininAB
,c= asin C
sin A
或其他相应变形公式求解
.
(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A= asibn B
,sin B= bsin A
a
,
sin C= csin A 或其他相应变形公式求解.
2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况
上表中,若A为锐角,则当a<bsin A时无解;若A为钝角或直角,则当a ≤b时无解.
3.三角形面积
设△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.
(1)S= 12ah(h为BC边上的高).
1
1
1
(2)S= 2absin C= 2 acsin B = 2bcsin A.
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以A=2B.
(2)由S= a2 得 1absin C= a2,故有sin Bsin C= 1sin 2B=sin Bcos B,因sin B≠
42
4
2
0,得sin C=cos B.
又B,C∈(0,π),所以C= ±B,
2
即B+C= 2或C-B= 2. 当B+C= 2时,A= 2; 当C-B= 2时,A= 4. 综上,A= 2或A= 4.
所以A= 2或B=A或B=π-A(舍去),所以△ABC定为等腰三角形或直角三角形.
◆探究2 (变条件)将本例中的“cos2 B= a c ”改为“ sin A =a ,(b+c+a)
2 2c
sin B c
(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.
解析 ∵ sin A =a ,∴ a= a,∴b=c.
2.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于 ( A ) A.2 3 B.12 C.2 7 D.28 答案 A 由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2 3 .
3.在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为 ( A )
A.a B.b C.c D. 1b
又a-b=1,所以a=4,b=3,
则c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,
则c= 13 .
与三角形面积有关的问题
典例3 (一题多解)在△ABC中,∠A=60°,c= 73a.
(1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积.
解析 (1)在△ABC中,∠A=60°,c= 3a,由正弦定理得sin C= csin A =3 × 3
14
14
4 3 . 7
所以△ABC的面积S= 1acsin B= 1×7×3× 4 3=6
2
2
7
.3
解法二:因为a=7,所以c= 3×7=3,由余弦定理得72=b2+32-2b×3× 1,解得b=8
源自文库
7
2
或B=-5(舍去).
所以△ABC的面积S= 1bcsin A= 1×8×3× 3=6 3.
sin B c b c
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
7
a 72
= 3 3 . 14
(2)解法一:因为a=7,所以c= 73×7=3<a.
又A=60°,所以C<60°.
又由(1)知sin C= 3143 ,
所以cos C= 1 sin2C =
1



33 14
2

13
= 14.
由A+B+C=180°可得B=180°-A-C,
所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin 60°× 13+cos 60°× 3 3 =
2ac
2ab
2bc
a2 c2 b2 =b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=1 ,又0°<B<180°,所以B=60°.
ac
2
1-2 (2018河南郑州模拟)在△ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c.
若2cos2 A B -cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为
知识拓展
1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;
变形: A 2 B
= - C .
22
2.三角形中的三角函数关系:
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin A B =cosC ;(4)cos A B =Csin .
2
2
22
3.三角形中的射影定理
2 2c
2
c
c
所以 a2 c2 b2 = a,所以c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形.无法判断是
2ac
c
不是等腰三角形,故选B.
◆探究1 (变条件)将本例中“cos2 B= a c”改为“c-acos B=(2a
2 2c
-b)cos A”,试判断△ABC的形状.
解析 因为c-acos B=(2a-b)cos A, 所以由正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin B·cos A, 又因为C=π-(A+B), 所以sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 所以cos A(sin B-sin A)=0,所以cos A=0或sin B=sin A,
(1)求边长a;
(2)求AB边上的高CD的长.
解析 (1)由题意得b=a+2,c=a+4,
由cos C= a2 b2 c2 得cos 120°= a2 (a 2)2 (a 4)2
,
2ab
2a(a 2)
即a2-a-6=0,∴a=3或a=-2(舍去),∴a=3.
(2)解法一:由(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面积公式得 1absin∠ACB= 1c
.
答案 2 3
解析 ∵ 2 3 = 4 ,∴sin B=1,∴B=90°, sin 60 sin B
∴AB=2,∴S△ABC= 12×2×2 3=2 3 .
考点突破
利用正、余弦定理解三角形
命题方向一 求边长
典例1 在△ABC中,内角A,B,C的对边a,b,c成公差
为2的等差数列,C=120°.
即AB边上的高CD= 15 3 . 14
命题方向二 求角
典例2 已知a,b,c分别是△ABC的
内角A,B,C所对的边,且c=2,C= 3,若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,则A=
.
答案 或
26
解析 在△ABC中,由sin C+sin(B-A)=2sin 2A可得sin(A+B)+sin(B-A)= 2sin 2A,即sin Acos B+cos Asin B+cos Asin B-sin Acos B=4sin Acos A, ∴cos Asin B=2sin Acos A,即cos A(sin B-2sin A)=0,即cos A=0或sin B=
2
答案
A
bcos C+ccos B=b· a2 b2 c2
+c· a2 c2 b2
a2 b2 c2
=
+
2ab
2ac
2a
a2 c2 b2 = 2a2 =a.
2a
2a
4.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C )
A.有一解 B.有两解
高考文科数学一轮复习
正弦定理和余弦定理
教 1.正弦定理和余弦定理 材 2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况 研 读 3.三角形面积
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考 点 考点二 与三角形面积有关的问题 突 考点三 判断三角形的形状 破
考点四 求解几何计算问题
教材研读
1.正弦定理和余弦定理
(2)若△ABC的面积S= a 2 ,求角A的大小.
4
解析 (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,
2
2
2
方法技巧
1.对于面积公式S= 12absin C= 12acsin B= 12bcsin A,一般是已知哪一个角就
使用哪一个公式.
2.与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转 化.
2-1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;
判断三角形的形状
典例4 在△ABC中,cos2 B= a c (a,b,c分别为角A,B,
2 2c
C的对边),则△ABC的形状为 ( B ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B
解析 因为cos2 B= a c ,所以2cos2 B-1= a c -1,所以cos B=a ,
C. 29
D.2 5
答案 A 本题考查半角公式和余弦定理.
∵cos C=2cos2 C-1=2× 1-1=- 3,BC=1,AC=5,
2
55
∴AB= BC2 AC2 2BC AC cosC
=
1

25

2
1
5



3 5

2 =4 .故选A.
6.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 3 ,则△ABC的面积等于
2
2
×CD,∴CD= absin ACB
=
35
3
2 = 15
3 ,即AB边上的高CD= 15 3 .
c
7
14
14
解法二:由(1)知a=3,b=5,c=7,
由正弦定理得 3 = 7 = 7 ,则sin A= 3 3 ,
sin A sin ACB sin120
14
在Rt△ACD中,CD=ACsin A=5× 3 3= 15 3, 14 14