考点25 数列求和及综合应用
高中数学专题-数列-数列的求和综合应用-高考文科数学复习
二、错位相减求前n项和
12
三、裂项相消求前n项和
13
三、裂项相消求前n项和
14
三、裂项相消求前n项和
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三、裂项相消求前n项和
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三、裂项相消求前n项和
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三、裂项相消求前n项和
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三、裂项相消求前n项和
19
四、分组求前n项和
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四、分组求前n项和
21
四、分组求前n项和
22
数列（求和）
主讲教师：XXX 2018年n项和
3
一、公式法求前n项和
4
一、公式法求前n项和
5
一、公式法求前n项和
6
一、公式法求前n项和
7
一、公式法求前n项和
a a1 0 8
二、错位相减求前n项和
9
二、错位相减求前n项和
10
二、错位相减求前n项和
五、倒序相加求前n项和
23
五、倒序相加求前n项和
24
六、数列综合
25
六、数列综合
26
六、数列综合
27
六、数列综合
28
六、数列综合
29
六、数列综合
30
六、数列综合
31
高考数学《数列求和及综合应用》复习
C. 2019
2020
√D. 2020 2021
由
a1
1 2
，an1
1 2 an
，得 a2
1 2 a1
2 3
，a3
3 4
，归纳可得
an
n
n
1
.当
n
1
时，a1
1 2
满足
an
n.
n 1
假设当 n k 时满足，即 ak
k
k 1
，当
n
k
1 时，
ak 1
1 2 ak
1 2 k
k 1 ，满足该式，故
an
SS1n,
n
1 Sn1, n
2, n N
只有 a1 S1 ，满足 n 2 的情形，通项公式才可以统一写成 an Sn . Sn1
1.已知数列an
满足
a1
1 2
，
an1
2
1 an
n N*
，则 a1
a2 22
a3 32
a2020 的值是(
20202
)
A. 2018
2019
B. 1009
3.以等差（比）数列为命题背景，考查等差（比）的前n项和公式、 分组求和 4.以递推数列、等差（比）数列为命题背景， 考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
考点解读
5.等差（比）数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 6.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、 不等式的性质等
2.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 2n1 2 ，
则数列
log
2
an
1 log2
an1
数列求和及其综合应用
数列求和及其综合应用【考点整合】数列求和常用方法：(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．①111)1(1+-=+=n n n n a n [一般11(1)(1kn n k k n n a n +-=+=]②1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+③nn nn a n -+=++=111④)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 1．分组转化法求和典例1．求和：112＋2122＋3123＋…＋【解析】112＋2122＋3123＋…(1＋2＋3＋…＋n )＋122＋123＋…＝n (n ＋1)2＋21－12＝n (n ＋1)2＋1－12n ．变式．已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1，a 2，a 3－2成等差数列，得2a 2＝a 1＋a 3－2，即4q ＝2＋2q 2－2，解得q ＝2(q ＝0舍去)，则a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *．(2)b n ＝1a n ＋2log 2a n －1＝12n ＋2log 22n －1＝12n ＋2n －1，则数列{b n }的前n 项和S n ＋14＋…(1＋3＋…＋2n －1)＝21－12＋12n (1＋2n －1)＝1－12n ＋n 2．2．裂项相消法求和典例2．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，②①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1．(2)n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1．变式．在数列{a n }中，已知a 1＝1＋，且2211222n n n n a a a a ++--+=，n ∈N *．(1)记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，证明数列{b n }是等差数列；(2)设{b n }的前n 项和为S n ，证明123111134n S S S S +++⋯+<．【解析】证明：(1)2211222n n n n a a a a ++--+=，因为b n ＋1－b n ＝221122n n n n a a a a ++--+＝2，所以数列{b n }是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)得S n ＝(24)2n n +＝n (n ＋2)，所以11111(2)22n n n n n S ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以121111111111112322422n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111311131221242124n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+< ⎪ ⎪⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．3．错位相减法求和典例3．(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．解(1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3，即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2．所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2．故{a n }的公比为－2．(2)记S n 为{na n }的前n 项和．由(1)及题设可得a n ＝(－2)n －1，所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ·(－2)n －1，－2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n ·(－2)n ．所以3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ·(－2)n ＝1－(－2)n3－n ·(－2)n ．所以S n ＝19－(3n ＋1)(－2)n9．变式．(2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ．公差不等于0的等差数列{b n }满足________，的前n 项和S n ．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n －1．选①②时，设数列{b n }的公差为d 1．因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ)．因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ)．由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33．所以b n a n ＝5n －33n ．所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1．上面两式相减，得23S n ＝23＋＋133＋…＋－5n －33n ＋1＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1．所以S n ＝94－10n ＋94×3n．选②③时，设数列{b n }的公差为d 2．因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3．因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2．因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n ．所以bn a n ＝n 3n －1．所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n 3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ．上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n3n－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ．所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1．选①③时，设数列{b n }的公差为d 3．因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1．又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3．因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在．故不合题意．【基础检测】1．(2020·聊城模拟)数列1,6,15,28,45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为()A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】B2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2020等于()A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】∵a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，……，故数列{a n }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S 2020＝336×0＋a 2017＋a 2018＋a 2019＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3．故选A ．3．数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝()A ．9998B ．2C ．9950D ．99100【答案】C【解析】对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝…＝2＝9950．4．已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当时，不成立，当时，，两式相除得，解得：，即，，，，两式相减得到：，所以，故选D ．5．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝________．【答案】99【解析】a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，故前n 项和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S k ＝k ＋1－1＝9，解得k ＝99．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ＋1，则a 1＝________，a n ＝________．【答案】－1－3n－1【解析】令n ＝1，则2S 1＝3a 1＋1，又S 1＝a 1，所以a 1＝－1．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(3a n －3a n －1)，整理得a n ＝3a n －1，即a n a n －1＝3(n ≥2)．因此，{a n }是首项为－1，公比为3的等比数列．故a n ＝－3n －1．7．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________，数10项和为________．【答案】n ＋1253【解析】因为a n ＋1a n ＝n ＋2n ＋1，所以a 2a 1＝32，a 3a 2＝43，a 4a 3＝54，…，a n a n －1＝n ＋1n (n ≥2)，把它们左右两边分别相乘，得a n ＝n ＋12(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a n ＝n ＋12(n ∈N *)．所以1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝10项和为4－13＋13－14＋ (111)4＝53．8．已知数列{}n a 满足11a =,()*124nn na a n N a +=∈-．（1）证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列;（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【解析】（1） ()*124n n n a a n N a +=∈-，∴1412122n n n n a a a a +-==-，则12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠，∴21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知1212n na --=，∴121211222n n n a --+==+，故其前n 项和为:()11121221222nn n n n S ---=+=+-．∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为:1122n n --+．9．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．①求数列{a n }与{b n }的通项公式；②记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．解①由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2．当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ．整理得b n ＋1n ＋1＝b nn，又b 22＝b 11，所以b n ＝n (n ∈N *)．②由①知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1．故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．10．已知数列{a n }满足a n ≠0，a 1＝13，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ∈N +．(1)求证：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a 1是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解】(1)由已知可得，1a n ＋1－1a n ＝2，3，公差为2的等差数列，∴1a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，∴a n ＝12n ＋1．(2)由(1)知b n ＝(2n ＋1)2n ，∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)2n －1＋(2n ＋1)2n ……①2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1……②①－②得，－T n ＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1＝6＋8－2×2n ×21－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)2n ＋1，∴T n ＝2＋(2n －1)2n ＋1．【提高训练】11．设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，a n ，S n ，a 2n 成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝（ln x ）n a 2n ，若对任意的实数x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)和任意正整数n ，总有T n <r (r ∈N *)，则r 的最小值为________．解析由题意得，2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ≥2时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是公差为1的等差数列，又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)．又x ∈(1，e]，∴0<ln x ≤1，∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝1…2－1n <2，∴r ≥2，即r 的最小值为2．答案212．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则a 5＝________，b 10＝________．答案464解析因为a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，所以a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两个根，根据根与系数的关系，可得a n ·a n ＋1＝2n ，a n ＋a n ＋1＝b n ，由a n ·a n ＋1＝2n ，可得a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，两式相除可得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成公比为2的等比数列，a 2，a 4，a 6，…成公比为2的等比数列，又由a 1＝1，得a 2＝2，所以a 5＝1×22＝4，a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，所以b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0，且a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1＋S n )，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．解(1)由a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0及a n >0，得－2×a n ＋1a n －3＝0，解得a n ＋1a n ＝3或a n ＋1a n＝－1(舍)，所以{a n }是等比数列，且公比q ＝3，又a 1＝2，所以a n ＝2·3n －1，n ∈N *．(2)因为S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，所以b n ＝log 3(1＋S n )＝n ，则a n b n ＝2n ·3n －1，所以T n ＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋(2n －2)·3n －2＋2n ·3n －1，①所以3T n ＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋(2n －2)·3n －1＋2n ·3n ，②①－②，得(1－3)T n ＝2＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2·3n －1－2n ·3n＝2(1－3n )1－3－2n ·3n ＝(1－2n )·3n －1，所以T n n ＋12．。
高考数学 数列求和、数列的综合
并ꎬ例如:
{
１){ ａ ｎ ＋ｂ ｎ } ꎬ其中
２)ａ ｎ ＝
{
{ ａ ｎ } 是等差数列ꎬ
{ ｂ ｎ } 是等比数列ꎻ
ｆ( ｎ) ꎬｎ ＝ ２ｋ － １ꎬｋ∈Ｎ ꎬ
∗
ｇ( ｎ) ꎬｎ ＝ ２ｋꎬｋ∈Ｎ .
∗
6.并项求和法
形如 ａ ｎ ＝ ( － １) ｎ ｎꎬａ ｎ ＝ ( － １) ｎ ｎ２ 等ꎬ在求和过程
(１) 求数列{ ａ ｎ } 的通项公式ꎻ
(２) 记 Ｔ ｎ ＝ ２ａ１ ＋ ３ａ２ ＋ ＋( ｎ ＋ １) ａ ｎ ꎬ求 Ｔ ｎ .
解析 (１) 设等比数列{ ａ ｎ } 的公比为 ｑꎬ依题
意ꎬ知 ４ａ２ ＝ ４ａ１ ＋ａ３ ꎬ则 ４ａ１ ｑ ＝ ４ａ１ ＋ａ１ ｑ ꎬ
２
∴ ｑ２ － ４ｑ ＋ ４ ＝ ０ꎬ( ｑ － ２) ２ ＝ ０ꎬｑ ＝ ２ꎬ
5
年
高
考
3
年
模
拟
和系数之积与原通项相等.
{
ìïａ１ ＝ ８ꎬ
ï
或í １ 因
ïｑ ＝ ꎬ
ï
２
î
ａ１ ＝ ２ꎬ
ｑ ＝ ２ꎬ
所以数列
(２) 证明:由(１) 知 ａ ｎ ＝ ２ ｎ ꎬ则 ｂ ｎ ＝ ( ｎ ＋ １) ｌｏｇ２ ａ ｎ
＝ ( ｎ ＋ １) ｌｏｇ２ ２ ｎ ＝ ｎ( ｎ ＋ １) ꎬ
因此
１
１
６
２
２
２
２
é ｎ( ｎ ＋ １) ù
ú .
úû
２
ë
１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＋ ＋ｎ３ ＝ êê
２
2.倒序相加法
数列求和与数列的综合应用
数列求和与数列的综合应用知识点一数列求和的几种常用方法1．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5．并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．1．判断正误(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝较为合理．(√)(2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(√)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．(√) 2．(2019·益阳、湘潭二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(B)A. B.C. D.解析：由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn ＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B.3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝(n－1)2n＋1＋2.解析：∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.知识点二数列的综合应用1．等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．2．数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．4．(2019·武汉市调研考试)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝100.解析：令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，……an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，分别令n＝12，n＝22，得解得a1＝，a2＝100.1．对于等差、等比数列的综合问题，要先分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项，求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．2．数列与函数的综合问题主要有以下两类：一是已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；二是已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．在解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．3．数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理．考向一分组求和法【例1】(1)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是()A．13B．76C．46D．－76【解析】(1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n ＋1＋n2－2.(2)因为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝(1－5)＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.【答案】(1)C(2)D分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．(1)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－n，则其前20项和为(C)A．379＋ B．399＋C．419＋ D．439＋(2)若数列{an}是22＋222＋22＋23，…，2＋22＋23＋…＋2n，…，则数列{an}的前n项和Sn ＝2n＋2－4－2n.解析：(1)令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋a3＋...＋a20＝2(1＋2＋3＋ (20)－＝420－＝419＋.(2)an＝2＋22＋23＋ (2)＝＝2n＋1－2，所以Sn＝(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－(2＋2＋2＋…＋2)＝－2n＝2n＋2－4－2n.考向二错位相减法求和【例2】(2018·浙江卷)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.(1)求q的值；(2)求数列{bn}的通项公式．【解】(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8.由a3＋a5＝20得8(q＋)＝20，解得q＝2或q＝，因为q>1，所以q＝2.(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.由cn＝解得cn＝4n－1.由(1)可知an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)·()n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)·()n－2，n≥2，bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·()n－2＋(4n－9)·()n－3＋…＋7·＋3.设Tn＝3＋7·＋11·()2＋…＋(4n－5)·()n－2，n≥2，①Tn＝3·＋7·()2＋…＋(4n－9)·()n－2＋(4n－5)·()n－1，②所以①－②得Tn＝3＋4·＋4·()2＋…＋4·()n－2－(4n－5)·()n－1，因此Tn＝14－(4n＋3)·()n－2，n≥2，又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·()n－2.用错位相减法求和的三个注意事项：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，所以解得q＝2，所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n ＋1－8.得Tn＝×4n＋1＋.所以，数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.考向三裂项相消法求和【例3】(2019·福州市模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an.(1)证明：数列{bn}是等比数列；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn.【解】(1)证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an，所以＝＝＝＝2，又b1＝a2－a1＝2－1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝1×2n－1＝2n－1，因为cn＝，所以cn＝＝(－)，所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝＝.Tn＝＝<＝.。
数列的综合应用总结
数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。
数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。
二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。
2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。
3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。
三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。
下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。
1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。
比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。
2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。
比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。
3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。
比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。
四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。
年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版)
所以
fn
′
(2＝)
1＋
2
×2＋
…
＋
(n－
n
1)2
－2＋
n·2n
－1
，①
则 2fn′ (2＝) 2＋2×22＋ … ＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，② 由①－②得，－ fn′ (2＝) 1＋ 2＋ 22＋ … ＋2n－1－ n·2n
n
＝ 1－ 2 － n·2n＝(1 －n)2n－ 1， 1－ 2
n
22
1
(2)[ 证明 ]
因为 fn(0) ＝－ 1＜ 0，fn 2 3
3
＝
1
3 2
n
2
－ 1＝ 1－2× 2
2
≥１－ 2×
＞
3
3
3
2 0，所以 fn(x) 在 0, 内至少存在一个零点，又
3
f′n (x)＝ 1＋ 2x＋… ＋ nxn－1＞ 0，所以 fn(x)在
0, 2 内单调递增，因此 f n(x)在 0, 2 内有且仅有一个零点
【解析】
n， n为偶数， (1) ∵数列 { bn} 的通项公式 bn＝
(n∈N * )，∴ b5＝ 6， b4＝ 4，
n＋ 1，n为奇数
设各项为正数的等比数列 { an} 的公比为 q，q>0 ， ∵ S3＝ b5＋ 1＝7，∴ a1＋ a1q＋a1q2＝7，① ∵ b4 是 a2 和 a4 的等比中项，
an＝ f(n＋ 1)－ f(n)的形式，然
后通过累加抵消中间若干项的求和方法．
形如 c (其中 { an} 是各项均不为 0 的等差数列， anan 1
c 为常数 )的数列等．
(3)错位相减法：形如 { an·bn}( 其中 { an} 为等差数列， { bn} 为等比数列 )的数列求和，一般 分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．
§6.4 数列求和、数列的综合应用
－ ｎ ＋１ ｋ
ꎻ
( ) (
３)
(
１ ２ｎ－ １) (
２ｎ＋
１)
＝
１ ２
１－１ ２ｎ－１ ２ｎ＋１
ꎻ
(４) １ ＝ ｎ＋１ － ｎ ꎻ ｎ ＋ ｎ＋１
[ ] (
５)
ｎ(
ｎ＋
１ １) (
ｎ＋２)
＝
１ ２
ｎ(
１ ｎ＋
１)
－ (
１ ｎ＋ １) (
ｎ＋
Hale Waihona Puke ２)ꎻ(６)
(２ｎ
２ｎ －１) (２ｎ＋１
－１)
＝
１ ２ｎ －
ｎ( ｎ＋ １)
２
.
２
考点二 数列的综合应用
高频考点
数列的实际应用 ( １) 数列应用题的常见模型 ①等差模型:当增加( 或减少) 的量是一个固定量时ꎬ该模型
是等差模型ꎬ增加( 或减少) 的量就是公差. ②等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数
时ꎬ该模型是等比模型ꎬ这个固定的数就是公比. ③递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关
(２０１７ 天津ꎬ１８ꎬ１３ 分) 已知{ ａｎ } 为等差数列ꎬ前 ｎ 项 和为 Ｓｎ( ｎ∈Ｎ∗ ) ꎬ{ ｂｎ } 是首项为 ２ 的等比数列ꎬ且公比大于 ０ꎬｂ２ ＋ｂ３ ＝ １２ꎬｂ３ ＝ ａ４ －２ａ１ ꎬＳ１１ ＝ １１ｂ４ .
( １) 求{ ａｎ } 和{ ｂｎ } 的通项公式ꎻ (２) 求数列{ ａ２ｎ ｂ２ｎ－１ } 的前 ｎ 项和( ｎ∈Ｎ∗ ) .
６ ８
§ ６.４ 数列求和、数列的综合应用
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数列求和与数列的综合应用
数列求和与数列的综合应用 一、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
1、已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和T 2n .2、已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和S n .二、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1②1n(n+2)=12(1n−1n +2) ③1(2n −1)(2n+1)=12(12n−1−12n +1)④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 3、设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .（1）求{}n a 的通项公式；n .4、已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。
5、已知 a n 是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3（1）求数列 a n 通项公式；（2） b n 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列 b na n 的前n 项和T n .6、已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列2{}n n a b 的前n 项和T n *()n ∈N .四、分奇数、偶数求和（课后作业）7、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且(1)证明：23n n a a +=；(2)求n S8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a 1=2,a n +1+a n =2n −1（1） 求数列{}n a 的通项公式（2） 求n S。
数列求和、数列的综合应用(讲解部分)
+…+tan
θn<
5 3
的最大整数n的值为
.
解析
由题意可得An
n,n
1 2
n
+
n
1 +
1
,∵O为坐标原点,∴
OAn
=
n,n
1 2
n
+
n
1 +
1
,∵向量
OAn
与向量i=(1,0)的夹角为θn,∴cos
θn=
n
.
n2 +
∴sin ∴tan
n
θn=
θn=
1 n 2
n2 1 2
-1
W9 =1×
10
+29×
10
19+03×2
+190…3+n·
两式相减得
110W=-n·
9 10
n+1+
9+
10
9 10
2+
9 10
3+…+
9 10
n-1=-n·
9 10
n+
1-
9 10
n
1- 9
10
=-n·
9 10
n
+10-10·
9 10
n
,
则W=-10n·
9 10
n+100-100·
题,弄清该数列的特征以及要求什么;
(3)求解——求出该问题的数学解;
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
2.数列应用题常见模型
(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定值,那么该模型是等差模
数列数列求和数列的综合应用课件
量子力学
数列在量子力学中用于描述微 观粒子的波函数和能量级。
数列在计算机科学中的应用
数据结构
数列是计算机科学中常见的数 据结构之一，用于存储有序的
元素集合。
算法设计
数列在算法设计中用于实现排 序、搜索和图算法等。
加密技术
数列在加密技术中用于生成加 密密钥和实现加密算法。
积的数列。
02
数列的求和
数列求和的定义
数列求和是对数列中所有项进行加法运算的过程。
数列求和是数学中一个重要的概念，它是对数列中所有项进行加法运算的过程。 通过数列求和，我们可以得到数列的和，从而了解数列的整体性质和特点。
等差数列的求和
等差数列是一种常见的数列，其求和 方法有多种。
等差数列是一种常见的数列，其特点 是每项与前一项的差是一个常数。等 差数列的求和方法有多种，其中最常 用的是利用等差数列的通项公式和项 数进行计算。
等比数列的应用实例解析
总结词
等比数列在金融、经济、生物等领域中有着 广泛的应用，如复利计算、人口增长等。
详细描述
等比数列是一种常见的数列，其相邻两项之 间的比是一个常数。在金融和经济领域中， 很多问题需要用到等比数列的知识，例如复 利计算、股票价格等。通过等比数列的应用 ，我们可以更好地理解这些问题的本质，从 而更好地进行决策。
本质，从而更好地进行预测和建模。
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等比数列的求和
等比数列是一种常见的数列，其求和方法有多种。
等比数列是一种常见的数列，其特点是每项与前一项的比值是一个常数。等比数列的求和方法有多种，其中最常用的是利用 等比数列的通项公式和项数进行计算。
幂数列的求和
数列求和及综合应用
专题：数列第二讲 数列求和及综合应用必记公式：（自学整理）1．分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．例如：n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 可直接求和2．裂项相消法：把数列的通项拆成两个代数式子的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常用的裂项公式：(1)1n （n ＋1）＝________________；____________________)(1=+k n n (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝________________；(3)1n ＋n ＋1＝________________； 3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法求和；例如：n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列。
失分警示：1.公比为字母的等比数列求和时，注意公比是否为1的分类讨论。
2.错位相减法求和时易漏掉减数式的最后一项。
3.裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项。
4.裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性。
热点考向：考点一：数列求和问题 题型一：分组转化求和 例1:数列}{n a 的通项公式为12+-=n a n n ，求数列}{n a 的的前n 项和S n .题型二：错位相减法求和例2:【2016高考山东】已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .题型三：裂项相消法求和例3：【2016高考山东】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有n n a S 2-16=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a b 21log = 求11111122221-++-+-=n n b b b T考点二：数列与不等式的综合（选做）例3.【2016广州模拟】（利用单调性证明不等式）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知，21=a 对任意*N n ∈都有n n a S )1(n 2+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)2(4n n a a 的前n 项和为nT ，求证：121<≤n T高考随堂演练：1.【2008年海南宁夏文13】已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________2.【2015年新课标卷1文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .3.【2015年新课标卷1文7】 已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 4.【2008年海南宁夏理4文8】设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则24a S =（ ）A ．2B ．4C ．215D ．217 5.【2013年新课标卷1文6】设首项为1，公比为错误！未找到引用源。
数列求和及综合应用
＝3n＋n2ln 3－1；
题型与方法
专题四 第二讲
当 n 为奇数时，Sn＝2×11－－33n－(ln 2－ln 3)＋n－2 1－nln 3
本 讲
＝3n－n－2 1ln 3－ln 2－1.
栏
目 开
3n＋n2ln 3－1，
n为偶数，
综上所述，Sn＝3n－n－2 1ln 3－ln 2－1， n为奇数.
专题四 第二讲
2.(2012·福建)数列{an}的通项公式 an＝ncos n2π，其前 n 项和为
Sn，则 S2 012 等于
()
A.1 006 B.2 012 C.503 D.0
本 解析 用归纳法求解.
讲 栏 目
∵an＝ncos n2π，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，
开
a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….
目 开
此时一定要查清其项数.
题型与方法
专题四 第二讲
变式训练 2 (2013·山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
本
(2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＋an2＋n 1＝λ(λ 为常数).
讲 栏
令 cn＝b2n，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
讲
栏 目
当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意；
开
当 a1＝10 时，不合题意.
因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比 q＝3.
故 an＝2·3n－1 (n∈N*).
题型与方法
专题四 第二讲
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
2020届高考数学复习备考-数列求和及综合应用
2020届高考数学复习备考-数列求和及综合应用1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏2.设数列{an}满足a1＝1，a2＝3且2nan ＝(n －1)an －1＋(n ＋1)an ＋1则a20的值是 ( )A. 245 B ．225 C.235 D ．2153．等差数列{an}的前n 项和Sn ，a3＝3，S4＝10，则 k ＝1n 1Sk ＝__________.4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n －1)an ＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{an 2n ＋1}的前n 项和．典型例题例1：设数列{an}的前n 项和为Sn.已知2Sn ＝3n ＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn ＝log3an ，求{bn}的前n 项和Tn ．例2：设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n ∈N*，函数f(x)＝(an －an ＋1＋an ＋2)x ＋an ＋1cos x －an ＋2sin x 满足f ′(π2)＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝2(an ＋12an)，求数列{bn}的前n 项和Sn ．例3：设Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1＝2，对任意n ∈N*，都有2Sn ＝(n ＋1)an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{4an an ＋2}的前n 项和为Tn ， 求证：12≤Tn<1．课后练习1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an ＋1－an ＝bn ＋1bn ＝2，n ∈N ＋，则数列{ban}的前10项的和为 ( )A ．43(49－1)B ．43(410－1)C ．13(49－1)D ．13(410－1)2．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q ＝2，则Tn ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于 ( ) A ．1－14n B ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n )3．给出数列11，12，21，13，22，31，…，1k ，2k －1，…，k 1，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是 ( )A ．4900B ．4901C ．5000D ．50014.以Sn 表示等差数列{an}的前n 项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是 ( )A ．2a3>3a4B ．5a5>a1＋6a6C ．a5＋a4－a3<0D ．a3＋a6＋a12<2a75．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是 ( )6．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2; ②f(x)＝2x ；③f(x)＝|x|； ④f(x)＝ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 ( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是 ( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在8．已知函数f(x)＝a ·bx 的图象过点A(2，12)、B(3,1)，若记an ＝log2f(n)(n ∈N*)，Sn 是数列{an}的前n 项和，则Sn 的最小值是9．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn 为数列{an}的前n 项和，bn ＝ an ＋1SnSn ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn ．10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．。
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考点25 数列求和及综合应用一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则（ ）A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b +=+，21n n n ab c +=+，所以1a a n =，++1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b ++1)(21)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(212111a c b a c n n n -+=-+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ∆中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b +-)(21n n c b --=， 所以)()21(111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 121||21==为递增数列. 二、填空题2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3132+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a _________【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值,再利用S n -S n-1=a n 求出通项公式a n . 【解析】由1113132a a S =+=，解得11=a ，又3132+=n n a S ，所以112233n n n n n S S a a a ---=-=，得12n n aa -=- ，所以数列}{n a 是首项为1，公比为2-的等比数列.故数列的通项公式1)2(--=n n a 【答案】1)2(--n3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【解题指南】（1） 令3=n ，4=n 代入 即可得到答案. （2）通过1112121)1(21)1(----+----=-=n n n n n n n n a a s s a 整理可发现当当n 为偶数时有1121--=-n n n a a ，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】（1）因为21111--==a s a ，所以411-=a ，8133213--=++=a a a a s ①，161443214-=+++=a a a a a s ，即161321-=++a a a ②， 把②代入①得1613-=a .（2）因为当2≥n 时，n n 1n n n 1n n 1n 111a s s (1)a (1)a 22n ----=-=----+，整理得n n n n n a a 21)1())1(1(11=-+----，所以，当n 为偶数时，n n a 211-=-，当n 为奇数时，n n n a a 2121=+-，所以1121--=n n a ，所以{为奇数为偶数，n n n n a ,21211+-=，所以当n 为偶数时，1121--=-n n n a a ， 所以 +---+--=++++++33221100994321212121a a a s s s s s s--++-+-=-+--)()()(21219910034121001009999a a a a a a a a 231003599210011111111111()()()22222222222++++=++++-+++ )121(31)211()211(3221)211(2141)411(2110010010010050-=---=-----=.【答案】（1）161- （2）)121(31100-4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =【解题指南】先根据1a 、2a 、5a 成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出8S . 【解析】因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22= 因为0d ≠,所以2=d ,故.64568278818=+=⨯+=d a S 【答案】64 三、解答题5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明： 【解析】（I ）22)1()21()(x x x x f +--='λλ， 令0)(='x f ，即0)1()21(22=+--x x x λλ，解得0=x 或λλ21-=x 若21<λ，则)21(20λ-<<x 时， 0)(>'x f ，所以0)(>x f . 若21≥λ，则0>x 时，()0¢<f x ，(0)=0f ，所以0)(<x f .综上λ的最小值为21.（II ）令21=λ，由（I ）知，0>x 时，0)(<x f .即)1ln(22)2(x x x x +>++. 取kx 1=，则kk k k k 1ln)1(212+>++. 于是))1(2121(41122++=+-∑-=k k n a a n n k n n ))1(212(12++=∑-=k k k n n k >k k n nk 1ln12+∑-=n n ln 2ln -=2ln =. 所以2ln 412>+-na a n n 6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d,a n .(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.【解题指南】(1)由a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列可以求得a 1与d 的关系,进而可求得d 与a n .(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n 项和的性质求解.【解析】(1)由题意得,5a 3·a 1=(2a 2+2)2,d 2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n =-n+11或a n =4n+6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n , 因为d<0,所以d=-1,a n =-n+11,则 n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-12n 2+212n; n ≥12时,|a 1|+|a 2|+…+|a 11|+|a 12|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 11-a 12-…-a n =S 11-(S n -S 11)= -S n +2S 11=12n 2-212n +110. 综上所述,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=22121,11,22121110,12.22≤≥⎧-+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩n n n n n n7. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前n 项和,再利用题目中所给条件求解20T .【解析】（Ⅰ）由题设知{}n a 是首项为,1公比为3的等比数列,所以13-=n n a ,().13213131-=--=nn n S（Ⅱ）,210,13931,313321d b b b a b ==-=++===所以公差5=d ， 故101052192032020=⨯⨯+⨯=T . 8.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c >0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a 1,a 2,a 3,…,满足a n+1=f(a n ),n ∈N *. (1)若a 1=-c-2,求a 2及a 3. (2)求证:对任意n ∈N *,a n+1-a n ≥c.(3)是否存在a 1,使得a 1,a 2,…,a n ,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a 1;若不存在,说明理由.【解析】(1)a 2=2,a 3=c+10. (2)f(x)=当a n ≥-c 时,a n+1-a n =c +8>c.当-c-4≤a n <-c 时,a n+1-a n =2a n +3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当a n <-c-4时,a n+1-a n =-2a n -c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意n ∈N *,a n+1-a n ≥c.(3)由(2),结合c>0,得a n+1>a n,即{a n}为无穷递增数列,又{a n}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,a n>-c,从而a n+1=f(a n)=a n+c+8,由于{a n}为等差数列,因此其公差d=c+8.①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,从而a2=0,当n≥2时,由于{a n}为递增数列,故a n≥a2=0>-c,所以a n+1=f(a n)=a n+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{a n}为无穷等差数列,符合要求.②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.③若a1≥-c,则由a n≥a1得到a n+1=f(a n)=a n+c+8,从而{a n}为无穷等差数列,符合要求.综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数x(f，无穷数列{}n a满足a n+1=f(a n),n)x-=2∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2.(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.①当0<a 1≤2时,a 3=2-(2-a 1)=a 1, 所以=(2-a 1)2,得a 1=1. ②当a 1>2时,a 3=2-(a 1-2)=4-a 1, 所以a 1(4-a 1)=(2-a 1)2, 得a 1=2-(舍去)或a 1=2+. 综合①②得a 1=1或a 1=2+.(3)假设这样的等差数列存在,那么a 2=2-|a 1|,a 3=2-|2-|a 1||. 由2a 2=a 1+a 3得2-a 1+|2-|a 1||=2|a 1|(*). 以下分情况讨论:①当a 1>2时,由(*)得a 1=0,与a 1>2矛盾; ②当0<a 1≤2时,由(*)得a 1=1, 从而a n =1(n=1,2,…), 所以{a n }是一个等差数列;③当a 1≤0时,则公差d=a 2-a 1=(a 1+2)-a 1=2>0, 因此存在m ≥2使得a m =a 1+2(m-1)>2. 此时d=a m+1-a m =2-|a m |-a m <0,矛盾.综合①②③可知,当且仅当a 1=1时,a 1,a 2,a 3,…,构成等差数列.10. （2013·江苏高考数学科·Ｔ19）设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。