考点25 数列求和及综合应用

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考点25 数列求和及综合应用

一、选择题

1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n

2，c n ＋1＝b n ＋a n

2，则（ ）

A 、{S n }为递减数列

B 、{S n }为递增数列

C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列

D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b +=

+，2

1n n n a

b c +=+，所以1a a n =，++1n b =

+1n c 2n n a c +2

n n a b ++

1)(21

)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2

1

2111a c b a c n n n -+=

-+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ∆中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b =

+1n c 2n n a c +2n n a b +-

)(21

n n c b --=， 所以)()2

1

(111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12

1||21==为递增数列. 二、填空题

2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3

132+=n n a S ，则}{n a 的通项公式是=n a _________

【解题指南】先利用S 1=a 1求出a 1的值,再利用S n -S n-1=a n 求出通项公式a n . 【解析】由1113

13

2

a a S =+=，解得11=a ，又3

13

2+=n n a S ，所以

112233n n n n n S S a a a ---=

-=，得1

2n n a

a -=- ，所以数列}{n a 是首项为1，公比为2-的等比数列.故数列的通项公式1)2(--=n n a 【答案】1)2(--n

3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

(1),,2

n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；

（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.

【解题指南】（1） 令3=n ，4=n 代入 即可得到答案. （2）通过1

11

2121)1(21)1(----+---

-=-=n n n n n n n n a a s s a 整理可发现当当n 为偶数时有1

12

1

--=

-n n n a a ，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 【解析】（1）因为21111--==a s a ，所以411-=a ，8

1

33213--=++=a a a a s ①，

161443214-=+++=a a a a a s ，即161321-=++a a a ②， 把②代入①得16

1

3-=a .

（2）因为当2≥n 时，n n 1n n n 1n n 1n 111

a s s (1)a (1)a 22

n ----=-=----+，整理得

n n n n n a a 21)1())1(1(11=-+----，所以，当n 为偶数时，n n a 21

1-=-，

当n 为奇数时，n n n a a 2121=+-，所以112

1

--=n n a ，

所以{

为奇数

为偶数，n n n n a ,21

21

1+-

=，所以当n 为偶数时，1

12

1

--=

-n n n a a ， 所以 +---

+--=++++++3

322110099432121212

1a a a s s s s s s

--++-+-=-+-

-)()()(21219910034121001009999a a a a a a a a 231003599210011111111111()()()22222222222++++=++++-+++ )121(31)211()211(322

1)

211(2141)411(2110010010010050-=---=-----=.

【答案】（1）161- （2）)121

(31100-

4. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a 、2a 、5a 成等比数列，则8S =

【解题指南】先根据1a 、2a 、5a 成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出8S . 【解析】因为1a 、2a 、5a 成等1比数列, 11a =所以d d 41)1(2+=+,化简得d d 22= 因为0d ≠,所以2=d ,故.645682

7

8818=+=⨯+=d a S 【答案】64 三、解答题

5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数()()()

1=ln 1.1x x f x x x

λ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；

（II ）设数列{}21111

1,ln 2.234n n n n a a a a n n

=+++⋅⋅⋅+-+

>的通项证明： 【解析】（I ）2

2

)

1()21()(x x x x f +--='λλ， 令0)(='x f ，即0)1()21(2

2

=+--x x x λλ，解得0=x 或λλ21-=x 若21

<λ，则)21(20λ-<'x f ，所以0)(>x f . 若2

1

≥λ，则0>x 时，()0¢

综上λ的最小值为2

1

.

（II ）令2

1

=λ，由（I ）知，0>x 时，0)(